В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях, УМН , 1983, том 38, выпуск 2(230), 3–76

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях, УМН , 1983, том 38, выпуск 2(230), 3–76

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:36:36

1983 г. марш —апрель т. 38, вып. 2(230) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

У Д К 517.9

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ

В. А. К о н д р а т ь е в , О. А. О л е й н и к СОДЕРЖАНИЕ

В в е д е н и е 3 Г л а в а I. Общие эллиптические краевые задачи 8

§ 1. Разрешимость общих эллиптических краевых задач в областях с кониче­

скими точками 8

§ 2. Асимптотическое поведение решений общей краевой задачи в окрест­

ности конической граничной точки 14

§ 3. Общие краевые задачи в негладких областях 23 Г л а в а П . Краевые задачи для уравнений математической физики в негладких

областях 28

§ 1. Краевые задачи для системы теории упругости 28

§ 2. Задачи гидродинамики в областях с негладкой границей 31

§ 3. Бигармоническое уравнение 34 Г л а в а I I I . Эллиптические уравнения второго порядка в областях с негладкой

границей 47

§ 1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в про­

извольной области 47

§ 2. Краевые задачи в областях с изолированными нерегулярными точками

на границе 50

§ 3. Эллиптические уравнения второго порядка в областях с ребрами . . . 54

§ 4. Краевые задачи в областях, диффеоморфных полиэдру 56 Г л а в а IV. Уравнения и системы параболического и гиперболического типов

в негладких областях 58

§ 1. Параболические уравнения и системы в негладких областях . . . . 58

§ 2. Гиперболические уравнения и системы в областях с особыми точками

границы 62 Л и т е р а т у р а 64

Введение

В настоящей статье дан обзор результатов теории краевых задач для уравнений с частными производными в областях, граница которых содержит нерегулярные точки. Термины регулярная и нерегулярная точка границы области Q cz Rn в разных работах часто имеют различный смысл. Мы будем называть точку О границы dQ нерегулярной, если ни в какой окрестности U точки О не существует гладкого невырожденного преобразования U ->-Rn, переводящего dQ f] U в (п — 1)-мерный ш а р . В противном случае точка О называется регулярной. Порядок гладкости преобразования, требуемого в определении регулярной точки, определяется в каждом конкретном случае

1*

в соответствии с характером задачи. Заметим, что совершенно другой смысл имеет понятие «регулярная граничная точка» в классической теории Винера задачи Дирихле для уравнения Лапласа и связанных с ней работах.

В настоящее время построена законченная теория краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем с гладкой границей. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, что если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция. (В параболическом и гипербо­

лическом случаях необходимо также выполнение так называемых условий согласования начальных и граничных условий; см. [1], [2], [154], [190], [61], [218], [138].)

Нарушение условия гладкости границы в этих задачах приводит к появ­

лению у решения особенностей в окрестности нерегулярных точек границы.

Одной из первых работ в этом направлении была работа Т. Карлемана [184].

К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в обла­

стях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные при­

кладные задачи. Этим вопросам посвящена обширная литература.

К а к и всегда в современной теории краевых задач, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи и правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весо­

вой нормой, где вес — некоторая степень расстояния до множества нерегу­

лярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правиль­

но описывают особенности решения и его производных в окрестности нере­

гулярных точек границы. Эти особенности во многих случаях оказываются степенными.

Пусть Q — область в евклидовом пространстве i?n, dQ — ее граница, Q — замыкание области Q. Зафиксируем замкнутое множество Г cz dQ и функцию а(х) cz C°°(Rn). Пусть функция р(^) £ C°°(Rn\T), и в некоторой окрестности Г она совпадает с расстоянием до Г. Существование такой функции для области Q предполагается априори. Определим пространство

о

H^(Q, Г) как пополнение множества бесконечно дифференцируемых в Rn

функций с компактным носителем, равных нулю в окрестности Г, по норме

а \a\^k Q ^axl • ' ' ^охп

где dx = dx¹ . . . dxⁿ, а = (а^ъ . . ., ос^п), | а \ = а^г + • • • + «п- Будем также использовать пространство H^(Q, Г) — пополнение простран­

ства С™ (Rn) бесконечно дифференцируемых в Rn функций с компактным носителем по норме

(²) 1 1^иН я * (^й, г )⁼( 2 \p^a\D^au\*dx+\ⁱ | u | ^ )^{1 / 2}.

а ' |a|=fe й й

о о Через ^^{_ 1}/²( ( 9 Q , Г) будем обозначать пространство следов функций из H%(Q, Г)

на dQ. Опишем подробно один из способов построения такого пространства следов. Пусть #£(Q, Г, dQ) — пополнение по норме (1) множества функций о из C^°(jF?ⁿ), равных нулю в окрестности 0Q. Пространство следов Н^~о ⁱ^²(dQ, Г) —

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ 5

О О

это фактор-пространство Щ(£1, Г)/#£(£2, Г, dQ), в котором норма элемента определяется как нижняя грань норм элементов, принадлежащих одному и тому же классу смежности. Аналогично определяется H^-i/z^Q, Г).

В случае, когда Г совпадает с одной точкой (9, полагаем а = const, а р(х) определяем как расстояние от х до О. В этом случае принимаем сле­

дующие обозначения: Я£(£2, Г) = tf*(Q), H^ka~^i/2№, Г) - # V^{1 / 2}( ^ ) ,

#*(Q, Г) - Я£(й), Я^-1/2(^д? Г) = Я * -1^ ^ ) . В дальнейшем будем также использовать пространство СМ, 0 < 0 < 1, состоящее из функций, у которых все производные порядка к в области Q удовлетворяют условию Гёльдера с показателем 8. Норма в этом пространстве, как обычно, задается равенством || u ||c f c.e,m = sup 2 \Dau\+sup 2 ' ^ f}~ ° , 7W' • Ч еРе з

C*(Q) обозначим пространство функций, у которых все производные до по­

рядка к включительно непрерывны в й ,

\\u\\

=тж 2 | / Л ф ) | .

лей iai ^f e

Кроме того, мы будем использовать пространства С. Л . Соболева И ^ ( й ) , 1 < р <С оо. Норма в Wp(Q) задается равенством

(3) и»"„>=(! s i^i

^)

.

Через H^(Q, Г), Г с <9Q, обозначим пространство функций, полученное пополнением бесконечно дифференцируемых в Rn функций, равных нулю в окрестности Г, по норме (3) пространства W£(Q). Пространство W\(Q) для краткости будем обозначать Wh(Q), а пространство следов функций из W*(Q) на 6Q обозначим через Wk~V2(dQ), W\{Q, dQ) = W ( Q ) .

К настоящему времени наиболее подробно разработана теория краевых задач для эллиптических уравнений в негладких областях. Этим задачам посвящена гл. I. В § 1 гл. I подробно рассмотрен вопрос о разрешимости общих эллиптических краевых задач в многомерных областях с конечным числом конических точек на границе или в двумерных областях с конечным числом угловых граничных точек. Эти случаи изолированных нерегулярных граничных точек в настоящее время хорошо изучены.

Значительно более сложным является случай наличия граничной точки, в окрестности которой область Q диффеоморфна многограннику. Вопрос о разрешимости краевых задач для областей, граница которых содержит такие точки, изучен сравнительно мало. Эти результаты изложены в § 3 .

В § 2 гл. I рассматривается поведение решений общей краевой задачи для эллиптического уравнения высокого порядка в окрестности конической точки границы. Здесь доказаны теоремы о повышении гладкости таких реше­

ний, получены формулы для асимптотического разложения решения в окре­

стности конической точки.

К рассмотрению краевых задач в областях с негладкой границей приво­

дят многие задачи механики и физики. В гл. II рассмотрены уравнения математической физики, наиболее важные для приложений: система теории упругости, система Навье — Стокса, бигармоническое уравнение. В § 1 гл. II изложены работы, в которых исследуются решения системы теории упругости в окрестности нерегулярных точек. Так как система теории упру­

гости является эллиптической системой, то для нее применимы методы иссле­

дования, изложенные в гл. I. Кроме того, поведение решения краевой задачи

для системы теории упругости в окрестности особой точки границы может быть исследовано на основе интегральных оценок, аналогичных энергетиче­

ским неравенствам, выражающим принцип Сен-Венана [209], [256], [267].

Такие подходы имеются в ряде работ (см. [130], [134], [47], [50], [49], [243]).

В § 2 гл. II рассмотрена система Навье — Стокса в негладкой области.

Наиболее изученным здесь является случай плоской области с конечным числом угловых точек на границе.

Параграф 3 гл. II посвящен одному из важнейших уравнений матема­

тической физики — бигармоническому уравнению. К бигармоническому уравнению с двумя независимыми переменными приводят задачи плоской теории упругости и гидродинамики. Исследованию решений бигармониче- ского уравнения в окрестности границы посвящено большое число работ.

В этом параграфе впервые излагается результат о точных оценках моду­

ля непрерывности решения бигармонического уравнения и модуля непрерыв­

ности его первых производных в окрестности граничной точки 0 , удовлет­

воряющего граничным условиям Дирихле. Доказано, что для обобщенного решения и(х) задачи

(4) AAu = / + 2 - ^ , u|

= ^ ^ |

= fe

принадлежащего классу W2(Q), при г^ = г|э2 = 0 в окрестности точки О принятой за начало координат, справедлива оценка

(5) \и(х)\^Сг\х\2+26-е [ (\x\^6+*f*+\x\2-26+E(fl + ft))dx, h

если dQ П {^х: I ^x I = t.) ф 0 при 0 < t ^ Т = const и любая дуга, содер­

жащаяся в и р {х: | # | = £}, имеет длину, не превосходящую £со, где со =

= const, со⁰ ^ со ^ 2л, со⁰ = 1,43л, б(со) является корнем уравнения (6) sin² б со = б² sin² со

таким, что 0 < соб ^ л . Здесь 8 — любое сколь угодно малое положительное число. Нетрудно показать, что оценка (5) не выполняется при в < 0 для некоторых решений и(х). Если в некоторой окрестности точки О все точки dQ также обладают тем свойством, что любая окружность достаточно малого радиуса с центром в точке dQ пересекает dQ, и, кроме того, /х = /2 = 0 в Q, то для обобщенного решения и(х) задачи (4) справедлива оценка

(7) | g r a d ^ ( ^ ) | < C^e| ^ |^{6 ( w )}-⁸[ f | ^ |⁴-2 6 ( ю ) + 2 8/²^ ]^{1 / 2}, С^е = const, и эта оценка не выполняется для некоторых и(х) при 8 < 0.

В связи с этими результатами возникает задача получить оценки вида (5), (7) при е = 0 и при 0 < со < 2л. При 8 = 0 и со⁰ < со < 2л такие оценки получены и будут доказаны в другой статье. При малых со нужно рассматривать в качестве б(со) действительную часть соответствующего ком­

плексного корня уравнения (6).

В § 3 гл. II доказаны также точные оценки, выражающие принцип Сен-Венана в случае произвольного двумерного тела Q. Пусть 0 cz dQ, Q^p = Q П {x: | x | < p}. Пусть '/ = 0, Д = /² = 0 в Q^R, г^ = <ф² = 0 на dQ П dQR, SQ = Q П {x: | x \ = p} не пусто при 0 < p < R. Тогда

(8) j 2 \Dau\^dx^Ce^y~& j 2 \Dau\2dx, Ce = const,

Op i l«l=2 2 QP2 l a | - 2

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ 7

при 0 < рх < р² < Л/2, Ъ = 28(2я) = 1, постоянная С^г не зависит от и Q, р^х, р². Если тело обладает тем свойством, что при t. ^ R множество Q f|

П {х: \ х \ = t.} яе содержит дуг длины более чем со£, то неравенство (8) спра­

ведливо при Ъ = 2б((о), СО0 < со < 2л, s > 0. Таким образом, для клиновид­

ного тела получены в указанном выше смысле неулучшаемые неравенства, являющиеся математической формулировкой принципа Сен-Венана.

В § 1 гл. I I I коротко изложены результаты, касающиеся поведения обобщенных в смысле Винера решений задачи Дирихле для общих эллипти­

ческих уравнений второго порядка в окрестности границы произвольной области, а также вопрос о непрерывности в точках границы обобщенного решения задачи Дирихле из пространства W¹(Q) для эллиптического урав­

нения второго порядка с дивергентной главной частью. В частности, изла­

гаются результаты о поведении таких решений в окрестности граничной точ­

ки, полученные на основе аналогов принципа Сен-Венана.

В § 2 гл. III рассматриваются области с изолированными особыми точ­

ками границы, выясняются условия, при которых справедлива оценка С. Н. Бернштейна. Очень большое число работ посвящено случаю задачи Дирихле в двумерной кусочно-гладкой области, содержащей конечное число угловых точек, изучению асимптотического поведения решений краевых задач в окрестности таких точек.

В § 3 гл. I I I изложены результаты о решениях краевых задач для эллип­

тических уравнений второго порядка в областях, диффеоморфных полиэдру.

Основополагающие результаты здесь получены в работах Г. Фикеры. В част­

ности, им изучена задача об асимптотике решения задачи Дирихле для урав­

нения Лапласа во внешности куба в окрестности его вершины. Краевые зада­

чи в полиэдрах для общих уравнений второго порядка еще мало изучены.

Глава IV посвящена краевым задачам для параболических и гипербо­

лических уравнений в негладких областях. Здесь, в основном, получены те результаты, которые либо легко вытекают из результатов эллиптической

теории, либо могут быть получены методами этой теории.

В связи с тем, что многие задачи механики непосредственно приводят к рассмотрению краевых задач в негладких областях, имеется большое коли­

чество работ, где изучаются уравнения в отдельных конкретных областях

•с граничными условиями специального вида. Мы не имели возможности останавливаться на всех работах такого рода.

Наш обзор не претендует на полноту. Размеры статьи не позволили нам осветить подробнее некоторые важные результаты и методы теории краевых задач в негладких областях. Мы допускаем, что некоторые интересные рабо­

ты могли остаться для нас неизвестными и поэтому не были включены в наш обзор. Наиболее подробно мы изложили вопрос о разрешимости общих крае­

вых задач для эллиптических уравнений в областях с коническими точками, вопрос об асимптотике их решений в окрестности вершины конуса, а также вопрос об асимптотических свойствах решений бигармонического уравне­

ния, причем ряд относящихся сюда результатов, в частности, теоремы 11—13, являются новыми и излагаются впервые.

К сожалению, мы недостаточно подробно изложили некоторые важные результаты Г. Фикеры, В. Г. Мазьи, Б . А. Пламеневского, П. Гривара и других.

Отметим, что наша статья является первой попыткой обзора большой и важной для приложений области теории дифференциальных уравнений — теории краевых задач в негладких областях. Систематическое изложение некоторых вопросов этой теории имеется в малодоступных изданиях [204], [205], где основное внимание уделено двумерным задачам в областях с конеч­

ным числом угловых точек. В конце статьи мы приводим всю известную нам библиографию по рассматриваемым нами вопросам.

Г Л А В А I

ОБЩИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1. Разрешимость общих эллиптических краевых задач в областях с коническими точками

В настоящем параграфе мы подробно рассмотрим вопрос о разрешимости эллиптических краевых задач в двумерных областях с конечным числом угловых точек на границе и в многомерных областях с конечным числом конических точек. Эти случаи изолированных особых точек на границе в настоящее время хорошо изучены.

Значительно более сложным является случай наличия граничной точки, в окрестности которой область диффеоморфна многограннику. Разрешимость краевых задач для областей, границы которых содержат такие точки, изуче­

на сравнительно мало. Эти результаты изложены в § 3.

В этом параграфе мы будем рассматривать эллиптическое уравнение вида

(1) L(x, D)u= 2^; а^а(х) D^au = f (x), х = (x^v . . . , х^п),

| а | < 2 ш

2 а

(х)%

ФО при

ieR

,

|сс|=2т

Предполагается, что оператор L правильно эллиптичен при п = 2 (см., например, [1]). Коэффициенты а^а(х) — бесконечно дифференцируемые ком- плекснозначные функции (кроме специально оговоренных случаев).

Пусть в этом параграфе граница области Q бесконечно гладкая всюду, кроме начала координат 0 , а в некоторой окрестности точки 0 область Q совпадает с конусом G, вершиной которого является точка 0 .

На dQ задается т краевых условий:

(2) Вj (x, D)u= 2 baj (x) Dau = ф7., / = 1, . . . , го.

Предполагается, что всюду на dQ, кроме точки 0 , для уравнения (1) и гра­

ничных условий (2) выполнены условия Лопатинского (см. [61], [154], [1]).

Совокупность операторов В^ъ . . ., В^т в дальнейшем будем обозначать через i ? , а вектор-функцию ср1? . . ., срт — через ср.

Рассмотрим в G новую систему координат (г, 0^, . . ., iuⁿ-i), полагая

п

(3) r = ( 2 x))il2;» <*>* = <МУи • • • ' Уп)> * = 1> . . . , л — 1 ; i = i

XJ . л

» j = — , 7 = 1 , . . . i п,

где o)j — бесконечно дифференцируемые функции, 0 < г < оо, со £ 5 . Предполагаем, что коэффициенты baj(x) 6 C ° ° ( i ?n\ 0 ) разлагаются в ок­

рестности точки 0 в асимптотический ряд при г - > 0

bajs 6 С°° (S), s — целые.

L*

(x,D) = 2 « a W ^

Kj (*) = S Kjs (©) Г$,

8=0

Положим Llm{D)= 2 aa(0)Da,

|a|=2m L om (D) = L2 m (0, D).

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ 9 Пусть

|а|=тп.

B7'(x,D)=- 2 b

(x)D

.

l<x|=m7.

Через $?° обозначим совокупность операторов В™^, j = 1, . . ., m, через J?1 — совокупность операторов В™3, 7 = 1, • • •, иг. Прямое произведение

о т о о

пространств #*(Q) X [] Hka+2m-mr1/2(dQ) обозначаем через <$?*(Q). Всюду

i = i

в дальнейшем будем предполагать, что /с + 2ттг — nij > 0 при / = 1, . . ., иг.

Сначала будем изучать задачу (1), (2) в случае, когда область Q совпа­

дает с бесконечным конусом G, a L(x, D) = L\m (D), Bj = 2?™J, / = 1, . . ., m, т. е. рассмотрим задачу

(4) Llm(D)u = f, x^G, .%0и = ц на dG.

Запишем задачу (4) в системе координат (г, cDb . . ., (оп^г). Легко проверить, что

п - 1 п п- 1

д __ xk д ^ у das xtxh д , у 1 o®i д ___

дхъ г дг Z J Z j dyi r3 dti)s ' ^-1 г дуь дсо*

s=i z=i j = i п - 1

где /jfe(co) — бесконечно дифференцируемые функции в 5 . Поэтому уравне­

ние и соответствующие граничные условия задачи (4) принимают следующий вид:

аа а' № д^и

(5) ZJ £т*-а1 " ^" = / в G' a = (a4, aj), а£ = (а2, . . . , ап) ,

|а|<2тп Г ^ ^ 5 W 2

(6). 2 V-«x ^ х ^

J -

' — ™'***

-

|a|<m. r а г а с о

Сделаем еще замену переменной:

(7) т = 1п-1

г

В результате область G перейдет в бесконечный цилиндр Q = S X (—оо, + ° ° ) , а уравнение (5) и граничные условия (6) принимают вид

(8) L

^ 2 « « ^ И - ^ £ = fe-

"" = F,

где / = 1, . . . , т, а ^ (ю), 6i «# (со) 6 С°° (5).

В задаче (8), (9) уравнение является эллиптическим, а соответствующие граничные операторы удовлетворяют условию Лопатинского, так как мы делали только невырожденные гладкие преобразования независимых пере­

менных .

0 0 k-\-2m — m . — 1/2

Будем предполагать, что f£Ha(G), ср,- £ На " J (dG)- Условие / £

£ Но а (G) означает ограниченность интегралов

(Ю) 2 J

<9Tal 0 © " *

где С — постоянная, не зависящая от /. Из этого неравенства на основании равенства Парсеваля получаем, что для функции F (К, ы) = (2я)~^1/ х

- f оо

X \ e~^il,TF(T, со) d% — преобразования Фурье функции F по т —спра­

ведливо неравенство

(И) S J \M

\\F\\lk-s

dX^C\\fl\l

,

5 = 0 - о о + г/г 1

где /г = -«- ( — а — п + 2к + 4т). Здесь мы использовали комплексный аналог

+ оо

-1/2

равенства Парсеваля. Именно, если \ |/ (t)\²e^2Ht dt <C оо, то f = (2n)

— оо -f-oo

X \ e~i%xj (%)dx является функцией, суммируемой в квадрате по прямой

+ оо -{-оо+гН

1тЯ, = Я и f | / ( 0 |2e2 H' ^ = С |/|*dX.

— оо —оо + гН

Изучим теперь преобразование Фурье Ф;- по т функций Ф7— правых частей в граничных условиях (9). Пусть Vj — элемент пространства

0 /j-f-2m-m •

На ~ J (G) такой, что Vj\dG = (pj и

| | ^ - | | ^ f e + 2 m - m7.( G )< 2 || фу ||шй + 2 ш - 7 л7. - 1 / 2( а о )-

Из этого неравенства следует, что I Л + К1

в( - п - а+2 / г+4 ж - 2 т . ) х ^т й с о <

2

^ ^ 1 1 ^ 7 l | o k + 2 m ~ m . < 2 С | | ф ^ | | o f t + 2 m - m , - l / 2 (3G) а

где С = const, которая не зависит от Vj, ф7-.

Положим ^j = Vje~mJx. На <9() функция г|?7- совпадает с Ф7-, а г[-)7- — ее преобразование Фурье по т — удовлетворяет неравенству

k+2m-mj +oc + ih

(12) Ц j \M2'\\b\fwk+2m.mrs(8)dk^

s—0 -oo-j-ih

^ 1 II ф Л 1 ^ + 2 7 1 1 - 7 ^ - 1 / 2 ^ i2 5G)

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ 11 где Cⁱ = const и не зависит от ф⁷-. Пользуясь теоремами вложения, из не­

равенства (12) выводим, что

-\-oo-\-ih

(13) j [l^l^+^-^-'ll^lli^+ll^ll^m-m^.-l^^l^C

-oo+ih

< С2 II Фу \\o[k + 2m-mj- 1/2 W C2 = C o n s t . а

Краевая задача (8), (9) после преобразования Фурье по т перейдет в сле­

дующую задачу:

(14) Z i ( © , ък, - ^ - ) и = Я c o ^ S ,

(15) Я17- (со, iX, - А - ) и = Фя cogafif, / = 1, . . . , т.

Легко показать, что при каждом вещественном X уравнение (14) — эллип­

тическое, а краевые условия (15) удовлетворяют условиям Лопатинского на dS, которая является бесконечно дифференцируемой поверхностью в (п — 1)-мерном пространстве с о ^ с о ^ . . . , (un-i).

Пусть [Lv &i] = (Lv BiV . . . , Bim) — оператор, переводящий функцию z (со) £ W^k+^2m (S) в вектор

т

[L& $iZ)£Wk(S)x [J Wk+2m-mr^2(dS).

3=1

Этот оператор аналитически (даже полиномиально) зависит от К. Следова­

тельно, обратный оператор R(X), если он хотя бы в одной точке комплексной плоскости X существует, является операторнозначной мероморфной функци­

ей А,, у которой каждый полюс имеет конечную кратность [22], [7], т. е.

R(X) — конечно-мероморфная функция X. Задача (14), (15) удовлетворяет условиям работы [2]. Поэтому существуют константы А, б такие, что при

| X | > А, | arg X | < б, | я — arg X | < б, б > 0, задача (14), (15) одно­

значно разрешима и справедлива следующая оценка:

(16) |X|2ft + 4 m | | ^ | | | ,( S ) + | | w | | w f c+^ ( S ) <

т

J W J 2 (dS)

+ - 1М2Ь + Ш-2т Г 1 | | $ ^ ь C 3 = c o n s t .

Таким образом, R(X) — конечно-мероморфная функция X, и поэтому суще­

ствует и единственно решение задачи (14), (15), если X — регулярная точка R(X). Это решение запишем в виде и(Х, со) = R(X)[F, Ф], Ф = (Ф¹⁷ . . ., Ф^т) . Теперь мы можем доказать следующую теорему:

Т е о р е м а 1. Если R(X) не имеет полюсов при Im X =

= 4-(—а — п + 2/с + 4га), то при любых / 6 4 ( G ) , ср, 6 Hha+2m-mri/2(G), 7 = 1, . . ., т, существует единственное решение и(х) задачи (4) из простран- ства H^о +2m(G). При этом выполнено неравенство

т ( 1 7 )

II w l|ofe+2w ^ С_{i ia (Cr) й}4 [|| / || оь + 2 II Фу II 0fe+2m-m - - 1 / 2 . . L _{а( ( г ) j = 1} / i ^ У (dG)

гдг С4 — const, которая не зависит, от f и (р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Неравенство (16) при условиях теоремы выпол- няется на всей прямой Im % = -^ (—п — а + 2/с + Am) = h. Проинтегриру­

ем его по прямой Im X = h. В результате получим (18) j [|Я.|2*+4,»|Г«||Ё.(8) + | | ' й | | ^к„т,т] ^

-oo-\-ih + 00-И А.

•г Г Г и

- ^ 5

o + iX j—i т

1 пл.|

ft+2m-m⁷.-l/2

(as)

2 f t + 4 m - 2 m , - l

' l

]dX.

Правая часть (18) в силу оценок (11), (13) не превосходит величины

га

С6[ | | / i l o f t + 2 II 9 y l k f e + 2 m - m , - l / 2/ / J rJ >

где С6 — постоянная, которая не зависит от/ и ф. Из свойств преобразования Фурье следует, что интеграл

+оо+г/г

(2я)~1/2 \ и(Х, (o)e^dl

— oo+i/i

сходится в среднем и определяет функцию и(х, со) такую, что

( 1 9 ) 2 ( g ( 2 f t + 4 m - n - a a1+ | a j | < f t + 2 m Q

) т

«T+la'l

(Г1 dr dco^

^ ^ т ! l l / l l | f t( G )+ 2 H Vj\\\k+2m-mj-V2(dG)] ' C7 = const.

J = l

Из равенств (14), (15) следует, что имеют место соотношения (8), (9). Возвра­

щаясь к переменным х, получаем, что и(х) является решением задачи (4) в области G, а неравенство (17) следует из неравенства (19). Теорема доказана.

Таким образом, решение общей краевой задачи (4) в конусе G для урав­

нения с постоянными коэффициентами, содержащего лишь старшие произ­

водные, и граничными условиями с коэффициентами, зависящими лишь от переменных со, сводится к решению хорошо изученной эллиптической задачи (14), (15) с параметром А, в гладкой области. Будем изучать теперь более общую задачу в конусе G:

(20) L2™(х, D)u=f, x£G, №u = ф, х£0G.

Для изучения этой задачи используются следующие леммы.

Л е м м а 1. Если v£H%(G), а функция g (х) такова, что при некото­

ром ai = const

Гач-IB» *I P I*(*> < £ , O ^ I P K A , x£G, ЛГ = const, г = | ж | , то || ^У || oft ^СЛГ ||y||oft » где постоянная С не зависит от g и v.

На+2а1 (G) Ha(G)

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В НЕГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ 1 3

Л е м м а 2. Если i | ) £ # a i/2(dG), а функция g (х) такова, что rm^gl^K 0 < | P | < & > x£dG,

до¹ |

где о = (с?!, . . . , cr^-i) — касательные направления к 0G, то при любом а^{ £ R¹

|| r«ig\|51| of e_ i / on < С ДА || г|> l b - i / 2r e n. где постоянная Ci не зависит от g, г|).

Доказательство этих лемм элементарно, и его можно найти в ра­

боте [38].

Введем обозначения: А0и = [blmu, 9&*и\, А{и = [(L2m — L20m) и, (.<%* — .#°) и].

Докажем следующую теорему о разрешимости задачи (20) в случае, когда коэффициенты уравнения мало отличаются от постоянных.

Т е о р е м а 2. Пусть R(k) не имеет полюсов на прямой Im k = 1 °

= _ ( —п — а + 2/с + 4иг), [/, ф] 6 Se\(G). Тогда найдется б > 0 такое, что если справедливы неравенства

(21) | H P I Z )p( aa^ ) ^ aa( 0 ) ) | < 6 , | a | = 2m, | | 3 | < & , x£G, (22) |HPiD3(6a 7.(^)-6a j.0(co))|^6, | а | = г оя |P|<fc, x£dG, mo существует и единственно решение задачи (20), принадлежащее простран- ству Hbо +2m(G). При этом

\\иЦп+2т(0)^С\\и, ф ] | | ^( С ), где постоянная С не зависит от /, ф.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Задача (20) в принятых выше обозначениях записывается в виде

(23) А0и = [/, ф] — Ахи.-

о о Оператор Лх действует из пространства H^+2m(G) в пространство 3£*£G).

При выполнении неравенств (22), используя леммы 1, 2, можно оценить его норму

(24)

" ^

" ^

A S

V ) '

где Сх не зависит от и. Теорема 1 содержит утверждение, что при условиях о о

теоремы 2 оператор А 0 как оператор из H^+2m(G) в S'£^(G) имеет ограниченный обратный. Если б ^ || А'¹ ||~¹/2С¹, где С^х — постоянная из неравенства (24), то уравнение (23) является однозначно разрешимым и его решение представ­

ляется в виде и = [Е + А^А^"1 ^ о1 [/> ф! = ^ i fA ф1- Теорема доказана.

Д л я того чтобы исследовать вопрос о разрешимости задачи (1), (2) в области Q, нужно построить регуляризатор, используя теорему 2 и раз­

биение единицы, точно так же, как это сделано для эллиптических краевых задач в гладких областях (см., например, [154]). Подробное изложение построения регуляризатора для задачи (1), (2) в рассматриваемой области Q проведено в работе [38]. С помощью регуляризатора, как обычно, легко уста­

навливается теорема об условиях нормальной разрешимости задачи (1), (2) в области Q.

о

При этом под нормальной разрешимостью в пространстве H^^+2m(Q) мы понимаем выполнение следующих условий: 1) однородная задача (1), (2) имеет конечное число линейно независимых решений в пространстве

о о H%+^2m(Q); 2) задача (1), (2) имеет решение в пространстве Щ+^2т(0) тогда

и только тогда, когда /, ср^;- (/ = 1, . . ., т) таковы, что Ft([f, ср)] = 0, i =

= 1, . . ., I, где Ft — некоторый функционал в $£^(0). о

Т е о р е м а 3 . Если R(X) не имеет полюсов на прямой Im X =

= -у(—^а — ^п + 2А + Am), то задача (1), (2) нормально разрешима в про- странстве Н^о ^+2т(0).

Отметим, что при наличии у R(X) хотя бы одного полюса на прямой Im X ~ -^-(—а — п + 2к ~- Am) задача (1), (2) не является нормально раз-

о

решимой в H^+^2m(Q) (см. [38]).

§ 2. Асимптотическое поведение решений общей краевой задачи в окрестности конической граничной точки

Будем изучать поведение решения задачи (1), (2) из пространства jjkо 1+2m (Q) в окрестности точки 0 , которая является вершиной конуса G.

Сначала р а с

где к

> к

Сначала рассмотрим случай, когда Q = G. Предположим, что [/, ср] ^ Ж |о г

1 1 h² = ~Y (— п — а² + 2/г² + Am) ^-у( — n — a^iJr 2k^t + Am) = hⁱ.

Исследуем вопрос о повышении гладкости решения задачи (1), (2) в случае^

когда правые части удовлетворяют этим условиям.

Т е о р е м а 4. Если и(х) — решение задачи (4), причем и(х)£

eki

(G),

1 1

h2~-x-( — n — а2 + 2к2 + Ат) ^-тг( — п — ai + 2ki + Am) = hv k2^kiy

и на прямой lmX = h² нет полюсов R(X), то

(25) и(#) = 2 2 ajsr г J* In5 r\[;SJ- (а)+ щ (х), ocjs = const,

j s=0

+ 2 2 | a / s l < C { | | [ / , ф]|| о. +\\u\\ohl + 2m,J,

Ha2 (G> i s=0 ffi^G) наг (G)

С = const, Lo^mu^l = f, x£G, ^°uⁱ = (p, x£dG, ty^sj (со) — бесконечно дифферен­

цируемые функции, не зависящие от и(х), Х- — полюсы R (X) такие, что hⁱ < Im Xj <C h², pj — кратность полюса Xj и суммирование проводится по всем таким / .

Д о к а з а т е л ь с т в о . После преобразования координат (3) и (7) и последующего преобразования Фурье функции и по т задача (4) перехо-

о

дит в задачу (14) и (15). Т а к как [/, q\£$ea\(G)i то, кроме неравенств ( И ) , (13), справедливы еще и следующие оценки:

+ oo-fift m

(26) { [|М

Ч1^1|!ч5)+||^11^

+21^1

"

^

11ФЛ1^,+

К Р А Е В Ы Е З А Д А Ч И В Н Е Г Л А Д К И Х ОБЛАСТЯХ 15

III ч\>

+ S ll^llwf t + 2 m-mi -1 / 2 (a S ) ] ^< C[ 2 ll9ill|ft2+2m-mrl/2 +

т

+ 2 Н Ф^ 1||ы + 2т- ^ - 1 / 2 + II / I l k + II / I l k ] , *i < к < fta,

j = l «1 2 J

где постоянная С не зависит от h при hi^:h^:hz. Это неравенство следует из неравенств (11), (13) и из того, что при любых / £ #о о aJ ( G ) П Ha\(G)

J U ] + 2 m - m . - l / 2 ° A2+ 2 m - m • - 1 / 2 7 ^ 7 ^ - 7

и (pj£Hai J (dG) П 5f l 2 7 (3G) таких, что й4 < /с < &2?

— aj + 2/Ci^ —-a + 2fc^ — a24-2/c2, имеют место неравенства II / I k . < С (|| / || .ft + || / || о ,i2 ), С = const,

Ha{G) Н-а-^Ь) ыа<^ь>

| | ф7- | | ^ + 2 т - т7- 1 / 2 < С (II <Pj \\ ^ k ^ 2т - т j - 1/2 + II Ф ^ д Ь г + г т - т п , . - 1 / 2 )•

a a i a2

Функция и — R{k) [F, Ф] мероморфна в полосе hi < Im X < /г2. По формуле обращения преобразования Фурье имеем

iV+i/ij JV+i/ii

и(т, ©) = И т ( 2 я ) "^{1 / 2} f e**u(K, со) dA, = lira С e*4R (Я,) [Я Ф] йЯ.

Используя теорему Коши, отсюда получаем

N*+ih2

(27) и (т, со) = lim (2л)"1/2 ( eaxi? (X) [Я ф] dX +

-N1+ih2

+ lim (2я)"1 / 2 [ е«*Д (X) [£, Ф] dA, -

№-°° V+i/Ц

JV2+ift2

— lim (2л)~1/2 ( e^R(l)[F, <b]dA,+ Y (2n)_1/2Res{eiXi: i? (A,) [?, Ф]},

iv2+i/ii ьеэд

где Ж — множество полюсов функции eiKxR(X)[F, Ф], лежащих внутри прямоугольника — TV1 < Re X < iV2, hx < Im A, << fe2- Теперь покажем, что последние два интеграла в правой части равенства (27) стремятся к нулю, если Ni-^oo, iV2->oo по некоторым последовательностям.

Из неравенств (16), (26) следует, что

oo + i/i —JC+г/г

(28) j \\R(ty[F, Ф]\\2тв)с1к+ j ||Д(Х)[£, <S]\\l4S)dl^M,

K+ih —oo+ih

где Af = const, hl^:h^h21 К — достаточно большое действительное число, которое выбирается таким образом, чтобы в областях \ReX\>K, h{<C

<ClmX<Zh2 не было полюсов у R(X). Постоянная М не зависит от h при hi^.h^.h2. Проинтегрируем обе части неравенства (28) по h от /г4

до /г2. В результате получим

j \\R(K)[F, Ф]\\Ь(8)йо(1к^М(к2-к1),

где X = o + ih, Q0 = {o, h: Z < | a | < o o , к^к^к2}. Отсюда следует, что существуют ^последовательности Щ, N^-^oo такие, что

Nl+ih2

j цд(Я)[Я 6]||b

dfe->o,

-Np+ih2

J \\R(K)[F, O]||L.(s)dft-^0.

Устремляя в формуле (27) TV1 и N2 к бесконечности соответственно по последовательностям Np, Np, получим, что

(29) и (т, со) = (2я)"1 / 2 j е** Д (A,) [F, Ф] dX +

— oo-\-iJi2

+ (2я)"1 / 2 2 R e s { e ^ i ? ( ^ ) [ F , Ф]} = щ(х, со) +

+ (2я)"1 / 2 2 Res{**4ff(a,)[*\ Ф]}.

Из неравенств (16), (18) следует, что

|2

dx da^Z

V \ g-(ⁿ+a2-2fe²-4m)T

Л+'^'и,

5 xai 0wa*

III

C[ l l / l l | f e 2L" J "H':t(G) ' ( G )+ 2 II ф7-|||л2+2т-т7.-1/2( а с )], С = COnst.

После перехода к переменным # это неравенство принимает вид

^ j r«2 + 2 | a | - 2f e 2- 4 m |Z )^i | 2^< C | | [ / ? ф] Ц ^ ^ .

|a|<fc2 + 2m G a 2

Найдем теперь вычеты функции eiXxR (X) [F, Ф] в точках, являющихся ее полюсами, лежащими в полосе /^1<1шЯ<</г2 плоскости X. Пусть Xj—

один из таких полюсов. В окрестности Xj операторная функция R(X) как мероморфная функция допускает разложение в ряд Лорана:

(30) R(k) = yⁱA.^p+s(X-X^jr^Pi.

Коэффициенты этого ряда — ограниченные операторы, действующие из

т

Wk(S) X П Wh+2m~mr1/2(dS) в Wh+2m(S) при любом к. Оператор Л _р. задает отображение на пространство собственных функций задачи (14), (15), соответствующих точке спектра X = Xj (см. [22]). Операторы A-p.+s при s < pj задают отображение на подпространства присоединенных функций этой задачи, т. е. на некоторые конечномерные подпространства. Вектор [F, Ф] аналитичен по X в полосе h± < Im X < h2, и поэтому в окрестности Xj