Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Л. М. Скворцов, Модельные уравнения для исследования точности методов Рунге–Кутты, Матем. моделирование, 2010, том 22, номер 5, 146–160
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 21:56:51
УДК 519.622
МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ
© 2010 г. Л.М. Скворцов
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана;
e-mail: lm_skvo@rambler.ru
Рассматриваются простейшие уравнения, моделирующие поведение различных состав- ляющих ошибки методов Рунге-Кутты. Получены выражения для локальных и глобальных ошибок. Минимизация этих ошибок позволяет построить явные и неявные методы, обла- дающие повышенной точностью при решении жестких и дифференциально-алгебраичес- ких задач.
Ключевые слова: метод Рунге-Кутты, жесткие задачи, дифференциально-алгебраические задачи, феномен снижения порядка.
MODEL EQUATIONS FOR ACCURACY INVESTIGATION OF RUNGE–KUTTA METHODS
L.M. Skvortsov
Bauman Moscow State Technical University
The simplest equations are considered that simulate the behavior of various error components of Runge-Kutta methods. The expressions for the local and global errors are obtained. The minimi- zation of these errors allows one to construct explicit and implicit methods that have an improved accuracy when solving stiff and differential-algebraic problems.
Key words: Runge-Kutta methods, still problems, differential-algebraic problems, order reduc- tion phenomen
1. Введение
Параметры методов Рунге-Кутты обычно рассчитывают, исходя из условий обес- печения заданного порядка и минимизации коэффициентов погрешности [1]. Такой под- ход вполне оправдан при построении методов решения нежестких задач. Однако для же- стких задач традиционный подход не всегда позволяет правильно оценить точность ре- шения, поскольку он основан на асимптотической оценке ошибки при h→0 (h – размер шага), но при достаточно малом шаге все задачи для метода интегрирования становятся нежесткими.
При решении жестких и дифференциально-алгебраических задач реальный поря- док может быть ниже классического. Это явление, которое получило известность как феномен снижения порядка, удалось объяснить с помощью модельного уравнения Протеро-Робинсона [2–4]. Исследование поведения ошибки численного решения этого
уравнения выявило важность понятий стадийного порядка и жесткой точности. Таким образом, рассмотрение простых модельных уравнений может оказаться полезным при исследовании точности методов Рунге-Кутты.
В статье рассматриваются уравнения, сформированные так, что каждому из них соответствует элементарный дифференциал в разложении решения в ряд Тейлора. Бла- годаря этому получен расширяемый набор уравнений, моделирующих поведение раз- личных составляющих ошибки при решении нежестких, жестких и дифференциально- алгебраических задач. Эти уравнения имеют известные точные решения, а их численные решения можно получить в виде выражений, содержащих коэффициенты метода. Под- бором коэффициентов можно минимизировать ошибки решения модельных уравнений.
Такой подход позволил построить явные и неявные методы повышенной точности для жестких и дифференциально-алгебраических задач [5–8].
2. Нежесткие уравнения
Один шаг численного решения задачи Коши x′′′′=f(t,x), x(t0)=x0
s-стадийным методом Рунге-Кутты задается формулами
( )
1 0
1 1
, , , , 1, , .
s s
n n i i i i i i n ij j
i j
h b t hc h a i s
+ = =
′ ′ ′
= +
∑
= + = +∑
=x x X X f X X x X … (1)
Коэффициенты метода удобно представить в виде таблицы Бутчера
1 11 1
1 T 1
s
s s ss
s
c a a
c a a
b b
= c A b
.
Примем обычное для методов Рунге-Кутты предположение, что коэффициенты удовле- творяют условию 1-го стадийного порядка
[ ]
T, T 1, 1, , 1 .
= = =
c Ae b e e … (2)
Определение порядка аппроксимации и коэффициентов погрешности методов Рун- ге-Кутты сводится к сравнению разложений в ряд Тейлора точного и численного реше- ний. При выводе условий порядка используют соответствие между элементарными диф- ференциалами и корневыми деревьями [1]. Эти же деревья будем использовать для фор- мирования модельных уравнений, при этом каждой вершине дерева соответствует опре- деленная переменная.
Рассмотрим сначала нежесткие уравнения. Идея их построения изложена в [1, с.164]. Дереву-точке поставим в соответствие переменную, описываемую уравнением
1 1
x′ = . Корневой вершине дерева Tij (i – порядок дерева, т.е. число его вершин, j – номер дерева среди различных деревьев порядка i) поставим в соответствие переменную xij.
Уравнения зададим рекуррентно согласно формуле xотца′ =
∏
xсыновей , где «сыновья» – деревья, полученные в результате удаления корневой вершины дерева-«отца» вместе с инцидентными этой вершине ребрами. Начальные значения всех переменных зададим нулевыми.При таком подходе дерево можно рассматривать как сигнальный граф, ребра кото- рого ориентированы по направлению к корневой вершине и осуществляют передачу сигналов, а вершины выполняют интегрирование произведения входных сигналов.
Предположив, что вершины, не имеющие входов, вырабатывают сигнал t, получим на выходе корневой вершины дерева Tij переменную xij.
Полученные уравнения и их решения (x tij( ) – точное, x hij( ) – численное на пер- вом шаге) для деревьев до 4-го порядка включительно приведены в табл.1. Во всех фор- мулах операции возведения в степень и умножения векторов выполняются покомпо- нентно. При t=0 разложение в ряд Тейлора переменной xij содержит только один ненуле- вой элементарный дифференциал, соответствующий дереву Tij. Обозначим ошибку на первом шаге как δh(xij)=x hij( )−x hij( ), тогда условия, обеспечивающие порядок p ме- тода, запишутся в виде: δh(xij)=0 при i≤ p. Коэффициенты погрешности получим как относительные ошибки соответствующих переменных на первом шаге: e T( ij)=
( ) ( )
h xij x hij
= δ .
Таблица 1. Нежесткие модельные уравнения.
Дерево Уравнение x t ij( ) x hij( )
• x′ =1 1 t hb e T
21 1
x′ =x t2 2 h2 Tb c
2 31 1
x′ =x t3 3 h3 T 2b c
32 21
x′ =x t3 6 h3 Tb Ac
3 41 1
x′ =x t4 4 h4 T 3b c
42 1 21
x′ =x x t4 8 h4 Tb (c Ac ⋅ )
43 31
x′ =x t4 12 h b Ac 4 T 2
44 32
x′ =x t4/ 24 h b A c4 T 2
Применяя формулы (1), (2) для численного решения модельных уравнений, полу- чаем
T
1 1 21 1 21 1
T 2 T
31 1 31 1 32 1 32 21
( ) , ( ) ( ) ,
( ) ( ) , ( ) ( ) , ,
n n n n
n n n n
x t t h x t x t h
x t x t h x t x t h
+ +
+ +
= + = +
= + = +
b X
b X b X
…
(3)
где векторы стадийных значений
1= tn+h , 21= x21( )tn +h 1,
X e c X e AX
2
31= x31( )tn +h 1, 32= x32( )tn +h 21, .
X e AX X e AX … (4)
Подставляя (4) в (3), имеем
2 T 2 2 T 3 T 2
21(n 1) 21( )n n , 31( n 1) 31( )n n 2 n
x t + =x t +ht +h b c x t + =x t +ht + h t b c+h b c ,
2 T 3 T
32(n 1) 32( )n 21( )n n
x t + =x t +hx t +h t b c+h b Ac, … .
Эти выражения представляют собой разложения в ряд Тейлора численных решений.
Аналогичные разложения точных решений запишутся в виде
2 2 2 3
21(n 1) 21( )n n 2 , 31( n 1) 31( )n n n 3 x t + =x t +h t +h x t + =x t +h t +h t +h ,
2 2 3
32(n 1) 32( )n n 2 n 2 6
x t + =x t +h t +h t +h , … .
Выражения для x tij( n+1) и
( 1)
ij n
x t + являются полиномами степени i переменной h, при этом из условий порядка следует, что коэффициенты этих полиномов совпадают для степеней h до p-й включительно. Поэтому переменная xij интегрируется точно методом порядка p, если i≤ p. Если i= +p 1, то глобальная ошибка выражается формулой
1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )
n+ xij x tij n+ x tij n+ n xij h xij
∆ = − = ∆ + δ ,
где локальная ошибка δh(xij) пропорциональна hp+1. При интегрировании на интервале [0,T] c постоянном шагом h=T/N получим ∆N(xij)=( / )T h δh(xij), т.е. ошибка возрастает линейно и пропорциональна h . Это полностью согласуется с классической теорией. p
3. Дифференциально-алгебраические уравнения индекса 1
Рассмотрим систему дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) вида
0 0 0 0
( ), 0 ( ), ( ) , ( ) .
′ = = = =
x f x, y g x, y x t x y t y (5) Будем считать, что начальные условия согласованы, т.е. удовлетворяют алгебраическо- му уравнению. Согласно определению Гира и др. [4], индекс дифференцирования урав- нений (5) есть наименьшее число аналитических дифференцирований, требующихся для того, чтобы из (5) посредством алгебраических преобразований можно было бы полу- чить систему ОДУ в явном виде. Продифференцировав алгебраическую подсистему, получим 0=g xx ′+g yy ′, где gx = ∂ ∂g x, gy = ∂ ∂g y. Если матрица gy обратима, то
1 ( )
′ = − −y x
y g g f x, y и система (5) имеет индекс 1.
Воспользуемся методом ε-вложения [4], тогда один шаг неявного метода Рунге- Кутты для решения системы (5) запишется в виде
1 1
1 1
, ;
s s
n n i i n n i i
i i
h b h b
+ +
= =
′ ′
= +
∑
= +∑
x x X y y Y
( ) ( )
1 1
, , , 0 , , , 1, , .
s s
i i i i n ij j i i i n ij j
j j
h a y h a i s
= =
′ = = +
∑
′ = = +∑
′ =X f X Y X x X g X Y Y Y … (6)
Эти формулы задают систему алгебраических уравнений относительно векторов X Yi′ ′, i (векторы X Yi, i нетрудно исключить). Для явного метода уравнения (6) окажутся выро- жденными.
Рассмотрим простейшее алгебраическое уравнение
0 0
0= − ϕy ( ),t y = ϕ( ).t (7)
Решая его неявным методом Рунге-Кутты, получим
T T
1 , [ ( 1 ), , ( )]
n n n n n s
y + = y +hb Y′ ey +hAY′= = ϕ +ΦΦΦΦ t c h … ϕ +t c h . Предположим, что матрица A обратима, тогда Y′ =h−1A−1(ΦΦΦΦ−eyn) и
T 1 T 1
1 (1 )
n n
y + = −b A e− y +b A− ΦΦΦΦ.
Переменную y можно интерпретировать как результат последовательного выполнения операций численного дифференцирования и интегрирования переменной ϕ(t). При со- ставлении модельных уравнений вместо ϕ(t) будем использовать всевозможные произ- ведения переменных xij.
При выводе условий порядка для ДАУ используются деревья с вершинами двух видов (точки и кружки) [4]. Порядком такого дерева называется число вершин-точек минус число вершин-кружков. При формировании модельных уравнений будем рассмат- ривать дерево как сигнальный граф, вершины которого отождествляются с интегрирова- нием (точка) либо дифференцированием (кружок) произведения входных переменных.
Наряду с определенными в табл.1 дифференциальными переменными xij введем алгеб- раические переменные индекса 1 yij, которые определим как всевозможные произведе- ния дифференциальных переменных. Полученные уравнения и их решения при нулевых начальных условиях для деревьев до 4-го порядка приведены в табл.2. Эти уравнения имеют индекс 1, поскольку продифференцировав любое из них, получим дифференци- альное уравнение относительно алгебраической переменной.
Исследуем точность решения алгебраической части ДАУ. Начнем с уравнения (7).
Используя разложение ϕ(t) в ряд Тейлора, получаем
T 1 T 1 T 1
1
1
(1 ) ( )
!
k k k
n
n n n k
k
d t
y y h
k d t
− − − ∞
+ =
= −b A e +b A eϕ +b A
∑
c ϕ .Обозначим α = −0 1 b A eT −1 = ∞R( ), где R z( ) 1= +zbT(I−zA)−1e – функция устойчиво- сти. Тогда выражение для глобальной ошибки запишется в виде
T 1
1 1 1 0
1
( ) ( ) (1 ) ( )
!
k k
k n
n n n n k
k q
d t
y y y h
k d t
∞ −
+ + +
= +
∆ = ϕ − = α ∆ +
∑
−b A c ϕ ,где q – стадийный порядок, т.е. наибольшее число, для которого выполняются равенства
1 T 1
, 1 0, 1, ,
k k k
k − k − k q
= − = =
c Ac b c … .
Таблица 2. Модельные уравнения индекса 1.
Дерево Уравнение y tij( ) yij( )h
2 21 1
0=y −x t2 h2 Tb A c−1 2
3 31 1
0=y −x t3 h3 Tb A c−1 3
32 1 21
0=y −x x t3 2 h3 Tb A−1(c Ac⋅ )
4 41 1
0=y −x t4 h4 Tb A c−1 4
2 42 1 21
0=y −x x t4 2 h4 Tb A−1(c2⋅Ac)
43 1 31
0=y −x x t4 3 h4 Tb A−1(c Ac⋅ 2)
44 1 32
0=y −x x t4 6 h4 Tb A−1(c A c⋅ 2 )
2 45 21
0=y −x t4 4 h4 Tb A−1(Ac)2
Аналогичные выражения можно получить для ошибок алгебраических перемен- ных, определенных в табл.2. Переменная yij вычисляется точно, если i≤q. Если i= +q 1, то глобальная ошибка определяется только невязкой алгебраического уравнения и вы- ражается формулой
1( ) 0 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).
n+ yij n yij h yij h yij yij h yij h
∆ = α ∆ + δ δ = −
Эта ошибка имеет оценку O h( q+1) при − ≤ α <1 0 1 и O h( q) при α =0 1 (при α >0 1 чис- ленное решение расходится). Если i> +q 1, то в ошибку переменной yij могут войти со- ставляющие, обусловленные неточным вычислением дифференциальных переменных.
Если метод жестко точный, т.е. bT совпадает с последней строкой матрицы A, то все алгебраические уравнения решаются точно, а ошибки алгебраических переменных опре- деляются только ошибками дифференциальных переменных. Полученные для модель- ных уравнений результаты согласуются с утверждениями теоремы 1.1 из [4, с.423].
4. Жесткие уравнения
На основе алгебраического уравнения (7) можно построить жесткое дифференци- альное уравнение
0 0
( ( )) ( ), ( ), 0
u′= λ − ϕu t + ϕ′ t u = ϕ t λ < ,
которое предложили Протеро и Робинсон [2] для исследования феномена снижения по- рядка. Используя разложение ϕ(t) в ряд Тейлора, получаем выражение для глобальной ошибки в виде
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
!
k k
n n k kn
k q
d t h
u R z u e z z h
d t k
∞
+ = +
∆ = ∆ +
∑
ϕ = λ,где
T 1 1 T 1
( ) ( ) ( k k ) (1 k ), 1, 2,
e zk =zb I−zA − c −kAc − + −kb c − k = … (8)
– функции погрешности, предложенные в [5].
Таблица 3. Жесткие модельные уравнения.
Уравнение Функция погрешности
2 21 ( 21 1) 2
u′ = λ u −x + t zbT(I−zA) (−1 c2−2Ac)+ −(1 2b cT )
3 2
31 ( 31 1) 3
u′ = λ u −x + t zbT(I−zA) (−1 c3−3Ac2)+ −(1 3b cT 2)
2 32 ( 32 1 21) 3 2
u′ = λ u −x x + t zbT(I−zA) (2−1 c Ac⋅ −3Ac2)+ −(1 3b cT 2)
4 3
41 ( 41 1) 4
u′ = λ u −x + t zbT(I−zA) (−1 c4−4Ac3)+ −(1 4b cT 3)
2 3
42 ( 42 1 21) 2
u′ = λ u −x x + t zbT(I−zA) (2−1 c2⋅Ac−4Ac3)+ −(1 4b cT 3)
3 43 ( 43 1 31) 4 3
u′ = λ u −x x + t zbT(I−zA) (3−1 c Ac⋅ 2−4Ac3)+ −(1 4b cT 3)
3 44 ( 44 1 32) 2 3
u′ = λ u −x x + t zbT(I−zA) (6−1 c⋅A c2 −4Ac3)+ −(1 4b cT 3)
2 3
45 ( 45 21)
u′ = λ u −x +t zbT(I−zA) (4−1
( )
Ac 2−4Ac3)+ −(1 4b cT 3)Аналогичным образом сформируем жесткие модельные уравнения на основе ал- гебраических уравнений из табл.2. Полученные уравнения приведены в табл.3. Функции погрешности определим по аналогии с коэффициентами погрешности в виде
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ,
ij h ij ij h ij ij ij
e z = δ u u h δ u =u h −u h z= λh .
Заметим, что ei1( )z =e zi( ), где e z – i( ) функции погрешности (8), полученные при рас- смотрении уравнения Протеро-Робинсона. Пусть q – стадийный порядок метода, тогда
( ) 0
eij z ≡ при i≤q. Поэтому методы высоких стадийных порядков имеют преимущество
при решении жестких задач. Если i= +q 1, то все функции eij( )z равны между собой.
При повышении стадийного порядка уменьшается число различных функций погрешно- сти. Например, при q=2 имеем
31( ) 32( ), 41( ) 42( ) 45( ), 43( ) 44( ) e z =e z e z =e z =e z e z =e z .
Если i=q+1, то глобальная ошибка переменной uij выражается формулой
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
n+ uij R z n uij eij z uij h z h
∆ = ∆ + = λ (9)
и при R z( ) <<1 она примерно равна локальной ошибке. При значениях R(z), близких к
1, глобальная ошибка накапливается и может заметно превышать локальную ошибку. В
общем случае формула для глобальной ошибки переменной uij содержит, кроме eij( )z , также и функции погрешности более низких порядков. Например,
2 3
1( 31) ( ) ( 31) 3 21( ) 31( )
n+ u R z n u t h en z h e z
∆ = ∆ + + ,
( )
2 2 3 41( 41) ( 41) 6 21( ) 4 31( ) 41( )
n+ u R z n u t h en z t h en z h e z
∆ = ∆ + + + .
При e21( )z =0 ошибки переменных y31, y , а при 32 e21( )z =e31( )z =e32( )z =0 ошибки пе- ременных y41,…, y45 выражаются формулой (9). В этом случае повышается порядок главного члена погрешности, что приводит к повышению точности решения жестких задач.
Продемонстрируем значение функций погрешности. Рассмотрим 6 методов 3-го порядка, имеющих одинаковую функцию устойчивости R z( ) 1= + +z z2/ 2+z3/ 6, но разные коэффициенты и функции погрешности. Примем обозначения методов в виде RKspq (s – число стадий, p – порядок, q – стадийный порядок) и приведем их коэффи- циенты.
RK331:
0 1 2 1 2
1 1 2
1 6 2 3 1 6
− RK431:
0
1 2 1 2
1 1 0
1 1 2 2 1 2
1 6 2 3 1 6 1 3
− −
−
RK332:
0 0 0 0
1 2 1 8 1 2 1 8
1 1 2 2 1 2
1 6 2 3 1 6
−
− − RK531a:
0 1 3 1 3 2 3 2 3 0
1 1 0 0
1 1 12 3 2 3 4 1 6
5 4 3 15 4 2 1
−
− −
RK531b:
0
1 3 1 3
2 3 2 3 0
1 1 0 0
0 11 12 3 2 3 4 1 6
1 4 3 15 4 1 1
− −
− −
RK433:
0 0 0 0 0
1 3 5 36 2 9 1 36 0
2 3 1 3 2 9 7 9 2 9
1 5 4 3 15 4 1
5 4 3 15 4 1
−
− −
− −
− −
RK331 – явный метод, имеющий нулевые значения двух из четырех
коэффициентов погрешности 4-го порядка. Методы RK332 и RK433 являются неявными (хотя имеют такую же функцию устойчивости, как явные методы), благодаря чему уда- лось повысить их стадийный порядок. Методы RK431, RK531a и RK531b имеют тожде- ственно равные нулю функции погрешности; принцип их построения изложен в [7].
Будем решать этими методами задачу Капса
2 2
1 ( 2) 1 2, 2 1 2 2, 1(0) 2(0) 1, 0 1
u′ = − µ + u + µu u′ = − −u u u u =u = ≤ ≤t , (10) точное решение которой u t1( )=exp( 2 )− t , u t2( )=exp(−t) не зависит от параметра жест- кости µ. Максимальные относительные ошибки на всем интервале, полученные при ре- шении этой задачи с шагом h=1/40, приведены в табл.4. В таблице приведены также зна- чения коэффициентов погрешности e T( 4i), i=1,…, 4, а в третьей графе отмечены функ- ции погрешности: 0, если функция тождественно равна нулю, и крестик в противном случае. Методы с нулевыми функциями погрешности имеют преимущество, особенно заметное при увеличении жесткости. Этот факт невозможно объяснить в рамках класси- ческой теории. С помощью уравнения Протеро-Робинсона можно объяснить преимуще- ство методов, имеющих e21( )z ≡0 либо e21( )z ≡e31( )z ≡0. Однако преимущество метода RK531b по сравнению с RK531а остается необъяснимым. И только рассмотрение мо- дельных уравнений из табл.3 позволяет вывести функцию погрешности e32( )z и объяс- нить поведение ошибки всех шести методов.
Таблица 4. Ошибки решения задачи (10).
Ошибка Метод e T( 4i), i=1,…, 4 e21 e31 e32
=1
µ µ=20 µ=80 RK331 0, –1/3, 0, 1 × × × 1.3⋅10−5 4.7⋅10−5 2.4⋅10−4 RK431 0, –1/3, 0, 1 0 × × 1.0⋅10−5 8.8⋅10−6 1.1⋅10−5 RK332 0, 0, 1, 1 0 × × 9.9⋅10−6 8.2⋅10−6 1.4⋅10−5 RK531a 1, –1/3, 1, 1 0 0 × 1.0⋅10−5 8.8⋅10−6 1.1⋅10−5 RK531b 1, 1, 1, 1 0 0 0 8.3⋅10−6 2.4⋅10−6 1.6⋅10−6 RK433 1, 1, 1, 1 0 0 0 8.4⋅10−6 2.5⋅10−6 1.7⋅10−6
Таким образом, минимизация функций погрешности позволяет достичь эффекта, аналогичного повышению стадийного порядка. Некоторые способы минимизации функ- ций погрешности явных и диагонально неявных методов были рассмотрены в [5–8].
5. Дифференциально-алгебраические уравнения индекса 2
Дополним систему модельных уравнений уравнениями индекса 2. Алгебраические переменные индекса 2 zij определим с помощью уравнений, представленных в табл.5 (ограничимся деревьями до 2-го порядка). Эти переменные получены двумя разными способами: z11, z21 и z22 путем дифференцирования переменных индекса 1, а z23 и z24 в виде произведения определенных ранее переменных, среди которых должна быть хотя бы одна переменная индекса 2. Интегрируя переменные индекса 2, получим дифферен- циальные переменные индекса 1, среди которых есть уже определенные в табл.3 пере- менные, а также новые переменные, уравнения относительно которых представлены в табл.6.
Для вывода расчетных формул нам нужно определить операцию численного диф- ференцирования с помощью неявного метода Рунге-Кутты. Система ДАУ индекса 2, осуществляющая дифференцирование переменной ϕ(t), запишется в виде
0 0 0 0
, 0 ( ), ( ), ( )
y′=z = − ϕy t y = ϕt z = ϕ′ t .
В эту систему входит алгебраическое уравнение, которое уже рассматривалось, а также дифференциальное уравнение, задающее искомую переменную z. Используя неявный метод с обратимой матрицей A, получим
1 1 T 2 T
1 0 1 , [ ( 1 ), , ( )]
n n n n n s
z + = α z + α h− y +h− b A− Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ= ϕ +t c h … ϕ +t c h ,
T 1 T 2
0 1 lim ( ), 1 lim ( ( ) 0)
z z
R z z R z
− −
→∞ →∞
α = −b A e= α = −b A e= − α .
Эти формулы использовались при выводе выражений для ошибок решения модельных уравнений индекса 2.
Таблица 5. Модельные уравнения индекса 2 (алгебраические переменные).
Дерево Уравнение z tij( ) zij( )h
21 11
y′ =z 2 t hb A c T −2 2
31 21
y′ =z 3t2 h2bTA−2c3
32 22
y′ =z 3t2/2 h2 Tb A−2(c Ac ⋅ )
23 1 11
0=z −x z 2t2 h2 Tb A−1(c A c⋅ −1 2)
2 24 11
0=z −z 4t2 h2 Tb A−1(A c−1 2 2)
Таблица 6. Модельные уравнения индекса 2 (дифференциальные переменные).
Дерево Уравнение yij(t) ~ hyij( )
23 33 z
y′ = 2t3/3 h3 Tb (c A c⋅ −1 2)
24 34 z
y′ = 4t3/3 h3 Tb (A c−1 2 2) В общем случае имеем
∆n+1(y21)= α ∆0 n(y21)+ δh(y21), ∆n+1(z11)= α ∆0 n(z11)+ α1h−1∆n(y21)+ δh(z11). (11) Если выполняются условия b cT =1 2, b A cT −1 2 =1, то
0 3 3
1 3
3 3
( ) ( ), 1, 2,
( )
( ) ( ), 3, 4 ,
n j h j
n j
n j h j
y y j
y y y j
+
α ∆ + δ =
∆ =
∆ + δ =
(12)
а если к перечисленным условиям добавляется bTA−2c2=2, то
1
0 2 1 3 2
1 2
0 2 2
( ) ( ) ( ), 1, 2,
( )
( ) ( ), 3, 4.
n j n j h j
n j
n j h j
z h y z j
z
z z j
− +
α ∆ + α ∆ + δ =
∆ =
α ∆ + δ =
(13)
Согласно приведенным формулам, при α <0 1 глобальные ошибки переменных y21,
31,
y y и всех z32 ijасимптотически ведут себя как локальные ошибки и имеют такие же порядки. Если α = α =0 1 0 (таким свойством обладают L2-устойчивые схемы [9]), то гло- бальные ошибки этих переменных совпадают с локальными ошибками. Напротив, гло- бальные ошибки переменных y и 33 y накапливаются, 34 а их порядок на единицу мень- ше порядка локальных ошибок.
Из (11)-(13) следует, что в общем случае методы 1-го стадийного порядка (напри- мер, однократно диагонально неявные – SDIRK) обеспечивают порядок точности диф- ференциальных компонент не выше 2-го (переменные y21, y33, y ) и 34 порядок алгеб- раических компонент не выше 1-го (переменная z11). Попробуем улучшить эти оценки, потребовав выполнения дополнительных условий. Пусть метод имеет α <0 1 и порядок
3.
p≥ Тогда необходимым условием 3-го порядка дифференциальных и 2-го порядка алгебраических компонент является равенство нулю ошибок переменных y21, z11, y33,
34,
y что соответствует выполнению равенств
T 1 2 T 2 2 T 1 2 T 1 2 2
1, 2, ( ) 2 3, ( ) 4 3
− = − = ⋅ − = − =
b A c b A c b c A c b A c .
Метод SDIRK, удовлетворяющий этому условию, был предложен в [10]. Эксперименты по определению реального порядка при решении ДАУ индекса 2 показали, что он дейст- вительно обеспечивает 3-й порядок дифференциальных и 2-й порядок алгебраических компонент, тогда как методы SDIRK из [3,4,8] обеспечивают только 2-й и 1-й порядок соответствующих компонент.
Анализ модельных уравнений на основе деревьев более высоких порядков позво- ляет вывести необходимые условия порядка для методов, имеющих α <0 1, p≥ +q 2 и
2.
q≥ Тогда для обеспечения порядка q+2 дифференциальных и порядка q+1 алгебраи- ческих компонент при решении ДАУ индекса 2 необходимо выполнение условий
T 1 1 T 2 1 T 1 1
1, 1, ( ( )) ( 1) /( 2)
q q q
q q q
− + = − + = + ⋅ − + = + +
b A c b A c b c A c .
Мы рассмотрели неявные методы с обратимой матрицей A. Однако при решении систем ДАУ используют также неявные методы с вырожденной матрицей A и таблицей Бутчера вида
2 21 22 2
1 1,1 1,2 1,
T
1 2 1
1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
1
s
s s s s s
s s
c a a a
c a a a
b b b b
b b b
− − − − = c a A
b
…
, (14)
где матрица A обратима. Для таких методов приведенные выше формулы будут спра-
ведливы, если заменить A, b и c на A, b и c, а α0 и α1 вычислять по формулам
T 2 T 3
0 lim ( ) 1 , 1 lim ( ( ) 0)
z z
R z − z R z −
→∞ →∞
α = = −b A c α = − α = −b A c .
Кроме этого, для выполнения соотношений (12) при j=3,4 дополнительно должно вы- полняться равенство b A cT−2 2 =2.
6. Дифференциально-алгебраические уравнения индекса 3
Модельные уравнения индекса 3 строятся аналогично уравнениям индекса 2. Сна- чала определяем алгебраические переменные индекса 3 путем дифференцирования пе- ременных индекса 2 либо в виде произведения определенных ранее переменных, среди которых должна быть хотя бы одна переменная индекса 3. Интегрируя эти переменные, определяем дополнительные дифференциальные переменные. Уравнения, соответст- вующие деревьям низких порядков, представлены в табл.7. Методы стадийного порядка 2 или выше точно решают эти уравнения. Проанализируем ошибки, предположив, что метод имеет 1-й стадийный порядок и обратимую матрицу A.
Таблица 7. Модельные уравнения индекса 3.
Переменная Уравнение v t( ), ( )z t v h z h( ), ( )
v 01 z11′ =v01 2 T 3 2
2 0
− + α
b A c
0j ( 2)
v j≥ 0
0=v j −v01j 2j b AT −1(A c−2 2)j + α2j 0
1j ( 2)
z j≥ z1′ =j v0j 2jt hbT(A c−2 2)j
Локальные ошибки переменных v0 j не зависят от величины шага. Глобальные ошибки переменных z1 j при j≥2 могут накапливаться, тогда они имеют 0-й порядок.
Поэтому методы SDIRK в общем случае не обеспечивают даже 1-го порядка при реше- нии систем ДАУ индекса 3. С помощью модельных уравнений попробуем вывести усло- вия, обеспечивающие 1-й порядок дифференциальных и алгебраических компонент.
Необходимым условием 1-го порядка алгебраических компонент является точное вычисление всех переменных v0j. Выражение для глобальной ошибки переменной v 01 имеет вид
1 2
1( 01) 0 ( 01) 1 ( 11) 2 ( 21) ( 01)
n+ v n v h− n z h− n y h v
∆ = α ∆ + α ∆ + α ∆ + δ ,
где α = −b A e2 T −3 , δh(v01)=v01( )h −v01( ).h Предположим, что метод жестко точный. Для точного вычисления переменных v0 j необходимо выполнение равенства δh(v01)=0 и одного из двух равенств: α =1 0 либо δh(z11)=0. Пусть δh(v01)= δh(z11)=0. Тогда гло- бальные ошибки переменных z1j при j≥2 выражаются формулой ∆n+1(z1j)=∆n(z1j)+δh(z1j), поэтому необходимым условием 1-го порядка дифференциальных компонент является равенство нулю этих ошибок. Условия, обеспечивающие точное вычисление всех пере- менных v0j, z1j, запишутся в виде
