Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Д. К. Потапов, О решениях задачи Гольдштика, Сиб. журн. вычисл. матем., 2012, том 15, номер 4, 409–415
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 02:01:05
УДК 517.95
О решениях задачи Гольдштика
Д.К. Потапов
Санкт-Петербургский государственный университет, факультет прикладной математики — процессов управления, Уни- верситетский просп., 35, Санкт-Петербург, 198504
E-mail: potapov@apmath.spbu.ru
Потапов Д.К.О решениях задачи Гольдштика // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. –– Новосибирск, 2012. –– Т. 15, № 4. –– С. 409–415.
Рассматривается модель отрывных течений несжимаемой жидкости М.А. Гольдштика. Методом ко- нечных элементов найдено решение данной двумерной задачи математической физики для конечной области. Приведены оценки дифференциального оператора, вариационным методом получен результат о числе решений задачи Гольдштика.
Ключевые слова:задача Гольдштика, нелинейное дифференциальное уравнение, разрывная нели- нейность, метод конечных элементов, вариационный метод, оценки дифференциального оператора, число решений.
Potapov D.K.On solutions of the Gol’dshtik problem // Siberian J. Num. Math. / Sib.
Branch of Russ. Acad. of Sci. –– Novosibirsk, 2012. –– Vol. 15, № 4. –– P. 409–415.
The Gol’dshtik model for separated flows of incompressible fluid is considered. A solution of the given two-dimensional problem in mathematical physics for a finite domain is found with the finite element method.
Estimations of the differential operator are obtained. A result on the number of solutions of the Gol’dshtik problem is obtained using the variational method.
Key words:Gol’dshtik problem, nonlinear differential equation, discontinuous nonlinearity, finite element method, variational method, estimations of differential operator, number of solutions.
Введение
Математические модели многих задач механики, гидродинамики, теплофизики, элек- трофизики, теории управления, математической биологии и других областей современ- ного естествознания приводят к уравнениям с разрывными нелинейностями. Напри- мер, задача об отрывных течениях несжимаемой жидкости М.А. Гольдштика [1], задача H.J. Kuiper о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при перехо- де через определенные температуры меняется скачком [2], задача о вихревых кольцах в идеальной жидкости L.E. Fraenkel, M.S. Berger [3], задача с препятствием, задача о просачивании вод с поверхности, задача Стефана [4].
В данной работе исследуется математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости М.А. Гольдштика [1], рассмотренная ранее также в работах [5–8] и активно изу- чаемая в последние годы [9–17]. Математическая модель задачи Гольдштика охватывает- ся теоремой 3 из работы [18] (теорема о существовании луча положительных собственных значений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями). Отрывные те- чения моделируются с помощью схемы некоторого “смешанного” движения идеальной жидкости, которое вне зоны отрыва потенциально, а внутри имеет постоянную завих- ренностьω. Работа также посвящена решению модельной задачи, приближенно описыва- ющей течение вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне. Решение находится
c Потапов Д.К., 2012
410 СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. 2012. Т. 15, № 4
численно с помощью пакета MATLAB, применяется метод конечных элементов. Рас- смотренная задача в полной постановке (в рамках уравнений Навье–Стокса) является известным тестом для верификации численных алгоритмов. В работе [19] М.А. Крас- носельским и А.В. Покровским предложен метод челночных приближений (челночный алгоритм) для построения решений уравнений с разрывными нелинейностями. Однако на практике он реализуется непросто. Поэтому в данной работе интерес представля- ет численное решение конкретной краевой задачи для уравнения эллиптического типа с разрывной нелинейностью, имеющей прикладное значение, стандартными средства- ми MATLAB. Получены также оценки дифференциального оператора для исследуемой задачи. Устанавливается существование полуправильных решений [19] в задаче Гольд- штика, поскольку при изучении прикладных задач интерес представляют именно такие решения. Получен результат о числе решений задачи Гольдштика.
1. Математическая постановка задачи
В задаче Гольдштика течение идеальной несжимаемой жидкости рассматривается в плоской ограниченной области Ωс кусочно-гладким контуром Γ. Установившееся тече- ние распадается на зону потенциального течения и зону отрывных течений, в которой завихренностьω постоянна и положительна. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости запишем в переменных функции тока — вихрь скорости, что соответствует предположению ω = const. Введем функцию тока ψ и поставим на Γ краевое условие ψ |Γ= ϕ(s). Функцию ϕ(s) будем считать непрерывной неотрицательной и отличной от нуля лишь на части контура. Математическая постановка задачи состоит в определении непрерывно-дифференцируемой функции ψ=ψ(x, y), удовлетворяющей уравнению
∆ψ=
( ω, если ψ <0, 0, если ψ≥0,
и краевому условию ψ|Γ=ϕ(s).
Здесь и далее дифференциальный оператор∆— оператор Лапласа. В задаче Гольдштика интерес представляет существование нетривиальных решений в зависимости от значения завихренности в области отрывных течений.
Отметим, что описанную модель рассматривали в монографии [5] М.А. Лаврентьев и Б.В. Шабат, где ими была указана связь с реальной задачей захоронения радиоактивных остатков в глубоких ямах на дне океана.
2. Численное решение задачи
Найдем решение данной двумерной задачи математической физики с помощью Partial Differential Equation Toolbox (PDE Toolbox) системы MATLAB методом конечных эле- ментов для конечной области. Для решения данной задачи математической физики с по- мощью конечноэлементной технологии в PDE Toolbox MATLAB всю расчетную область представляем в виде совокупности неперекрывающихся геометрических фигур достаточ- но простой формы (прямолинейных трехузловых треугольников — симплекс-элементов).
Рассматривается обтекание “ямы” квадратного сечения потоком, имеющим на бес- конечности единичную скорость. Вычисления произведены для конечной области при следующих граничных условиях:
ψ(x,1) = 1, −1.5≤x≤1.5; ψ(x,0) = 0, −1.5≤x≤ −0.5;
ψ(−0.5, y) = 0, −1≤y≤0; ψ(x,−1) = 0, −0.5≤x≤0.5;
ψ(0.5, y) = 0, −1≤y≤0; ψ(x,0) = 0, 0.5≤x≤1.5;
ψ(−1.5, y) =y, 0≤y≤1; ψ(1.5, y) =y, 0≤y≤1.
Число завихренностиωиграет важную роль в задаче Гольдштика. Числоωвыбирали таким образом, чтобы линия, отделяющая вихревую зону от потенциальной, проходила через точки (−0.5,0)и(0.5,0). Найдены значение завихренностиω= 1.94 и приближен- ное решение задачи, минимальное значение функции тока ψmin = −0.166. Найденное решение отображается в окне среды pdetool контурным графиком с оттеночной моно- хромной заливкой, рядом с которым расположен столбик с информацией о соответствии оттенков значениям искомой функции ψ(см. рис. 1).
Рис. 1. Картина течения приω= 1.94
Рис. 2. Расчетная сетка для реально рассчитанного течения
Область движения жидкости разбивалась на конечное число треугольников. На рис. 2 представлена расчетная сетка, на которой получено решение. Количество узлов состави- ло 339, количество треугольников 600. Для получения решения с приемлемой точностью
412 СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. 2012. Т. 15, № 4
начальной триангуляции было недостаточно, поэтому следовало уменьшить шаг разби- ения области. На рис. 3 представлена расчетная сетка с количеством узлов 4953 и коли- чеством треугольников 9600. Дальнейшее равномерное уменьшение размеров треуголь- ников качественно не меняет картину. Найденные значения ω и ψmin на всех рассмат- риваемых сетках отличаются на 2%. Максимальное отклонение линий тока на сетках, представленных на рис. 2 и рис. 3, отличается не более чем на2%. Сходимость по сетке
Рис. 3. Расчетная сетка с большей триангуляцией
Рис. 4. Картина течения приω= 4.60
численного решения достигнута, что подтверждается рис. 3 с увеличением числа эле- ментов в 16 раз по сравнению с рис. 2. Таким образом, данный пример решен численно с помощью системы MATLAB.
Отметим, что в работе [1] М.А. Гольдштиком найдено ω = 4.60, методом итераций рассчитано соответствующее приближенное решение, полученоψmin=−0.332. На рис. 4 представлена картина течения, полученная в пакете MATLAB, приω= 4.60. Стандарт- ными средствами MATLAB решение М.А. Гольдштика не воспроизводится. Более того, получить решение Гольдштика не представляется возможным, поскольку в работе [1]
численный метод построения решения со всеми необходимыми вычислительными пара- метрами не описан, не хватает данных для его реализации.
Найденное решение задачи отличается от решения М.А. Гольдштика, поскольку это, возможно, другое решение. В п. 4 данной работы будет показано, что приω, превышаю- щих некоторое значениеω∗, задача Гольдштика имеет, по крайней мере два различных ненулевых решения. Существование второго нетривиального решения в задаче Гольд- штика было также установлено в работе [15].
3. Оценки дифференциального оператора
Заменой u=ψ−ψ0, где функция ψ0 удовлетворяет задаче ( ∆ψ0 = 0,
ψ0|Γ=ϕ(s),
описанная в п. 1 краевая задача сводится к краевой задаче Дирихле с нулевым гранич- ным условием, к которой применяется теорема 3 из работы [18]. Установлено [8], что для данной задачи выполнены все условия теоремы 3 из работы [18]. Таким образом, при значениях завихренностиω, превышающих некоторое значение, задача Гольдштика имеет, по крайней мере одно нетривиальное решение.
Имеем
−∆u=ωg(x, u(x)), (1)
u|Γ= 0, (2)
где
g(x, u) =
( −1, если u <−ψ0(x), 0, если u≥ −ψ0(x).
Краевой задаче (1), (2) сопоставим функционал Jω(u), заданный наH◦1(Ω), следую- щим образом:Jω(u) =J1(u)−ωJ2(u),где
J1(u) = 1 2
2
X
i=1
Z
Ω
u2xidx, J2(u) = Z
Ω
dx
u(x)
Z
0
g(x, s)ds.
Для почти всех x ∈Ω имеют место следующие оценки дифференциального опера- тора −∆:
0≤ J1(u0)
J2(u0)|g(x, u(x))|<| −∆u(x)| ≤ω.
Действительно, согласно теореме 3 из работы [18] и теореме 1 из работы [20], задача (1), (2) разрешима приω > ω0 >0
ω0 ≤infu0∈U J1(u0)
J2(u0),U ={u0 ∈H◦1(Ω) :J2(u0)>0}
. Зафиксируемω больше этого ω0. Тогда из уравнения (1) для почти всехx∈Ωимеем
| −∆u(x)|=|ω| · |g(x, u(x))| ≤ω,
поскольку |g(x, u)| ≤ 1 ∀u∈R. В работе [20] получено неравенствоω > JJ1(u0)
2(u0). Поэтому имеем
| −∆u(x)|=ω|g(x, u(x))|> J1(u0)
J2(u0)|g(x, u(x))| ≥0,
414 СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. 2012. Т. 15, № 4
так как в силу условийJ1(u0)≥0иJ2(u0)>0указанных выше теорем, что выполняется для задачи Гольдштика [8] и дает левую часть искомого неравенства. Таким образом получены оценки дифференциального оператора в задаче Гольдштика. Отсюда, обращая оператор Лапласа, можно получить оценки на решенияu(x).
Отметим, что в работе [21] получены аналогичные оценки дифференциального опе- ратора основных краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью.
4. Число решений задачи
Для любогоω >0задача Гольдштика имеет тривиальное решение. В п. 3 отмечалось, что приω, превышающих некоторое значение, задача Гольдштика имеет, по крайней ме- ре одно нетривиальное решение. В данном пункте покажем, что для любых таких ω существует второе нетривиальное решение. Для одномерного аналога модели Гольдшти- ка в работе [8] установлено, что при ω > 8 число решений исчерпывается найденными тремя. В плоской задаче можно утверждать, что число решений, по крайней мере три.
Важным условием, обеспечивающим существование нетривиального решения задачи (1), (2), является условие существования элементаu0∈H◦1(Ω), для которогоJ2(u0)>0.
Выполнение данного условия показано в работах [8, 10]. В работе [8] доказано, что существует ω0 > 0 такое, что для любого ω > ω0 infv∈H◦1(Ω)Jω(v) < 0, и найдется uω ∈ H◦1(Ω), для которого Jω(uω) = infv∈H◦1(Ω)Jω(v), и любое такое uω является нену- левым полуправильным решением задачи (1), (2). Таким образом, найдется и некото- рая константа ω∗ > 0 такая, что для каждого ω > ω∗ существует, по крайней мере одно ненулевое полуправильное решениеuω задачи (1), (2). Наличие второго, тривиаль- ного, полуправильного решения задачи (1), (2) обуславливается условием g(x,0) = 0 для почти всех x ∈ Ω. При ω > ω∗ задача (1), (2) имеет, по крайней мере еще одно нетривиальное решение vω, которое может быть найдено с помощью теоремы о гор- ном перевале [22]. Функция Jω локально липшицева на H◦1(Ω), что показывается стан- дартным способом, при этом используется условие |g(x, u)| ≤ 1 ∀u ∈ R. В силу доста- точного условия выполнения (PS)-условия [22, теорема 4.5], примененного к уравнени- ям эллиптического типа с разрывными нелинейностями, функционалJω удовлетворяет (PS)-условию для любого ω > 0. Значит, функционал Jω удовлетворяет условиям тео- ремы о горном перевале [22], следовательно, он имеет критическую точку vω ∈ H◦1(Ω) такую, что Jω(vω)>0 (Jω(vω) = infγ∈Γsupt∈[0,1]Jω(γ(t)), где Γ ={γ ∈C([0,1],H◦1(Ω)) : γ(0) = 0, γ(1) =uω}). Итак, функционал Jω имеет, по крайней мере три различные кри- тические точки. Таким образом, для любого ω > ω∗ существует, по крайней мере три решения задачи (1), (2) (нулевое,uω 6= 0,vω 6= 0). Решенияuωиvω различны, поскольку Jω(uω)<0, аJω(vω)>0.
Отметим, что доказательство существования второго нетривиального решения для задачи Гольдштика в данной работе отлично от приведенного в работе [15]. Кроме того, в работах [1, 5–7, 9, 11, 15] полуправильные решения для задачи Гольдштика не рассмат- ривались.
Литература
1. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости //
Докл. АН СССР. –– 1962. –– Т. 147, № 6. –– C. 1310–1313.
2. Kuiper H.J.On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ. Mat.
Palermo. Ser. 2. –– 1971. –– Vol. 20, № 2–3. –– P. 113–138.
3. Fraenkel L.E., Berger M.S. A global theory of steady vortex rings in an ideal fluid // Acta Math. –– 1974. –– Vol. 132, № 1. –– P. 13–51.
4. Chang K.C.Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Differential Eq. –– 1983. ––
Vol. 49, № 1. –– P. 1–28.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В.Проблемы гидродинамики и их математические модели. ––
М.: Наука, 1973.
6. Вайнштейн И.И., Юровский В.К.Об одной задаче сопряжения вихревых течений иде- альной жидкости // Журн. прикл. мех. и техн. физики. –– 1976. –– № 5. –– C. 98–100.
7. Титов О.В.Вариационный подход к плоским задачам о склейке потенциального и вихревого течения // Прикл. матем. и механика. –– 1977. –– Т. 41, вып. 2. –– C. 370–372.
8. Потапов Д.К.Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Из- вестия РАЕН. Сер. МММИУ. –– 2004. –– Т. 8, № 3–4. –– С. 163–170.
9. Вайнштейн И.И., Литвинов П.С. Модель М.А. Лаврентьева о склейке вихревых и по- тенциальных течений идеальной жидкости // Вестн. СибГАУ. –– 2009. –– № 3 (24). –– С. 7–9.
10. Потапов Д.К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Матем. заметки. ––
2010. –– Т. 87, вып. 2. –– С. 262–266.
11. Вайнштейн И.И.Дуальная задача к задаче М.А. Гольдштика с произвольной завихренно- стью // Журн. СФУ. Сер. матем. и физика. –– 2010. –– Т. 3, вып. 4. –– С. 500–506.
12. Потапов Д.К. Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными опера- торами // Тр. ИММ УрО РАН. –– 2011. –– Т. 17, № 1. –– С. 190–200.
13. Потапов Д.К.Бифуркационные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Матем. заметки. –– 2011. –– Т. 90, вып. 2. –– С. 280–284.
14. Потапов Д.К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика от- рывных течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб.
отд-ние. –– Новосибирск, 2011. –– Т. 14, № 3. –– С. 291–296.
15. Вайнштейн И.И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М.А. Гольдштика // Журн. СФУ. Сер. матем. и физика. — 2011. –– Т. 4, вып. 3. –– С. 320–331.
16. Потапов Д.К. Об одном классе эллиптических вариационных неравенств со спектраль- ным параметром и разрывной нелинейностью // Сиб. мат. журнал. –– 2012. –– Т. 53, № 1. ––
С. 205–212.
17. Потапов Д.К.Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрыв- ным оператором при наличии возмущений // Журн. СФУ. Сер. матем. и физика. –– 2012. ––
Т. 5, вып. 2. –– С. 239–245.
18. Павленко В.Н., Потапов Д.К.О существовании луча собственных значений для уравне- ний с разрывными операторами // Сиб. мат. журнал. –– 2001. –– Т. 42, № 4. — С. 911–919.
19. Красносельский М.А., Покровский А.В.Правильные решения уравнений с разрывны- ми нелинейностями // Докл. АН СССР. –– 1976. –– Т. 226, № 3. –– C. 506–509.
20. Потапов Д.К.Об одной оценке сверху величины бифуркационного параметра в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями //
Дифф. уравнения. –– 2008. –– Т. 44, № 5. –– С. 715–716.
21. Потапов Д.К.Оценки дифференциального оператора в задачах со спектральным парамет- ром для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Самарско- го государственного технического университета. Сер. физ.-мат. науки. –– 2010. –– № 5 (21). ––
С. 268–271.
22. Chang K.C. Variational methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations // J. Math. Anal. and Appl. –– 1981. –– Vol. 80, № 1. –– P. 102–129.
Поступила в редакцию 24 ноября 2011 г.
416
