Д. Р. Яфаев, Новые каналы рассеяния в системе двух ча- стиц с медленно убывающим взаимодействием, Алгебра и анализ, 1996, том 8, выпуск 1, 211–236

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Д. Р. Яфаев, Новые каналы рассеяния в системе двух ча- стиц с медленно убывающим взаимодействием, Алгебра и анализ, 1996, том 8, выпуск 1, 211–236

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 18:10:41

Том 8 (1996), вып. 1

НОВЫЕ КАНАЛЫ РАССЕЯНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ ЧАСТИЦ С МЕДОЕЕННО УБЫВАЮЩИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

© Д. Р. Яфаев

Рассматривается оператор Шрёдингера Я с потенциалом V(x), убывающим на бесконечности как \X\~P, 0 < р < 1. Стандартная оценка на производные DKV{x) через |ж|~р~1'с1 предполагается вне произвольной конической окрестности неко­

торого заданного подпространства Х\. Этого хватает для существования модифи­

цированного волнового оператора, сплетающего оператор кинетической энергии Я0 и Я. Показано, что при некоторых предположениях нестационарное уравне­

ние Шрёдингера имеет решения, „живущие" при больших t в параболической окрестности подпространства Х\. Тем самым такие решения играют промежу­

точную роль между решениями, отвечающими связанным состояниям, и реше­

ниями со свободной асимптотикой. Их существование показывает, в частности, что волновой оператор для пары Я0, Я не является полным.

§1. Введение

Цель теории рассеяния состоит в нахождении асимптотики при t -> oo ре­

шения u(t) = exp(—iHt)f нестационарного уравнения Шрёдингера с гамильто­

нианом Я = — 2- 1А -\-V(x) в пространстве Н = L2(Rd). Если / — собственньга вектор, т. е. Я / = А/, то, очевидно, u(t) = ехр(-Ш)/. Предположим теперь, что / ортогонален подпространству Ц(р\ натянутому на все собственные векторы.

В быстро убывающем случае, когда V(x) == 0(\х\~р)9 р > 1, асимптотика u(t) такая же, как для свободной системы, т. е.

ехр(-гЯ*)7 = e x p ( - t #⁰t ) / + о(1) (1.1) для некоторого /о Е Н и Я0 = - 2_ 1Д . Символ о(1) означает функцию, норма

которой в пространстве Н стремится к нулю при t -» со. Можно переписать (1.1) в эквивалентном виде

(ехр(-гЯ*)/)(аО = ехр(гФ(я, t))t~^d/²g(x/t) + о(1), (1.2) 211

где $(x,t) = a;2(2t)~1, g = ехр(г7гс?/4)/0, а /0 = Ff0 — преобразование Фурье /0. Соотношение (1.2) выполняется (см., например, [1]) также для медленно убывающих потенциалов, удовлетворяющих условию

P"v(x)|<c(i + |*ir'-i-i, р>о, . (1.3)

ддя \к\ = 0,1,2. В этом случае фазовая функция Ф(#,£) зависит от потенциа­

ла V{x). Она может быть построена как (возможно, приближенное) решение уравнения эйконала

d<f>/dt + 2-1\V$\2 + У = 0. (1.4) Асимптотика (1.2) показывает, что, если / принадлежит абсолютно не­

прерывному подпространству W<ac) = Н 0 Н^ оператора Я, то решение (ехр(—iHt)f){x) „живет*1 в области, где \х\ ~ t Отображение W: g н-+ / , опре­

деляемое посредством (1.2), изометрично, и его образ совпадает с подпро­

странством Н^с\ Ясно, что WF — обычный (модифицированный) волновой оператор, сплетающий Я0 и Я.

Цель этой статьи состоит в построении новых каналов рассеяния, которые возникают за счет собственных значений, порождаемых потенциалом V(x) на

„сечениях" задачи. Наши конкретные примеры показывают, в частности, что такой эффект имеет место при ослаблении условия (1.3) на производные V(x).

Точнее, наше доказательство существования новых каналов основывается на следующей конструкции. Она похожа на конструкцию работы [2], но проще ее.

Разница состоит в том, что здесь мы проводим вычисления в координатном, вместо импульсного, представлении. Мы предполагаем, что

Rd = Хг ф ЛГ1, dim*! = du dimX1 = d\ dx + d1 = d, (1.5) и V(x) = V(xi,x1). Введем оператор

Я1(а:1) = ~2-1АХ1+У(х1,а:1) (1.6) в пространстве Z^CX"1). Предположим, что оператор Н1{х\) имеет собствен­

ное значение \{xi), и обозначим через ф(хх) соответствующую нормирован­

ную собственную функцию. В содержательных случаях функция A(^i) стремит­

ся к нулю при \хг | -* оо, но медленнее, чем l^il"1. Мы рассматриваем ее как

„эффективную" потенциальную энергию и сопоставляем дальнодействующему

потенциалу A(xi) фазовую функцию 5(«i,t). Это означает, что $(xi,t) удовле­

творяет (1.4), где V(x) заменено на A(rci). Мы показываем, что при некоторых предположениях для каждого д е L2(Xi) найдется элемент / е W(ac) такой, что

(exp(-iHt)f)(x) = ф(х^их¹)ехр(1д(х^иф-^²д(х¹ /*) + o(l). (1.7) Множество таких элементов / составляет подпространство # С Н^с\ Оно стро­

ится как образ соответствующего волнового оператора W: L2(Xi) —• Н. Под­

пространство $5 ортогонально образу R(W) оператора W, если он существует.

(Сужение оператора Я на подпространство S) имеет абсолютно непрерывный спектр, совпадающий с положительной полуосью.

Существование решений нестационарного уравнения Шрёдингера с асим­

птотикой (1.7) требует довольно специальных предположений, естественно формулируемых в терминах собственных функций ф^х.^х1) оператора Я1(жх).

Типичная асимптотика ф(х\,хл) при \{х\) -» 0 оказывается автомодальной:

ф{хих1)~\хх\-9*Х12Щх1\-*х1) (1.8) для некоторых Ф е L²{X^X) и а > 0. Мы доказываем соотношение (1.7) при

условии, что асимптотика (1.8) выполняется дая а < 1/2, В предположении (1.8) решение (1.7) „живет" в параболической области, где \х\\ ~ *, \хг\ ~ ta. Это обеспечивает ортогональность подпространств # и R(W).

Исследование асимптотики собственных функций ф{х\) при стремлении соб­

ственных чисел X(xi) к нулю оказывается не простой задачей. Поэтому суще­

ственно, что ф(хг,х1) может быть выбрана как приближенное решение уравне­

ния Н1{х1)ф{х1) — \{х1)ф{х\) = 0. В наших применениях это позволяет постро­

ить V>(#i) как собственную функцию некоторого вспомогательного оператора с дискретным спектром. На самом деле не требуется даже того, что V име­

ет отрицательную часть. Функция ф(х\) может порождаться положительным минимумом (по переменной х1) потенциала V(xi,xl). В этом случае ф(х\) отвечает резонансному состоянию оператора Н1{х\).

Типичный пример потенциала, к которому применима наша конструкция, дается равенством

V(xux1) = -v({x1)« + (x1)«)-'/\ р€(0,1), ee(0,2), v > 0 , (1.9) (х) = (1 + ж2)1/2. Для потенциала (1.9) оценка (1.3) выполняется для любого к вне произвольных конических окрестностей подпространств Х\ и X1. Этого

достаточно для существования волнового оператора W. Если 1 < q < 2, то оценка (1.3) справедлива (равномерно по направлениям х) для \к\ = 1, но нарушается для |/с| = 2. Если 0 < q < 1, то (1.3) нарушается уже для \к\ = 1.

Соотношение (1.8) выполняется для

<т = (р + Я)(2 + Я)-\

и любой собственной функции ^(х1) вспомогательного оператора К0 = -2_ 1Axi 4- vpq~x\xl\q с дискретным спектром. Таким образом, в случае (1.9) решения с асимптотикой (1.7) существуют, если q < 2(1 — р). Подчеркнем, что волновой оператор W = Wn может быть построен в терминах каждой собствен­

ной функции Ф = Ф„ оператора К0. Кроме того, переменные хг и х1 можно поменять ролями. Это дает новый набор волновых операторов Wm. Образы всех волновых операторов Wn, Wm и W ортогональны друг другу.

Потенциал (1.9) радиален при q = 2. В этом случае а = (2 + р)/4 > 1/2 и решения с асимптотикой (1.7) не существуют. Этого, конечно, можно было ожидать, так как волновой оператор W является полным. Этот пример по­

казывает, что соотношение (1.8) для а > 1/2 не обеспечивает существования решений с асимптотикой (1.7).

В разделе 2 мы напоминаем процедуру, которая сопоставляет каждому даль- нодействующему (двухчастичному) потенциалу V(x) такую фазовую функцию Ф(#,г), что выполняется (1.2). Общая конструкция каналов (1.7) обсуждается в разделе 3. В разделе 4 собраны сведения технического характера о теории возмущений. Конкретные примеры потенциалов, для которых существуют ре­

шения типа (1.7), приведены в разделах 5 и 6.

§2. Модифицированные волновые операторы

Напомним некоторые элементарные результаты теории рассеяния для двух частиц с дальнодействующим потенциалом. Мы обсуждаем здесь только суще­

ствование волновых операторов и, следуя [3], проводим вычисления в коорди­

натном представлении. По сравнению с традиционным подходом [4, 5, 1], в котором свободная динамика определяется в импульсном представлении, это позволяет нам обойтись без метода стационарной фазы.

Опишем явную процедуру построения приближенного решения уравнения эйконала (1.4). Оказьг ается, оно может быть представлено в виде суммы по нечетным степеням t. Именно, положим

Ф(х^) = х2ф)-г + Sl(x,t) (2.1).

/ = 1

Тогда

fi(x,*) = ^ d , ( * ) t^{2 1}-¹. (2.2)

дФ/dt + 2~1\ЧФ\2 + V = . £ ( ( 2 J - l)af + (*, Va,) + Ь/)*2/"2 + 1lni (2.3) где

/ - 1

bi = V, • 6/ = 2-1^(Vaf c 7Va/_f c>, I > 2, (2.4)

^ = ^2_1 E ( E < ^Va *' ^Va '-*)) ^t2 '" ² - ⁽² - ⁵⁾

/ = n + l b = f - n

С^умма в правой части (2.3) равна нулю, если функции щ удовлетворяют диф­

ференциальным уравнениям

( 2 / - l ) a , + (x,Va,) + 6, = 0. (2.6) Решая это уравнение, находим, что

1

щ(х) = - I s^2l~²bi(sx)ds. . (2.7)

о

Таким образом, при заданных функциях a i , . . . ,a/_i мы строим 6/ по формуле (2.4), а затем находим щ по формуле (2.7). Индуктивно это определяет все коэффициенты щ. Первый из них равен

1

а\(х) = — / V(sx)ds.

о Ясно, что

DKai(x)=0(\x\-*-M), > | - > о о ,

если D^Kh(x) = 0(\x\-^p~W), р<21-1. (2.8) Тем самым верна следующая

Лемма 2.1. Пусть для некоторого ^условие (1.3) выполняется для всех \к\ <

к(°\ Определим функции а\ равенствами (2.4), (2.7). Тогда

DKai(x) = 0(\х\-2*+2-*"-М), И + /$к<°> + 1, / р < 1 . (2.9) Отметим, что функция Ь\ удовлетворяет оценке (2.9), если (/ - \)р < 1. В силу уравнения (2.6) вьфажение (2.3) равно Кп, если функции а/, Ь\ определены равенствами (2.4), (2.7). Согласно лемме 2.1, каждая функция (Va*, Va/_*) в правой части (2.5) ограничена функцией \х\~21+2~1р при \х\ г-> оо. Поэтому при

| ж | > с *

\(Va^k(x),Va^^k(x))\<Ct-^2l+2-¹^ I > п + 1.

Здесь и ниже С и е - различные положительные оценочные постоянные. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.

Предложение 2.2. Пусть условие (1.3) (где р е (0,1]) выполняется для \к\ <

[р~г] + 1. Положим п = [р~г] и определим функции Ф0(ж,^), Q,(x,t) равенствами (2.1), (2.2), (2.4), (2.7). Тогда для некоторого е > 0 и любой постоянной о 0

sup \D"Sl(x,t)\ <.а*-м~; W = l,2,

\x\>ct

sup |вФ(х, * ) / « + 2 "1| УФ(х, t)|2 + V(x)\ < Ct-1-*.

\x\>ct

(2.10) Введем теперь унитарный оператор Uo(t),

(U0(t)f)(x) = exp№(x,t))t-d<2f(x/t), (2.11) в пространстве Н == L2(Ed), отвечающий правой части (1.2), Простое вычисле­

ние дает следующий результат.

Лемма 2.3. Пусть f e C2(Rd), ft связано с Ф равенством (2.1), В = дФ/т + 2~1\УФ\2-i2~1A{l.

Тогда

((id/dt + 2-1A)Uo(t)f)(x)

= exp(i$(x,t))rd/2

х (-£(*, *)/(*/*) 4- г*"1 (Vn(x, 0, (V/)(*/*)) + 2^ХГ2(Д/)(*/*)) • Конструкция леммы 2.2 ставит в соответствие каждому дальнодействующему потенциалу V фазовую функцию Ф(#,£), и, следовательно, модифицированную свободную эволюцию (2.11). Обозначим через Г соответствующее отображение Г: V н-> Ф. Объединяя предложение 2.2 и лемму 2.3, мы получаем

Предложение 2.4. В условиях предложения 2.2, для любого f e Cg°(Rd \ {0}) имеем

\\(id/m + 2-1A-V)Uo(tyf\\ = 0(t-1-e), е > 0 , *->оо.

Пусть X — оператор умножения на ж2/2 в пространстве Н = L2(№d). Соглас­

но формулам (2.1), (2.2) и лемме 2.1, для любого s e Ш Цт(Ф^ж,*)-Ф(*М.+ з)) = sx2/2, ж^О, так, что сильный предел

s-)imUZ(t + s)Uo(t) = exp(isX). (2.12)

t—юо

Полученный результат влечет за собой

Предложение 2.5. В условиях предложения 2.2 волновой оператор

W = s-limexp(;#t)tf0(*) (2.13)

t—юо

существует, изометричен, и выполняется сплетающее свойство HW = WX.

Приведенная конструкция, конечно, сохраняется, если У = V\ + У2, где Vi удовлетворяет (1.3) для \к\ < [р~г] + 1 , а У2 быстро убывает, т. е. удовлетворяет (1.3) для некоторого р > 1 и /с = 0. Как показано в [1], достаточно предположить (1.3) относительно Vi только для \к\ < 2. Это достигается за счет подходящего разбиения V на быстро и медленно убывающие части и доказательству су­

ществования точного решения уравнения (1.4) (с V\ вместо V). Достоинство изложенной конструкции (так же как и конструкции [5]) состоит в ее явном характере. Кроме того, она работает, даже если предположение (1.3) выполня­

ется только в некотором конусе К с Rd. В этом случае свободная динамика Uo(t) определяется в пространстве L2(K), элементы / в предложении 2.4 долж­

ны быть выбраны из множества CQ°(K), а волновой оператор W действует из L2(K) в Н.

В действительности, конструкция этого раздела применима, если V име­

ет [р~1] Н~ 1 производных по угловым переменным, удовлетворяющих (1.3).

По радиальной переменной г = \х\ достаточно предположить существова­

ние одной производной DrV(x) = 0(|ж|~1-р). Например, для потенциалов V(x) = v(r)g(u), и; — хг~г, где g — гладкая функция на единичной сфере, достаточно предположить, что г/(г) = 0(г"1 - р). В этом случае функции щ вы­

ражаются в терминах интегралов функции v (и ее степеней). Эти вьфажения содержат производные функции д, но не функции v. Условие на V требуется для проверки (2.10) при \к\ = 2. В частности, в одномерном случае волновой оператор (2.13) существует, если условие (1.3) выполняется при к.= 0,1.

§3. Общая конструкция

Цель этого раздела состоит в доказательстве асимптотики (1.7). Напомним, что Rd разлагается в ортогональную сумму (1.5), a i i , ж1 — проекции векто­

ра х е Rd на подпространства Xi, X1. Переформулируем соотношение (1.7) в терминах соответствующего волнового оператора. Функция $(xi,t) опреде­

ляется конструкцией §2, которая применяется по переменной х\ (вместо х) к функции \{х\) (вместо V(x)), т. е. мы полагаем # = ГЛ. Пусть Ui(t) оператор модифицированной свободной эволюции по переменной жь

(^1(0/)(x1) = e x p ( i ^ b ^ "d l / 2/ ( ^ i A ) - (3.1) Согласно предложению 2.4, для любого / Е Co°(Rdl \ {0}) справедлива оценка

| | ( ^ / ^ + 2-1AX l-A)C/1(t)/||L 2 № ) = 0 ( ^1-£) , е > 6 , *->.оо. (3.2) Пусть изометрический оператор J: L2(Xi) —• Н определяется равенством

{и)(хих1) = ф{хих1Жх1\ J = J(j>). (3.3) Мы докажем существование волнового оператора

W = s-limexp(;#t)J!7i(*). (3.4) Сформулируем точные условия на функцию ф(х1,х1). Мы предполагаем, что

Ф(хг,-) — приближенная собственная функция оператора (1.6), а именно

^^A^ixiyX^ + Vixux^ixux^^Xix^ixux^ + Yixux1)] (3.5) где

lim | | ^ ь - ) И м х 1 ) = 1, (3.6)

\\Y(x1,-)h2(xi) = 0(\x1\-1-*), Ы - ю о , (3.7) для некоторого е > 0. Приближенные „собственные значения" Л(хх) должны

удовлетворять условию предыдущего раздела:

DK\(x1) = 0(\x1\-'-M), р > 0, \к\ < [р-1] + 1. (3.8)

Относительно самой функции ф(х1^хг) мы предполагаем, что при \xi\ —> оо l|V,l^1,-)IUi(xl) = 0(|x1|-1), .||А,Ж*1,01|мх1)=°(1а !1Г1"') <3-9>

и

\\^и')\\ь2(х^ = 0(\х1\1-£), теф{хъх1) = (х1)2ф(хъх1). (3.10) Наше последнее условие на ф(х1,х1) параметризуется функцией rj(xi\ удовле­

творяющей оценкам

D*r,(x1) = 0(\x1\-W), И = 0,1, Art(x1) = 0(\x1\-1). (3.11) Мы предполагаем, что вспомогательная функция

а^^у=(ц^^Ф^

)+^ф)ф

)+(^

ф,х

^ (з.12)

удовлетворяет оценке

Н«*1,01и,<х1) = О ( Ы - ) , е > 0 . (3.13) Предположим дополнительно, что

KV^C^OIIIV^^bOllLnx!) = 0(И.Г

), (3.14)

.l(Viy)(afi)|2||^1,-)lka(xi) = 0(|«i|1-"e), . (3.15) где ^(жьж1) = |ж1|4^(ж1,х1).

Подчеркнем, что все условия на функции ф{х\^х1), Y(xi,x1) и Х(хг) ис~

гюльзуются только для достаточно больших \xi\. Условия на ^(^ь^1) допуска­

ют функции с асимптотикой (1.8). Более общим образом, сформулированные гфедположения выполняются для функций вида

ф(хих1) = Ь(х1)-а^Ч(хиЬ(х1)-1х1\ (3.16) где Ф(х1,хг) „слабо" зависит от переменной х\.

Лемма 3.1. Пусть ip(xi,xl) определяется формулой (3.16), где

Jil + lx'iyiD^D^ixux^dx1 = 0 ( 1 * ! Г2! ^1^ ) ) , О < Ы + И < 2, (3.17) 6 > 0. Относительно функции b(xi) предположим, что для некоторого а е [0,1/2)

_ | * Ы | > ф 1 Г , с > 0 , ID'Hx^lZClxil'-M;. |/с| < 3. (3.18) Тогда для функции

f](xi) = 2-4(x¹)-¹{Vb(x¹lx¹) (3.19)

выполняются все условия (3.9)-(3.15).

Доказательство. Все условия проверяются прямыми вычислениями. Для про­

верки первой оценки (3.9) заметим, что

\7Х1ф(х1,хг)

= 6(*¹)-^{d l}/²(-2-V¹6(x¹)-¹V6(xi)^(a:¹,6(x¹)-¹a;¹)

1 1 (3.20) + (VXl9)(x1,b(xl)-1x1)

Первый член в правой части удовлетворяет (3.9), так как, согласно (3.18), 6(a;i)-1V6(a;i) = 0(\х\ |- 1) . Для доказательства оценки через l^il"1 для норм в L2(X1) второго и третьего слагаемых надо дополнительно учесть условие (3.17) соответственно для \к^г\ = 1, к¹ = 0 и для к^г = 0, \к^г\ = 1. Для доказательства второй оценки (3.9) еще раз дифференцируем (3.20) n o x i и используем пред­

положения (3.17) относительно вторых производных функции ^(xi^x1) и пред­

положения (3.18) на вторые производные Ь(х\). Условие (3.10) выполняется, потому что

Ш*и-)и,

>)=Ь'ЫИФОСЪОНЫХЧ=0(1*1 m

Щх1,х1) = (х1)Ч(х1,х1),

и а < 1 / 2 . Используя равенство (3.20) и определяя г\(х\) посредством (3.19), находим, что функция (3.12) равна

« « I , »1) = 6 ( * i ) ~ ' '1 / 2( V .I» ( * i , b ( * i ) " V ) , x i ) . .

Поэтому (3.13) —' прямое следствие (3.17) для |*i| = 1, к1 = 0. Проверка (3.14) аналогична проверке первого условия (3.9). Мы опять используем равенство (3.20). Умножение на (ж1)2 дает дополнительный множитель Ъ2{х\\ так что

l|Vx1^l,-)||L2(X1) = 0 ( | xir1^ ) .

Поскольку Vr/(xi) = 0(|xi|_ 1), это дает (3.14) (при е = 1). Наконец, заметим, что

ll^i,OllW) = b^«i)/l*N

l*(*b?

)l

'

=

(l

il

')-

Поэтому левая часть (3.15) ограничена равномерно по х\. •

Отметим, что функция (3.19) равняется rj(xi) — а/2, если b(xi) однородна степени а (для достаточно больших |a?i|).

Для доказательства существования волнового оператора (3.4) было бы до­

статочно проверить, что функция ui(t) = JU\{t)f является „хорошим" прибли­

женным решением нестационарного уравнения Шрёдингера, т. е.

|~-(exp(^t)ui(t))|| = \\iduxldt -HUl\\ = О^"1-5), е > 0, t -• оо. (3.21) Начальные данные / могут быть выбраны из любого плотного в L2(^i) множе­

ства. К сожалению, для функции ф(х11х1) с асимптотикой (1.8) оценка (3.21) может выполняться только при е = 0. Оказывается, лучшее приближение к решению уравнения Шрёдингера дается формулой

w(x,t) = exp(iy(xi^x1)t~1)ui(x1t),

ф1,х1) = (х1)2ф1)1 (3.22)

Точнее, справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.2. Пусть функция u(t) определяется равенствами (3.22), где f € Co°(Rdl \ {0}). Предположим, что функция ф(х1^х1) удовлетворяет для некоторого ь е R условиям (3.6) и (3.9)-(3.15). Пусть выполняются соотноше­

ния (3.8) и (3.7) для функций X(xi) и Y(xi^x1), определенных равенством (3.5).\

Тогда

\\1ди/дЬ-Йи\\ = 0(Гг—), s>0;t->oo. (3.23)

Доказательство. Вычислим левую часть (3.23). По определению (3.22)

idu/dt = t~2ju + 1тфдд/&, r = exp^O*!,.^1)*"1), 9 = tfi(*)/, (3.24) и

2 - ^ 1 1 = 2~1дАХ1(тф) + (VX l(r^), VXlg) + 2'1тфАХ1д. (3.25) Учитывая, что функция д не зависит от х1, получаем равенство

(2"¹ А^хг - V)u = тд(2-¹А^хг - У)ф + д{Ъ^хгф, V . i r ) + 2-¹фдА^х,т. (3.26) Мы должны показать, что норма в пространстве Н суммы вьфажений (3.24)- (3.26) оценивается через О^""1""*). Заметим, что по условиям (3.10) и (3.11) для к — О норма первого слагаемого в правой части (3.24) есть

Г*Ьч\\ = Г>\\фг,9\\=0{Г^). (3.27) В силу уравнения (3.5) первое слагаемое в правой части (3.26) равняется

—т(\ф + Y)g. Поэтому сумма последних членов в (3.24) и (3.25) равна

тф({д/т + 2-1АХ1-\)д-т¥д.' (3.28)

Норма (в Н) первого слагаемого в (3.28) ограничена числом tf~^1-£ согласно (3.6) и (3.2). Такая же оценка для второго слагаемого в (3.28) выполняется на основании условия (3.7). Действительно,

\\Yg\\²=t-^dl J J\Y(x¹,x¹)f(x¹/t)\²dx^Idx¹

<r^d> [\x¹\-²-²'\f(x¹/t)\²dx¹=cr²-²*.

Покажем, что

{Ъ^Х1(тф),Ъд)-тЦ-¹{Ч^Х1ф,х¹)д = 0(Г¹-'), Vg = V^Xlg. (3.29)

(Это означает, конечно, что норма в Н левой части есть 0(t~1 - e)). Заметим, что З ^ ь i ) = {xi)2{2t)~1 +£li(xi,t); где Oi удовлетворяет условию (2.10) по переменной хг. По определению функций д и т,

Vg^t) =t~^d^² exp(i$(x^ut))

х ( ^ i / t + V n i ^ b t M ^ i / O + r ^ V / X x i / t ) )

(3.30) и VXlr = rz(a:1)2t~1Vr;. Согласно предположениям (3.10) и (3.11) для к = 1,

• <t'

Jw^Vgix^t^dx^

В силу (3.30) и (2.10) это вьфажение не превосходит Ct~2~2e. Аналогично, для доказательства равенства

следует использовать первое условие (3.9) и (2.10). Это дает (3.29).

Сгруппируем теперь второе слагаемое в правой части (3.25) с двумя послед­

ними членами в правой части (3.26). Поскольку (Vxir)(xi,ic1) = 2irj(xi)t~1x1r,

(AxiT)(x1,x1) = (2it-1dlT1(x1)-4r2(x1)27}(x1)2)T, можно переписать их сумму как

(V^rVO, V<7) + t'(2(V,iф, х1) + d^rgt-1 - 2тфг?дГ2. (3.31) Учитывая (3.29) и используя обозначение (3.12), найдем, что сумма первых двух членов равна zr^t~1+0(t7"1~e). Согласно (3.13), \\£д\\ =• 0(t~£). Последний член в (3.31) такой же как (3.27) (с заменой ц на г/2).

Остается рассмотреть последнее слагаемое в правой части (3.25). Заметим, что

т-1АХ1(тф) = АХ1ф + и-\2(^г)^Х1ф) + фАт])-Г2ф^^ (3.32) Вклады в дАХ1(тф) каждого из слагаемых в правой части оцениваются с помо­

щью второго предположения (3.9) и (3.10), (3.14), (3.15). • Теперь легко установить основной результат этого раздела.

Теорема 3.3. Пусть функции ф(х^1,х1), \{хх\ и Y{xi,x1) удовлетворяют усло­

виям предложения 3.2. Определим оператор Ui(t) равенством (3.1), где # = ГЛ.

Тогда предел (3.4) существует и волновой оператор W: L2(Xi) —• Н изометри- чен. Обозначим через Xi умножение на х\/2 в пространстве L2{Xi). Выполня­

ется сплетающее свойство HW = WXi. В частности, сужение Н на образ W имеет абсолютно непрерывный спектр, совпадающий с Е+.

Доказательство. Существование предела (3.4) можно проверять на множестве Co°(Rdl \ {0}). Используем обозначение (3.22). Достаточно установить сходи­

мость exp(iHt)u(t) вместо exp(iHt)ui(t). Действительно, согласно первому усло­

вию (3.13)

\\u(t) - Ul(t)\\2 < Г2-^ J J \^(x1,x1)rl(x1)f(x1/t)\2dx1dx1 = 0{Г2£).

Предел exp(iHt)u(t) существует, поскольку в силу предложения 3.2 производная этой функции интегрируема. Сплетающее свойство обеспечивается равенством (2.12). •

Замечание. Если rj(xi) постоянна (для достаточно больших \хг\), то правая часть (3.32) равняется АХ1ф и предположения (3.14), (3.15) можно опустить. В частности, это верно, если в условиях леммы 3.1 функция Ь(хг) однородна (по крайней мере, при достаточно больших |жi|).

Следующее очевидное утверждение позволяет упростить построение волно­

вого оператора (3.4).

Предложение 3.4. Предположим, что оператор 1(фо) определяется равенством (3.3), где функция ф0(х1,х1) удовлетворяет условию

lim \\Ф(хи-)-фо(хи')\\Ь2(х^) = 0 .

| x i | - + o o

Тогда волновые операторы (3.4), отвечающие Jfy) и J(V>o), существуют одно­

временно и совпадают.

Решения с асимптотиками (1.1) и (1.7) „живут" в разных областях Rd. При­

ведем точную формулировку этого утверждения.

Теорема 3.5. Пусть оба волновых оператора (ЗА) и (2.13), отвечающих неко­

торым функциям $ и Ф, существуют. Предположим, что функция (3.10) удо­

влетворяет оценке

I W x i , : ) | | b1( x i ) = O ( | a! l|a- )> < e> 0 .; (3.33) Тогда образы операторов W и W ортогональны.

Доказательство. Достаточно показать, что

lim(Jtfi(t)/,tf0(i)ff) = 0 <3-34)

t—юо

для / e.Co°°(R*A {0}) и g(xuxl) = g1(x1)g1(xl), где 9l e CS°(Rd> \ {0}) и g1 G Co°(Rdl \ {0}). Заметим, что линейные комбинации таких элементов д плотны в X2(Kd). Тогда (3.34) — следствие равенства

Hm t-WMJ J Щхих1)! |/(*i/*)| |л(х1/*)| \g\x1/t)\dx1dx1 = 0.

Поэтому достаточно проверить, что

Щх^Щд^хЧЩах^СГ2^12^?-*. (3.35)

Интеграл (3.35) не превосходит

(j \g1(x1/i)\*\x1\-*dx1'. J Wxiytfdx1)1'2 =а-^1'Цф(х1,-)\\ЫХг).

По условию (3.33) это выражение совпадает с правой частью (3.35). • Аналогичные соображения показывают, что при любом о 0

lim / KJU^f^xux^dx^x1 =0, V / € L2№ ) . (336)

t—•oo J

Поэтому при / G R(W) функция exp(—iHt)f „живет" в произвольной кониче­

ской (в действительности, даже параболической) окрестности подпространства Хг.

В заключение отметим (ср. с замечанием в конце предыдущего раздела), что естественная модификация теоремы 3.3 сохраняется даже если сделанные выше предположения выполняются только в некотором конусе К\ с Х\. В этом случае W : L2(K\) ->Н. Во внешность конуса К\ функции \(х{) и ф(х\,<) могут быть продолжены произвольным образом.

15 Алгебра и анализ, № 1, 1996 г.

/ '

§4. Теория возмущений

В этом параграфе собраны стандартные сведения из теории возмущений собственных значений и собственных функций оператора Шрёдингера. Они используются в следующем разделе ддя проверки предположений предыдущего раздела для конкретных классов потенциалов.

Обозначим через X оператор умножения на (х2 + I)1/2 в пространстве Н = L²(R^d). Доказательство следующего элементарного утверждения может быть получено интегрированием по частям.

Лемма 4.1. Для любого к = 0 , 1 , 2 , . . . , и любых г, j = 1 , . . . , d

\\XkDM < С(\\Аф\\ + \\Х2кф\\),

\\XkDiD^\\ < С(\\ХкАф\\ + | | *4V l l ) .

Напомним, что оператор Шрёдингера К = —2~1A + U с полуограниченным снизу потенциалом U{x) определяется посредством квадратичной формы

( t f / , / ) = 2-1||V/|| + ( [ Г / , / ) .

Лемма 4.2. Пусть К = —2"1 V + U, где U(x) > щ. Выберем любую регулярную точку z оператора К. Тогда для любого к = 0,1,2,...

\\XkR{z)X-k || < Ск < оо, R(z) = (K-z)-\ (4.1) где Ck зависит только от величины щ и расстояния d от z до спектра К.

Доказательство. Поскольку

XkR(z) - R{z)Xk = R(z)[K,Xk]R(z), ДДЯ некоторых ограниченных функций Wk(x) и u>k(x)

X^kR(z)X~^k - R(z) = i^XVwfcX*-¹ + w^kX^k-²)R(z)X-^k. Отсюда следует, что

ц*'адх-*ц

< ||i?(z)|| + C\\R(z)V\\\\Xk-1R(z)X-k\\ + C\\R(z)\\\\Xk-*R(z)X-k\\.

Заметим, что ||V(i^ - wi)"1/21|2 < 2, щ = u0- l , \\{К-mf^R^l \\R(z)\\ огра­

ничены постоянными, которые зависят только от и0 и d. Тем самым индуктивно по к = 1,2,... мы получаем (4.1). •

Рассмотрим самосопряженный оператор К0 = - 2 ~1А + ?7оС полуограничен­

ным снизу потенциалом UQ, который, возможно, возрастает на бесконечности, но не быстрее некоторой степени \х\. Предположим, что оператор К0 имеет изолированное простое собственное значение Л⁰. Относительно соответствую­

щей собственной функции Ф0 предположим, что

| | * * * о | | < С * . < о о , Vfe. (4.2) Выберем во ••> О таким образом, чтобы интервалы [(Ло - £о,Ло) и (Л⁰,Л⁰ + во)]

не содержали спектра оператора К⁰.

Введем возмущение оператора К0. Предположим, что

||W(b)|| = sup |W(b,х)| -> 0 п р и Ь - > о о хеш*

и положим

ЩЪ,х) = и⁰(х)+ЩЬ,х).

Тогда при достаточно больших Ь спектр оператора К(Ь) = -2~¹А+77(Ь) в [Л⁰ -

£о,Л⁰ + ео] состоит из единственного собственного числа Л(Ь). Это собственное число является простым и Л(Ь) -> Л⁰ при Ь —• оо. Соответствующая собственная функция Ф(Ь),

-2"1ДФ(Ь) + 17(Ь)Ф(Ь)=Л(Ь)Ф(Ь), (4.3)

может быть построена как

Ф(Ь) = Р(Ь)Ф0, где Р(Ь) == - ( г * * ) "1 /(ЛГ(Ь) - ^ ) "1^ ; (4.4) с

С — окружность |^ — Ло| = ео, обходимая против часовой стрелки. В частно­

сти, ||Ф(Ь) - Фо|| -> 0 при Ь —• оо. Наша цель состоит в получении оценок на производные Ф(Ь).

Предложение 4.3. Пусть выполняется (4.2). Предположим, что

\\дкЫ(Ь)1дЬк\\<Ь^-\ б > 0 , К = 0,1,...,7. (4.5) Тогда

\\х*Щ)\\ + ||х^^(б)|| +1| х*

< с (4.6)

w

||Х*<ЭкФ(Ь)/дЬк|| + \\ХкВ,дкЩ)/дЪк\\ + \\XkDiDjdK^{b)ldbK\\ < СЬ~£-К (4.7) для любых i = . 0 , l , . . . , t , j = l,...,(J,M« = r,...,/.

Доказательство. Согласно (4.4),

||**Ф(Ь)|| < (27Г)-1 J \\Xk(K(b) - z)-lX-k\\\dz\ ||Х**о||.

С

Здесь интеграл ограничен равномерно по Ь согласно лемме 4.2, а последний сомножитель конечен согласно условию (4.2). Это дает первую оценку (4.6).

Теперь равномерная ограниченность ||Х*Д\1>(6)|| вытекает из уравнения (4.3).

Для доказательства остальных оценок (4.6) остается сослаться на лемму 4.1.

Дифференцируя (4.4) по 6, найдем, что

дЪ(Ъ)/дЬ = (27л)"1 f(K(b) - z)-1dU(b)/db(K(b) - z)71^0dz, с

откуда

\\Х^кдЩЪ)/дЩ < (27Г)-¹ J \\Х^к(К(Ъ) - z)-¹X-^k\\²\dz\\\dU(b)/db\\\\X^k*⁰\\.

с ' . . - . ' Ввиду условия (4.5) это дает первую оценку (4.7) для к — 1. Дифференцируя

(4.3) по 6, получим оценку для \\ХкАдФ(Ь)/дЬ\\ и, согласно лемме 4.1, оценки (4.7) для к — 1. Оценки для /с > 1 выводятся вполне аналогично. •

Поскольку

А(Ь) = Ао + (Ф(Ь),ФоГ1(«(Ь)Ф(Ь),ФоХ справедливо

Следствие 4.4. Выполняется оценка

\\дкА(Ъ)/дЪк\\ < Гс"к, б > 0 , #с = 1,...,/. (4.8)

§5. Класс потенциалов

Здесь мы построим конкретный класс потенциалов V(x), для которых вы­

полняются все условия раздела 3. Эти потенциалы убывают на бесконечности и тем самым отвечают двухчастичному случаю.

Пусть (1.5).— какое-либо разложение Rd. Положим

V(xux1) = -(d(x1) + v(x1))~p, p>0. (5.1) Предположим, что функции а и v удовлетворяют следующим условиям.

Условие 5.1. Для достаточно больших \х\\ функция a(xi) дифференцируема а раз и

|a(*i)|>c|ai|e, з > 0 , - О 0, \DKa(Xl)\ < C W1*1, \к\ < а.

Предположим, что а > [(«sp)-1] + 1 и а > 3.

Условие 5.2. Функция v(xl) дифференцируема и раз по переменной г = \хг\, а ее производные локально ограничены. Справедливо представление

v(x1) = ф(ш)гч + v(xx), О < сх < ф(и>) < с2 < оо, q > О, w = x1r~1,

где

\dKv{x1)ldrK\<Crq-£~K, б > 0 , к<и,- дляг>1. (5.2) Предположим, что v > [(sp)'1} •+ 1.

При этих условиях оценка (1.3) выполняется для р — pmin{q,s} и \к\ <

min{a, v\ вне произвольных конических окрестностей подпространств Xi и !1. Этого хватает для существования волнового оператора (2.13), если min{a, v] >

[р-1]+1-

Мы покажем, что при условиях

pq<2, 2s(p+l)<q + 2 (5.3) волновой оператор (3.4) существует. Поскольку из (5.3) вытекает неравенство

ps<p(q + 2)(2p + 2)-1 < 1 ,

то потенциал (5.1) обязательно медленно убывает.

Мы построим приближенные собственные функции ф'(х1,х1) оператора (1.6) как настоящие собственные функции оператора Шрёдингера с некоторым воз­

растающим потенциалом. С этой целью мы прежде всего заменим потенциал (5.1) N членами его разложения Тейлора:

N-1

(v(x^r) + а)"* = а~^р £ с ^ а - у *¹) ) * + а^О((а"¹г;(а:¹))^АГ), а = afa), (5.4)

А:=0

где со = 1, ci = —р. Ниже мы увидим, что при достаточно больших N оста­

точным членам в (5.4) можно пренебречь. Слагаемое, отвечающее к = О, не зависит от ж¹ и, следовательно, влияет только на собственное число А(хi).

Главный вклад в эффективный потенциал определяется следующим членом

—pa~p~1v(x1), или, точнее, его асимптотикой на бесконечности. Для того чтобы свести задачу к случаю ограниченных возмущений, рассмотренному в разделе 4, мы обрежем при достаточно больших г = l^1! все слагаемые в (5.4), кроме

—ра~р~1ф(и)г9. Пусть ( > 0 — С°°-функция, такая что ((г) — 1 при г < 1 и ((г) = 0 при г > 2. Положим (значение параметра 0 > О выбирается ниже)

V(a,x^l) = ра-Р-^ф^г* + ((а^гЩх¹))

- N-1

-a->((a-9r)'£f.ck(d-lv(x1))k (5.5)

Jk=2

и рассмотрим собственные функции задачи

-2-¹Аф + У(а,х¹)<ф = (\ + а-^р)ф, A = A^xi. (5.6) Проводя здесь замену переменной

х^г = Ьу, Ъ = а^т, г = (р+1)((^? + 2 Г¹, и вводя новую функцию Ф(у) = Ф(хг), получим, что

-2~¹АЪ + и(Ъ,у)Ъ = АЪ, А = А^У, где

А = а^2г(\ + а-^р), /3 = 1-тд, 0 = ( 1 + £)т, и(Ь,у)=рф(ы)\у\*+и(Ъ,у), и> = у\у\-\':

и

N-2

ЩЬ,у)=РЬ-''ЦЬу)ф-6\у\)-ф-6\у\)^2с^а~^ь+1(у), (5-8)

j f c = l

уь(у) = b~qv(by). Отметим, что /9 > 0, если pq < 2.