физ., 1988, том 28, номер 8, 1149–1162

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Егорушкин, Н. Б. Зябрев, А. Н. Тихонов, Много- факторная задача нелинейного программирования с убы- вающей функцией затрат, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1988, том 28, номер 8, 1149–1162

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 01:49:42

ЖУРНАЛ.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Том 28, 1988 № 8

У Д К 519.86

МНОГОФАКТОРНАЯ З А Д А Ч А НЕЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ С У Б Ы В А Ю Щ Е Й ФУНКЦИЕЙ З А Т Р А Т ЕГОРУ ШКИН А. А . , ЗЯБРЕВ Н. Б., ТИХОНОВ А. Н.

(Москва)

Р а с с м а т р и в а е т с я н е п р е р ы в н ы й аналог многофакторной н е л и н е й н о й задачи математического п р о г р а м м и р о в а н и я большой р а з м е р н о с т и с у б ы ­ в а ю щ е й ф у н к ц и е й затрат, в о з н и к а ю щ е й п р и построении о п т и м а л ь н ы х п л а н о в совместного производства одного вида п р о д у к ц и и и н е с к о л ь к и х видов вспомогательного оборудования. Д л я ее р е ш е н и я п р и м е н я ю т с я а л ­ горитмы декомпозиции, основанные н а и с п о л ь з о в а н и и с т р у к т у р ы мно­

ж е с т в а р е ш е н и й подзадач. Описаны у с л о в и я с у щ е с т в о в а н и я р е ш е н и я и множество р е ш е н и й , а т а к ж е п р е д л о ж е н ы э ф ф е к т и в н ы е методы по­

строения о п т и м а л ь н ы х планов.

Введение

Рассматриваемая задача возникает при построении оптимальных пла­

нов производства и подготовки производства слояшых изделий в услови­

ях, когда целевая функция планирования зависит от объема к факторов подготовки производства.

Рассмотрим нелинейный функционал вида м k

(1) •C(X)=i[^Jⁱxⁱ(t)+n(t)T(X(t),t)]dt,

О j= 1

где

(2) X=X(t) = (X^t),.^::,X^k(t)), * = [ 0 , J f ] , t

X'(t) = l x^j(x)dx+X⁰\ / = 1 , 2 , . . . , к,

О 1

причем - м

(3) \n{t)dt=N,

О ' •

(4) . 0 * £ 2 J * J ( 0 ^ ( * ) , t=i'0,M], 3=1

(5) 0<x^j(t)<b^J(t), j=l+l,...,k, Kl^k,

(6) 0<n(t)<a(X(t), 0 = a ( Z ' ( i ) , . . . , X^k(t), t), £= [0, M], ft

(7) ZJUXW)<£WU i=l,2,...,p.

Здесь все функции определены при любых рассматриваемых значе­

ниях своих аргументов, причем B(t)>0, 6 j ( * ) > 0 , / = Z + 1 , . . . , к. Счита­

ется, что x^s(t), 2 , . . . , к, b³{t), y W + l , к , n{t), T(X(t), t)^r 1149-

<a(X(t), t), B(t), t^[0, M], интегрируемы no t при любом конечном зна­

чении M, a(X(t), ^ ) = a ( Z¹( 0 , • • • , X^h(t), t) - непрерывная, a T{X{t), t) =

= J T ( Z¹( 0 » • • • i X^h(t), t) — непрерывная, строго убывающая по каждой компоненте вектора X функции. Последнее условие выделяет задачу с убывающей функцией затрат [ 1 ] . Постоянные N, М, f^h d³\ X^0j, / = 1 , 2 , . . .

. . . , i = l , 2 , . . . , р, положительны. Отметим, что функция d(X(t), i) в неравенстве (6) нелинейно зависит от x{t) = {xi(t),..., xh(t)},- t^[0, М].

Будем интерпретировать введенные величины следующим образом:

для выпуска N сложных изделий необходимо произвести подготовку про­

изводства в объеме Х ( £ ) = ( Х ' ( £ ) , . . . , X^h(t)). Через n(t) и x³{t), j=

= 1 , 2 , . . . , к, обозначены плановые производительности выпуска основ­

ных изделий и вспомогательного оборудования /-го вида, а через T(X(t), t) и fj, / = 1 , 2, . . . , к,— удельные трудоемкости их изготовления, причем T(X(t), t) уменьшается с ростом объема произведенного и имею­

щегося к моменту времени t вспомогательного оборудования. Здесь Х⁰\ 7 = 1, 2, . . . , /с,— количество вспомогательного оборудования каждого вида,

имеющегося к начальному этапу планирования. Ограничения мощностей производства ( 4 ) , (5) при / = Z + 1 , . . . , к относятся к выпуску x³{t) на специальном, а при 7 = 1 , 2 , . . . , I — на универсальном оборудовании. Не­

равенство (6) выражает ограничение на выпуск основной продукции, ко­

торое зависит от объема подготовки производства, а соотношение (7) — .директивно заданные ограничения на ресурсы, например на производст­

венные площади, связанные с общим количеством вспомогательного обо­

рудования. Целевая функция С(Х) выражает суммарные трудозатраты на производство N единиц изделий и вспомогательного оборудования в объеме X.

Основная рассматриваемая задача состоит в отыскании плана {#(£), n(t)}, на котором целевая функция (1) достигает своего мини­

мального значения с учетом ограничений (2) — ( 7 ) .

Эта задача в изложенной непрерывной постановке является однопро- дуктовой и многофакторной задачей оптимального планирования. Анало­

гичные задачи в однофакторном случае в непрерывной и дискретной по­

становках исследованы в [ 2 ] , [ 3 ] . Ниже будут описаны условия сущест­

вования решения, получена структура множества решений основной (ко­

ординирующей) задачи и подзадач, рассмотрены другие сопутствующие задачи, имеющие практическое применение, предложены алгоритмы по­

строения оптимальных планов и исследованы свойства оптимальных ре­

шений. Для решения поставленной задачи большой размерности будем использовать приемы параметрической декомпозиции и отбрасывания части ограничений [ 4 ] . В качестве параметра возникающих подзадач ис­

пользована величина Х(t), определенная соотношением ( 2 ) .

§ 1. Задача оптимального планирования без ограничения по времени

Пусть время М реализации программы производства основной про­

дукции и вспомогательного оборудования может быть выбрана сколь угодно большим. Рассмотрим подзадачу, в которой количество вспомога­

тельного оборудования каждого вида, требуемое для производства N изде­

лий, фиксировано и удовлетворяет ограничениям ( 7 ) :

T{M)=Z\ / = 1 , 2 , . . . , Л.

Предполагается, что

• м

(1.1) \b^j{t)dt>2, . / = Z + 1 , . . . , A ,

о

М I

(1.2)

О j=i

м

(1.3) \a(X(t),t)dt>N.

• О -

Неравенства (1.1) —(1.3) означают, что производство основной продукции и вспомогательного оборудования в требуемых объемах за весь период планирования возможно. Здесь и всюду в дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать, что объемы различных видов вспомогательного оборудования Z\ . . . , Z^h выражены в единицах одной размерности.

Сформулируем следующую задачу: среди всевозможных планов {x{t)^y n(t)} найти такой, при котором суммарные трудозатраты на производство N единиц продукции и вспомогательного оборудования в объеме Z =

= (Z¹,..., Z^h) были бы минимальными, т. е.

(1.4) C(Z)-» min ,

{x{t),n(t)},M

где x{t), n(t) удовлетворяют ограничениям ( 4 ) , ( 5 ) , причем м

(1.5) / = 1 , 2 , . . . , к,

О

м

(1.6) \n(t)dt=N.

О

Из неравенств (1.1) —(1.3) следует существование допустимого плана.

Следуя [ 2 ] , [ 3 ] , нетрудно показать, что имеет место

Т е о р е м а 1. Для того чтобы допустимый план {x(t), n(t)} при фик­

сированных Z\ / = 1 , 2, . . . ,7с, был решением задачи (1.4) с ограничениями (4) — ( 6 ) , (1.5), (1.6), необходимо и достаточно, чтобы он был последова­

тельным планом [ 2 ] , [ 3 ] по каждой компоненте x³(t), 7 = 1 , 2 , . . . , к.

Положим

(1.7) 1=1+1,..., к, *<=[0, т,], где т³ определяется из условий

т,

\b³{t)dt=Z\ y = Z + l , . . . , / c .

о

Поскольку величины f³ не зависят от времени, то существует бесконечна много планов x³(t), / = 1 , 2, . . . , Z, t^[0, М], производства вспомогатель­

ного оборудования в объемах Z¹, . . . , Z¹ с одинаковыми трудозатратами,.

1151

равными , ^; l m;

3=1 qj

где q³ и rrtj — моменты начала и окончания производства вспомогательного оборудования /-го вида соответственно. Естественно среди них выбрать план, время выполнения которого минимально. Согласно [ 2 ] , этот план должен быть полностью сдвинут влево по (xi(t),.. • , Xi(t)), т. е.

г

(1.8) Ц 0<t<m⁰,

где момент времени т⁰ определен соотношением

гп0 I

\B(t)dt = YiV.

О з=1 Обозначим

m = тах(ттг⁰, max m³).

l + i < 3 ^ k

Отметим, что момент времени m окончания производства вспомогатель­

ного оборудования в объеме Z=(Z\ . . . , Z^h) определен однозначно. По­

ложим

(1.9) п ( * ) = 0 , * е [ 0 , ттг), n(t)=a(Z, t), t^[m, Ж*], где момент времени М* находится из соотношения

м*

\a{Z,t)dt=N.

тп

Величина М* — минимальное время, за которое возможно произвести про­

дукцию и вспомогательное оборудование в требуемых объемах с мини­

мальными трудозатратами, равными

k М*

C(Z)='

^l

£

ⁱ

f

ⁱ

0'+l a(Z,t)T(Z,t)dt.

3=1 m

-Отметим, что оптимальный план, реализуемый за время АР, еще не явля­

ется единственным, поскольку существует бесконечно много планов Xj(t), . / = 1 , 2 , . . . , Z, ^ [ 0 , я г⁰] , производства вспомогательного оборудования в

объемах Z\ / = 1 , 2 , . . . , / , удовлетворяющих условию ( 1 . 8 ) . Для единст­

венности решения можно, например, потребовать директивного установ­

ления порядка производства вспомогательного оборудования Z\ /=

= 1, 2, . . . , Z, и условия последовательности его реализации (в данном слу­

чае под последовательностью реализации понимается запрещение начала производства вспомогательного оборудования i-то вида, пока не закончено производство оборудования (i—1)-го вида).

Рассмотренная подзадача имеет решением последовательный план. Од­

нако условие (5) может привести к ситуации, когда на определенном про­

межутке времени А ^ [ 0 , т⁰] производится лишь один вид вспомогатель­

ного оборудования Z\ / = Z + 1 , . . . ,7с, причем в достаточно малом объеме, 1152

а At достаточно велико. Это может служить неоправданным поводом для увеличения общего времени производства М*. Остановимся на этом вопро­

се более подробно.

Зафиксируем произвольный момент времени с о ^ ( 0 , т) и положим W ( с о ) = Л Г — ( с о ) , где /?((D) определяется условием

га М*

Nⁱ = \a{X{t),t)dt = J a(Z,t)dt, N^N, т<р(а>)<М\

со p ( c o )

a

F(o>)=\a(X(t),4)T(X(t),t)dt- J a(Z,t)T(Z,t)dt.

со p ( c o )

Здесь F(co) — приращение суммарных трудозатрат, a ^ ( c o ) — выигрыш во времени окончания производства вспомогательного оборудования и основных изделий в требуемых объемах Z = ( Z⁴, . . . , Z^h} и TV соответствен­

но, если производство основной продукции начато в М о м е н т сое (0, т).

Рассмотрим задачу

(1.10) f ( o ) ) - > m i n , Ч**(со)-* max, 0<(д<т.

со со

Эту двухкритериальную задачу можно решать путем введения обобщен­

ного критерия, например экономического, предварительно приведя оба частных критерия F(со) и ^ ( с о ) к единой размерности.

Решение задачи (1.10) определяет оптимальный момент времени нача­

ла производства основной продукции с точки зрения минимального уве­

личения суммарных трудозатрат и максимального сокращения времени производства.

Т е о р е м а 2. Решение задачи (1.10) согласно [ 2 ] есть полностью сдвинутый влево по каждой компоненте x^d(t), / = 1 , 2, и вправо по n(t) план.

На этом исследование двухкритериальной задачи закончено.

Рассмотрим координирующую задачу без учета ограничений ( 7 ) . Ис­

следуем вопрос об определении оптимального количества вспомогатель­

ного оборудования X , необходимого для производства N единиц основного продукта. Для этого достаточно, как следует из теоремы 1, решить зада­

чу поиска

(1.11) minC(;X") на множестве П-планов.

х

Здесь через П обозначено множество последовательных планов [ 2 ] .

Л е м м а 1. Решение задачи (1.11) существует, а в случае выпуклости по X функции T(X(t), t) оно единственно.

Доказательство следует из [ 3 ] .

Поскольку момент окончания производства фиксированного количест­

ва X вспомогательного оборудования в виде полностью сдвинутого влево оо каждой компоненте x^d(t), / = Г , 2 , . . . , плана не зависит от порядка производства различных видов оборудования, можно считать, что произ­

водство осуществляется последовательно.

Обозначим через p^h q^h соответственно, моменты времени начала и конца производства вспомогательного оборудования ./-го вида при после­

довательном способе производства. Тогда для любого фиксированного Х=

2 ЖВМ и МФ, № 8 Ц 5 3

= ( Х * , . . . с у ч е т о м того,что T(X(t), t)=T(X) при t^m, получаем

C(X) =

Tjf>l

^{B(t)dt +}

^IL

^{f>\Ь^)М + Т(Х)1} a(X(t),t)dt=

) j ^{= 1} Pj 3=1 + 1 PJ m

Отсюда следует, что если Т (X) — непрерывно дифференцируемая по X функция, то минимум С(Х) можно искать, например, из системы уравнен

ний '

— С (X) =/^a.+iV — Т (X) = 0 , / = 1 , 2 , . . : , к.

В частности, для имеющей место на практике зависимости а

' г(Х)=Х,^(хо-

^а

',

3=1

где aj, ^ — некоторые положительные константы, минимум достигается^

в единственной точке

y=(tfa,fc//i)

^{1 / ( e}

'

^{+ 1}

\

/ = 1 , 2,...,

к.

Отсюда следует, что оптимальное количество X^j вспомогательного обору­

дования возрастает с увеличением объема производства основных изделий:

и с уменьшением удельных трудоемкостей изготовления оборудования..

При постановке задачи естественно считать, что Т(Х)-+°° при стрем­

лении к нулю любой компоненты вектора Х=(Х\ . . . , X^h). Это условие- означает лишь то, что производство основной продукции без использова­

ния хотя бы одного вида вспомогательного оборудования невозможно.

Тогда условие / = 1 , 2 , . . . , /с, где X^j — решение задачи (1.11), будет выполняться автоматически.

Отметим, что изложенная задача дает минимально возможное значение суммарных трудозатрат (без учета ограничений по времени и ресурсам) на выполнение программы выпуска. Будем называть решение этой зада­

чи точкой глобального минимума. Значение С (X) в точке глобального ми­

нимума важно для оценки решения общей задачи.

В заключение параграфа учтем директивные ограничения (7) на ре­

сурсы, связанные с общим количеством вспомогательного оборудования- Как и выше, эта задача сводится к поиску (1.11) при условиях (7) и

(1.12) Я>0, / = 1 , 2 , . . . , к.

В случае выпуклости функции Т (X) она имеет единственное реше­

ние, которое может быть найдено подходящим методом условной оптимиза­

ции, например методами проекции градиента или условного градиента.

Отметим, что задача (1) —(7) в условиях отсутствия ограничения на вре­

мя производства фактически сводится к задаче минимизации функции к переменных на множестве, заданном системой линейных ограничений-не­

равенств, и не представляет особой сложности, а задача построения о п ­ тимальных планов {x(t), n(t)} при фиксированных значениях Х =

= (Х¹,.. ., X^k) ж N — к задаче численного интегрирования.

1154

1

Итак, для решения задачи оптимального планирования без ограниче­

ния по времени необходимо сначала решить задачу вида (1.11), (1.12), { 7 ) , а затем, используя полученное в результате ее решения значение Х—(Х\ . . . , Z^{f e}) , построить последовательный план вида (1.7) —(1.9).

На этом рассмотрение задач с отсутствием ограничения на время произ­

водства завершается.

§ 2. Задача оптимального планирования с ограничением на время производства

Задача с учетом директивного ограничения на время производства ос­

новной продукции и вспомогательного оборудования существенно отли­

вается от рассмотренных выше. Это связано главным образом с тем, что порядок производства вспомогательного оборудования X¹, . . . , Z^{f t}, а так­

ж е его характер (последовательное, параллельное производство) влияют на величину суммарных трудозатрат.

Пусть величина М задана директивно, причем т<М<М*. Рассмотрим подзадачу с фиксированным значением X. Требуется построить оптималь­

ный план производства N изделий и вспомогательного оборудования в объеме

X = Z , Z=(Z\...,Z^h).

Т е о р е м а 3. Для того чтобы допустимый план являлся решением по­

ставленной задачи, необходимо, чтобы он был полностью сдвинут влево мо x(t) и вправо по n(t) (С-план).

Доказательство проводится аналогично [ 2 ] .

Полученная структура решения рассматриваемой задачи позволяет .всюду в дальнейшем считать, что при / = Z + f l , . . . , к

*i(0=bj(0, * = [ 0 , m , ] ,

где величины т^д- определяются соотношениями

\bⁱ{t)dt=z\

;=ш,...л

о

ш эти виды вспомогательного оборудования не учитывать. Момент време­

ни т окончания производства вспомогательного оборудования в объемах Z\ . . . , Z^l определен однозначно и находится из условия

т I

О j = 1

Поэтому суммарные трудозатраты на производство N изделий основной продукции и вспомогательного оборудования в объеме Z = ( Z^r, . . . , Z^Z) мо- вгут быть представлены в виде

m l М

C{Z)=\'

^S

£jf

ⁱ

x

ⁱ

{t)dt

⁺

l

T(Z,t)a{Z,t)dt +

О j = i т т

+ lT(X(t),t)a(X(t),t)dt,

V

тде р — момент начала производства основной продукции. Поскольку 2* 1155

r(X(t), t)=T{Z) при t>m,

m l I m I

о j = l j = i о j = l

то задача минимизации C(X) на множестве всевозможных планов {х(t)^

n(t)} сводится к задаче поиска на множестве С-планов

т • • ' ,' •

(2.1) m i n \ T { X { t ) , t ) a ( X { t ) , t ) d t

при условиях

(2.2) / = 1 , 2 , . . . , I, т[р, и » ] , "

(2.3) £V(0=£(0,.' *=[/>, \ '

^;

т М

(2.4) j а (X(I), 0 ^ = Л7 - j а (Z, t).dl=N.0,

р m m

(2.5) |.гД<) < / / = # , / = 1 , 2 , . . . , / , ..• •

где момент времени р начала ^производства основной продукции также*

подлежит определению. .

Сначала избавимся от ограничений (2.2), сделав замену переменных вида

x^d{t) = [d^d(t)]\ где

-оо<^(0<+°°.

Для удобства записи здесь и всюду в дальнейшем будем считать, что подобная замена произведена, но для "новых переменных сохранены обо­

значения £ j ( £ ) , / = 1 , 2, . . . ,

I.

Зафиксируем некоторый момент времени т ^ ( 0 , т) и решим задачу

т

(2.6) min

J r ( Z ( 0 ,

t)a(X(t),t)dt

с ограничениями (2.5) и i

Для задачи (2.6) построим функцию Лагранжа [ 5 ] вида

H(xi(t),... \-^Xi (t) (t),^ⁱ,...,4>^l,t)=T(X(t),t)a(X(t),t) +

I - I

+Ф

(t) [

Ц ^x,

(t) -B (t) ]

+ <р, ^(x

^{t (t) -Zs). . ,}

Здесь q)j, / = 1 , 2 , . . . , I — неизвестные постоянные, ty(t) — неизвестная' 1156

функция. Тогда решение задачи (2.6) сводится к отысканию

т

min $H(x

ⁱ

(t),...,x

^l

(t),y(t),y

^u

*.

^r

,<p

^l

,t)dt

ⁱ

'( ../,

^л

па всем пространстве. Уравнения Эйлера имеют вид

-^[T(X(t),t)a(X(t),t)]+^(t)+^o, / = 1 , 2 , . , . , г . дх³

Решая систему 21+1 уравнений

(2.7а) -^-[T(X(t),t)a(X(t),t)]+^(t)+^0, / = 1 , 2 , . . . , Z^r я.

OXJ . ••• : . \ . /г.,,:}

т

(2.76)

| ^ ( 0 ^ = ^ ,

/ " = ' 1 , 2 , . . . , Z, ;1

0

I • '

(2.7в)

YiX,{t)=B(t), '

*=[т,те],-

• 3=1

относительно (2Z+1)-го неизвестного ^ ( Z ) , <PJ>

/ф(0»-

^{/ — 1 ,} 2 , . . . , Z, можно получить решение задачи ,(2.6), Поскольку в (2,6). •< функция. T(X(t)^

t)a(X(t), t) не зависит от производных x³(t), j=l¹ 2, . . . , 1у,що решение.си­

стемы (2.7) не зависит от момента времени т. Следовательно, для полу­

чения решения задачи (2.1) —(2.5) необходимо сначала, определить ве­

личины Xj(t), / = 1 , 2, . . . , Z, £ е [ 0 , тп], найдя V- ^ ;

m

m m j Я ( #t ( Z ) x^t ( t ) , г|) (Z), ф^ь . . . , ф,, Z) dZ ^; J '

на всем пространстве, а затем определить момент времени р начала про­

изводства основной продукции из соотношения ^ • *

т у

(2.8) j a(Xⁱ(t),...,X^,(t),t)dt=N⁰,

где 7V⁰ находится из условия ( 2 . 4 ) , а

t • •^г

У(0= .[.гДтМт,

/ = 1 , 2 , . . . , / .

о

Т е о р е м а 4. Дс/ш функция T(X(t), t)a(X(t),t) непрерывна вместе со своими частными производными по х³ в области X^j>0, 7 = 1, 2 , . . . , 1⁹ то решение задачи (2.1) —(2.5) существует и может быть' получено как решение системы (2.7) и соотношения ( 2 . 8 ) .

Перейдем к рассмотрению подзадачи, в которой задано суммарное ко­

личество вспомогательного оборудования, требуемое для производства изделий основной продукции, т. е.

II ^ =^Z o . ' -*rrZ

1 1 5 t

В таких условиях задача построения оптимального плана сводится к -отысканию

M l

,(2.9) min

J[Jjc,(*)fi+T(X(t),t)a(X(t),t)\dt

с ограничениями

Z м

(2.10) XJI *i(t)dt=Zo.

3=1 о

Предполагается, что

м

О ^

Решая данную задачу аналогично (2.1) без учета ограничения (2.10), на­

ходим x²(t), £ ^ [ 0 , М], 7 = 1 , 2 , . . . , /.Затем по величине Z⁰ можно опреде­

лить момент окончания производства вспомогательного оборудования т шз соотношения

т

Z

^a

= \B{t)dt.

0

Следовательно, оптимальное количество каждого вида вспомогательного оборудования

m

z'^jx^dt, / = i , 2 г,

о

причем

i

где x³(t) — решение (2.9).

Найдя величину

м .;• •; :•

Л

⁷

,= j a(Z,t)dt,

т

можно определить момент р начала производства основной продукции из условия

т

j a(X

¹

(t),...,X

^l

(t),t)dt=N-N

ⁱ

,

Р

где

t

Xⁱ{t)=\x^s(x)dx, / = 1 , 2 , . . . , Z .

1158

Например, если

где а, ^ — некоторые положительные константы, а{Х, t)=a{t);, £•=/=

= c o n s t , / = 1 , 2 , . . . , Z, то решение задачи (2.9) имеет вид i

Теперь можно приступить к решению координирующей задачи поиска m i n C ( X ) при условиях (2) — ( 7 ) . Существование ее решения следует из

х

непрерывности функций a(X(t)^r t) и T(X{i), t) в области X^j> 0 , / = 1 , 2 , . . . . . . . , Z (см. [ 3 ] ) . Решение проводим в такой последовательности. Для лю­

бого фиксированного значения Х=(Х\..., X¹) строим оптимальный п о суммарным трудозатратам план { # ( £ ) , n(t)} описанным в § 2 алгоритмом и определяем величину С (X) по формуле

I М т

C(X) = Yjh

^Xi+T

<

^X

) IMXit)dt+$ T(X(t),l)a(X(t),*)dt,

3=1 . т р

поскольку T(X(t), t)=T(X) при

t€=[m,

М]. Тогда задача ( 1 ) - ( 7 ) сводит­

ся к минимизации функции С(Х) при условии, что X принадлежит допу­

стимому множеству, определенному соотношением (7) и условием X^j>0⁷ 7 = 1 , 2, . ... , Z. Эту задачу решаем каким-нибудь подходящим методом у с ­ ловной оптимизации. Получив оптимальную точку (Х*\ .. ., X*¹), строим требуемый план по описанному выше алгоритму. Из рассмотренного сле­

дует

Т е о р е м а 5. Если T(X(t), t)— выпуклая по Х=(Х\ . . . , X¹) функ­

ция, a(X(t), t)T(X(t), t) — дважды непрерывно дифференцируемая по X функция в области X^j> 0 , / = 1 , 2 , . . . , Z, то решение задачи (1) —(7) су­

ществует, единственно и может быть найдено предложенным алгоритмом.

§ 3. Некоторые свойства оптимальных решений

Результаты, полученные выше, могут быть использованы для исследо­

вания зависимостей оптимальных планов {x(t), n(t)} и оптимальных зна­

чений целевого функционала С(Х) от таких входных параметров и функ­

ций задачи, как N,M, #(£), f^iy / = 1 , 2 , . . . , к. Эти зависимости позволяют оценить проигрыш при «волевом» задании указанных параметров (в част­

ности, срока М выполнения заказа) по сравнению с минимально возмож­

ным значением С{Х). Здесь и всюду в дальнейшем через X^N=(X^N\, . . . . . , X^Nh) обозначено оптимальное количество вспомогательного оборудо­

вания, требуемое для производства N единиц основной продукции, а через C(X^Ny iV)—значение целевого фуйкционала С{Х). Рассматриваемые за­

висимости следуют из таких свойств.

С в о й с т в о 1. С ростом N оптимальное значение C(X^N, N) возрастает (величина I f фиксирована).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Данное утверждение не вполне очевидно, по­

скольку увеличение N влечет изменение ^ . З а ф и к с и р у е м некоторое значе­

ние Ni>N. Сначала рассмотрим случай, когда решение задачи оптималь­

ного планирования производства Ni изделий основной продукции есть по- 1159

следовательный план, а значит, оптимальное значение целевого функцио­

нала при производстве N единиц продукта достигается также на П-плане.

Поэтому

C(X„,N)<C(XNl,N)=J\ifjXN>+T(XNl)N, следовательно,

С (XNi, N) < ^^Хт'+Т(Хт) N^C (XN„ N\).

Пусть решениями задач производства N и N^t изделий основного продукта являются С-планы. Тогда

ft м

•С (X^N, N) <C(X^Nl, N) = Yi hX»!+T{X^N) J a (X^Nl(t), t) dt+

' 3=t m^N - •

J

M- •

ft

^ + 1T (X^Ni (t), t) a(X^Nl (t) ,0<X, / A V +

M M

+T(XNi) I a(X^Nl(t)1t)dt+ j TiX^WrfaiXMrfdt-CiX^NJ,

.поскольку m^Nt>m^N, p^NI<PN, a(X, t)>0при t^[m^Ni, M] и T{X, t)a(X, t)>0 при t=[p^N.„ М].

< В заключение рассмотрим случай, когда решением задачи производст­

ва N изделий является П-план, a N^t изделий является С-план. Тогда

с(х^ю<с(х^ю^^^+т(х

^т

)м^

ft ft м

^X^+TiX^N^ YjfiXv'+TtX^) j a{X^Ni(t),t)dt+

<

i = i

м

+ t)a{X^NXt),t)dt,

что следует из монотонного убывания функции Т(Х) по каждой компо­

ненте Х= (Х\ . . . , . Свойство доказано.

Отметим, что увеличение N может привести к ситуации, когда решение поставленной задачи перестает существовать.

С в о й с т в о 2. Для любых фиксированных значений X я N существу­

ют и однозначно определены значения М* и М⁰ такие, что при М>М* ре­

шением поставленной задачи является П-план, при М⁰<^М<М* решением .является С-план, а при М<М0 решения не существует,

Доказательство следует из предыдущих рассмотрений.

. Будем понимать под увеличением B(t), te[0, Ж ] , такое изменение B{t) на &i(t), что B^l(t)>B(t) для всех te[0, М], причем для некоторого множества A t e [О, М] ненулевой меры Bi(t)>B(t), t^At. Аналогично оп­

ределим понятие увеличения b³(t), / = Z + 1 , . . « , к, 1160

С в о й с т в о 3. Если при некоторых фиксированных значениях X , N и М решением исходной задачи является С-план, то с увеличением B(t), b³(t) значение целевого функционала С(Х) не увеличивается. Причем если время р начала производства основной продукции таково, что р ^ р о > § , то можно так увеличить B(t) и b³(t), что решением поставленной задачи б у ­ дет являться П-план с минимально возможным значением целевого функ­

ционала.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что с увеличением В(t), b³(t) вре­

мя т, необходимое для производства вспомогательного оборудования в за­

данных объемах Х\ . . . , X^hy уменьшается. Следовательно, увеличивается количество основного продукта, произведенного с минимально возможной удельной трудоемкостью его изготовления, равной Т(Х\ . . . , Х^к). Отсюда вытекаем уменьшение значения целевого функционала С(Х, N). Посколь­

ку р>ро>0, а Х=(Х\ . . . , X^h) ограничено сверху, то можно так увели­

чить 5 (Z) и bj(t), j=l+lⁱ >;., /с, что время, необходимое для производства всех видов вспомогательного оборудования в требуемых объемах, не будет превосходить р . Это гарантирует существование решения в виде П-плана с минимально возможной (для фиксированных значений X и АО величи­

ной целевого функционала.

Отметим, что если в условиях свойства 3 решением поставленной зада­

чи является П-план, то увеличение B(t) и b³(t) не меняет значения целе­

вого функционала, но приводит к уменьшению М* — минимального време­

ни, за которое возможно произвести продукцию и вспомогательное обору­

дование в требуемых объемах.

С в о й с т в о 4. Если при фиксированных значениях X ж N решением поставленной задачи является С-план, то с увеличением М значение целе­

вого функционала уменьшается до некоторой величины и при дальнейшем увеличении не меняется.

Доказательство проводится аналогично [ 3 ] .

С в о й с т в о 5. В условиях теоремы 5 с уменьшением суммарного к о ­ личества вспомогательного оборудования

значение целевого функционала возрастает, а при дальнейшем уменьшен нии X решение может перестать существовать.

Д о к а з а т е л ь с т в о . С уменьшением X уменьшается количество о с ­ новного продукта, производимого в единицу времени, и одновременно воз­

растает минимально возможная удельная трудоемкость его изготовления, что приводит к возрастанию значения целевого функционала. Дальнейшее уменьшение X может привести к ситуации, когда за промежуток време­

ни М произвести N единиц основного продукта невозможно.

Алгоритмы, предложенные в § 1, 2, программно реализованы и проил­

люстрированы на численных экспериментах. Расчеты проведены на ряде тестовых примеров, соответствующих разработке оптимальных планок {x(t), n(t)} на пятилетку с шагом планирования продолжительностью в месяц при двух видах вспомогательного оборудования и р=1. Подобные задачи требуют определения 180 неизвестных величин. Получение реше­

ния задач (1.12) и (1) —(7) с погрешностью менее 0.1% потребовало, с о ­ ответственно, 11 и 64 с счета на БЭСМ-6. Анализ численных экспериментов

к к

1161

^подтвердил целесообразность параллельного производства вспомогатель­

ного оборудования на всех этапах планирования, особенно в случае дирек­

тивного ограничения на продолжительность планируемого промежутка времени.

Литература

UV Тихонов А. Н., Арсёнин В. Я., Зябрев Н. Б. З а д а ч а нелинейного п р о г р а м м и р о в а н и я с у б ы в а ю щ е й ф у н к ц и е й з а т р а т и алгоритм последовательного м и н и м а л ь н о г о у в е л и ч е н и я // Докл. АН СССР. 1985. Т . 285. № 6. С. 1330-1334.

% Зябрев Н. Б. Об одном к л а с с е з а д а ч нелинейного п р о г р а м м и р о в а н и я / / Д о к л . АН СССР. 1983. Т. 270. № 6. С. 1308-1312.

3. Зябрев Н. Б. Устойчивость и д р у г и е свойства р е ш е н и я одной н е л и н е й н о й з а д а ч и оптимального п л а н и р о в а н и я производства: П р е п р и н т № 70. М.: И П М а т е м . АН СССР, 1983.

4. Цурков В. И. Д е к о м п о з и ц и я в з а д а ч а х б о л ь ш о й р а з м е р н о с т и . М.: Н а у к а , 1981, 5. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. В а р и а ц и о н н о е исчисление. М.: Ф и з м а т г и з , 1962.

П о с т у п и л а в редакцию 29.1.198S

Й 6 2