(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. М. Краснитский, Л. Ф. Хилюк, Стохастическая задача оптимального управления каскадом водохранилищ, Ав- томат. и телемех. , 1982, выпуск 8, 126–134

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 01:48:55

У Д К 62-505:627.81

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КАСКАДОМ ВОДОХРАНИЛИЩ

КРАСНИТСКИЙ С. М.^г ХИЛЮК Л. Ф.

' (Киев)

Рассматривается задача оптимального управления каскадом водохра­

нилищ для условий, когда невозможно осуществить точный прогноз при- точности (стохастическая задача). Изучается связь стохастической задачи с соответствующей детерминированной. Даются критерии воз­

можности замены решения первой задачи решением второй.

1. Введение

Проблема управления каскадом водохранилищ с каждым годом стано­

вится все более актуальной в связи с непрерывным ростом дефицита при­

годных для использования водных ресурсов. В решении этой проблемы особую роль играют прогнозы стока, в значительной степени определяю­

щие программные управления водохранилищами.

Основное затруднение при отыскании рациональных управлений за­

ключается в принципиальной невозможности однозначно прогнозировать процесс речного стока (точнее, некоторые его характеристики), в связи с чем в теоретических построениях сток рассматривается как стохастиче­

ский процесс [ 1 ] . В то ж е время в практике управления водохранилища­

ми широко используются (приближенные) детерминированные прогнозы стока, позволяющие существенно упростить и ускорить отыскание рацио­

нальных управлений. Вот почему представляет значительный теоретиче­

ский и практический интерес анализ стохастической и детерминированной задач управления каскадом водохранилищ, особенно в аспекте близости их решений.

В работе этот анализ проводится для важной в приложениях задачи стабилизации требуемого распределения уровней воды по каскаду в про­

странстве и времени. Такая задача возникает, например, после нефор­

мального определения экспертами необходимого распределения водных ресурсов по каскаду водохранилищ, исходя из интересов всех участников водохозяйственного комплекса.

2. Постановка задачи и обозначения

Рассмотрим управляемую систему п водохранилищ с интервалом у п ­ равления [0, Т]. Цель управления заключается в поддержании уровней воды в заданных сечениях водохранилищ, наименее, в определенном смысле, отклоняющихся от заданных уровней. Предполагается, что у п р а в ­ ление осуществляется изменением расходов воды через плотины водохра^- нилищ.

Введем несколько обозначений. Пусть Pi{t) — приточность к первому по течению реки водохранилищу в момент времени t (количество воды, поступившее в первое водохранилище за время от 0 до t); Pi{t) — приточность к i-жу водохранилищу без учета того количества воды, что

прибывает за счет сброса из (i— 1)-го водохранилища (боковая приточ­

ность, осадки и т. д . ) ; #^г(£) — расход воды на выходе i-то водохра­

нилища (так что количество всей сброшенной из г-ro водохранилища воды за время от 0 до t равно интегралу от д*(#) по ив интервале [0, t]). Вели­

чины qi(t) понадобятся и при отрицательных значениях t , т. е. в моменты

времени, предшествующие началу интервала управления 0. Б у д е м счи­

тать, что известны значения этих величин. Обозначим через Wi ( ^ д и н а ­ мический объем i-то водохранилища (£=1,...., и ) , т. е.

t

W>

(0 -

(0) +Р, (*) - J

0

i ___ '' '

0

где %i— «время добегания» для участка м е ж д у (г—1).-м' и г-м водохрани­

лищами.

В дальнейшем при рассмотрении какой-либо величины F ( - , • ) , зави­

сящей от двух переменных, одна из переменных может условно опускать­

ся. Например, будут встречаться обозначения типа V(a) или V(-) вместо 7(<х,Р), У^р( а ) и т. д.

3. Уточненная постановка задачи

Предположим, что имеется прогноз Р=(Р^и . . . , Р^п) вектора приточно- сти P = ( P i , . . . , Р^п). Пусть Hi=Hi(P^u q, t) и Н*(t) — значения фактиче­

ского и требуемого уровней в i-м водохранилище в момент времени t\

при этом

Я⁰- Я⁰( ^ ) = ( Я¹° , . . . , Я^{П 0}) .

Пусть мера отклонения # ( • ) от Н°(-) задается некоторым функцио­

налом качества I. Как и в [ 2 ] , будем рассматривать две задачи оптималь­

ного управления: «детерминированную» и «стохастическую». В первой из этих задач оптимальное управление — набор (gi(£)» • • • ? ?*(*))• получается из условия минимизации величины

Mq)=l(Bi{P,

Во второй требуется минимизировать величину

%(q) =М1{Н, (Р, q) - Я Д . . . , Н^п(Р, д) -Н^п"), где Ж — символ математического ожидания.

В обоих случаях используется программное управление. Это, с одной стороны, облегчает нахождение оптимального управления. С другой сто­

роны, управление по обратной связи в рассматриваемом случае, когда нет прогноза высокой точности, оказывается неэффективным. При высокой точности прогноза можно достаточно хорошо рассчитывать будущие со­

стояния системы, т. е. можно также обойтись программным управлением.

Представляется разумным периодически осуществлять пересчет программ­

ного управления, как только отношение реального уровня от желаемого превысит допустимые границы, что и делается н а практике.

4. Некоторые эмпирические формулы и допущения

В дальнейшем потребуется аналитическая форма зависимостей м е ж д у Я , W и q (динамические кривые). Здесь будем использовать эмпириче­

ские формулы типа

;

( 1 ) я

(*)-^Мд.*).(^(*))«^-

где c^h>i(', • ) — н е к о т о р а я (неслучайная) функция, a^k,i>0. Таким образом, рассматривается, вообще говоря, нелинейная задача. Оценка параметров

в формуле (1) д о л ж н а производиться опытным путем. Аппроксимация кривых динамических объемов степенными функциями давно использует­

ся в работах, посвященных управлению водохранилищами [ 3 ] .

Считается, что д л я заданных постоянных . 0 < g^{l t} i<q², г п) выпол­

нены ограничения

(2) qi,i<qi{t)<q2,i ( * = 1 / / г ) , ' имеющие очевидный физический смысл.

В с ю д у далее рассматривается лишь случай

Zl>i (•), • . . , х^п(•) ] = ^ j |^{X i}( t ) \²m ( d t ) ,

где m(-) — некоторая мера на [ О , Г ] . Таким образом, выражения для функционалов % и г|з имеют вид

X(q)= ^M[[H^{(P,t)-Hm Ym(dt),

i = l О п Т

i = l о

Предположим, что Vi (l^i^n) процесс Pi(t)—Pi(t) является гауссов- ским с нулевым средним и некоторой дисперсией a*²(t). Целесообразно модифицировать формулу (1) с учетом реальной связи м е ж д у динамиче­

скими объемами и уровнями:

(3) H<{t)-

£c

(q,t)[w

(i)]«*•« п р и w

(t)>Q,

О при Wi(t)<0.

5. Одно аналитическое представление функционала х Введем обозначения:

t

d^fi^WdV+Piit)- $qdu,)du,

о

В этих обозначениях выражение для принимает вид

"'. п ." _ Ni Т

%(q) = Yi ( Ц Г ( а^м+ а ^ + 1 ) J с^ы( д , * К Д д , * ) Х X (o⁽(t)) ^а*'<^{+ а}'.' ехр { - (d^t (t) / 2 o < ( * j )²} X Z ) _^{( 0 4} .+* } > t + 1 )X

Х ( - й^г( 0 / ^ ( 0 ) п г № ) - 2 ( У 2 ^ ) -¹^ ]¹Г ( а ы + 1 ) " c^M( t f , * ) X

fc=l 0

(4) X (o« ( 0 ) " * • ' / / ; (*) exp { - (d, (t) / 2 о , ( 0 )²} X 128

X Л -⁽а^{м +}1 , ( - й * ( 0 / о Д * ) ) . 7 л ( Л ) + | (HfiDYmidt)} ,

где D^p(') — функции параболического цилиндра [ 4 ] ; Г ( • ) — гамма-функ­

ция Эйлера. Вывод формулы (4) дается в приложении.

Выделим один частный случай ( 4 ) , использованный в [5] при реше­

нии конкретных водохозяйственных задач. Именно, положим (5) ЛГ,=2, а^{1 ) ? :}= 1 , а², г= 0 .

Используя нормальную функцию распределения Ф ( • ) и свойства функ­

ций Dp(-) (либо проводя выкладки непосредственно), из (4) получаем сле­

дующее выражение для % ( q ) :

(6)

У2я

- Н^{° (t) с^м (q, t) ] \ d<(q, t) + e x p{ - d^t> (q, t)/(J,² ( * > } - d<(q, t)

x(<?) = £ J [cUbt) [ W{t)+dt{q,t)) ( l - Ф +

г= 1 0

, O' O * ^ * ) ^{_^di2(g>t)/(Ji,^(f)j ] + 2[^{С 1 1 <}( д , * ) ^ . ( в . ' * ) - ' 2JT. J

0 , ( * )

-*<">• ( - д а

6. О связи между стохастической и детерминированной задачами управления каскадом водохранилищ

Для решения стохастической задачи управления каскадом водохрани­

лищ следует минимизировать по q^Q, где — множество допустимых управлений, выражение ( 4 ) . Последнее является довольно сложным для непосредственного исследования. Поэтому желательно аппроксимировать

(4) более простыми функциями. При этом возникает вопрос, намного ли отличаются минимальные значения функции (4) и аппроксимирующей

функций. . Потребуем дополнительно, чтобы вектор q удовлетворял условию

(7) &(^^д)>0 (2=1, тг).

Естественность этого условия следует из того факта, что равны таким объемам воды в водохранилищах в момент времени t, которые имели бы место для заданного вектора сбросов # ( • ) , если бы приточность прогнозировалась точно.

Если качество прогноза хорошее, т. е. на интервале [О, Т] величины Oi(t) (i=l,n) малы, а величины di(t)/ai(t) велики, то для вычисления значений %(q) можно пользоваться асимптотикой функции D^P(z) при

z-*—оо [ 4 ] :

( 8 ) ^ ^{( 2 > =} г ( - р ) 1 | ^ ^e' ^{V 4[ 1 +0 ( UI}" ^{2) J} ' ^{z < 0} -

Формальная подстановка в (4) главных членов приведенной асимпто­

тики приводит к выражению

Т п Щ 2

x . ( ? ) - J J ]

[ 2 ,

129

значительно более простому, чем ( 4 ) . Из ( 3 ) следует

(9) Ъ{Ч)

что определенным образом характеризует связь м е ж д у стохастической и детерминированной задачами управления. Эта связь может быть несколь­

ко уточнена. Предположим, что Oi(t)<Oigi(t), где G i = c o n s t , gi(t)

(i=*i,

венства

l\c

Aq:^4gi4t)/d

(t))m(dt)<+^ (p=l,2;i=M).

Заменим в ( 4 ) выражения типа ехр {-}Dⁿ(•) их асимптотическими представлениями в соответствии с ( 8 ) . Если затем предположить, что су­

ществуют такие элементы д^х( ••) и q^(-) пространства Q, на которых функционалы х и г|) принимают соответственно наименьшие по q^Q зна­

чения, то неравенство

(10) . l m i i i x ( ? ) - m i n i | ) ( g ) l < m a x { l x ( g x ) ' - *

qe=Q qf=Q

повлечет соотношение

m i n % (q) = m i n

if

geQ geQ

(где o = ( o i , . . . , On), lloj|²==o^{1 2}+ . . . + 0ⁿ²) , уточняющее ( 9 ) . В частном случае (6) выражение для %i{q) будет таково:

п i

%ЛЯ)=^1

Это выражение можно получить и непосредственно из ( 6 ) , устремляя Gi(t) к 0 и учитывая условие (7) (т. е. не пользуясь равенством ( 8 ) ) . Обозначим

U(q)=^J£ⁱ]{cⁱUq,t) [ о / ( 0 - ( а / ( 0 + ^ М 0 ) ф ( - - ^ - ) +

г = 1 0

+¹ ==т- ехр 4 - И + 2 [ c^w( g , t) c²,i(q, t)—

У 2л I а Д г ) J J

~-Hi'itjct.iiq, t)] - = - е х р { - — \ - . L У2я I o^t2(t) )

Тогда при выполнении (7) из (9) получаем %(q)=ip(q)'^rU(q). Отсюда m i n %(q) + m i n ( — С / ( g ) ) < m i n i|)(g) < m i n % (q) — m i n U(q).

Последняя формула дает возможность довольно просто оценивать по­

тери качества управления при замене стохастического управления детер­

минированным. Так, имеем

Imini|)(g)— min%(g) | < | m i n U(g) — m i n ( — U ( g ) ) I.'

g q q q

При этом

n T

г = 1 0 9

I m m i

9

1

t)

X + d, (g, 0 1 + sup 14 (g, *) - 2 # < ° ( « ) c M (g, t) I 1 m ( d * ) .

L У2л J ~ J

7. Случай кусочно-постоянного управления Предположим, что Vt^ [О, Т] имеют место неравенства

I Г 1 / 4 ( < / , 0 \^{2 п} / di{q,t) \

\

п-т(-ш~)

( И )

р < = — ( а⁴, ^;+ 1 ) , — ( а², 4 + 1 ) , . . . , . — ( а ^ , i + 1 ) , — ( 2 а^м+ - ; + l ) , - ( a i , i + a², i + l ) , . . . , - ( 2 a^w, i + l )

.(«=-17»).

Т о щ а нетрудно получить оценку ,

| х ( д ) - 1 ) з ( д ) H e ( g ) v ( g ) , где е ( д ) = т а х { е¹( д ) , . . . , е „ ( д ) } ,

v ( g ) =

(f2^)-

J]

( Yi

X J [о,(*) ]^a*-<^+a'-<та(d*) + 2 ^ Г ( a^M+ l ) v^M( g ) X

0 fe=l T

X f [aM]^a«'<m(dt) ) , v^M( g ) = sup \c^hA(q,t)\.

0

Предположим, что существуют такие элементы g^x( •) и q^(-) простран­

ства Q — множества допустимых управлений, на которых функционалы

% и г|) принимают соответственно наименьшие по q^Q значения. Тогда неравенство (10) приводит к следующему результату.

Пусть выполнено ( 1 1 ) . Тогда I minx(<z) — m i n i n g ) | < е . , где

е = т а х ( e ( g^x) v ( g^x) , e ( g ^ ) v ( g ^ } .

Понятно, что при достаточно малом е целесообразно использовать де­

терминированное управление. Введем функции С / ( £ , д) равенствами:

Используя правило дифференцирования [4, с. 1 2 4 ] : -

Tz ( ^ехр { " т} ^ ^(z) ) ^{= ехр} {~ т} ^{( z )} '

видим, что выполнения (11) можно требовать не для каждого t^[0,T], а для £ = 0 , t=T и множества уравнений

C p

( , ,

i _ i i M _

o ,

г о^г(г)

£^г= — ( « 1 , i+1) , — ( « 2 , i + 1 ) ( « Л , , — (2CC^1} г + 1 ) ,

— ( a^{1 ?} i+cc²⁾ i + 1 ) , ( 2 a ^w , г + 1 )

(^==ГГ^).

Предположим, что задан некоторый способ разбиения [0, Т] на подын­

тервал, а класс Q состоит из соответствующих кусочно-постоянных функ­

ций, т. е. функций, принимающих постоянные значения на этих подынтер­

валах. Пусть / — количество подынтервалов. Учитывая, что сброс из i-то водохранилища ограничен снизу и сверху определенными величинами

gM, q2 ti , видим, что класс Q можно отождествлять с тгХ/-мерным парал­

лелепипедом [ g^{1 }} 1, g², i ] ^JX . . . X [q^{lt n}, g², n ]^J, а каждое управление

? ( 0^{= 3}( ? i ( ^ - • • >?nOO) ~ ^c матрицей

где в i-м столбце стоит вектор, составленный из значений функции управ­

ления i-ж водохранилищем.

Пусть С р . — подмножество [0, T]XQ, состоящее из граничных точек последнего и решений системы

c^Pi(t,^q)^Ldi(t,^q)=o, c^Pi(t^iq)^MhJL = ⁰

dqr ^г dt Oi(t)

(1=1,..., n; m = l , ( a ^{l f {}+l),..., — (2a^N, i+1);

* = 1 , . . . , Л 0 -

Из предыдущего следует, что если неравенства (11) выполнены для всех С^Р{ с e*(g) — е , то имеет место оценка

lmin%(g) — m i n i | ) ( g ) l < e v ,

q q

где

e = m a x { s¹, . . . , eⁿ} , v = s u p v ( g ) .

qeQ

Замечание. Иногда качество приближения функции D^p(z) ее асимпто­

тическим представлением (8) монотонно улучшается, начиная с некоторо­

го z^{0t Р}. В этом случае проверка выполнения неравенства ( 1 1 ) , естествен­

но, упрощается. Здесь выполнение (11) с е ( д ) = е достаточно проверить лишь для множества

Г) : Ч Р : < < - * ( * . q)M(t)m}.

г = 1

ъ %(q); (7=1 x(g); a = l / 2 x(g); a = i / i O X(q); a = l / 1 0 0

0,0 0,2414 0,1823 0,1670 0,1666 0,1666

о д 0,1847 0,1285 0,1081 0,1071 0,1075

•0,2 0,1379 0,0733 0,0611 0,0611 0,0611

0,3 0,1055 0,0496 0,0259 0,0248 0,0246

0,4 0,0781 0,0115 -0,0036 -0,0038 -0,0039

0,5 0,0566 0,0723 -0,0247 -0,0251 -0,0257

0,6 0,0396 0,0060 -0,0402 -0,0416 -0,0416

0,7 0,0265 -0,0129 -0,0495 1 -0,0531 -0,0517

0,8 0,0163 -0,0173 -0,0507 -0,0555 -0,0555

0,9 0,0085 -0,0190 -0,0403 -0,0500 -0,0501

1,0 0,0028 -0,0186 -0,0206 -0,0076 -0,0000

8. Пример

Положим tt=l, Ni=l, oti i^a^/z, c^t i{q,t)=*c(q,t)=(q+l)-^y% Gi(£) =

= o ( 0 = a ( 0 , o = c o n s t , И ^ ( 0 ) = 0 , Pt(t)=t, Я¹° ( ^ ) = Я =¹/ 4 , q{•) = g = c o n s t , 0 < g < l , Q={0; 0,1; 0,2; — ; 1 } , Г = 1 , т. е. рассматривается случай одного водохранилища. Выбор значения а продиктован видом кривой динамиче­

ских объемов водохранилищ [ 6 ] . Остальные значения выбирались в основ­

ном из соображений удобства расчетов. Выражения для %(q) и *ф(д) с точностью до слагаемых, не содержащих принимают в рассматриваемом случае следующий вид:

2 У 2 я ( 1 + д ) I 4 V о ' > V о ' У2а f 1 / 1 - ?

\

1

/

е х р {

• 12 У 1 + 5 I 4 \ а 1 - g 4 т / 1 - g 2 ( l + g ) 3 ' 1+q '

Легко видеть, что минимальное значение if>(g) достигается при д = 0 , 8 . Д л я нахождения минимального значения % { q ) использовались таблицы

[7] и соотношение

D^p+i (z) =zD^p(z) —pDp-i (z).

Результаты расчетов для разных значений а приведены в следующей таблице. Отметим, что начиная с 0=¹/ ю точки минимума %(•) и я|>(-) совпадают.

ПРИЛОЖЕНИЕ Вывод формулы (4). Пусть Q={со} — пространство э л е м е н т а р н ы х событий, на ко­

тором определены все в е л и ч и н ы Р*(со), £^е[ 0 , Г ] , а \i — в е р о я т н о с т н а я мера, относи­

тельно которой P\t) — P(t) распределено по закону, постулированному в ы ш е . Тогда

(12)

M[Hi(t) - (t) ]2 = j [Hi (t, со)- Ht*{t) V[i(da) = Q

- I

J

{ ( u : W i ( i , o j ) > 0 } { c o: W£U , 0) ^ O }

Согласно (3), в ы р а ж е н и е (12) равно

Ni 2

{ c o : W^£( f , c o ) > 0 } fc=l

+ j " (ЯЛО)2Н.(Ло)= ^ cM( 3 , f )^{C j ] i}( g , f ) j u««.i+«i,ip^t4(^u)du- {(o:TTi(f,(o)^0} fe,j = l 0

• - 2 Я , ° . ( 9 ^ <*,«(*) J й^а^ * , г И ^ + ( Я г ° ( 0 )², fe=l 0

(и) = (У2зг 0 г ) -1 е х р { - и2/ 2 } .

Предположим, что случайный процесс Р(-) удовлетворяет каким-нибудь услови­

ям [ 8 ] , из которых вытекает справедливость формулы

1 ^{т т} ... ^.

м | [ Я^г- ( Л 0 - ^ г ° ( 0 ]²^ ( ^ ) = | ж [ я^г- ( Р , о - ^ ° ( 0 ]²^ № ) .

о о

Д л я получения (4) теперь осталось воспользоваться формулой из [9, гл. V I ] :

J

| 1

о

ЛИТЕРАТУРА

1. Картвелишвили Н. А. Теория вероятностных процессов в гидрологии и регулиро­

вание речного стока. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.

2. Краснитский С. М., Хилюк Л. Ф. Об одной стохастической задаче оптимального управления водохранилищами.— Автоматика, 1979, № 4, с. 44—51.

3. Степашко В. С, Халиков А. В., Имас Л. И. Получение уравнения динамики водо­

хранилища на ЦВМ.—В кн.: Математические модели для прогнозирования и управления качеством вод. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1973, с. 2 3 - 3 3 , 4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2. М.: Наука, 1966.

5. Попков Я . В., Тулупчук Ю. М., Хилюк Л. Ф. Задача трехкритериального управле­

ния водохозяйственным комплексом днепровского водохранилища (озера Лени­

н а ) . - Автоматика, 1978, № 2, с. 4 4 - 5 3 .

6. Плешков Л. Ф. Регулирование речного стока. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

7. Карпов Н. Л., Чистова Э. Л. Таблицы функций Вебера, т. 3. М'.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

8.; Тцхмац И. И., Скороход А, В. Теория случайных процессов, т. 1. М.: Наука, 1971.

9. Ёеймен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 1. М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 30.XII.1980

A STOCHASTIC PROBLEM OPTIMAL CONTROL FOR A CASCADE OF WATER RESERVOIRS

К R AS NITS КIY S. M., KHILYUK L. F .

Optimal control of a cascade of water reservoirs is discussed for the case w h e n an accurate forecast of the inflow is out of the question (a stochastic problem). Rela­

tions of this problem with a deterministic one are studied. Criterial for possible repla­

cement of a solution to the former by a solution to the latter are given.