Г. А. Свиридюк, Одна задача для обобщенного фильтраци- онного уравнения Буссинеска, Изв. вузов. Матем., 1989, но- мер 2, 55–61

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. А. Свиридюк, Одна задача для обобщенного фильтраци- онного уравнения Буссинеска, Изв. вузов. Матем., 1989, но- мер 2, 55–61

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 02:11:14

Г. А. Свиридюк УДК 5 1 7 . Ш ОДНА ЗАДАЧА Д Л Я ОБОБЩЕННОГО ФИЛЬТРАЦИОННОГО

УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА

П у с т ь 2}—^ограниченная область в R" с гладкой границей dQ; 5 — (О, Т), Т > 0. В цилиндре D = QXS поставим следующую задачу: найти функцию и = и(х, t), (x,t)£D, удовлетворяющую уравнению

( Х _ Д )И /_ Д ( | Й Г2« ) = = = / , ( D

краевому и начальному условиям

и(х, t) = 0, {х, t)£dQX S; и{х, 0) = и⁰(х), x£Q, (2) /== f (х, ^ — заданная функция, параметр р>2.

В монографии П. Я. Кочиной [1] при детальном исследовании краевых задач для фильтрационного уравнения Буссинеска было отмечено, что это уравнение недостаточно моделирует процесс фильтрации. Работа Е. С. Д з е к - цера [2] явилась результатом желания устранить этот недостаток. Уравнение (1) есть упрощение уравнения Е. С. Дзекцера. Функция u = u(x,t) имеет физический смысл потенциала скорости движения свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Позже, исходя из других физических предпосылок, версию уравнения (1) получили В. 3 . Фураев и Г. А. Шадрин [3].

Математическое исследование любого объекта преполагает построение и изучение некоторой абстрактной схемы с целью выявления каких-либо неоче­

видных свойств. Как правило, результаты такого исследования позволяют построить конкретную интерпретацию не только данного объекта, но и не­

которых других.

Статья содержит два параграфа: в первом изучена абстрактная схема, а во втором указаны ее конкретные интерпретации. В качестве таковых кроме задачи (1), (2) рассмотрена задача (2) для уравнений

(X _ Д) tt/ — div ( | V« f ~aV " ) = / . (3) ( Х _ - Д )^м, - | Д и |^р-²Д м = / . ( 4 ) Отметим, что уравнение (3) встречается при описании процессов диффузии

[4]. На важность исследования уравнений типа (1), (3) и (4) указывал Ж . - Л . Лионе [5]. „Камни Арнольда" -4 и • означают начало и Конец доказатель­

ства.

§ 1 . Абстрактная с х е м а

Пусть ©ЯГ= (<эЯГ;(•,•)) — вещественное сепарабельное гильбертово про­

странство: (ф, £>*) и (33, 93*) — дуальные пары рефлексивных банаховых про­

странств, причем

З З с г - ф с г ^ о ^ с ^ ^ с г - й * , (5) где все вложения плотны и непрерывны. Пусть / . £ / * • ( § , ^ — самосопряжен­

ный (т. е. {Lu,v) = (u, Lv)\j-u, v£§), неотрицательно определенный (т. е.

(Lu, и ) > 0 V « £ § ) , фредгольмов (т. е. dim ker L = codim im L < c o ) оператор, a M £ C ( 9 3 ; 93*), г >Л, — s-монотонный (т. e. (M'^vu, и) > 0 Vti, v£93; и, v=fcty и s-коэрцитивный (т. е. 3 С^м, С^м = const > 0, и ^р > 2 такие, что {М (и), и) >

>CM\uft и \М{и)1<См1и\^ Vw£93; |-|| и Ц-Ц,-нормы в 93 и ©• соответ­

ственно) оператор.

Нас будет интересовать задача Шоуолтера (R. Е. Showalter [6]):

£ ( « ( 0 ) - и⁰) = 0 (6)

для уравнения

Lut + M{u)*=f. (7)

Оказывается, что в случае d i m k e r £ > 0 решения уравнения (7) формируют банахово С-многообразие конечной коразмерности, вложенное в 23 [7]. Впер­

вые этот факт в случае линейного ограниченного оператора М отмечен С. П. Зубовой и К. И. Чернышевым [8]. Приложения их результатов к кон­

кретным задачам приведены в [9]. И, наконец, отметим, что уравнение (7) рассматривалось автором ранее [10] в других аспектах.

' Прежде, чем приступить к исследованию абстрактной задачи (6), (7), установим ряд вспомогательных результатов.

Л е м м а 1. Для гладких операторов имеют место включения: строгая монотонностью s-монотонность ZD сильная монотонность.

А Пусть М £ С ( 2 3 ; 23*) и сильно монотонен с константой р = р(М). Тог­

да \/и, v £23 имеем

S

ixs

1

f

где | - | —норма в ©ЯГ. Сократив на s² и устремив s J, 0, получим требуемое.

Пусть / W £ C ( 2 3 ; 23*), г > 1 , и s-монотонен. Тогда Vu, ^ £ 2 3 ; ифю, имеем

1

(ЛГ (и) - М [v), и — V) = J (M^{v+S {u}__^v) u — v, u — v)ds>0,

о

где, как и выше, М'^а означает производную Фреше оператора М в точке и,: • О п р е д е л е н и е . Оператор М: 23—»Ъ* назовем сильно коэрцитивным, если

Ига ^(M{" +^{v )}'^{v )}- + oo Vu£%.

^ Очевидно, сильно коэрцитивный оператор коэрцитивен.

•7; Л е м м а 2. s-коэрцитивный оператор М: 23—»23* сильно коэрцитивен.

4 Vu, г;£23 имеем

Но» * (of 1И foil ^{V ж}" ^{1 11} "V Ввиду самосопряженности и фредгольмовости оператора L отождествим

§ ^ k e r Z . = coker Z.C §*. Очевидно, §* = coker L Ф 1га £. Обозначим через imZ замыкание im Z, в топологии 23*. Очевидно, 23* = coker L е ira Обозначим че­

рез Р' проектор 23* вдоль im L на c o k e r L . Если уравнение (6) разрешимо, т о его решения с необходимостью лежат во множестве = \и£23: Р*М(и) =

== Р*/\. Очевидно, ЯЛ = 23, если kerL = {0}. Сделаем допущение

P*f не зависит от / £ 5 , (7) й введем в рассмотрение множество coira L = { # £ £ : (и, г>) = 0 V o £ coker Z,}.

Ввиду (6) 23 = ker L ф coira L f| 23. Имеет место

Т е о р е м а 1. /7/ш сделанных допущениях множество 3JI ес/и.6 банахово С^г-многообразие, диффеоморфно проектирующееся вдоль kerZ на coira Z,f) 33 =

==23 всюду за исключением, быть может, точки нуль.

•4 V # £ 2 3 представим единственным способом в виде u = v + w, где

•a£ker L, а ^ £ 2 3 . Зафиксируем ^ £ 2 3 и докажем существование единственного корня уравнения

Р*М (v + w) = Р * / , v £ker L. (8) Для

11этого

s-коэрцитивности оператора М: 23—>23* и леммы 2 он коэрцитивен, т. е.

V^,ay£ 23 имеем

M- . 0 0

||» ii м-.». и

и ii^i

В силу s-монотонносги оператора A f £ C ( 2 3 ; 23*), г > 1, он строго моното­

нен, т. к.

(т (v') - т (v"), v' - v") = (ЛГ (гг⁷ + w) — M (v" + w), (v' + w) — (v" + w))>0 Vv', v" £ ker L; v' ф v"\

и в силу своей конструкции оператор т Непрерывен. Следовательно, в силу теоремы Минти — Браудера — Вишика (см. [ И ] ) существует единственный корень v£_ ker L уравнения (8). Итак, установлено отображение 8: 23—*ker / . . П о к а ж е м , что 8 £ С , г > 1.

Для этого воспользуемся теоремой о неявной функции, применив ее к отображению Р*М: ker L® 33—» coker L. Пусть v⁰ + w⁰ решает уравнение (8).

Частная производная Фреше в точке v⁰ есть {Р*М)'^Щ = Р*М'^ЩР, где u⁰ = v⁰ + w⁰,

; а Р— проектор на кег£ вдоль Ввиду s-монотонности оператора М имеем

{P'M^uv¹v) = {Ar^av,v)>0,

\ если только щ=£0. Поэтому существуют окрестности U⁰ с ker L я 2В⁰ с 23

| точек г>⁰ и w⁰ и отображение S ' £ C ( 2 B⁰; tt⁰), г > 1 , такое, что 8'(w⁰) = г)⁰.

! Очевидно, 8' = 8.

Искомый диффеоморфизм Г: 23—»ЗЙ имеет вид Г(w) = w + 8 (да). Г ~ ' есть сужение проектора•/— Я на 9JI. •

| Приступим к исследованию разрешимости задачи (6), (7) методом Галёр- I кина—Петрова. Выберем в 23 ортонормальную (относительно двойственности

(••,•)) тотальную систему |<р^г:££Л/] так, чтобы span {?„ . . . , <р^г: / = dim ker L\ =

= kerZ.. Галёркинские приближения u" — uⁿ(t)K решению задачи (6), (7) будем искать в виде

где коэффициенты JC⁽ = jc^t(^), t = l, . . . . п, определяются следующей задачей:

(Lu», ^Ь) + (М (а^п), ^ь) = ( / , ^{9 (}> ; (9) {и^п(0)-щ, £<р^г> = 0, i = 1 я. (10) Выражение (9) есть система обыкновенных дифференциальных .уравнений

I относительно неизвестных x^l = x^l(t), г = 1, . . . , п. Матрица при производных x^t вырождена; для установления разрешимости воспользуемся следующим

утверждением из [12].

Т е о р е м а 2. Пусть А — квадратная матрица порядка п, rank А < п;

Р^А (Р^А) — проектор на левый (правый) аннулятор матрицы вдоль образа (кообраза); F(x) = (F^l(x), ..., Fⁿ(x)) — вектор-функция на Rⁿ, F^t£C, г > 1 . Задача

Ax = F(x), А(х(0)-х⁰) = 0 локально разрешима Vx⁰£R", если

rank P^AF'^X,P^A = я — rank А, где F'^Xi> —матрица Якоб и отображения F в точке х⁰.

В силу теоремы 2 для разрешимости задачи (9), (10) достаточно устано­

вить невырожденность матрицы

i, j = 1 , ...,/,

в точке ^о = (^л1(0)> ••••> ^ ( 0 ) ) , или, что то же самое, невырожденность опера­

тора Р'М'^иаР. Однако, Vv^kzrL, v=£0, имеем

{P*M'^uPv, v) = (M'^uv, v)>0

ввиду s-монотонности оператора M и конструкции проекторов Р* и Р. Итак, установлена

Л е м м а 3 . ' У и „ £ - § существует решение uⁿ£C^r(0, Т^п; span {<p^t, .... <р„П задачи (9), (10).

Здесь Т„ = Т^п(и⁰). Теперь у нас все готово для доказательства основно­

го результата.

Т е о р е м а 3 . Vf£L"{S; 93"), V «⁰6 £ > V 7^,> 0 существует единственное решение u^L°°(S; соШЦ^Ь"(S^r\ 93) задачи (6), (7).

Е д и н с т в е н н о с т ь . Пусть u^x = u^x(t) и и² = #²( / ) — два решения за­

дачи (6), (7). Тогда для их разности w = u^x — u² имеем , <ЭД/дг>, да) + 2{М(и¹)-М(и²), да) = 0.

Интегрируя э т о равенство на промежутке (0, ^), получим

{Lw, w) + 2 J ( A f . ( « , ) - A f . ( a²) , w>dt = 0. (11) о

Первое слагаемое в (11) неотрицательно в силу неотрицательной определен­

ности оператора, а второе неотрицательно в силу строгой монотонности опе­

р а т о р а ^ . Значит, равенство (11) удовлетворяется лишь в случае ^ = = 0 . С у щ е с т в о в а н и е . Введем в coiraL Норму | й |² = (Lu, и). В силу прин­

ципа Куранта эта норма эквивалентна норме, индуцированной из надпро- странства «р. Умножим уравнения (9) на x^t соответственно и результаты сло­

жим по 1=1, . . . , п. Ввиду s-коэрцитивности оператора М после интегриро­

вания суммы на (0, 0 получим

\uⁿ(t)f + 2С^М | | в " (^т) Г ^ < | и " ( 0 ) |² + 2 | ( / ( * ) , u-Wd*.

о о Отсюда с учетом (10) получим

t

|«"(*)Р + С, J l t t " ( ^ ) f ^ < C²; С^{1 > 2} = const > 0 . (12 о

Из оценки (12) следует, что все Г„, гарантированные леммой 3, можно) взять равными друг другу: Т^п — Т. Кроме того, в силу теоремы Банаха — Алаоглу и ввиду рефлексивности бохнеровских пространств If (S; 93) и L⁹ (S; 93*) существуют слабые пределы

и^т—>и* -слабо в L°° (S; coim L);

и^т^и слабо в L^P(S; 93);

М(и^т)^^ слабо в L⁹(S; 93*),

где \и^т: т£N} — некоторая подпоследовательность последовательности га- лёркинских приближений, гарантированных леммой 3 .

Следующие два этапа доказательства: (i) слабый предел и есть решение задачи (6) для уравнения Lu^t + ^ = J; (ii) \>. = М(и), устанавливаются с незна­

чительными отступлениями от обычных в таких случаях рассуждений (см.

[5], [П]). •

Весьма интересной представляется связь задачи Коши для уравнения

(I+*L)u^t + M(u) = f, и(0) = и⁰£ £ , * > 0 , (13) с задачей Коши для уравнения

58

ut + M(u)=.f, ф) = и0'£Н . (14) Ч т о б ы прояснить э т у связь, выберем последовательность {*": хя 10} с : R+,

э л е м е н т и⁰£ Я и последовательность {и'^Ь У л £ Л ^ : и » — и⁰ в Я } . Полагая в (13) последовательно * = х" и, « = «",, решаем задачу (13) (^в силу теоремы 3 ее ре­

шение существует и единственно). Получим п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь {ип: n£N} а С L°°(S; §)(\LP(S;$) (напомним, что при ker (/ + %L) = {0} coim (I + x/_) = § и 9)1 = 23). Умножив (13) на и" в Я , получим после с о о т в е т с т в у ю щ и х преобра­

зований

К (t) (^н + 4uⁿ(t) 1 | + С; / | | и" (х) f rf-c < С²; С'^1Л = const > 0. (15) о

Из (15), пользуясь т о й же процедурой, что и при д о к а з а т е л ь с т в е теоре­

мы 3, выводим существование единственного u£L°°(S: H)[\LP{S; 93) т а к о г о , ч т о

ип —>и * -слабо в V° (S; Я ) ; и"-*и слабо в L^P(S; 23);

М(ип)-т* V- слабо в Lq{S; 93*).

Д а л ь н е й ш е е доказательство проводится по образцу доказательства теоремы 3 и потому опускается. Итак, установлена

Т е о р е м а 4. V / £ Z .⁹( S ; 93*), У Й⁰. £ Я , у Г > 0 и любой последовательно­

сти {*": х" j 0] с Л ?+ решения задачи (13), где {«"££): ul-^щ в Я } , слабо с л э - дятся к единственному решению и £ Z°° ( 5 ; Я ) П £^Р ( 5 ; 93) задачи (14).

§ 2. Конкретные интерпретации

Будем рассматривать задачу (2) для уравнений (1), (3) и (4) тодько при X > X i , где Xj — наименьшее (положительное) собственное значение спектраль­

ной задачи — Ди = Х« в 2; и = 0 на <?2. Ограничение X ^ Хг обеспечивает не­

отрицательную определенность оператора при производной. Требование не­

отрицательной определенности оператора L является, как показывает следу-, ющий пример, существенным для всей излагаемой теории.

К о н т р п р и м е р . П у с т ь 23 = § =

Я = # А

0 1 ) \х2/ \\х*\х.

Н е т р у д н о проверить, что при X > 0 они у д о в л е т в о р я ю т всем требованиям аб­

страктной схемы, изложенной в § 1. Рассмотрим задачу Коши:

Lx + M(x) = 0, x(Q) = x0,

при Х = —. 1. (х⁰ = со1(х'Л, х¹⁰=£0, 1 = 1,2). Единственное решение этой задачи

существует на некотором промежутке {tx, t2), tt = (— 1)'^{+ ,}|-*оГ¹, ^{н 0 н е} продол­

жаемо ни „вперед", ни „назад" по t.

Видимо, неотрицательная определенность оператора L имеет в данном случае принципиальное значение, связанное с эволюционным характером процесса. В динамическом случае (см. [10]) неотрицательная определенность (и даже самосопряженность) оператора L не требуется.

Задача (1), (2) укладывается в построенную абстрактную схему § 1, если положить # = № г ; £ = £², 93 = / Л (Все используемые функциональные пространства определены в области 2.) П р и р>2п/(п+ 1) "72<—;£Л поэтому

LP c=_> W3¹. Кроме того, IPcz^L² ввиду ограниченности Q и p > 2. Определим в Я скалярное произведение формулой

{a,v) = ^uvdxVu,v^ff, (16)

S3

где г» — обобщенное решение однородной задачи Дирихле для оператора Лап­

ласа в области Q. Положим 33* = (/,")* и £ * = ( Z .²) * , где (/-/Т — сопряженное к LP относительно двойственности (16) пространство, р > 2. Заметим, что (LP)* Ф LP, p-^x + q-^l = \, в частности, (LP)*^Wq^l-

1< « , * > | ; = К « , ^ 1 < 1 " 1Г- 1 1 1 ^ Ц< 1 ]^И1 ^ " 1!Г2^П^ < c o n s t | | « | | г » | ^ . При таком определении §* и 93* имеют место вложения ( 5 ) .

Определим линейный оператор L: £ - > - £ * формулой (Lu, v) = J (иг; + lav) dx.

Нетрудно видеть, что L £ /^Г( § ; §*) самосопряжен и неотрицательно определен при X > — X,.

Оператор Ж: 93 —> 33* определим формулой

{M(u),v) = §\u\^p-²udx.

а

Его производная Фреше

\{M'^av, w)\ = (p-\)\\ja\^p-^vwdx\<conbt\uff\v\^LP\w\^LP ограничена в силу неравенства Гёльдера. Оператор М£С' (93; 53*) s-монотонен

(M'^uv, V) = (р - 1) J | и |^р~ V Л с > О V « , •*> £ и, я О,

S3

и s-коэрцитивен

(Af ( « ) , « ) = J | «Г^-ж —

1 < Ж ( и ) , г » ) | < 1 | и^{г в}-^,| г> | ^ < 1 и' ^ -¹| г» 1

а

(последнее неравенство справедливо в силу неравенства Гёльдера).

Для задачи (3), (2) положим Я = L\ § = 93 = Я * = W?, 93* = Г "¹, Р^{- 1} + = 1, так что вложения (5) очевидны. Оператор L: §—• £>* определим формулой

(/.и, -У) = j" ( v ^ v ^ + luv) dx,

a .

где X > — X^1? a ( • , • ) есть стандартное скалярное произведение в Z,². Так определенный оператор Z £ F ( § ; £*) самосопряжен и неотрицательно опре­

делен.

Оператор М: 33 —• 93* определим формулой {М (и), v) = j I щ \^р~~²щ vt> d*.

• • а

Его производная Фреше

| (M'^av, w)

I = (р -

I

Г"

const

g ^wp "> ">

ограничена. Оператор УИ£С^!(93; 93*) s-монотонен и «-коэрцитивен. Проверя­

ется это аналогично задаче (1), (2).

Задача (4), (2) тоже сводится к абстрактной схеме § 1, если положить

#= Щ, § = 1 Г 2 ( 1 ^ 2 > 9 3 =

И?2П^р-

(и, v) = ^u^vdx. (17)

Очевидны вложения (5), где следует положить §* = Z.², а 93* = (W* П W^p)* от­

носительно двойственности (17). Нетрудно видеть, что 93*=> / Л р~¹ + q~^x = 1,

| (и,

г») | = К»,

<iKl

|l < const! А^Ы^ЬК

(Весьма правдоподобной выглядит гипотеза, что на самом деле 93* = £*.) Операторы L: £>—•£* и М: 93—* 93* зададим формулами

(Lu, г») =

j

а

(М (и), v) = f | Ди f -²Д м Дг> ЙЛ.

а

Проверка всех требуемых абстрактной схемой § 1 свойств аналогична при­

веденным выше задачам (1), (2) и (3), (2), поэтому она опускается.

В заключение автор выражает глубокую благодарность П. Я- Кочиной, О. А. Олейник, М. И. Вишику, В. Б. Лидскому^и А. И. Перову за доброже­

лательную и конструктивную критику.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. П о л у б а р и н о в а - К о ч и н а П. Я. Теория д в и ж е н и я грунтовых вод.— М.: Наука 1 9 7 7 . - 4 5 7 с.

2. Д з е к ц е р Е. С. О б о б щ е н и е у р а в н е н и я д в и ж е н и я грунтовых вод / / Д А Н СССР.— 1972.—

Т. 2 0 2 . - № 5 _ с . 1 0 3 1 - 1 0 3 3 .

3 . Ф у р а е в В. 3 . , Ш а д р и н Г. А. Вывод у р а в н е н и я для свободной поверхности филь­

т р у ю щ е й с я жидкости в слое конечной глубины / / Вычисл. матем. и матем. ф и з и к а . — М . : И з д . М Г П И им. В. И . Л е н и н а , 1982.— Т. 1 0 . - С . 6 6 - 7 1 .

4. D a v i s P . L. A quasilinear parabolic and a r e l a t e d third order p r o b l e m / / J . M a t h . Anal, and Appl.— 1972.— V . 40.— № 2 . - P . 327—335.

5. Л и о н с Ж . - Л . Н е к о т о р ы е методы р е ш е н и я нелинейных краевых задач.— М.: Мир, 1 9 7 2 . - 588 с.

6. S h o w a i t e r R. Е. N o n l i n e a r d e g e n e r a t e evolution e q u a t i o n s and partial differential equ­

a t i o n s of mixed t y p e / / S I A M J. Math. Anal.— 1975.—V. 6 . — № l . _ p . 25—42.

7. С в и р и д ю к Г. А . М н о г о о б р а з и е р е ш е н и й о д н о г о о п е р а т о р н о г о сингулярного псевдо­

п а р а б о л и ч е с к о г о у р а в н е н и я / / Д А Н СССР.— 1986.— Т. 289.— № 6.— С. 1315—1318.

8. 3 у б о в а С . П-, Ч е р н ы ш е в К. И. О линейном д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м у р а в н е н и и с ф р е д - гольмовым оператором п р и п р о и з в о д н о й / / Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я и их применение.—Вильнюс, 1 9 7 6 . - В ы п . 1 4 . - С . 2 1 - 3 9 .

9. С в и р и д ю к Г. А . Задача Коши для сингулярного у р а в н е н и я типа Соболева / / Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я . - 1 9 8 7 . - Т. 2 3 . - № 1 2 . - С. 2 1 6 9 - 2 1 7 1 .

10. С в и р и д ю к Г. А. О б одной модели динамики несжимаемой в я з к о у п р у г о й жидкости //

И з в . в у з о в . Математика.— 1988.— № 1.— С. 74—79.

11. Г а е в с к и й X., Г р е г е р К., З а х а р и а с К. Нелинейные о п е р а т о р н ы е у р а в н е н и я и о п е р а т о р н ы е дифференциальные у р а в н е н и я . — М.: Мир, 1978.— 336 с.

12. С в и р и д ю к Г. А. О р а з р е ш и м о с т и сингулярной системы обыкновенных д и ф ф е р е н ­ циальных у р а в н е н и й / / Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я . — 1987.—Т. 2 3 . — № д . — с . 1637—1639.

г. Ч е л я б и н с к Поступила 10.12.1987