Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ф. Д. Гахов, О современном состоянии теории кра- евых задач аналитических функций и особых ин- тегральных уравнений, Тр. сем. по краев. зада- чам, 1970, выпуск 7, 3–17
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 01:52:07
КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА
Вып. 7 Труды семинара по краевым задачам 1970
Ф. Д. Г АХОВ
О СОВРЕМЕННОМ СОСТОЯНИИ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ОСОБЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ныне, когда рассматриваемая теория получила широкое рас пространение и плодотворные приложения, когда установлены ее многообразные связи и взаимопроникновение с рядом дисцип
лин, математических и иных, уместно указать ее истоки и про
следить основные этапы ее развития.
В отличие от большинства других математических дисциплин в исследовании краевых задач аналитических функций длитель
ное время не было одной сплошной линии, а продвигалось оно отдельными толчками.
Можно точно указать источник теории краевых задач, это — две работы Римана: раздел 19 его диссертации [1а], защищенной и опубликованной в 1851 г., и работа о дифференциальных урав
нениях [16], написанная в 1857 г., а опубликованная лишь спустя 10 лет после его смерти — в 1876 г. Первая из них кладет начало тому типу задач, когда в краевом условии связываются значе
ния вещественной и мнимой частей аналитической функции.
Простейшая из них ныне называется задачей Гильберта (у не
которых авторов — Римана — Гильберта). Однако, хотя у Ри
мана речь идет о краевых соотношениях весьма общего харак
тера (некоторые из них не исследованы и поныне), ни одна из задач им не формулируется отчетливо, как задача для решения.
Ведется просто рассуждение о минимальных условиях на кон
туре, которыми может быть определена аналитическая в области функция. Напротив, в работе [16] однородная краевая задача, называемая ныне именем Римана (сопряжения), формулиру
ется как практическая задача для решения прямо в ее нынешней постановке; при этом сразу для любого числа пар функций и с разрывными коэффициентами.
Возникает она из принципиально важной задачи построения линейного дифференциального уравнения по заданной группе подстановок, претерпеваемых его интегралами при обходе около
особых точек (группа монодромии). Правда, и здесь никаких путей для решения задачи не указывается.
Понадобилось еще полвека для того, чтобы краевые задачи аналитических функций были поставлены как практические проблемы для исследования и найдены методы решения. Это связано с именами двух выдающихся математиков — Д. Гиль
берта и А. Пуанкаре.
В 1900 г. на Парижском конгрессе математиков Гильберт в числе своих знаменитых 23 проблем формулирует и упомянутую выше задачу Римана о дифференциальном уравнении с задан
ной группой монодромии (21-я проблема). На следующем кон
грессе математиков в Гейдельберге [2а] он докладывает первое решение краевой задачи, названной затем его именем.
(Ищется аналитическая функция F(z) = u(x, y)+iv(x, у) по
краевому условию a(s)u(s) +b(s)v(s) =c(s)). (1) Решение это оказалось неудачным, т. к. опиралось на еще не
разработанную в то время теорию сингулярного интегрального уравнения. Два года спустя (1905 г.) он дает другое, уже вер
ное, решение этой задачи, правда, неполное, без использования индекса и подсчета числа линейно независимых решений, но в принципиальном отношении близкое к современному. Чуть позже для линейного дифференциального уравнения второго по
рядка им была решена задача Римана о группе монодромии.
В то же время Пуанкаре [3] в связи с работой над теорией приливов рассмотрел задачу более общую, чем (1), при наличии в краевом условии нормальной и касательной производной.
В связи с этим им была получена весьма важная формула о перестановке порядка интегрирования в повторном особом инте
грале *.
Прямым продолжением работ Гильберта служат непосредст
венно последовавшие за ними статьи И. Племеля [4а, б]. В них было дано законченное решение проблемы Римана. Главным в этих работах является привлечение впервые в качестве аппарата исследования интеграла типа Коши. Здесь им были получены, достаточно строго, важнейшие для всей теории формулы для предельных значений на контуре интеграла типа Коши**.
Прошло еще полтора десятка лет до нового мощного толчка.
Им оказались труды Нетера и Карлемана (1921—23 годы).
Работа Нетера [5], где для вещественного особого интегрального уравнения с ядром Гильберта были получены три теоремы, нося
щие ныне его имя, может считаться началом общей теории осо
бых интегральных уравнений. Работы Карлемана [6а, б] явля
ются исходной точкой теории особых интегральных уравнений с
* Формула содержит небольшую погрешность в одном коэффициенте, точные формулы с достаточно строгим выводом даны Г. Бертраном [7а] в
1923 г.
** О работе по этому вопросу Ю. В. Сохоцкого [10], первым получившим эти формулы, далее.
ядром Коши, а также со степенным (обобщенное уравнение Абеля) и логарифмическим ядром. К этому же периоду отно
сятся работы Бертрана [7].
Через 11—14 лет последовал новый толчок, вызванный рабо
тами И. И. Привалова [8а] (1934 г.) и двумя работами, выпол
ненными в Казани автором обзора (1937—38 г.).
Центр "яжести исследований по теории краевых задач анали
тических функций и особых интегральных уравнений переме
стился в СССР, и начиная с этого времени работы идут непре
рывным потоком. Это продолжается до настоящего времени.
В 40-х годах работа велась, главным образом, школой грузин
ских математиков и механиков под руководством Н. И. Мусхе- лишвили и И. Н. Векуа. Начиная с 50-х годов, рассматриваемая тематика широко распространяется по Советскому Союзу, во
влекая с каждым годом все большее и большее число математи
ков и математических центров. Некоторые сведения об этом содержатся в обзоре, сделанном автором на конференции мате
матиков Белоруссии в 1964 г. [9а].
Не следует думать, что промежутки между указанными
«толчками» были ничем не заполненной пустотой. Можно ука
зать ряд теоретических и, в особенности, прикладных работ, вы
полненных в это время. Это прежде всего важнейшие работы по теории интеграла типа Коши Ю. В. Сохоцкого [10] 1873 г., Гарна-
ка [11] 1885 г., И. И. Привалова [86] 1918 г., затем работы Воль- терра [12] 1883 г., Синьорини [13] 1916 г., Келдыша и Седова [14]
1937 г. по смешанной краевой задаче аналитических функций.
Несмотря на большую важность этих и еще ряда других работ, они все же по тем или иным причинам оказались разрозненными эпизодами, тогда как «толчки» стоят в прямой преемственной связи друг с другом и являются прямыми предшественниками нынешней теории.
Источником большого числа прикладных работ, тесно свя
занных с рассматриваемой теорией, у нас и за рубежом послу
жила механика сплошной среды, именно — плоские задачи гидромеханики и теории упругости. Из них укажем лишь на советские работы М. А. Лаврентьева по вопросам обтекания дуг кривых и на работы Н. И. Мусхелишвили и его ближайших последователей — С. Г. Михлина и Д. И. Шермана по теории упругости. Прикладные работы постоянно оказывали стимули
рующее воздействие на общую теорию и нередко становились ее источником. Общая теория все время развивалась в тесном взаимодействии с теорией плоских задач механики сплошной среды, примером чему может служить международный симпо
зиум по приложению теории функций к механике сплошной среды в 1963 г. в Тбилиси, а также настоящая конференция.
В последние годы, кроме этой традиционной области приложе
ний, появился ряд новых областей, в том числе квантовая меха
ника, в частности, теория дисперсных соотношений.
Исключительное положение занимают работы Н. И. Мусхе лишвили [15а, б]. Начиная с 1922 г., он систематически исполь зует интегралы типа Коши в решении плоских задач теории упругости. Эти работы, хотя и не будучи непосредственно свя
занными с общей теорией краевых задач аналитических функций и особых интегральных уравнений, оказали прямое воздействие на эту теорию. Автор настоящего обзора мог проследить это на себе самом *. Совершенное владение соответствующим матема
тическим аппаратом позволило Н. И. Мусхелишвили стать при
знанным родоначальником рассматриваемой теории. Это, а так
же некоторые благоприятствующие обстоятельства военного и послевоенного времени, сделали Тбилиси на длительное время главным центром исследований по теории краевых задач ана
литических функций и особых интегральных уравнений.
Ныне рассматриваемая тематика распространилась геогра
фически настолько широко, что просто теряется возможность перечислить все места, где ведется в этом направлении работа Можно лишь указать два центра, где, по традиции, работа ве
дется наиболее интенсивно: это Казанский и Ростовский универ
ситеты. Охватить обзором всю необычайно расширившуюся тематику невозможно. По необходимости, придется коснуться лишь некоторой ее части. В отборе важнейшего неизбежно будут сказываться субъективные вкусы автора. Несколько облегчит нашу задачу то обстоятельство, что здесь же на конференции будут сделаны обзоры по некоторым отдельным проблемам рас сматриваемой теории. Изложение будет вестись в основном те
матически, а не персонально, т. е. будет отдаваться предпочте
ние связному изложению перед освещением вклада отдельных исследователей. Из выполненных работ и их авторов будут упо минаться лишь те, которые, по мнению докладчика, являются в рассматриваемом вопросе основополагающими или наиболее значительными.
Самым важным приложением теории краевых задач анали
тических функций является решение с их помощью в замкнутой форме различного рода особых интегральных уравнений. Пер
выми были решены Нетером [5] и Карлеманом [6а] соответствен
но с помощью краевых задач Гильберта и Римана уравнения с ядром Гильберта и ядром Коши. Затем, с помощью той же за
дачи Римана, были решены уравнения типа свертки, со степен
ным (обобщенные уравнения Абеля), логарифмическим и авто- морфным ядром. О последнем типе уравнений подробно будет сказано ниже. Если не считать стоящего особняком, идущего от Гильберта [2а] метода сведения уравнения с ядром Гильберта к краевой задаче Гильберта, зо всех остальных случаях использу
ется единообразно метод аналитического продолжения в ком
плексную плоскость.
* См. Ф. Д. Гахов [9в], стр. 79.
Вводится,в рассмотрение аналитическая функция, представ
ленная криволинейным интегралом. Ядро интегрального пред
ставления подбирается так, чтобы все члены интегрального урав
нения, содержащие искомую функцию, могли быть выражены через предельные значения на контуре, введенной аналитической функции. Так возникает краевая задача Римана на контуре, где задавалось уравнение. После решения краевой задачи решение интегрального уравнения находится из одного из соотношений для предельных значений интеграла, представляющего аналити
ческую функцию. В простейших случаях это уравнение является линейным алгебраическим, в более сложных случаях оно может оказаться линейньш дифференциальным или интегральным.
Метод сведения путем аналитического продолжения инте
грального уравнения к краевой задаче Римана осуществим для весьма широкого класса уравнений, ядра которых представляют собою комбинацию ядер степенного, логарифмического и поляр
ного типов. Препятствием к распространению этого плодотвор
ного метода являются трудности осуществления последнего этапа — отыскания решений по формулам для предельных зна
чений вспомогательных аналитических функций. Лишь в неболь
шом числе простых случаев эти формулы дают уравнения, раз
решаемые в замкнутой форме; как правило же, эти последние уравнения оказываются хотя и проще исходных, но все же на
столько сложными, что решение их невозможно без использова
ния общих приемов решения интегральных уравнений, а это уже нарушает цельность метода. Более развернутое изложение ска
занного можно найти в работах К. Д. Сакалюка [16а, б] и автсра [9д, е].
Среди уравнений, приводящихся к краевой задаче Римана, особое положение занимают уравнения типа свертки. Прежде всего, это класс уравнений, чрезвычайно богатых приложениями.
Через эти уравнения теория краевых задач соприкасается с исключительно обильной областью практического знания. К ним относятся классические разделы математической физики: рас
пространение тепла, гидроаэромеханика, теория упругости, тео
рия колебаний, охватывающая разнообразнейшие физические процессы, а также возникающие новые области знания — тео
рия атомного ядра, кибернетика, теория автоматического регу
лирования и управления, теория массового обслуживания и др.
Этот класс уравнений настолько важен и разработанная здесь теория настолько обширна и многообразна, что целесообразно было бы по этому классу уравнений дать особый обзорный док
лад. Его мог бы прочитать Ю. И. Черский, являющийся ныне лучшим знатоком этой теории. Нам из-за недостатка места при
дется ограничиться лишь схематическим очерком.
Методом сведения уравнений типа свертки к краевой задаче является преобразование Фурье. По форме это отличается от описанного выше метода аналитического продолжения с по-
7
мощью интегральных представлений. Однако это различие лишь кажущееся. Легко, несколько видоизменив рассуждения, придти к методу аналитического продолжения. Вспомогательная анали
тическая функция представляется здесь в виде интеграла Фурье с комплексным аргументом. Используемый ныне способ приве
дения уравнения к краевой задаче удобен тем, что он сближает эту теорию с широко распространенным методом решения раз нообразных задач с помощью интегральных преобразований.
Пионером в деле сведения интегрального уравнения типа свертки к краевой задаче Римана был И. М. Рапопорт [17]. Пол ная теория этого класса уравнений построена, главным образом, трудами Ю. И. Черского. Весьма важные результаты содер
жатся в его первой работе [18а], выполненной им еще в студен
ческие годы в Казани. Серьезные трудности встретились при исследовании интегральных уравнений с ядрами, имеющими на бесконечности рост или убывание порядка показательной функ
ции. Здесь приходится иметь дело с рядом своеобразных слу чаев; возникающие здесь краевые задачи разнообразны, некото рые из них (так называемые односторонние) оказываются весь ма сложными и к тому же некорректными. Некоторые из них были исследованы недавно Э. И. Зверовичем и Г. С. Литвинчу- ком [19]; большинство не рассматривалось в общем виде до настоящего времени.
Класс уравнений типа свертки включает в себя не только интегральные уравнения, но и ряд других: интегродифферен циальные, дифференциально-разностные, дифференциальные, а также разнообразные типы бесконечных алгебраических систем с разностными индексами. Среди всех этих задач особенно вид ное место занимают дифференциальные уравнения в частных производных с краевыми условиями, заданными на лучах, па раллельных оси абсцисс. Уравнения такого типа охватываю!
весьма широкий круг физических явлений, в особенности, явле
ний диффракции всевозможных волн и явлений, происходящих в слоистых средах. Эти задачи приводят непосредственно к крае
вым задачам Римана. Число пар искомых функций пропорцио- налььз числу лучей, на которых заданы краевые условия. Боль шое число таких задач, в их числе и многие прикладные, были решены Ю. И. Черским [18в]; были использованы не только ме
тоды решения краевых задач, но и различные численные методы Работы по уравнениям типа свертки последних лет имеют два направления: теоретико-функциональное и конструктивное, Первое из них состоит в использовании теории функций дей
ствительного переменного и разрабатываемой в функциональном анализе общей теории операторных уравнений для установле
ния общих свойств уравнений типа свертки и расширения области их применения на более общие классы функций и функ
циональных пространств. Первой в ряду таких работ была статья Ю. И. Черского [18г], где теория уравнения типа свертки была
получена в качестве частного случая из разработанной здесь же автором теории общего сингулярного уравнения. М. Г. Крейн [20] освободился от условия принадлежности преобразований Фурье ядер к классу гельдеровских функций и распространил имеющуюся теорию на ряд функциональных пространств. Име
ется большое количество работ, содержащих доказательство нормальной разрешимости и справедливости теорем Иетера для различных обобщений уравнений свертки.
За последние годы появилось много работ, посвященных тео
рии уравнений в различных классах обобщенных функций. При самой общей постановке задачи, когда решение получается в функционалах на некоторых пространствах основных функ
ций, результаты, по-видимому, имеют лишь теоретическое значе
ние, т. к. неясно, каким образом такого рода решения могут быть использованы в практических задачах. Однако, имеются некото
рые классы обобщенных функций, в первую очередь, б-функции и ее производные и функции неинтегрируемого порядка роста, имеющие определенный практический интерес. Нужно пожелать, чтобы теория таких практически полезных функций была по
строена самостоятельно, независимо от теории обобщенных функций, как функционалов.
В связи со сказанным сделаем одно историческое отступле
ние. Эйлер на заре возникновения математического анализа пользовался и расходящимися рядами, и расходящимися инте
гралами. Коши, наведший в анализе порядок, запретил исполь
зование этих операций, как логически незаконное. Но этим он обеднил анализ, лишив его действенных средств, полезных в практике. Ряд лет физики «незаконно» пользовались запрещен
ными в математике объектами, извлекая из этого немалую вы
году. Происходящее ныне в математике распространение основ
ных аналитических операций на широкие классы функций пред
ставляет собою преодоление педантизма Коши и возврат к смелым воззрениям Эйлера. Требуется лишь произвести это рас
ширение области воздействия анализа наиболее разумно и эко
номно, не загромождая обоснование излишней абстракцией.
Упомянем в заключение о том, что ряд авторов допускает в качестве решений аналитические функции, имеющие рост сколь угодно высокого порядка. Они получают очевидный ответ, что уравнения безусловно разрешимы и допускают бесконечно большое число решений. С нашей точки зрения такого рода обоб
щения выходят за границы разумного.
Обобщения конструктивного характера состоят во введении в уравнения дополнительных членов. Ими могут быть сопряжен
ные значения искомых функций, ядра нового типа, например, зависящие от суммы аргументов, или более общо — от их линей
ной комбинации. В последние годы появился цикл работ по урав
нениям со многими ядрами (Б. И. Симоненко, Л. С. Раковщик, Ф Д. Беркович, И. И. Комяк). Ядра таких уравнений хотя и раз-
9
ностные, но меняют свой вид на отрезках вещественной оси;
Общим для всех этих исследований является то, что они при
водят к различного рода обобщенным краевым задачам, не раз
решающимся, как правило, в замкнутой форме. Возникающие краевые задачи разнообразны; в них встречаются члены с сопря
жением и сдвигом; о таких задачах мы будем говорить ниже.
В случае уравнений со многими ядрами возникают функцио
нальные уравнения нового типа, решение которых, в общем слу
чае, неизвестно. Исследование таких задач идет в двух направ
лениях. С одной стороны, используя теоретико-функциональные методы, исследуют общие свойства (главным образом, нормаль
ную разрешимость и теоремы Нетера), с другой —отыскиваются такие частные классы уравнений, для которых решение может быть получено в замкнутой форме. При некоторых условиях на ядра уравнений удается или свести уравнение к цепи краевых задач Римана с одной парой искомых функций или привести к такой краевой задаче Римана со многими неизвестными, методы исследования которой уже получены.
В заключение укажем, что Ю. И. Черский разработал спе
циально для решения уравнений типа свертки приближенные методы, которые он сам и ряд его учеников успешно применили для решения ряда практических задач.
На этом, далеко не исчерпав темы, мы покидаем теорию уравнений типа свертки и переходим к уравнениям с автоморф- ными ядрами и связанным с ними краевым задачам в классе автоморфных функций. Задача освещения нами этой обширной темы облегчается тем, что на конференции будет прочитан Л. И. Чибриковой специальный доклад на эту тему.
Истоки особых интегральных уравнений с автоморфным ядром лежат в области теории краевых задач для уравнений смешанного (эллиптико-гиперболического) типа. Частные виды такого рода уравнений были получены и решены искусственными приемами Ф. Трикоми, Е. Гелерстедтом, А. В. Бицадзе. В 1954 г.
была опубликована работа Ф. Д. Гахова и Л. И. Чибриковой [21], где этот класс уравнений был связан с теорией автоморф
ных функций. Несколько позже Л. И. Чибрикова [22а] обобщила решение на случай бесконечных групп и дала решение большого числа практически важных уравнений с периодическими и двояко-
периодическими ядрами. Интересно отметить, что, в частности, было решено на принципиально новой основе знаменитое исто
рически уравнение с ядром Гильберта, первое из особых инте
гральных уравнений, ставшее известным математикам, на кото
ром Нетер построил общую теорию сингулярных интегральных уравнений. Этот класс уравнений был включен в общую схему уравнений, решаемых методом аналитического продолжения.
При этом было получено существенное обобщение; вместо необ
ходимого ранее отрезка (0,2я), здесь уравнение решается на любой конечной сумме отрезков. Кроме того, в этой и последую-
щих работах Л. И. Чибрикова дала многочисленные приложения краевой задачи Римана в классе автоморфных функций к раз
личным практическим задачам гидромеханики, теории упругости, теории уравнений смешанного типа и другие.
Начиная с 1959 т., независимо от описанных исследований, стали появляться работы ученика Л. И. Волковысского Ю. А. Ро
дина [23], посвященные краевой задаче Римана на римановых поверхностях. Одновременно тот же вопрос за рубежом стал разрабатывать В. Коппельман. В 1961 г. Л. И. Чибрикова [226]
показала, что теория краевой задачи Римана в классе автоморф
ных функций, взятая в общем виде, включает в себя и теорию этой задачи на римановых поверхностях. Начиная с этого вре
мени, обе эти теории развиваются параллельно, взаимно пере
плетаясь. Л. И. Чибриковой и ее учениками, Ю. А. Родиным и другими решено большое число разнообразных краевых задач на римановых поверхностях и в классе автоморфных функций.
Ныне эта тематика представляет собою мощную ветвь общей теории краевых задач аналитических функций.
К сказанному добавим еще следующее. Решение задач на римановых поверхностях в своем чистом виде представляет собою проблематику теоретическую; основным предметом иссле
дования здесь являются вопросы существования. В этом направ
лении и развивалась теория. Однако в последнее время выясни
лось, что полученные здесь результаты приложимы и к задачам на обыкновенной плоскости, причем не только для выяснения принципиальных вопросов разрешимости, как это имеет место, например, в случае задачи Гильберта для многосвязной области.
В последнее время появился большой цикл статей Л. И. Чибри
ковой и ее учеников по решению краевых задач для областей, ограниченных алгебраическими кривыми, методом симметрии.
Я не буду вдаваться здесь в подробности, т. к. этому вопросу посвящен специальный доклад Л. И. Чибриковой. Укажу лишь, что в связи с этим появляется потребность в разработке алго
ритмической стороны вопроса. Существующая теория, как уже говорилось выше, приспособлена ныне лишь к решению вопро
сов существования. Я могу отметить лишь две работы, где для некоторых частных случаев римановых поверхностей разработан алгоритм решения, это — только что опубликованная работа Ю. И. Черского [18е] и находящаяся еще в печати статья Э. И. Зверовича.
Теперь мы переходим к обширной группе краевых задач, содержащей в краевом условии члены с сопряженными значе
ниями искомой функции и с ее значениями в разных точках кон
тура. Коротко их называют задачами с сопряжением и со сдви
гом. В простейшем своем виде они содержат значения лишь сопряженные или лишь сдвинутые. Теория зародилась с этих простейших задач и вначале развивалась раздельно, причем задачи со сдвигом имеют уже более чем полувековую историю,
и
а задачи с сопряжением лишь около двух десятков лет. Решение задач со сдвигом излагается в учебно-монографической литера
туре и останавливаться на них здесь нет нужды. Для задач с сопряжением серьезное исследование с подсчетом числа линейно независимых решений началось лишь в последнем десятилетии и продолжается до сих пор. Первой среди них была работа Б. В. Боярского [24], где впервые были выделены эллиптический и параболический случаи, допускающие полное качественное исследование. Л. Г. Михайлов [25] уточнил и обобщил результаты Б. В. Боярского и упростил методы их получения. Дальнейшее уточнение получено И. X. Сабитовым [26]. Г. С. Литвинчук [27а], связав исследование задачи сопряжения с теорией устойчивости частных индексов, получил дальнейшее уточнение результатов.
Соединение в одном краевом условии членов со сдвигом и с сопряжением порождает весьма большое число разнообразных краевых задач и равносильных им интегро-функциональных уравнений. Основные свойства их тоже разнообразны. Здесь встречаются задачи и уравнения, для которых справедлива тео
рия Нетера; наряду с ними, другие, подчиняющиеся альтерна
тиве Фредгольма, а также и такие, для которых обе эти теории причудливо переплетаются. Имеются также и односторонние задачи, для которых теряется нормальная разрешимость. Иссле
дованию всех этих задач посвящено большое число работ Г. С. Литвинчука, Э. Г. Хасабова, Л. Г. Михайлова, Э. И. Зверо- вича, Р. А. Кордзадзе и ряда других авторов. Из-за большой разветвленное™ результатов и сложности их формулировок изложить их в кратком виде нет возможности. Мы сошлемся на опубликованную в прошлом году обзорную статью Э. И. Зверо- вича и Г. С. Литвинчука [196]. Однако следует отметить, что, к сожалению, эта статья в ряде мест написана излишне усложнен
ным языком. Укажем также на важный результат Г. С. Литвин
чука [27 а, б] — подсчет индекса одного весьма общего интегро- функционального уравнения. Здесь наряду с теорией краевых задач им весьма успешно были использованы топологические методы.
К этому же кругу задач можно отнести еще такие, когда на различных контурах, ограничивающих область, краевые условия заданы в различных формах. В простейшем случае комбиниру ются основные краевые условия Римана и Гильберта. Могут сочетаться одно из этих условий с условием сопряжения или сдвига и т. п. Укажем здесь на работу И. С. Рогожиной [28].
В заключение остановимся на одном новом, но многообещаю
щем разделе теории краевых задач, появившихся совсем недав
но. Речь идет о краевых задачах с бесконечным индексом. Пока что исследования касаются лишь простейшего случая — задачи Римана, и можно указать лишь двух исследователей — Н. В. Го
ворова и П. Г. Юрова. Работы первого являются основополагаю
щими.
Переход к бесконечному индексу является естественным об
общением. Однако несмотря на то, что задачей Римана занима лось весьма большое число математиков и по ней и ее обобще
ниям написаны сотни работ, переход к случаю бесконечного индекса до самого последнего времени не был осуществлен. При
чину этого не трудно указать.
Индекс задачи, как известно, равен числу нулей решения (минимально допустимое число полюсов в случае отрицатель
ного индекса). Общее решение записывается в виде произведе
ния функции, определяемой в квадратурах, на многочлен, нули которого совпадают с нулями решения. При переходе к беско
нечному индексу возникают сразу две трудности: во-первых, квадратуры могут оказаться расходящимися, во-вторых, и это главное, общее решение выражается уже не через многочлен, а через целую функцию, поведение которой на бесконечности может быть весьма разнообразным.
Уже давно ставились проблемы, приводящие при общей по
становке к краевым задачам с бесконечным индексом. Здесь можно указать на опубликованную еще в 1945 г. работу Н. И. Ахиезера «Об обращении интеграла типа Коши на счет
ном множестве отрезков вещественной оси» и на работы С. А. Фрейдкина (Кишинев) и В.А.Пааташвили (Тбилиси), рас
сматривавших краевую задачу Римана на счетном множестве контуров. Однако все эти авторы, уклоняясь от трудностей за
дачи с бесконечным индексом, брали лишь такие классы реше
ний, для которых индекс остается конечным. Нам известны еще и некоторые другие работы, где авторы прямо пытались решать краевые задачи с бесконечным индексом. Но возникающие здесь серьезные трудности не были преодолены и работы эти не уви
дели света.
Теперь, после работ Н. В. Говорова, когда вопрос прояснился, легко понять причины этого. Дело не только в том, что специа
листы по теории краевых задач недостаточно глубоко знают тео
рию целых функций и потому не в состоянии использовать ее во всем объеме. Главное оказывается в том, что существующий аппарат теории целых функций недостаточен для решения крае
вых задач. Ранее перед теорией целых функций не возникало проблем, подобных тем, которые выдвигаются краевыми зада
чами аналитических функций, поэтому соответствующие разделы ее оказались неразработанными. Перед исследователем прежде всего встала задача построения нужных разделов теории целых функций. С этой задачей автор полностью справился.
Прежде всего Н. В. Говоров уточнил постановку краевой задачи. Это необходимо ввиду многообразия в поведении целых функций на бесконечности. Автор положил в основу случай, когда индекс имеет стремление на бесконечности порядка сте
пенной функции, и ограничил допустимые решения классом функций вполне регулярного роста. Далее, он подчинил класс
13
решений естественному требованию ограниченности. Отбор ре
шений, удовлетворяющих последнему условию, доставил иссле
дователю наибольшие трудности. Я особенно подчеркиваю это обстоятельство потому, что в последнее время стало почти мод
ным так расширять класс допустимых функций, чтобы решение существовало безусловно и притом — в бесконечном множестве.
Но такая постановка, как уже указывалось ранее, чаще всего означает не преодоление трудностей решаемой проблемы, а уход от них, т. к. задача отбора из решений, принадлежащих широ
кому классу и удовлетворяющих некоторым естественным огра
ничениям, присущим проблеме, представляет собой задачу, как правило, несравненно более трудную, чем отыскание решений в широких классах.
Если бы исследователь допустил в качестве решений неогра
ниченные на бесконечности функции, перед ним не было бы труд
ностей, он легко установил бы существование таких решений и притом в бесконечном числе. Но автор не пошел по такому легкому пути. Он ограничил класс решений теми функциями, которые обычно используются при классической постановке. Но задача отыскания решений в таких классах оказалась весьма сложной и для ее решения прежде всего потребовалось усовер
шенствовать аппарат теории целых функций.
Доказательство вспомогательных предложений последней теории, данное в «приложении» к его диссертации [296], состав
ляет около 40% всего ее объема. Опубликованные статьи Н. В. Говорова далеко не отражают объема выполненной им работы и достигнутых в ней результатов. Автору приходится вводить некоторые принципиально новые понятия, такие, напри
мер, как понятие аргументной плотности и др., и устанавливать ряд новых фактов теории целых функций. Я не хочу углубляться в перечисление результатов Н. В. Говорова в этой области.
На основе общей теории целых функций и сделанных в ней дополнений Н. В. Говоров дает полное решение краевой задачи Римана в описанной выше постановке. При этом он получает ряд существенно новых, не имеющих аналогии в прошлом, ре
зультатов. Главными из них являются существование бесконеч
ного числа линейно независимых решений при плюс бесконеч
ном индексе и необходимость выполнения бесконечного числа условий разрешимости при минус бесконечном индексе. Наряду с этими результатами, хотя и принципиально новыми, но ожи
даемыми, устанавливаются на примерах результаты, кажущиеся, на первый взгляд, совершенно парадоксальными — пример не
разрешимой однородной задачи Римана с плюс бесконечным индексом и пример разрешимой однородной задачи с минус бес
конечным индексом.
В работах П. Г. Юрова [30а, б] решена краевая задача Ри
мана в случае бесконечного индекса, имеющего рост логарифми-
14
ческого порядка. Характерным для этих работ является широкое использование теории конечных разностей.
По теории краевых задач с бесконечным индексом сделано пока немного; однако, я не сомневаюсь, что эту тематику ждет большое будущее. Правда, расширение и углубление ее будет еще продолжительное время сдерживаться необходимостью изу
чения далеко лежащего от теории краевых задач сложного аппарата теории целых и мероморфных функций. Новые иссле
дователи здесь будут вербоваться, главным образом, за счет молодежи. Но я не сомневаюсь, что примерно через десятилетие теория краевых задач с бесконечным индексом станет мощной ветвью нашей тематики. Не совсем ясно в отношении ее прак
тических приложений. Но уже сейчас имеются попытки исполь
зовать имеющиеся здесь результаты при решении некоторых задач теории упругости.
Л И Т Е Р А Т У Р А
(Работы расположены в порядке цитирования)
1. Р и м а н Б. а) Основы общей теории функций одной комплексной пере мениой. Сочинения, ГИТТЛ, М. — Л., 1948, 78—81.
б) Две теоремы общего характера, касающиеся линейных дифферен циальных уравнений с алгебраическими коэффициентами. Сочинения, 176—186.
2. Н i 1 b е г t D. a) Ober eine Anwendung der Integralgleichungen auf eine problem der Funktionentheorie. Verhandl. des III Int. Math. Kongr., Heidelberg, 1904.
b) Grundzuge einer algemeinen Theorie der Integralgleichungen. Leipzig Berlin, 1912.
3. P o i n c a r e A. Lecons de mecanigue Celeste, t. III. Paris, Chap. X, 1910 4. P l e m e l j I. a) Ein Erganzungssatz zur Cauchyschen Integraldarste lung... Monatschefte fur Math. u. Phys., XIX, 1908, 205—210.
b) Riemannsche Funktionenscharen mit gegebene Monodromiegruppe. Jbid., 211—245.
5. No e t h e r F. Ober eine klasse singularer Integralgleichungen. Math Ann., Bd. 82, 1921, 42—63.
6. C a r l e m a n T. a) Stir la resolution de certaines equation integraies Arkiv for matem., astr. och fys. Bd. 16, N 26, 1922, 1—19.
b) Abelsche Integralgleichung mit konstanten Grenzen. Math. Z., Bd. 15, 1922, 111—120.
7. B e r t r a n d G. Le probleme de Dirichlet et le potentiel de simple couche Bull. sci. math., 2 ser., t. XLVII, 1923.
8. П р и в а л о в И. И. а) Об одной граничной задаче. Матем. сб., т. 41 : 4.
1934, 519—526.
б) Интеграл Коши. Изв. Саратовского ун-та, 1918.
9. Г а х о в Ф. Д. а) О краевой задаче Римана. Матем. сб., 44, № 4, 1937, 673—683.
б) Линейные краевые задачи теории функций комплексной переменной Изв. Казанск. физ.-матем. об-ва, X, сер. 3, 1938, 39—79.
в) Краевые задачи аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения. Изв. Казанского физ.-мат. об-ва, т. XIV, сер. 3, 1949, 75—160.
г) О современных проблемах теории краевых задач аналитических функ
ций и особых интегральных уравнений. Диф. уравн., т. I, № ^ 1965.
10. С о х о д к и й Ю. В. Об определенных интегралах и функциях, упот
ребляемых при разложении в ряды. С, Петербург, 1873.
11. Н а ш а с A. Beitrage zur Theorie des Cauchyschen Integrals. Ber. d.
Sachs, d. Wis. Math. — Phys. klasse, Bd. 37, 1885, 379—398.
12. V o l t e r r a . Sopra alkune condizioni caratteristische per funzioni di variabile complessa, Ann. math. (2), t. 11, 1883.
13. S i g n o r i n i . Sopra un problema ol contoro nella teoria delle funzioni di variobile complessa, Ann. mat. (3), t. 25, 1916.
14. К е л д ы ш М. В. и С е д о в Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций. ДАН СССР, т. XVI, № 1, 1937, 7—10.
15. М у с х е л и ш в и л и Н. И. а) Некоторые основные задачи теории упругости. Изд. АН СССР, 1933.
б) Сингулярные интегральные уравнения. ГТТИ, М., 1 изд., 1946.
16. С а к а л ю к К. Д. а) Некоторые особые интегральные уравнения с полярными, степенными и логарифмическими ядрами. Уч. Зап. Кишин. ун-та, т. 50, 1962, 103—109.
б) Обобщенное интегральное уравнение Абеля с внутренними коэффи
циентами. Уч. Зап. Кишин. ун-та, т. 82, 1965, 60—68.
17. Р а п о п о р т И. М. О некоторых парах интегральных и интегродиф- ференциальных уравнениях. Сб. трудов ин-та матем. АН УССР, 12, 1949,
102—118.
18. Ч е р с к и й Ю И. а) О некоторых особых интегральных уравнениях.
Уч. Зап. Казанск. гос. ун-та, 113, № 10, 1953, 43—55.
б) Об уравнениях типа свеотки. Изв. АН СССР, сер. матем., 22, № 3 , 1958, 361—378.
в) Задачи математической физики, сводящиеся к задаче Римана. Труды Тбил. матем. инст., т. XXVIII, 1962, 209—246.
г) Общее сингулярное уравнение и уравнение типа свертки. Матем. сб., т. 41, №> 3, 1957, 277—296.
д) Интегральные уравнения типа свертки и некоторые их приложения.
Докторская диссертация. Тбилиси, 1964.
е) Задача сопряжения на двулистной поверхности. Матем. иссл.
АН Молд. ССР, т. III, вып. 3.
19. 3 в е р о в и ч Э. И. и Л и т в и и ч у к Г. С. а) Об односторонних крае
вых задачах теории аналитических функций. Изв. АН СССР, т. 28, № 5, 1964, 1003—1036.
б) Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные функциональные уравнения. УМН, т. XXIII, вып. 3, 1968, 67—121.
20. К р е й н М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зави
сящим от разности аргументов. УМН, т. XIII, вып. 5, 4—120.
21. Г а х о в Ф . Д. и Ч и б р и к о в а Л . И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме. Матем. сб., т. 35,
№ 3, 1954, 395—436.
22. Ч и б р и к о в а Л. И. а) О краевой задаче Римана для автоморфных функций. Уч. зап. Казанск. ун-та, т. 116, кн. 4, 1956, 59—ПО.
б) Краевая задача Римана для автоморфных функций в случае групп с двумя инвариантами. Изв. ВУЗов, матем., № 6, 1961, 121—131; № 3, 1962.
23. Р о д и н Ю. А. Об условиях разрешимости краевых задач Римана и Гильберта на римановых поверхностях. ДАН СССР, т. 129, № 6, 1959, 1234—
1237.
24. Б о я р с к и й Б. В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта.
Сообщ. АН Груз. ССР т. 25, № 4, 1960, 385—390.
25. М и х а й л о в Л. Г. Общая задача сопряжения аналитических функ
ций и ее применение. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 27, № 5, 1963, 969—992 26. С а б и т о в И. X. Об общей задаче линейного сопряжения на окруж
ности. Сиб. матем. ж., т. 5, № 1, 1964, 124—129.
27. Л и т в и н ч у к Г. С. а) Теория Нетера системы сингулярных инте
гральных уравнений со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными не
известными. Изв. АН СССР, т. 31, № 3, 1967, 563—586.
б) Исследования по краевым задачам со сдвигом для аналитических функций и сингулярным функциональным уравнениям. Докторская диссерта
ция. Минск, 1968 г.
28. Р о г о ж и н а И. С. Об одной краевой задаче со смещением для кусочно аналитических функций. Изв. ВУЗов, Матем., № 2(45), 1965, 139—151.
29. Г о в о р о в Н. В. а) О краевой задаче Римана с бесконечным индек
сом. ДАН СССР, т. 154, № 6, 1247—1249.
б) Краевая задача с бесконечным индексом. Докторская диссертация.
Харьков, 1968 г.
30. Ю р о в П. Г. а) Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка. Изв. ВУЗов, Матем., № 2(51), 1966.
б) Краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка. Кандидатская диссертация. Ростов-на-Дону, 1969.
Л -428. - 2
