В. С. Самовол, Об асимптотических разложениях решений уравнения Рикка- ти, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 2020, том 490, 59–62

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. С. Самовол, Об асимптотических разложениях решений уравнения Рикка- ти, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 2020, том 490, 59–62

DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954320010191

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 16:33:43

с. 59–62

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ

© 2020 г. В. С. Самовол*

Представлено академиком РАН Б.Н. Четверушкиным 19.11.2019 г.

Поступило 26.11.2019 г.

После доработки 27.11.2019 г.

Принято к публикации 17.12.2019 г.

Рассматриваются скалярные вещественные уравнения Риккати с коэффициентами, раскладываю- щимися в сходящиеся степенные ряды в окрестности бесконечности. Исследуются продолжаемые решения таких уравнений. Методами степенной геометрии получены условия асимптотических разложений этих решений.

Ключевые слова: уравнение Риккати, продолжаемое решение, степенная геометрия, многоугольник Ньютона, асимптотический ряд

DOI: 10.31857/S2686954320010191

Исследуется скалярное уравнение Риккати (1) При этом считаем, что функции , , 1, 2}, могут быть представлены в виде равномерно и аб- солютно сходящихся в окрестности точки

вещественных степенных рядов

(2)

Здесь и далее при упоминании степенных рядов, в отличие от традиционных степенных рядов, по- казатели степеней вещественные, но не обяза- тельно целые числа. В данной работе изучаются произвольные решения уравнения (1), определен- ные в некоторой окрестности точки (такие решения будем называть продолжаемыми).

Уравнение (1) считаем неоднородным, так как однородное уравнение является уравнением Бер- нулли и непосредственно интегрируется. Таким образом, везде ниже считаем, что в (2) .

Риккати в [1] рассматривал уравнение вида (1) (3)

=

+



²₀ = , = , , ∈ .^»

' _i( ) ⁱ 0 ( )

i

y f x y y y x x y

i( ) f x i∈{0

= +∞

x

∞

=

+ →∞

= , , = ∈ ,

< , = −∞, ∈ , , .



₁ ^»

1

( ) const

lim {0 1 2}

pij

i ij ij ij

j

ij ij j ij

f x c x c p

p p p i

= +∞

x

≠

01 21 0 c c

+ ² + = , , , = .

' ^p 0 const

y ay bx a b p

Сначала исследовался вопрос об интегрирова- нии уравнения (3) в квадратурах (см. [2]). После долгих подобных попыток Яков Бернулли открыл возможность разложения решений уравнения (3) в ряд (см. в [2] его переписку с Лейбницем). Поз- же выяснилось, что решения уравнения (3) могут быть разложены в сходящиеся ряды с использова- нием функций Бесселя (см., например, [3]). В по- следние годы разработаны методы степенной гео- метрии, позволяющие получать разложения ре- шений дифференциальных уравнений в ряды [4].

Далее мы будем пользоваться терминами, при- нятыми в степенной геометрии [4]. Многоуголь- ник Ньютона уравнения (1) при условии (2) представляет собой замкнутую выпуклую оболочку

точек , , , , ...}.

При изучении асимптотических разложений ре- шений уравнения (1) в окрестности точки

важную роль играет расположение точки Q относи- тельно правой границы многоугольника N.

Случай, когда точка Q принадлежит правой гра- нице многоугольника N, т.е. выполнено условие

(4) исследован в [5, 6], где показано, что продолжае- мые решения уравнения (1) могут быть представ- лены в виде рядов, абсолютно и равномерно схо- дящихся в некоторой окрестности точки . Указанные ряды подробно описаны и указан ал- горитм их вычисления.

В данной работе мы рассмотрим случай, когда нарушается условие (4), т.е. точка Q не принадле-

N

= − ,( 1 1)

Q Q_ij =(p i_ij, ) i∈ , ,{0 1 2} j∈ ,{1 2

= +∞

x

+ , ≤ − ,

01 21 11

max(p p 2p ) 2

= +∞

x

УДК 517.91

МАТЕМАТИКА

Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва, Россия

*E-mail: 555svs@mail.ru

60

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ том 490 2020

САМОВОЛ жит правой границе многоугольника N и выпол- няется неравенство

(5) Если при этом , то могут быть вычислены два формальных степенных ряда (формальные решения уравнения (1)), являю- щихся асимптотическими представлениями (раз- ложениями) всех нетривиальных продолжаемых решений уравнения (1). Указанные ряды, вообще говоря, расходятся в окрестности точки .

Если , то дополнительно требует- ся анализ коэффициентов первых приближений в разложениях функций . Если < 0, то уравнение (1) не имеет продолжаемых реше- ний (здесь , при 2p11 = и при 2p₁₁ < ). Если > 0, то продолжа- емые решения есть и степенным преобразовани- ем эта ситуация сводится к указанному выше ос- новному случаю . При выполнении условия (5) и равенства = 0 уравнение (1) степенным преобразованием либо приводится к виду, где выполняется условие (4), либо к виду, где .

1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

З а м е ч а н и е 1. Для формулировки результа- тов удобно использовать другую запись функции

.

Если выполняется условие (5), то без ограни- чения общности будем считать, что в разложении в ряд функции выполняется не- равенство (при этом в случае коэффициент c₁₁ может быть равен нулю, если же , то ).

Напомним понятие асимптотического разло- жения (представления) функции.

О п р е д е л е н и е. Степенной ряд , , , называется а с и м п т о - т и ч е с к и м р а з л о ж е н и е м (п р е д с т а в л е - н и е м) функции при , если при всех

будет

+ , > − .

01 21 11

max(p p 2p ) 2

> +

11 01 21

2p p p

= +∞

x

≤ +

11 01 21

2p p p

i1

c

i( )

f x c11² −4c c01 21

= 11 11

c c p01+ p21 c11 =0 +

01 21

p p c11² −4c c01 21

> +

11 01 21

2p p p

11² −4 01 21

c c c

− ≠

11² 4 01 21 0

c c c

1( ) f x

∞

=

=



¹

1 1

1

( ) _j ^pj

j

f x c x

≥ . +

11 0 5( 01 21)

p p p

= . +

11 0 5( 01 21)

p p p

> . +

11 0 5( 01 21)

p p p c11 ≠0

∞ α



_i=₁^{c xi i}

α < αi+1 i lim→∞α = −∞_i

i

f x( ) x → +∞

≥1 m

−α α

→+∞ =

 

− = .

 





₁ 

lim ^m ( ) ⁱ 0

m x i

i

x f x c x

Т е о р е м а 1. Если выполняются условия (2), (5) и одно из двух условий:

1) ,

2) , , то существуют два формальных ряда

(6) формально удовлетворяющих уравнению (1). При этом множество M продолжаемых решений уравне- ния (1) является объединением двух непустых мно- жеств , где элементами множеств M_j, , являются продолжаемые решения, асимп- тотическим разложением которых при

является ряд . В (6) при выполнении условия 1)

а при выполнении условия 2)

Смысл неравенства в условии 2) в теореме 1 раскрывается в теоремах 2 и 3.

Т е о р е м а 2. Если выполняются условия (2) и (5) и равенство , то при < 0 уравнение (1) не имеет продолжаемых решений.

З а м е ч а н и е 2. Условие (2) в этой теореме является избыточным. Для справедливости тео- ремы достаточно, чтобы функции ,

обладали при степенной асимптотикой

Рассмотрим теперь случай, когда выполняют- ся условия (2) и (5) и равенства , = 0. Уравнение (1) в этом случае будем называть вырожденным, в обратном случае – не- вырожденным.

Т е о р е м а 3. Если уравнение (1) является вы- рожденным, то существует преобразование вида

(7)

в результате которого уравнение (1) станет невы- рожденным.

+ <

01 21 2 11

p p p

+ =

01 21 2 11

p p p c11² −4c c01 21 >0

∞

=

+

→∞

= , = , ,

= − , = − , < ,

= −∞, = ,



₁

11 01 11 21 11 21 1

( ) 1 2

lim const

sji

j ji

i

ji ji

ji ji

i

z x a x j

s p p s p p s s

s a

= 1∪ 2

M M M

= ,1 2

j x→ +∞

j( ) z x

− −

= − ¹, = − ¹,

11 01(11) 21 11( 21)

a c c a c c

−

−

= − + ,

= − − , = − .

1

11 21 11

1 2

21 21 11 11 01 21

(2 ) ( )

(2 ) ( ) 4

a c c b

a c c b b c c c

+ =

01 21 2 11

p p p c11² −4c c01 21

i( )

f x i∈ , ,{0 1 2}

→ +∞

x

= + −ε ,

ε = > , ∈ , , .

1

( ) 1 (1 ( )) const 0 {0 1 2}

pi

i i

f x c x o x i

+ =

01 21 2 11

p p p

−

2

11 4 01 21

c c c

= −

+

= + ,

= , , = ,

< , = − , = − ,



₁

1

1 1 01 11 1 21 11

( )

( ) const

(2 )

i

m r

i i i

i

i i

y z h x

h x h x h r

r r r p p h c c

З а м е ч а н и е 3. Если в результате преобразо- вания (7) уравнение (1) примет вид

(8)

где выполняется условие

(9) то существующие продолжаемые решения урав- нения (8) могут быть представлены в виде рядов, абсолютно и равномерно сходящихся в некото- рой окрестности точки (см. [5, 6]). Если же в невырожденном уравнении (8) условие (9) не выполняется, то эта ситуация описана выше в теоремах 1 и 2.

2. ПРИМЕРЫ

П р и м е р 1. Рассмотрим уравнение

(10) где выполняются условия теоремы 1. Покажем, что один из рядов (6) здесь является сходящимся, а второй – расходящимся. Для вычисления этих рядов будем рассматривать укороченные уравне- ния и соответствующие преобразования рассмат- риваемого уравнения (см. [4]). Многоугольник Ньютона N уравнения (10) представлен на рис. 1.

Функция , являющаяся ре-

шением укороченного уравнения , со- ответствующего правому нижнему ребру много- угольника N, одновременно является и решением уравнения (10). Вычисление членов ряда z₂(x) =

= приводит к следующим результатам.

Первое слагаемое является решени- ем укороченного уравнения = 0, соответ- ствующего правому верхнему ребру многоуголь- ника Ньютона уравнения (10). После замены

уравнение (10) примет вид

(11) Следующее слагаемое ряда является решением укороченного уравнения

= 0, соответствующего правому нижнему ребру многоугольника Ньютона уравнения (11). Де- лая замену , преобразуем уравнение (11), после чего опять рассматриваем укорочен- ное уравнение, соответствующее правому нижне- му ребру преобразованного уравнения. Продол- жая этот процесс, вычисляем следующие члены

∞=

= +

+ = ,

= , < ,





2

0

1 1

' ( ) 0

( ) ^ij

i i i

p

i ij ij ij

j

z g x z

g x с x p p

+ , ≤ − ,

01 21 11

max(p p 2p ) 2

= +∞

x

+ ²− + = ,

' 1 0

y y xy

= = −¹ 1( ) 1( ) z x u x x

−xu1+ =1 0

∞



_i=₁^{a x2i s2i}

= =

v1 21 ²¹

a xs x

− v1² xv1

= 1+

y y x

+ ² + + =

1' 1 1 2 0.

y y xy

= = − −

v2 a x22 ^s22 2x ¹ z x₂( ) +

v2 2 x

= − −¹

1 2 2

y y x

формального ряда . В результате вычислений нетрудно видеть, что имеет место оценка , откуда следует, что ряд z2(x) = расходится в любой окрестности точки .

Приведем теперь пример, иллюстрирующий теорему 3.

П р и м е р 2. Рассмотрим следующее уравне- ние Риккати:

(12) Данное уравнение является вырожденным, так как выполняются условия (2), (5) и равенства , = 0. Многоугольник Ньютона N уравнения (12) представлен на рис. 2.

Функция является решением укоро- ченного уравнения , соответ- ствующего правому вертикальному ребру много- угольника N. После замены уравнение (12) примет вид

(13) Здесь опять выполняются условие (5) и равенства , , т.е. уравнение (13) вырождено.

2( ) z x

= 2 − +^{2 3} 2 ≤ − ! ≥

( ) ^k , , 2

k x a xk ak k k

v

∞



_k=₁^{vk( )x}

= +∞

x

− − −

+ ²+ − + − + ¹+ ²+ ⁴ = .

' (2 2) 2 0

y xy x y x x x x

+ =

01 21 2 11

p p p c11² −4c c01 21

= −

1( ) 1

u x

+ + =

2

1 2 1 0

xu u x x

= 1−1 y y

− − −

+ ²− + ¹ + ²+ ⁴ = .

1' 1 2 1 0

y xy y x x x

+ =

01 21 2 11

p p p c11² −4c c01 21 =0

Рис. 1.

y

x Q₂₁

Q₁₁

Q 1

0 1

1 2 2

Q₀₁

Рис. 2.

x y

0 1 2

1 2

1 2 3

4 Q₀₂

Q₀₁ Q₀₃

Q₀₄ Q₀₅

Q₁₁ Q₁₂ Q

Q₂₁

62

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ том 490 2020

САМОВОЛ Функция является решением уко- роченного уравнения , соответ- ствующего правому ребру многоугольника Нью- тона уравнения (13). После замены

уравнение (13) примет вид

(14) Полученное уравнение удовлетворяет условию (4) и, следовательно, является невырожденным.

К этому уравнению применимы результаты работ [5, 6]. Функция является решением укороченного уравнения , соответ- ствующего правому нижнему ребру многоуголь- ника Ньютона уравнения (14). Продолжая вычис- ления, приходим к выводу, что уравнение (14) имеет решение в виде абсолютно и равномерно сходящегося в некоторой окрестности точки степенного ряда . Уравне- нию (14) также соответствует укороченное урав- нение , решением которого является функция . Отсюда, продолжая вычис- ления согласно [5, 6], получаем решение уравне- ния (14), имеющее вид абсолютно и равномерно сходящегося в некоторой окрестности точки

ряда + ...,

слагаемыми которого являются произведения убывающих степеней переменной x на многочле- ны от lnx. В итоге получаем, что семейство про- должаемых решений уравнения (12) включает сте-

пенной ряд , а также се-

мейство рядов

y = – x^–4(lnx + a) + …, где a – произвольная постоянная. Все ряды абсо- лютно и равномерно сходятся в некоторой окрестности точки . Можно показать, что других продолжаемых решений уравнение (12) не имеет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Riccati J. // Acta eruditorum1724. Suppl. 8. P. 66–73.

2. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, Ч. 1. М.:

Изд-во иностр. лит., 1949.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям. М.: Физматлит, 1971.

4. Брюно А.Д. // УМН. 2004. Т. 59. В. 3. С. 31–80.

5. Самовол В.С. // ДАН. 2018. Т. 480. № 4. С. 401–404.

6. Самовол В.С. // Мат. заметки. 2019. Т. 105. В. 4.

С. 603–615.

7. Samovol V.S. // Asymptotic Analysis. 2019. V. 115.

P. 223–239.

ON ASYMPTOTIC EXPANSION OF SOLUTIONS TO THE RICCATI EQUATION

V. S. Samovol

National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation

Presented by Academician of the RAS B.N. Chetverushkin November 19, 2019 Received November 26, 2019

The Riccati real scalar equations with coefficients expandable in convergent power series in a neighborhood of infinity are considered. Extendable solutions to such equations are studied. Methods of power geometry are used to obtain conditions for asymptotic series expansions of these solutions.

Keywords: Riccati equation, extendable solution, power geometry, Newton polygon, asymptotic series

= −¹ 2( ) u x x

− + − =

2 1

2 2 2 0

xu u x

= + −¹

1 2

y y x

+ ²+ −⁴ = .

2 2

' 0

y xy x

= −³ 3

( ) 1 u x 3x

+ −⁴ =

3' 0

u x

= +∞

x 2 = ⁻³+…

1 y 3x

+ =

v' xv² 0

= −

v( )x 2x ²

= +∞

x y2 =2x⁻²− x⁻³ −x⁻⁴(lnx a+ )

− −

= − +1 ¹+1 ³ +…

y x 3x

− − −

− +1 x ¹+2x ²− x ³

= +∞

x