Д. Р. Яфаев, Коммутаторный метод диагонали- зации операторов Ганкеля, Функц. анализ и его прил., 2010, том 44, выпуск 4, 65–79

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Д. Р. Яфаев, Коммутаторный метод диагонали- зации операторов Ганкеля, Функц. анализ и его прил., 2010, том 44, выпуск 4, 65–79

DOI: https://doi.org/10.4213/faa3019

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 17:49:20

3 Функциональный анализ и его приложения, т. 44, вып. 4

2010, т. 44, вып. 4, с. 65–79 УДК 517.983

Коммутаторный метод диагонализации операторов Ганкеля

c 2010. Д. Р. Яфаев

Посвящается памяти М.Ш.Бирмана

Мы предлагаем метод явной диагонализации некоторых операторов Ганкеля. Этот метод позволяет дать новые доказательства классических результатов о диагонализа- ции ганкелевых операторов с абсолютно непрерывным спектром. Он приводит также к новым результатам. Наш подход основан на коммутации оператора Ганкеля с неко- торым дифференциальным оператором второго порядка.

§1. Введение

1.1. Операторы Ганкеля могут быть определены (см., например, книгу [8]) как интегральные операторы в пространстве L²(R+) с ядрами, зависящими только от суммы переменных. Таким образом, ганкелев оператор A задается формулой

(Af)(x) = _∞

0

a(x+y)f(y)dy. (1.1) Конечно, A самосопряжен, если a= ¯a. Е сли

_∞

0 |a(x)|²x dx <∞,

тоAпринадлежит классу Гильберта–Шмидта. Это условие выполняется, если, например, функция a непрерывна, не слишком сингулярна при x= 0 и доста- точно быстро убывает при x → ∞. Напротив, если a(x) ∼ a₀x⁻¹ при x → 0 или (и) a(x)∼a_∞x⁻¹ при x→ ∞, то оператор A перестает быть компактным, хотя и остается ограниченным. Общая философия (см. работу Хоуленда [11]) состоит в том, что каждая из этих сингулярностей порождает ветвь[0, a₀π] или (и) [0, a_∞π] простого абсолютно непрерывного спектра.

Имеется очень мало примеров, когда оператор A удается явно диагонали- зовать, т. е. найти его точные собственные функции. Первый такой результат принадлежит Мелеру [6], рассмотревшему случай a(x) = (x+2)⁻¹. Он показал, что функции

ψ_k(x) = (kthπk)^1/2P_−1/2+ik(x+ 1), k >0, (1.2)

λ=π/chπk, k >0, (1.3)

где P_−1/2+ik — функция Лежандра (см. [2, гл. 3]), удовлетворяют уравнениям Aψ_k =λψ_k. Функции ψ_k обычно параметризуются квазиимпульсом k, связан-

ным с λ = λ(k) формулой (1.3). Оператор U: L²(R+) → L²(R+), определен- ный¹⁾ равенством

(U f)(k) = _∞

0

ψ_k(x)f(x)dx, (1.4) унитарен. Так как λ(k) — взаимно однозначное отображение полупрямой R+

на (0, π) и (U Af)(k) = λ(k)f(k), то спектр оператора A простой, абсолютно непрерывный и совпадает с интервалом [0, π].

Ниже мы используем термин «собственная функция» для функции ψ_k (хотя ψ_k∈/L²(R+)), такой, что Aψ_k=λψ_k для спектрального параметра λ из непре- рывного спектра оператора A. По определению мы считаем, что собственные функции ψ_k непрерывного спектра ортогональны, нормированы и множество всех ψ_k полно, если соответствующий оператор (1.4) унитарен (при отсутствии у A точечного спектра).

Следующий результат принадлежит В. Магнусу, рассмотревшему случай a(x) = x⁻¹e^−x/2. Более общий результат того же типа был получен М. Ро- зенблюмом, диагонализовавшим операторA с ядром

a(x) = Γ(1 +β)x⁻¹W_−β,1/2(x), β ∈R, β =−1,−2, . . . , (1.5) где W_−β,1/2 — функция Уиттекера (см. [2, гл. 6]), а Γ — гамма-функция. Отме- тим, что W_0,1/2(x) = e^−x/2. Спектр оператора A с таким ядром по-прежнему простой, и с точностью до конечного числа собственных значений он абсолют- но непрерывен и совпадает с интервалом [0, π]. «Нормированные собственные функции» оператораA выражаются через функции Уиттекера:

ψ_k(x) = (2π)⁻¹

k|Γ(1/2−ik+β)|sh 2πk x⁻¹W_−β,ik(x), k >0. (1.6) Отметим, что функция a(x) = (x+ 2)⁻¹ сингулярна при x=∞ и собствен- ные функции (1.2) ведут себя как линейные комбинации функций x^−1/2±ik при x → ∞, в то время как функция (1.5) сингулярна при x = 0 и собственные функции (1.6) ведут себя как линейные комбинации тех же самых функций x^−1/2±ik, но при x→0.

Наконец, упомянем простой случай a(x) = x⁻¹, когда оператор A прямо диагонализуется (см. работу Карлемана [4]) преобразованием Meллина. В этом случае спектр оператора A имеет кратность 2 (из-за сингулярностей функции a(x) сразу приx= 0 и приx=∞), абсолютно непрерывен и совпадает с интер- валом [0, π]. Собственные функции оператора Карлемана равняются x^−1/2±ik (с точностью до нормировки).

Подчеркнем аналогию теорий сингулярных дифференциальных операторов и ганкелевых операторов с сингулярными ядрами. Таким образом, функции x^−1/2±ik играют (как при x → ∞, так и при x →0) для ганкелевых операто- ров роль экспоненциальных функцийe^±ikx для дифференциальных операторов второго порядка. С этой точки зрения оператор Карлемана играет роль опера- тора −d²/dx² в пространстве L²(R).

1)Точное определение оператора U может быть дано через соответствующую полутора- линейную форму.

3*

1.2. По мнению автора естественное объяснение того, почему в описанных выше случаях собственные функции оператора Ганкеля удается найти явно, от- сутствовало. Наш подход показывает, что все диагонализуемые ганкелевы опе- раторы A коммутируют с дифференциальными операторами

L=− d

dx(x²+γx) d

dx+αx²+βx (1.7)

при подходящих значениях параметров α 0, β ∈ R и γ 0. Таким обра- зом, операторы A и L имеют общие собственные функции, что и позволяет диагонализовать оператор A.

Можно надеяться, что коммутаторный метод окажется применимым и к дру- гим ядрам a. В настоящей работе в разд. 4.4 мы применяем коммутаторный метод для нахождения собственных функций в новом случае — для оператора Ганкеля с ядром

a(x) = 8

xK₁(√

8x), (1.8)

где K₁ — функция Макдональда (см. [2, гл. 7]). Аналогично функции (1.5) эта функция убывает экспоненциально при x → ∞ и a(x) ∼ x⁻¹ при x → 0.

В качестве примера другого типа отметим ганкелевы операторы с регулярными ядрами; такие операторы компактны.

Заметим, что оператор (1.7) при γ = 0 и α > 0 уже рассматривался в [9].

В этой работе Розенблюм исходил из тождества Γ(1+β)

_∞

0 (x+y)⁻¹W_−β,1/2(x+y)y⁻¹W_−β,ik(y)dy= π

chπkx⁻¹W_−β,ik(x), (1.9) найденного ранее Шанкером в [12]. Это тождество показывает, что функции (1.6) являются собственными функциями ганкелева оператора с ядром (1.5).

Розенблюм заметил, что функции (1.6) являются также собственными функ- циями оператора (1.7) для γ = 0 и α = 1/4. Поскольку собственные функции самосопряженного дифференциального оператора Lортогональны и полны, то же самое верно относительно собственных функций ганкелева оператора A с ядром (1.5). Это приводит к диагонализации этого оператора.

Наш подход состоит несколько в другом. Мы устанавливаем соотношение LA = AL, из которого следует, что собственные функции операторов L и A совпадают. В частности, тождество (1.9) возникает вне рамок теории специаль- ных функций.

Хорошо известно, что интегрируемость дифференциальных уравнений вто- рого порядка в терминах специальных функций имеет глубокую теоретико- групповую интерпретацию (см., например, книгу Виленкина [3]). Что касается операторов Ганкеля, то диагонализация оператора Карлемана является, конеч- но, следствием его инвариантности относительно группы растяжений. Соотно- шение LA = AL означает, что оператор A инвариантен относительно группы exp(−itL). Однако, в отличие от оператора Карлемана, для других операторов Ганкеля такая инвариантность не выглядит очевидной.

Коммутаторная схема излагается в §2, а конкретные примеры ядер, сингу- лярных при x=∞и x= 0, обсуждаются соответственно в §3 и §4. Операторы Ганкеля с регулярными ядрами рассматриваются в §5.

§2. Коммутаторный метод

2.1.Сначала мы рассматриваем оператор L, определенный формулой (1.7), как дифференциальный оператор на классе C²(R+), но позднее он будет опре- делен как самосопряженный оператор в пространстве L²(R+). Пусть оператор A задается формулой (1.1), гдеa∈C²(R+).

Прокоммутируем операторыA и L. Пустьf ∈C²(R+), и предположим, что

y→0lim(y²+γy)f(y) = lim

y→0(y²+γy)f(y) = 0 (2.1) и _y→∞lim a(x+y)(y²+γy)f(y) = lim_y→∞a(x+y)(y²+γy)f(y) = 0 (2.2) для всехx0. Тогда, интегрируя по частям, найдем, что

(ALf)(x) = _∞

0

− ∂

∂y((y²+γy)a(x+y)) +a(x+y)(αy²+βy)

f(y)dy.

Отсюда следует, что

((LA−AL)f)(x) = _∞

0

q(x, y)f(y)dy, где

q(x, y) =− ∂

∂x((x²+γx)a(x+y)) + ∂

∂y((y²+γy)a(x+y)) + (αx²−αy²+βx−βy)a(x+y)

= (x−y)(−(z+γ)a(z)−2a(z) + (αz+β)a(z))

и z = x+y. Таким образом, мы приходим к следующему результату общего характера.

Теорема 2.1. Предположим,что ядро a оператора Ганкеля A удовлетво- ряет дифференциальному уравнению

−(x+γ)a(x)−2a(x) + (αx+β)a(x) = 0. (2.3) Пусть f ∈C²(R+),и пусть выполняются условия (2.1) и (2.2).Тогда

(LA−AL)f = 0. (2.4)

Отметим, что после замены переменных

a(x) = (x+γ)⁻¹b(x+γ) (2.5) в (2.3) мы получаем уравнение Шрёдингера с кулоновским потенциалом

−b(r) + (β−αγ)r⁻¹b(r) =−αb(r). (2.6) 2.2.В конкретных примерах мы будем использовать теорему 2.1 следующим образом. ЕслиL самосопряжен и имеет простой спектр, то равенствоLA=AL показывает, что A — функция F от L, т. е. операторы A и L имеют общие собственные функции. Для вычисления функции F мы поступаем следующим образом. Предположим, что вещественная функцияψ_µудовлетворяет условиям (2.1), (2.2) и уравнению

−((x²+γx)ψ_µ(x))+ (αx²+βx)ψ_µ(x) =µψ_µ(x). (2.7)

Тогда, согласно равенству (2.4), тому же самому уравнению удовлетворяет функция Aψ_µ и, следовательно, при некоторых числах λ=λ_µ и λˇ= ˇλ_µ

(Aψ_µ)(x) =λψ_µ(x) + ˇλψˇ_µ(x), (2.8) где ψˇ_µ — решение уравнения Lψˇ_µ = µψˇ_µ, линейно независимое с ψ_µ. Далее, сравнивая асимптотики функций ψ_µ(x), ψˇ_µ(x) и (Aψ_µ)(x) при x → 0 и при x → ∞, мы видим, что ˇλ = 0, и находим λ = F(µ) как функцию от µ. Нако- нец, если ψ_µ принадлежит области определения какой-либо самосопряженной реализации дифференциального оператора L, то при подходящей нормировке функций ψ_µ система всех функций ψ_µ ортогональна и полна. В этом случае A=F(L). Отметим, что такой подход позволяет избежать точного определения коммутаторов и ссылок на результаты из функционального анализа.

Оказывается, что во всех наших приложениях F(µ) = π/ch(π

µ−1/4) и, следовательно,

A=π/ch(π

L−1/4).

На самом деле несколько удобнее параметризовать собственные функции ква- зиимпульсом k >0, связанным с µ иλ формулами

µ=k²+ 1/4∈(1/4,∞), λ=π/chπk∈(0, π). (2.9) Подчеркнем, что ψ_k(x), ψ_µ(x) и ψ_λ(x) обозначают одну и ту же функцию при условии, что параметры k, µ иλ связаны формулами (2.9).

ОператорU, определенный соотношением (1.4), унитарен, и оператор U AU^∗ действует вL²(R+)как умножение на функциюλ(k) =π/chπk. Действительно, согласно теореме Фубини, из уравнения Aψ_k = λ(k)ψ_k вытекает, что при g ∈ C₀^∞(R+)

(AU^∗g)(x) = _∞

0

dk g(k) _∞

0

dy a(x+y)ψ_k(y)

= _∞

0

λ(k)ψ_k(x)g(k)dk= (U^∗(λg))(x). Это эквивалентно соотношению

(U Af)(k) =λ(k)(U f)(k) ∀f ∈L²(R+). (2.10) Поскольку λ: R+ → (0, π) — взаимно однозначное отображение, оператор A имеет простой абсолютно непрерывный спектр, совпадающий с отрезком [0, π].

При реализации этой схемы случаи сингулярностей приx=∞, когдаγ >0, и при x= 0, когдаγ = 0, удобно рассматривать порознь.

§3. Сингулярность на бесконечности

3.1. Положим γ = 2. Сначала мы предполагаем, что α = β = 0. Тогда функция a(x) = (x+ 2)⁻¹ удовлетворяет уравнению (2.3), и соответствующий операторL имеет вид

L=− d

dxp(x) d

dx, где p(x) =x²+ 2x.

Обозначим через P_ν(z) и Q_ν(z) функции Лежандра первого и второго рода (см., например, [2, гл. 3]). Они определяются как решения уравнения

(1−z²)u(z)−2zu(z) +ν(ν+ 1)u(z) = 0, z >1,

удовлетворяющие условиям P_ν(1) = 1 и Q_ν(z) = −2⁻¹ln(z−1) +c_ν при z → 1 + 0 (значение константы c_ν несущественно). Тогда функции P_−1/2+ik(x+ 1) и Q_−1/2+ik(x+ 1)удовлетворяют уравнению Lu= (k²+ 1/4)u. Отметим также (см. формулы (2.10.2) и (2.10.5) из [2]), что

P_−1/2+ik(x+ 1) =m(k)x^−1/2+ik+m(k)x^−1/2−ik+O(x^−3/2), x→ ∞, (3.1) где

m(k) = √ Γ(ik)

2πΓ(1/2 +ik)2^ik. (3.2) Оператор L симметричен в пространстве L²(R+) на области определения C₀^∞(R+), но не является существенно самосопряженным. Поскольку обе функ- ции P_−1/2+ik(x+ 1) и Q_−1/2+ik(x+ 1) принадлежат L² в окрестности точки x= 0, дефектные числа оператора L равны (1,1). Одно из самосопряженных расширений оператора L с C₀^∞(R+) (оно также обозначается через L) опре- делено на области D(L), состоящей из функций f(x), принадлежащих классу СоболеваH²_loc(R+) и удовлетворяющих граничным условиям

∃lim

x→0f(x), f(x) =o(x^−1/2), x→0 (3.3) (мы называем такие граничные условия регулярными); предполагается также, что f ∈ L²(R+) и Lf ∈ L²(R+). В самом деле, прямое интегрирование по ча- стям показывает, что оператор L симметричен. Далее, применяя подходящую функцию Грина, найдем, что для всех h ∈ L²(R+) уравнение (pf) = h име- ет решение, удовлетворяющее условию (3.3). Таким образом, область значений оператора L совпадает с L²(R+) и, следовательно, L самосопряжен (ср. §132, п. II, из [1]).

3.2.Для изучения оператораL удобно сделать стандартную (см., например, книгу Титчмарша [10]) замену переменных. Положим

t=ω(x) = _x

0 p(y)^−1/2dy и f(x) =ω(x)^1/2f˜(ω(x)) =: (Ff˜)(x). (3.4) ОператорF унитарен в пространствеL²(R+), а операторL=F⁻¹LF действует по формуле L = −d²/dt²+q(η(t)), где q(x) = −16⁻¹p(x)⁻¹p(x)²+ 4⁻¹p(x) и η=ω⁻¹ — функция, обратная к ω (так что x=η(t)).

Если p(x) =x²+ 2x, то

ω(x) = 2 ln(x^1/2+ (x+ 2)^1/2)−ln 2 (3.5) и, следовательно,

L=−d²

dt² + ˜q(t) + 1

4, (3.6)

где q˜(t) = −4⁻¹(η²(t) + 2η(t))⁻¹. Так как ω(x) = (2x)^1/2+O(x) при x → 0 и ω(x) = ln(2x) +O(x⁻¹) при x → ∞, то η(t) ∼ t²/2 при t → 0 и η(t) ∼ e^t/2 при t → ∞. Отсюда следует, что q˜(t) ∼ −(4t²)⁻¹ при t → 0 и q˜(t) = O(e^−t)

при t → ∞. Отметим, что оператор L самосопряжен на области определения D(L), состоящей из функций f˜(t), принадлежащих классу Соболева H²_loc(R+), удовлетворяющих граничным условиям

∃lim

t→0t^−1/2f˜(t), f˜(t)−(2t)⁻¹f˜(t) =o(t^1/2), t→0, (3.7) и таких, что f˜∈L²(R+), Lf˜∈L²(R+).

Все обычные результаты спектральной теории и теории рассеяния применя- ются сначала к оператору L, а затем используются для оператора L. Опера- торL имеет простой абсолютно непрерывный спектр, совпадающий с интерва- лом [1/4,∞). Он не имеет собственных значений, так как уравнение Lu˜ = µu˜ или, что эквивалентно, Lu = µu при µ ∈ R не имеет решений из L²(R+), удовлетворяющих регулярным граничным условиям в нуле. Оператор L мо- жет быть диагонализован (см., например, [10], [13]) следующим образом. Пусть

˜

u_k(t), k >0, — вещественное решение уравнения

Lu˜_k= (k²+ 1/4)˜u_k, (3.8) удовлетворяющее граничным условиям (3.7). Оно имеет асимптотику

˜

u_k(t) =m(k)e^ikt+m(k)e^−ikt+o(1) (3.9) при t→ ∞. Тогда операторU, определенный соотношением

(Uf˜)(k) = (2π)^−1/2|m(k)|⁻¹ _∞

0 u˜_k(t) ˜f(t)dt, (3.10) унитарен в пространстве L²(R+) и (ULf˜)(k) = (k²+ 1/4)(Uf˜)(k).

Сделаем замену переменных (3.4) и положим U =FU F ⁻¹. Отметим, что (2π)^−1/2|m(k)|⁻¹ =√

kthπk,

где функцияm(k)определяется равенством (3.2). Отсюда следует, что оператор U, заданный соотношением

(U f)(k) =√ kthπk

_∞

0

P_−1/2+ik(x+ 1)f(x)dx, (3.11) унитарен в пространстве L²(R+) и

(U Lf)(k) = (k²+ 1/4)(U f)(k). (3.12) 3.3.Вернемся к ганкелеву операторуA. Заметим, что функцияP_−1/2+ik(x+1) удовлетворяет¹⁾ обоим граничным условиям (2.1) и (2.2). Из теоремы 2.1 выте- кает, что

_∞

0 (x+y+ 2)⁻¹P_−1/2+ik(y+ 1)dy=λP_−1/2+ik(x+ 1) + ˇλQ_−1/2+ik(x+ 1). (3.13)

1)Мы должны выбирать регулярные граничные условия в нуле, так как функция Q_−1/2+ik(x+ 1)не удовлетворяет второму граничному условию (2.1).

Рассматривая здесь предел x → 0, мы видим, что ˇλ = 0. Затем мы находим предел при x → ∞. Из (3.1) легко следует, что левая часть формулы (3.13) равна

2 Re

m(k) _∞

0 (x+y+ 2)⁻¹y^−1/2+ikdy

+O(x⁻¹)

= 2 Re

m(k)x^−1/2+ik _∞

0 (t+ 1)⁻¹t^−1/2+ikdt

+O(x⁻¹), где мы положили y = xt. Сравнивая эту асимптотику с асимптотикой (3.1) правой части формулы (3.13), получаем, что

λ= _∞

0 (t+ 1)⁻¹t^−1/2+ikdt=π(chπk)⁻¹ (3.14) и, следовательно,

_∞

0 (x+y+ 2)⁻¹P_−1/2+ik(y+ 1)dy=π(chπk)⁻¹P_−1/2+ik(x+ 1). (3.15) Это дает уравнение (2.10) с операторомU, определенным формулой (3.11). По- скольку операторU унитарен, мы пришли к результату Мелера [6].

Предложение 3.1. Оператор Ганкеля с ядром a(x) = (x+ 2)⁻¹ имеет про- стой абсолютно непрерывный спектр, совпадающий с интервалом [0, π]. Его нормированная собственная функция,отвечающая спектральному параметру λ=π(chπk)⁻¹,определяется формулой (1.2).

Подчеркнем, что уравнение (3.15) было получено как прямое следствие ком- мутаторного метода, без использования результатов теории специальных функ- ций.

§4. Сингулярность в нуле

В первых трех разделах мы рассматриваем оператор Ганкеля с ядром (1.5), a в разд. 4 — с ядром (1.8). В обоих случаях a(x)∼x⁻¹ при x→0 и a(x) экс- поненциально убывает приx→ ∞. Соответствующий операторLопределяется формулой (1.7), где γ = 0.

4.1.Отметим, что в случае γ= 0 после замены переменных ψ(x) =x⁻¹ϕ(x) в (2.7) мы вновь (ср. с уравнением (2.6)) получаем уравнение Шрёдингера

−ϕ(x) + (α+βx⁻¹−µx⁻²)ϕ(x) = 0 (4.1) с кулоновским потенциалом, но с ненулевым орбитальным членом. Ниже мы полагаем α= 1/4.

Напомним, что функция Уиттекера W_−β,p(x) может быть определена как решение уравнения (4.1), гдеµ= 1/4−p², такое, что

W_−β,p(x) =x^−βe^−x/2(1 +O(x⁻¹)) (4.2) при x → ∞. Конечно, W_−β,−p(x) = W_−β,p(x). В частности, функция b(x) = W_−β,1/2(x) удовлетворяет уравнению (2.6), где α= 1/4и γ= 0.

Что касается асимптотики при x→0 (см. §6.8 книги [2]), то

W_−β,ik(x) =m(k)x^1/2+ik+m(k)x^1/2−ik+O(x^3/2), k >0, x→0, (4.3)

где

m(k) = Γ(−2ik)(Γ(1/2−ik+β))⁻¹. (4.4) Если p0 и −1/2 +p+β=−1,−2, . . ., то приx→0

W_−β,p(x)∼Γ(2p)

Γ(1/2 +p+β)₋₁

x^1/2−p, p >0,

W_−β,0(x)∼ −Γ(1/2 +β)x^1/2lnx. (4.5) Если −1/2 +p+β = −n, где n = 1,2, . . ., то, используя формулы (6.9.4) и (6.9.36) из [2], мы можем выразить функции Уиттекера в терминах полиномов Лагерра:

W_−β,p(x) = (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!e^−x/2x^p+1/2L^2p_n−1(x). (4.6) Если γ= 0 иα= 1/4, то

L=− d dxx² d

dx +x²

4 +βx. (4.7)

Подчеркнем, что коэффициент β может быть произвольным. Выясняется, что сильное вырождение функции x² при x= 0 порождает ветвь абсолютно непре- рывного спектра оператора L.

Сначала мы определим L как самосопряженный оператор в пространстве L²(R+). Мы проверим, что он существенно самосопряжен на области опреде- ления C₀^∞(R+). Пусть¹⁾ (Ff˜)(x) = x^−1/2f˜(lnx). Тогда оператор F: L²(R) → L²(R+) унитарен и оператор L = F⁻¹LF действует по формуле (3.6), где

˜

q(t) = e^2t/4 +βe^t. Это дает нам стандартный оператор Штурма–Лиувилля в пространстве H =L²(R). Потенциал q˜(t) стремится к 0 при t→ −∞ и к +∞

приt→+∞. В частности,Lсущественно самосопряжен наC₀^∞(R), откуда сле- дует существенная самосопряженность оператораLнаC₀^∞(R+)в пространстве L²(R+). Таким образом, граничное условие в точке x = 0 не нужно. Так как

˜

q(t)→+∞ при t→+∞, то квантовая частица может уходить только на −∞.

Поэтому спектр оператора L простой.

4.2.Разложение по собственным функциям оператораLможет быть постро- ено с помощью следующей стандартной процедуры (см., например, [13, разд.

5.4]). Как мы увидим ниже, помимо простого абсолютно непрерывного спек- тра, совпадающего с [1/4,∞), при β <−1/2 оператор L имеет конечное число простых собственных значений µ₁, . . . , µ_N, N = N(β), лежащих левее точки 1/4. Обозначим через H^(p) подпространство, натянутое на соответствующие собственные функции. Пусть u˜_k(t), k >0, — вещественное решение уравнения (3.8), принадлежащее L²(R+). Оно имеет асимптотику (3.9) при t → −∞ с функцией m(k), которая вычисляется ниже. Тогда оператор U:H →L²(R+), определяемый уравнением (ср. с (3.10))

(Uf˜)(k) = (2π)^−1/2|m(k)|⁻¹ _∞

−∞u˜_k(t) ˜f(t)dt, (4.8)

1)Отметим, что интеграл в (3.4) расходится дляp(x) =x², и, следовательно, определение оператора F нуждается в модификации.

ограничен, U|_Hf(p) = 0, отображение U: H H^(p) →L²(R+) унитарно и вы- полняется уравнение

(ULf˜)(k) = (k²+ 1/4)(Uf˜)(k).

Функции u_k(x) =x^−1/2u˜_k(lnx), k >0, удовлетворяют уравнению

−(x²u_k(x))+ 4⁻¹x²u_k(x) +βxu_k(x) = (k²+ 1/4)u_k(x) (4.9) и выражаются через функции Уиттекера:

u_k(x) =x⁻¹W_−β,ik(x). (4.10) Из (4.3) следует, что функцияu˜_k(t) =e^t/2u_k(e^t) имеет приt→ −∞ асимптоти- ку (3.9) с функцией m(k), определяемой равенством (4.4). Вычисляя |m(k)| и проводя в (4.4) замену переменныхt= lnx, получаем, что операторU =FU F ⁻¹ удовлетворяет соотношению

(U f)(k) =π⁻¹√

ksh 2πk|Γ(1/2−ik+β)|

_∞

0

x⁻¹W_−β,ik(x)f(x)dx.

Он ограничен, U|_H^(p) = 0, отображение U: H H^(p) → L²(R+) унитарно, и справедливо уравнение (3.12). Здесь H^(p) — подпространство, натянутое на собственные функции ψ₁, . . . , ψ_N оператора L.

Вычислим эти функции. Функция u_p(x) = x⁻¹W_−β,p(x) при p 0 удовле- творяет уравнению (4.9), где рольk² играет−p². Ввиду (4.2) она принадлежит L² на бесконечности. Однако из асимптотик (4.5) следует, что она может при- надлежать L² в окрестности точки x = 0 лишь при −1/2 +p+β = −n, где n = 1,2, . . .. Это возможно только при β −1/2. Кроме того, при β = −1/2 обязательноp= 0, однако в силу (4.6) функцияu₀ не принадлежитL² (ни при каких β). Таким образом, если β −1/2, то оператор L имеет только абсо- лютно непрерывный спектр. Если β < −1/2, то он имеет также собственные значенияµ_n= 1/4−(|β|+1/2−n)², гдеn= 1,2, . . . иn <|β|+1/2(с тем чтобы p >0). Согласно формуле (4.6), соответствующими собственными функциями являются

ψ_n(x) =e^−x/2x^p−1/2L^2p_n−1(x), p=|β|+ 1/2−n. (4.11) 4.3.Вернемся к оператору ГанкеляAс ядром (1.5). Из (4.2) следует, чтоa(x) экспоненциально убывает при x→ ∞, а из первой формулы (4.5), где p= 1/2, следует, чтоa(x)∼x⁻¹ приx→0. Заметим, что ввиду асимптотик (4.2) и (4.3) функция (4.10) удовлетворяет обоим граничным условиям (2.1) и (2.2). Таким образом, из теоремы 2.1 вытекает, что

_∞

0

a(x+y)y⁻¹W_−β,ik(y)dy=λ(k)x⁻¹W_−β,ik(x) + ˇλ(k)x⁻¹M_−β,ik(x), (4.12) где функция Уиттекера M_−β,ik — решение уравнения (2.6), экспоненциально растущее приx→ ∞. Поэтому, рассматривая в (4.12) пределx→ ∞, мы видим, что обязательно ˇλ(k) = 0. Затем мы берем предел при x → 0 и используем

асимптотику (4.3). Так как a(x)∼x⁻¹ при x→0, то _∞

0

a(x+y)y⁻¹W_−β,ik(y)dy= 2 Re

m(k) _∞

0 (x+y)⁻¹y^−1/2+ikdy

+O(1)

= 2λ(k) Re(m(k)x^−1/2+ik) +O(1),

где λ(k) опять задается формулой (3.14). Это приводит к уравнению (1.9).

Остается вычислить собственные значения λ₁, . . . , λ_N оператора A. Соответ- ствующие собственные функции определяются формулой (4.11). Будем исхо- дить из уравнения (4.12), где роль ik играет p =|β|+ 1/2−n. Как и раньше, рассматривая предел x→ ∞, получаем, что λˇ_n= 0 и, следовательно,

_∞

0

a(x+y)e^−y/2y^p−1/2L^2p_n−1(y)dy=λ_ne^−x/2x^p−1/2L^2p_n−1(x). (4.13) Из (1.5) и (4.2) вытекает, что левая часть здесь равна

Γ(1 +β)x^−β−1e^−x/2 _∞

0

e^−yy^p−1/2L^2p_n−1(y)dy(1 +O(x⁻¹)), x→ ∞. Сопоставляя формулы (2.8.46) и (10.12.33) из [2], мы видим, что

(n−1)!

_∞

0 e^−yy^p−1/2L^2p_n−1(y)dy= Γ(p+n−1/2). (4.14) Вспомним также, что L^2p_n−1(x) — полином степени n −1 с коэффициентом (−1)ⁿ⁻¹/(n−1)! при xⁿ⁻¹. Таким образом, из соотношения (4.13) следует, что

λ_n= (−1)ⁿπ/sinπβ, n= 1,2, . . . , n <|β|+ 1/2. (4.15) Поскольку собственные функции оператора L ортогональны и полны, мы приходим к результату Розенблюма [9].

Предложение 4.1. Оператор Ганкеля A с ядром (1.5) имеет простой аб- солютно непрерывный спектр,совпадающий с интервалом [0, π].Его нормиро- ванная собственная функция, отвечающая точке непрерывного спектра λ = π(chπk)⁻¹,дается формулой

ψ_k(x) =π⁻¹√

ksh 2πk|Γ(1/2−ik+β)|x⁻¹W_−β,ik(x), k >0.

Кроме того, если β < −1/2, то оператор A имеет собственные значения (4.15) и соответствующие собственные функции (4.11).

4.4. Теперь мы обратимся к оператору Ганкеля с сингулярным ядром (1.8), который, по-видимому, ранее в литературе не рассматривался. Напомним, что функция Макдональда определяется соотношением K_p(z) = 2⁻¹ie^πip/2H_p⁽¹⁾(iz), гдеH_p⁽¹⁾ — функция Ганкеля. Теперь функцияb(x) =xa(x)удовлетворяет урав- нению Шрёдингера (2.3) при нулевой энергии α = 0 и константе связи β = 2. Разумеется, мы могли бы взять любое β >0, но мы должны исключать отри- цательные β, поскольку в этом случае функция b(x) растет при x→ ∞.

Из хорошо известных свойств функции H_p⁽¹⁾ вытекает, что функция (1.8) имеет асимптотику

a(x) = 4π^1/2x^−3/4e⁻

√8x(1 +O(x^−1/2)) (4.16)

при x→ ∞ и a(x)∼x⁻¹ при x→0.

Соответствующий оператор

L=− d dxx² d

dx+ 2x

изучается аналогично оператору (4.7). Например, оператор L = F⁻¹LF дей- ствует по формуле (3.6), где q˜(t) = 2e^t. Решение уравнения (2.7), где µ = k²+ 1/4, принадлежащее L² на бесконечности, выражается опять через функ- цию Макдональда

u_k(x) =x^−1/2K_2ik(√ 8x). Согласно формулам (7.2.12) и (7.2.13) из [2], имеем

u_k(x) =m(k)x^−1/2+ik+m(k)x^−1/2−ik+O(x^1/2), x→0, где

m(k) =iπ2^−1+ik(Γ(1 + 2ik) sh 2πk)⁻¹.

Вычисляя |m(k)| и используя (4.8), мы получаем, что теперь формула (1.4) принимает вид

(U f)(k) = 2π⁻¹√

ksh 2πk _∞

0

x^−1/2K_2ik(√

8x)f(x)dx. (4.17) Оператор L не имеет собственных значений, так как функции x^−1/2K_2p(√

8x) приp0 не принадлежатL² в окрестности точкиx= 0. Таким образом, как и в разд. 4.2, мы видим, что операторU, определенный формулой (4.17), унитарен в пространстве L²(R+), а оператор L имеет простой абсолютно непрерывный спектр [1/4,∞).

Из теоремы 2.1 вытекает, что _∞

0

a(x+y)y^−1/2K_2ik(

8y)dy=λ(k)x^−1/2K_2ik(√

8x) + ˇλ(k)x^−1/2H_2ik⁽²⁾(i√ 8x) (4.18) (функция ГанкеляH_2ik⁽²⁾(iz)экспоненциально растет приz→ ∞) для некоторых постоянных λ(k) и ˇλ(k). Так как интеграл в (4.18) (экспоненциально) убывает при x→ ∞, то обязательно ˇλ(k) = 0. Сравнивая асимптотики левой и правой частей в (4.18) при x → 0 и используя соотношение a(x) ∼ x⁻¹ при x → 0, получаем, что число λ(k) опять дается формулой (3.14). Таким образом, мы приходим к результату, аналогичному полученному в предыдущем разделе:

Предложение 4.2. Оператор Ганкеля A с ядром (1.8) имеет простой аб- солютно непрерывный спектр,совпадающий с интервалом [0, π].Его нормиро- ванная собственная функция,отвечающая спектральной точкеλ=π(chπk)⁻¹, дается формулой

ψ_k(x) = 2π⁻¹√

ksh 2πkx^−1/2K_2ik(√

8x), k >0.

Как побочный результат наших рассмотрений мы получили уравнение x^1/2

_∞

0 (x+y)^−1/2K₁(√

x+y)y^−1/2K_2ik(√

y)dy=π(chπk)⁻¹K_2ik(√ x).