(4.6) [tfJU--=o =#(.*,)e(0, [£JU=o=o.

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. Ш. Бимуратов, С. И. Кабанихин, Решение одномерной обратной задачи электродинамики методом Ньютона–

Канторовича, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992, том 32, номер 12, 1900–1915

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:57:23

ЖУРНАЛ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Том 32, 1992 ^{: ! !} № 12

УДК 517.958:537.812

© 1992 г.

• с да. БИМУРАТОВ, С, И, КАВЛНИХИН (Новосибирск)

Р Е Ш Е Н И Е ОДНОМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ З А Д А Ч И

ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА - КАНТОРОВИЧА

Описывается численный метод решения обратной задачи определе­

ния функции проводимости горизонтально-слоистой среды по измерен­

ной на поверхности среды горизонтальной компоненте электрического поля.

§ 1. Введение. Постановка задачи

Процесс распространения электромагнитных колебаний описывается системой Максвелла

(1.1) YOtH=edE/dt+oE+j\ vot E=-[id.Hldt.

Здесь ^{Е=(Еи Ег,'ЕгУ,} Я = ( Я , , Я², Я³) * — векторы напряженности электрического и магнитного полей, е, р, — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а — проводимость, / = ( / i , /², UY — плотность внеш­

него электрического тока.

Рассмотрим модель, широко распространенную в геофизике [ 1 ] . Пусть среда состоит из двух полупространств х^а>0 и х³<0, в каждом из ко торых параметры е, р,, о являются гладкими функциями переменных

*ж^3? а на границе х³=0 эти параметры могут иметь разрыв I рода. Рас­

смотрим простейшую постановку в случае источника следующего вида:

(1.2) 7 = (0, 1 , 0 ) ^ ( ^ ) 6 ( ^ ) 6 ( 0 .

Задание стороннего тока в виде (1.2) соответствует мгновенному включению тока, параллельного оси х², сосредоточенного на земной по­

верхности ^ з = 0 и распределенного по оси х^{ с плотностью g(x^t) (в частности, это может быть бесконечно длинный кабель). Предполо­

жим, что коэффициенты системы уравнений Максвелла не зависят от переменных х², х±\

(1.3) е = е ( ж³) > е⁰> 0 , \I=\I(X^S)>\LQ>0, а = о ( ж⁸) ^ 0 , а векторы напряженности Е и Я удовлетворяют условиям

(1.4) 2 ? | * < о - 0 , Я | , <^в- 0 .

Нетрудно показать, что, в предположениях (1.2) —(1.4), в системе (1Л) ненулевыми останутся только три компоненты 2?², Н^и Я ³ и при

1900

этом сама система будет иметь вид [2]

( 1 5 а ) e ^ + ^ ' - ^ l + e E + ^ ^ e U J e W - O , dt дх^л > дх^г

(1.&6) U . _ = о , ^ ^ + " = 0.

at ох³ at dXi

Добавим условия непрерывности горизонтальных компонент:

(4.6) [tfJU--=o =#(.*,)e(0, [£JU=o=o.

Для определения одного из коэффициентов системы (1.5), например функции о(х³) при #3> 0 , в качестве дополнительной информации отно­

сительно решения прямой задачи (1.4) — (1.6) достаточно задать одну горизонтальную компоненту, например

(17) £

²

U

⁼⁰

=/t(*i, *)•

Если функция /, задана, а коэффициенты системы (1.5) известны при х^$<0, то можно, используя (1.7) как граничное условие, решить пря=

мую задачу при ж³< 0 , а значит, определить # i | x³- o . Будем иногда пред­

полагать, что это сделано, т. е. что вместе с условием (1.7) задано так­

же условие

Задание этого условия позволяет избежать вычисления прямой задачи при х³<0 (в воздухе), освободиться от необходимости учета условий склейки на границе «земля — воздух» и ограничиться при численном ре­

шении обратной задачи минимально возможной по размеру областью в плоскости переменных x^3r t. Указанным обстоятельством в некоторых случаях в дальнейшем будет удобно воспользоваться. Предположим, что все коэффициенты системы (1.5) достаточно гладкие при х³>0 и при х³^0. После исключения из (1.5а) частных производных компонент H^h Н³ получим относительно Е² уравнение второго порядка

< ш ( f t ) ⁺ ± f ( « ) - , ( * ) . « . * > .

dt dt ji dxi ^v dXi ^I

p,

^{дх3 x ox3'}

с начальными и граничными условиями

(1.9) £²| « с - 0 , 2 ?²U - o = M * , 0 , ⁼£ M f L d l ⁼ Выше предполагалось, что коэффициенты уравнения (1.8) не зави­

сят от переменной х^{. а следовательно, в обратной задаче (1.8), (1.9) (при достаточно общих предположениях относительно # ( # 1 ) ) можно при­

менить преобразование Фурье по горизонтальной переменной x^t (см.

[3]) и, фиксируя параметр преобразования Фурье, перейти к одномер­

ным прямой и обратной задачам. В самом деле, обозначим через E²(k^v 0? f Ш , / i ( \ t), f²(K, t) образы Фурье соответствующих функций по переменной xi (Я — фиксированный параметр преобразования Фурье) ⁸

1901

Тогда от задачи (1.8), (1.9) придем к следующей:

( М О . , . ^ ^{+ e} * £ - ^ ± % ) - > L ^B - ^{I W M} . ^г,>0, ,*«,

(1.105)

Я .и .-О.

Е^г]„„-ГЛКО, ( ~ ~ ) \

Обозначим v—E^Zl положим ц,—const и перепишем (1.10) в виде

(1.11а) * ,^{e R}, ^ о .

(1.116) » | | < о ^ О .

При исследовании прямых и обратных задач для уравнения (1.11а) удобно пере-йтп к новой переменной

• • о и к новым функциям

a(z)=o{h{z))U(h{z)), b(z) = [ne(h(z))F%

»(*, t)^v(h(z),t), T - ^ ( A ) [ | i / e ( 0 ) ]^!V Тогда (1.11) можно переписать в следующем виде:

or dz^l dt b(z) Oz (1.126) и |^{/ < 0}= 0 .

(1.12в) i * |^{w 0}= / ( 0 , t>0.

Прямая задача (1.12а, б) заключается в нахождении функции u(z,i) при всех известных коэффициентах в уравнении (1.12а) (о том, в ка­

кой области ищется решение и в каком классе функций, будет сказано ниже).

Обратная задача ( 1 1 2 ) заключается в нахождении коэффициента a(z), 2 > 0 , при известных коэффициентах b(z). z€=(R, a(z), z < 0 , и при известной дополнительной информации (1.12л).

Для решения обратной задачи (1.12) используем метод Ньютона — Канторовича (м. Н. К . ) , который широко применялся при решении не- липейных интегральных уравнений многими авторами (см., например,

[4], ( 5 ) , а также [ 2 ] , [6] и приведенную там библиографию). В обрат­

ных динамических задачах сейсмики м. Н. К. был впервые использован в [7] и в дальнейшем в [ 8 ] . Обратная задача, исследованная в указан­

ных работах, совпадает с обратной задачей ( 1 1 2 ) , если в последней положить а = 0 , ) , = 0 , /²~ 0 и считать искомой функцию b(z). М. 11 К.

использован в [9] при решении обратной задачи для системы уравнений Максвелла, а в [10] — при решении двумерной обратной задачи рас­

сеяния.

1902

13 работе [1] был использован алгоритм типа м. Н. К. для определе­

ния коэффициента К(х) в уравнении

В завершение краткого обзора следует отметить, что идеи, близкие но духу м. Н. К. (итерационный процесс, на каждом шаге которого по­

следовательно решается сначала линеаризованная обратная задача, а за­

тем, если невязка недостаточно мала, осуществляется ^переход на еле дующий шаг итерационного процесса), эффективно использовались при

решении как одномерных, так и многомерных обратных задач в дина мических и спектральных постановках для уравнений гиперболическо­

го, параболического и эллиптического типов (см., например, [12] — [17]) - Несмотря на обилие работ, в которых м. И. К. применяется при решении обратных задач, выяснение условий сходимости метода и по­

лучение конкретных оценок скорости сходимости остаются в теории обратных задач актуальной проблемой. Основной трудностью на этом пути является, как правило, неограниченность оператора

[Р'(а)]~

¹ в большинстве обратных задач. Однако в одномерных обратных задачах для гиперболических уравнении, в том числе и в рассматриваемой в данной работе обратной задаче (1.12), этот оператор является ограни ченным. Ниже исследуется прямая задача (1.12а, б) и обратная зада­

ча (1.12), определяется оператор прямой задачи Р{а), определяются и исследуются операторы

Р'(а),

[ Р ' (^а) ] ~ Л

Р"(

^а

)-

В итоге получена оцен­

ка скорости сходимости м. И. К. по норме пространства С [О, Т]), а так­

же численно реализован алгоритм м. Н. К.

§ 2. Определение'и оценка нормы оператора прямой задачи

Рассмотрим обратную задачу (1.12) определения a(z) при х3>0 (с учетом замены переменной и обозначений, введенных в § 1, будем считать что b(z) известна всюду, а функция a(z) известна при 2 < 0 и подлежит определению при з > 0 ) . В /шипом параграфе все коэффи­

циенты, входящие в исходную систему уравнений Максвелла, а значит, и в уравнение (1.12а), считаем достаточно гладкими (наличие разрыва при £ = 0 несущественно услояшяет выкладки). Как известно [ 1 ] , [2j^{T )} решение прямой задачи (1.12а, б) можно представить в виде

(2.1) u ( s , t)=s{z)Q(t-\z\)+u(z, *)..

Здесь функция u(z, t) непрерывна при t>Q, а в области вида

гладкость функций u(z, t) полностью определяется гладкостью коэффи­

циентов b(z) при ze=[—Ту Т]. Функция s(z) является решением следующей задачи:

в постановке, подобной (1.12).

W(T) = {(z, t):z€z(-T, Г), 0 < > | < * < 2 7 Ч * | }

(2.2) ,'<

^g

)«-i-[^

¹

2

1903

Для того чтобы записать схему м. Н. К. решения обратной задачи (1.12), определим оператор Р[а] прямой задачи (1.12а, б) (см. [ 6 ] )⁸ который каждому элементу d(z) из некоторого множества функций {a(z)} ставит в соответствие функцию f{t):

(2.3) Р [ Л ] « / ( 0 , Ш[0,Т].

Множество {d(z)} определим, как совокупность всех функций клас- са С¹ ( [ — Г , Т ] ) , совпадающих при [-Т, 0] с функцией a(z) (задан­

ной в обратной задаче). Функцию f(t) в (2.4) определим, к а к след при z = 0 решения следующей прямой задачи:

(2.4) L [ a ] i ; =^T6 ( z , t ) , (z, t)^W(T), v\^t<0^Q, т. е.

(2.5) И - о = Л О , ^ [ 0 , 2Т].

Покажем, что оператор Р[а] отображает {a{z)} в множество функ­

ций {/(*)}» принадлежащих классу С"([0, 2Т]) и удовлетворяющих условию / ( + 0 ) = 7 / 2 .

В самом деле, в силу свойства (2.1), решение прямой задачи (2.4) в области W(T) совпадает с решением следующей задачи Гурса

(см. [ 3 ] ) :

(2.6а) L[a]v=Q, ( 2 , t)^W(T), (2.66) i ; |^{< H}, r = * ( ? ) , ze=[-T, Г ] о

Здесь s(z) — решение задачи (2.2), в которой вместо a(z) взята функция a(z)^: Отметим, что s(z) может быть выписана в явном виде:

Покажем теперь, что в области W{T) функции v(z, t), v^t(z, t)»

Vi{z, t) являются решением системы линейных интегральных уравнений I I рода вольтерровского типа. Из этого факта и будет вытекать утверж- дениё о том, что

P^{{u{z)}^C>{[0, IT])).

С этой целью перепишем уравнение (2.6а) в виде

<2.7) ( w - £ )^V=L>^{ra] v}- - * £ - T V v -^{{ Kb )}*^V < W ) . В области W(T) фиксируем произвольную точку с координатами

(z7 t). Равенство (2.7) после интегрирования по отрезку прямой, соеди­

няющей точки ((H-z)/2, (t+z)/2) и (z, t)^r можно записать в следую- щем виде с учетом (2.66):

(2.8) v^t(z, t)+v^z(z, t)=$'l^)+ ' ' +. [ L^t[a]v(z+t-T,%)d%, (z,t)ezW(T). •

(t+z)/2 1904

С другой стороны, после интегрирования (2.7) по отрезку прямой^г соединяющей точки ((z—t)/2,

(t—z)/2)

и ( 2 , £), получим с учетом (2.66)

(2.9) vAz^-vMD-s' ( ~ ) + j L d a M s - H - T , т)с*т, М ) ^ ( Л .

Легко видеть, что полусумма (2.8) и (2.9) дает выражение для Vt(z^% t) через s' и интегралы от комбинаций у , vt, v^z по отрезкам пря­

мых, целиком лежащих в W{T), а полуразность — аналогичное выра­

жение для v^s(z, £ ) , ( 2 , 0^е^ ( Г ) :

<i.lfe> „ ,^{( M} ) - i [ ^s - ( i ± i ) ⁺ / ( i ^ ) ] ⁺

+ "4 1

Ы й Ы Н - * - т , т ) Л + — j L⁴[ a ] i ; ( 2 - t + T , T ) d T^?

<t-z)/2 ( < - z) / 2

(2.106) „. 0 = *' -^s ' ( " I F ) ]"

+

+ ~ - J Li [a] 1; ( Z + £ - T , т) dx - - y j L J a M s — H - T , т)йт»

<t + * > / 2 , ( * - * ) / 2

К этим уравнениям добавим результат почленного интегрирования урав­

нения (2.10а) по вертикальной прямой, соединяющей точки (z. \z\) ж (z,t), (z,t)<sW(T):

+ - J I J

^Li[3] 1 ; ( 2 — T + a , a ) d a +

\z\ (х-г)/2

Lt [a] у ( 2 + T - a , a ) d a j d x .

Система интегральных уравнений Вольтерра II рода (2.10), (2.11) замкнута в W(T) в том смысле, что функции v(z, t), v^t{z, t), v^z{z, i) выражаются через интегралы от этих же функций по отрезкам, лежа- щим в W{T). Предполагая, что &(z)^C([-T, Л ) , • Ь( г ) е С1( [ - Г , Т])", можно доказать [ 1 ] , что в W (Т) существует единственное непрерывное решение системы (2.10), (2.11).

Т е о р е м а 1. Если a(z)e=C( [ - Г , Г ] ) , b(z)&C^%(\-T, Т)), то реше­

ние системы уравнений (2.10), (2.11) существует, единственно и при­

надлежит классу C(W(T))^t

Повышая на единицу требования на гладкость коэффициентов a (if ш b(z). мо>кно аналогично доказать и существование классического р е ­ шения задачи Гуреа (2.6) (см. I I ] ) ,

3 ЖВМ я МФ^а Ш 12

Таким образом, заключаем, что след функции v(z, t) при 2 = 0 су­

ществует (см. равенство (2.5)) и, следовательно, оператор Р\а] опре­

делен корректно.

Отметим, что приведенные рассуждения можно было бы провести, опираясь на формулу Даламбер'а, с учетом того факта, что u(z, t) удо­

влетворяет уравнению второго порядка с нулевыми начальными данными

Un=at,+Lt\a}u+Lt[a]8, Ш\ s€=|R,

u\

^t

^=o, й*!

^Ггж(1

=о,

где оператор L_\a\ определяется следующим образом:

В дальнейшем для получения оценок норм операторов Р[а)ь Р' [а].

(Р'[о})"¹ и \ и\ будем использовать именно этот подход. Определим нормы (см. [(>))

IjPiH

SUp « / > [ « ]

И,

Л - | Н с⁽, - г , т „ .

Как и в [11. несложно получить оценку нормы оператора Р вида (2.12) \Р\<1еыг.

где

Я Н | й 7 Ь | | с а - т . т | н А Ч И с ц - г . г п , М=ТЦ+Т)(А+В<+В²), J=K( Г + 2 ) , K^Lda)4^ca^^T]).

Обозначим Q\a] =Р[a)-f(t)

§ 3. Описание метода Ньютона—Канторовича

В § 2 определен посредством операторного уравнения (2.3) опера­

тор прямой задачи Р [а] . Отметим, что если a(z) — решение обратной задачи (1.12), то

(3.1) ВД(0=/(0, Ш[0,2Т).

Таким образом, для решения исходной обратной задачи (1.12) до­

статочно решить операторное уравнение (3.1). Запишем схему м.Н.К, для операторного уравнения (3.1) (см. [ 6 ] ) . Пусть я,-,(z)—некоторый элемент множества {«(г)}, который назовем начальным приближением м.Н.К. Допустим, нам уже известно приближение aⁿ(z)&{d(z)}. Тогда приближение с номером п+1 строится следующим образом:

13.2) а^{Й + 1}( 2 ) - а^я( ^ ) + ^ [ а^я] ) - Ч/ - Р [ Л п ] ) , # И 0 , Т].

Здесь Р'[а] — производная Фреше оператора Р[а). Покажем, как мож­

но получить выражение для Р[а]. Воспользуемся формальным опреде­

лением [ 6 ] . Предположим, что существует непрерывный линейный 1906

оператор Р* [а] такой, что

/•-юл v P[a+py]-P[a] ^ч

о-о р

Причем предельное соотношение (3,3) выполняется равномерно относи­

тельно всех q(z)^C-([-T^y Т)) таких, что <p(z)»0 при * « 0 ш.

iifp5Jc{f», -I* j > — 1 •

Рассмотрим прямую задачу-:

(3.4а) L[a+f>q>]w=*t6(z, t). t^l s e R , (3.46) ш | <^{< 0}^ 0 .

Обозначим p v ( 2 , i)=w(z, t)—a(z, t) и вычтем почленно равенство (1.12а) из (3.4а); с учетом введенного обозначения получим

х а/ с// ⁷ >

Сокращая на р и устремляя р к 0, приходим, в соответствии с (3.3)' и предположениями о достаточной гладкости коэффициентов, к выво­

ду, что результат действия оператора Р' [а] на элемент ф(з) можно определить, решая прямую задачу

(3.5а) L [ t f ] v — ф ) д а ! д с , %<=Ш. t>Q, (3.56) v | ,^{< 0}= 0 .

а затем полагаем

Но тогда результат действия оператора (Р'[а])~¹ на некоторый эле­

мент г ( / ) £ Е б^и ((О, 2Т)) можно определить следующим образом: решаем прямую задачу (1.12а, б), затем, зная du(z, t)/0L решаем обратную задачу определения 9 ( 2 ) в уравнении (3.5а) с начальными данными

(3.56) и с дополнительной информацией о решении прямой за­

дачи (3.5):

v | , _ o - r ( t ) , te[0, 2Т\.

Таким образом, алгоритм решения обратной задачи (1.1.2) м. Н. К, осуществляется в такой последовательности.

Задаем a^(l(z)^{а(z)}— некоторое начальное приближение и решаем прямую задачу

L[<h]u<^i8(z, С), t>(\ z€=R, и⁰| ,^{< 0}« 0 . Далее, в соответствии с определением (3.1). находим

Р[аЛ=МЪ О,. ^ [ 0 , 2Т],

Затем определяем невязку f—P[a*\ и находим поправку ф^в( з ) как р е ­ шение обратной задачи

. . 3 * 1901

В соответствии с (3.2) полагаем aⁱ(z)==a⁰(z)+(p⁰(z).

Мы намеренно так подробно описываем первый шаг, чтобы подчерк­

нуть то обстоятельство, что процесс нахождения первой поправки ф⁰(я) в м.Н.К. формально в точности совпадает с решением линеаризованной относительно начального приближения a⁰(z) обратной задачи.

Допустим теперь, что уже определено п-в приближение aⁿ(z)^t Пока­

жем, как можно построить приближение a^{n + 1}(z). Сначала решим прямую задачу

L[aⁿ]uⁿ=^(z, t), t>0\ z^R, и^п| ,^{< 0}М )

и определим P[aⁿ]=u^u(Q, t), а также невязку f(t)—u^v(Q, I). На этом эта­

пе алгоритма следует вычислить норму невязки \\f(t)—uⁿ(Q, О И с ц о , 2 Г ] )9

и если эта величина достаточно мала, то, вследствие корректности обрат­

ной задачи (1.12) в окрестности точного решения [ 2 ] , функцию aⁿ(z) можно считать достаточно хорошим приближением искомого решения обратной задачи. В противном случае вычислим dujdt и решим линейную обратную задачу отыскания <p.^u(z]:

L[aⁿ]vⁿ^-<Pn{z) —ид ^п, t,z>0, vⁿ| « o^sO , V n U - o^{8 8 8 8}/ ^ ) — » n ( 0 , t ) , dt

Далее полагаем aⁿ⁺ⁱ(z)=a^)l(z)+^)n(z), и т. д.

§ 4. Теорема сходимости

В данном параграфе оценим нормы операторов F<>=(P'[а])~\ Y^QQ^

Т⁰Р". Используя предыдущие рассуждения, нетрудно показать, что ре­

зультат действия оператора Г⁰ на r(t) определяется как q>(z)-компонента решения (v, V / , v^z, q>, s^t) следующей системы линейных интегральных уравнений ((z, t)^At):

(4.1а) v(z, t)=r(z, i) -A^^t{LAah-^u^t+LAa\sⁱ}.

(4.16) v^t(z,t) - ^дГ{*1¹⁾ ~ (^Л^ЛаЪ^т+ЬЛаЫ), ot at

( 4 . 1 B ) V^Z{ZA) = 9 1 ^ ' ^ - - ^ (A^tj{LAa]v-(put+LdaUi}), dz dz

(4.1г) ^Ф ( * ) — Z {z)r^f (*, * ) + j ( * ) ( | L - a ) - ^ +

— и«,«{^1[ф]-фи«+Ь^а[ф1в¹})¹ dz ^s

< 4 1 д ) ^{S L}( 2 ) = | - J [^S, ( i ) ( - ^ - a ) ( l ) ^ ( l )^S( i ) ] d i , z&[0,T),

0

тде

^ х , { / } = У 1 f(l,r)dxdt, ^r(z,t)-^-[r{t-z)+r{t+z)\

0 «-z+&

д М = й ^ ( Г ) П И } , т. е. <р(*НГ⁰г(О^т * > 0 .

Система интегральных уравнений Вольтерра II рода (4.1) замкнута в Д ( 0 в том смысле, что функции v(z, t), v^t(z, £),.\>^г(г, £), ф ( я ) , S i ( z ) вы­

ражаются через интегралы от этих же функций в At. Предполагая, что a(z)€~C([0, Г ] ) , Ь(г)<&С*([0, Г ] ) , можно доказать [ 1 ] . что в Д ( 0 суще­

ствует единственное непрерывное решение системы (4.1). Таким образом, заключаем, что оператор (Р'[а])~* определен корректно.

Т е о р е м а 2. Если a ( s ) e C ( [ 0 , Т]), Ь(г)^С^{([0, Г ] ) , то решение си­

стемы уравнений (4.1) существует, единственно и принадлежит классу C(A(t)).

Доказательство проводится по известной схеме (см. [ 1 ] ) .

Заметим, что входящие в систему (4.1) функции a{z), &(z), r(z, £), s(z), Z(z), tt/(^, 0 могут быть оценены на основе априорной информации о данных обратной задачи. В самом деле, обозначим

В^1ЪЧЬ\\сакпь ^{£ Н | Ьг| | с( [о , г п .}

^ —ll^allc([o,T]), ^^HNIcao.Tjh ll'llcc <о,г>

R = шах {|| г ||с(£^0| т])> II г, ||, || г²1|, Ц г^{2 г} ||}, U (z) = max I u¹1 .

Обозначим также

F ( z ) = max | v ( M ) | . " С ^ У Н Ы к с о ^ ) ,

2 Г — 2 ]

= max | v , 0 M ) l , " V^t(z) = max. |v«(M)l»"

' <&(z) = \\q>(z) i | c^{( [ M ] )}.

Тогда из соотношений (4.1) j используя указанные обозначения, на ходим

(4.2а) V<R + j-T + -^l(-^-A У , + 3 £ , У , + З А ,⁸£ , К + Ф # ) d | ,

(4.26) У,*£Д + | " Г + у Д = Л У И - З Й . У . + З Х ^ К + Ф С г ) ^ ,

(4.2в) F , < i ? + у Г + = | | ( %-АУ,+ЗВУ^г+Зк¹ЁгУ+Ои)ъ,

&

(4.2г) С , < 7 < Д + | = Г + J ( • y i i F^l+ 3 f iⁱy , + 3 X^,J 5 i F + © ^ ) d 6 , 1909

Введем новую функцию

г ) , ( 2 ) « = К ( г ) + ^¹( г ) + Т '¹( г ) + Ф ( г ) + С¹( г ) . Тогда, в силу (4.2а—г),

(4.3) DdzXm+RT) [j- ( В . + Л + 2 ) + 2 ] + { - | - + 3 +

+ -j [ (В, +А) Т+А]} (= А - Ь З В , + З А Л 8 . + £/) j Я , ( | ) d | . В силу неравенства Гронуолла — БеллМаиа, из (4.3) следует (4.4) Dⁱ(z)<Jⁱex^V(MⁱT)ⁱ

где

/,= (2R+RT)«[ | - ( f i t + 4 + 2 ) +.2], Л / , = { —- + 3 +

+ = [ (£,+-4)74-4] } [у A+ZB^WBz+v).

Таким образом, норма оператора Г⁰= [Р' [a] ]^{_ t} оценивается как |]Г»|<

< /⁴ ехр(Ж¹7'). Следовательно, если Mⁱ и Г фиксированы, то два первых условия теоремы сходимости выполнены [ 6 ] . Для проверки третьего ус­

ловия требуется оценка нормы оператора Р"[а]. Будем исходить из опре­

деления второй производной [6-]:

(4.э) Р [а] ( < р , ф )^в Ь ш где

Р

[а+офлр^

lira

к

п Ч , Р [ « + / с ф ] - Р [ а ] Р I а ] ф = Ь т — • — .

к-*-о

к

Корректность определения оператора Р" [а] вытекает из корректности определения операторов Р'[«+бг|)] и P ' (^aL которая легко доказывается по аналогии с проведенным ранее исследованием операторов Р[а) в (Р'[а})~\

В § 3 показано, что результат действия оператора Р'[а] на элемент f(z)<=C([ — Т, Т]) можно определить, решая прямую задачу (3.2г, д ) :

L[a]v=-if(z)^^% z e R , l > 0 , v | , < a » 0 . ' at

1910

Сходным образом можно найти, исходя из определения (4.5), резуль­

тат действия оператора P'[a+6i|)] на элемент ф ( г ) е С ( [ - - Т , 71]), решая прямую задачу

где u( z , t)*=k~^lw(z, t)~u(z^y t)].

Аналогично, следуя определению (4.5), можно найти результат дей­

ствия оператора Р " [а]ф на элемент • ф ( 2 ) е С ( [— Т, Т}) как решение сле­

дующей прямой задачи:

L[a]⁴^^(z)dx/dt * e R , t>0, 4\t<o^O, где r)(z,t)±*64u(*. ^ - v ( M ) b

Для получения оценки нормы оператора P " ( a J используем рассуж­

дения, аналогичные проведенным для системы (4.1), Выпишем замкну­

тую систему интегральных уравнений Вольтерра II рода, определяющую оператор Р " [aJ ( z e R , t>0);

(4.6а)

т1и ,0=-4,.,{^чи,0-1|)

(4.6в) 4 , ( 2, 0

« - ^ ( л ^ ^ ч ^ ,

о - * Ы ^{^ } )} Обозначим

Л7(0'—: max | v t |t Q(t)^: max hi(/M)K W& max Jifj,

<?i ( 0 = max j T J, ( z , * ) I, <?g. ( 0 = max | % ( z , * ) I.

Используя указанные обозначения и введенные в § 2, получаем из соотношений (4.6) следующее:

t

(4.7а) QitXFNV+T \ [AQ,+В(x)d%, 0

i

(4.76) Q^l(t)^TNW+ j [AQ,+B^tQ^t+VB^tQ] (r)dr.

* •

<4.7B) & ( * Х 7№ Г + J u ^ + B . f t+ X W] ( T ) d T . - Введем новую функцию:

Тогда, в силу (4.7),

Du(t)^T[2NW+TNW)+(2+f) [А+В^х+КгВ21 J DAx)dx.

mi

Известно, что из этого неравенства едедует

(4.8) D^z(t)^hexp(MJ),

где /²- Г [ Z N W + T N W ] , Л Г , * ( 2 + Г ) [ Л + В⁴+ а д ,

Таким образом, зная конкретный вид оценок (2.12), (4.4), ( 4 . 8 ) ,

можно сформулировать теорему сходимости по аналогии с [ 6 ] . (Заметим*

что P^f{a)^Q^r{p) д P"{a)^Q"(a),)

Т е о р е м а с х о д и м о с т и . Пусть оператор Q определен в шаре

^{\\а-^ао\\с([~т,т])<Щ и имеет непрерывную вторую производную в Q⁰=*

^{\\a—a^Q\\^C{[-^TiT])^r}. Пусть, кроме TOW, верно следующее:

1) существует непрерывный линейный оператор То^[0'\а]\~* (см.

теорему 2 ) ,

2) У Г о Г ^ К Л У с с с с т з ) ^ - / / * e x p d ^ f + M O T l + A е х р ( Ж 3) | » Г о < ? " ta] llccia.xj^C^/,/ ехр[ ( Д Г Г J ^f amQ⁰,

Тогда если 7?, r>r^Q^g[1—(l~2ft)^v']/A, го уравнение Q(a)^Q имеет решение а\ к которому сходится процесс Ньютона -~ Канторовича, При этом ||a*-»ff^e||sgr⁰,

Далее, если при fe<7? бт/дег r<rⁱ^g[l+ (l—2h)'^h)/h, а при h==^%l^z будет r^r^u то в шаре Q⁰ решение а* единственно. Скорость сходимости процесс са характеризуется неравенством

1la--o.ll ( 2 Л ) » - - ^ , - - O^f 1,2^? —

Из вида констант h и G следует, что необходимым условием сходимо­

сти метода будут либо условия малости области Д£, либо условие близо­

сти начального приближения a⁰(z) к точному решению обратной задачи a*(z) (см. [ 6 ] ) .

§ 5. Численная реализация

Изложим алгоритм численного решения обратной задачи (3.1) —(3.3) г (5.1а) L[a]u=0,

ui

(5.16) ад^.^Х-Л J ( y - a ) (K)S(X)d%.

Для решения прямой задачи (5.1) используем явную разностную схе­

му второго порядка аппроксимации с постоянным шагом h по перемен­

ным z я t (см. [ 1 8 ] ) :

(5.2а) L^hW?^W^tl~W^zl+a^xWi + (b4b)iW^l + (Xb)ⁱ*W^ik=0, (5.26) И7=*,, i—N^y -N+l, . . . , iV,

Здесь предполагается, что в (5.1а) переменная z принадлежит отрез­

ку Г ] , h=*T/N, N-натуральное число, а^{=а(Ы), ib'/b=(hi)b^f/b^t (ХЬ^{)²=(%Ь)²(Ы). Упрощая (5.2а), приходим к следующей рекуррентной 1912

формуле для вычисления к^=2^ 3, ...> Af, i^—N^-k^ , . , , iV—ft:

( 5 . 3 ) W » ' _ { _ [ l _ | . t t 6 , ) . - ± 0 , ] W ' r + ^ l ( 1 _ | l i A ) +

+ „ . _ , ( 1 + f 4 ) } [ 1 + ^ _ f t b , , . | ] - :

Из формул (5.26), (5.3) вытекает, что сеточную функцию Ж* можно определить для всех целых пар (г, к) таких, что \i\+k четно и (£ft, kh)&

€ З Д ( * ) .

Алгоритм численного решения прямой задачи (5.1) рассмотрим в об­

ласти W(T).

По схеме Ньютона ^ Канторовича, нам также следует найти решение линеаризованной обратной задачи

L[anlv=yn(z)uti

ы •

v\^t=o=r(t)=uⁿ(0, t)~f{t)i n^Q, 1, 2 , . . . .

Д л я численного решения этой задачи воспользуемся явной разностной схемой второго порядка аппроксимаций [ 1 8 ] :

(5.4) L^-yWu

<5.5) Vi^ii.

Первые 'два слоя насчитываются' с помощью дополнительных данных обратной задачи следующим образом'

(5.6) «/,*=/•,, У^(УГ¹+УГ^{)/2.

Упрощая (5.4), приходим и рекуррертаой формуле для вычисления у{":

У1, ^\УГ(i+at4)+у*¹ ( i ~ « 4 ) -

х [ 1 - ( х & ;) ^ + - | - ^ 4 Г в

Из (5,5)-^(5.7) можно найти ср<. Таким образом можно численно р е а ­

л и з о в а н » обратную аадазу (1Л2), nmwhSfu схему Ньютона — Канторо-

в и з а .

Численные рйеч&$ш ш изложенному выше алгоритму решения одно- мерной обратйсй задачи проводились на модели среды типа «земля — воздух», при этом нижнее полупространство предполагалось горизонталь-

1 Ш

a(z)>

11.394 :

a(zj 71.32-

L = 0 1

Фиг, 1

Z Z,M

a(z) 32.07

11.39 U

I /I

/I

I!

/. = 5 ^{2 Z,M}

Фиг, 2

L=25

! i

Фиг. 3

I

2 ^Z,M

но-слои'стым. состоящим из трех слоев ( е = ео т й* 8 . 8 5 4 - 1 0 ~1 3 Ф / м , р,=* 1 . 2 5 7 *

Ю ~⁶ Г / м ) . Ось #³ направлена в глубину, ось я^А — перпендикулярно на­

правлению кабеля. Точки £^{3 ( 1 )}= 0 , я3 ( 2 )= Ю . 2 , # . i^{( 3 )}~ 1 . 2 м соответствуют границам раздела между однородными средами, в каждой из которых аначения е0гв и о постоянны: 8 i = 2 , е2= 6 , е3==2, G,=0.()2, a2= 0 . 0 5 , - 0 . 0 2 .

На фиг. 1—4 приведены результаты расчета обратной задачи (1.12) методом Ньютона — Канторовича для рассматриваемой модели. Здесь

—0, 5, 25, 40, 57, где L — число итераций. При этом глубина расчетной области выбиралась равной М=2 м, количество шагов по глубине iV—

= 100 и, следовательно, шаг /г2==Ж/7У—0.02 м. Шаг по временной перемен­

ной ht=L/N, где L = 5 0 не — время, д л я которого были про ведены: расчеты и прямой, и обратной задачи. Время счета одной прямой задачи ~ 2 с на ЭВМ ЕС 1061.

Список литературы

1. Романов В, Г, Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1084.

2. Кабанихин С. / / . Проекционно-разиостиые методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

3. Владимиров В, С, Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

4; Бельтюков В, А, К решению нелинейных интегральных уравнений методом Ньютона//Дифференц. ур-ния. 1960. Т. 6. № 6. С, 1 0 7 2 - 1 0 8 4

1914

5. Васильев Ф, П.. Ячимович М. Д. Об итеративной регуляризации метода Ньюто­

на / / Ж . вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21. № 3. С 775-778.

6. Канторович JL В., Акилов Г П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

7 Резчицкая К. Г. Теорема существования и единственности одной нелинейной об­

ратной задачи теплопроводности. Метод Ньютона - Канторовича // Матем. пробя.

геофиз. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1972. С. 152-165.

8, Л пто не пи о О. Ф . Резчицкая Я\ Г. Метод Ньютона - Канторовича в обратной динамической задаче сепсмики // Обратные задачи для дифференц. у р-н и й матем физ. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. С. 18-25.

9. flogcr А. К-К algorithm applied to an electromagnetic inverse problem//IEEE Trims. Antennas Prop. A P-29. 1981, P. 232-238.

10. March ft /).. Tan D. G. N.. Wall D. J. N. N-K method applied to two-dimensional inverse scattering for an enterior Helmholtz problem//Inverse ProbL 1988. V. 4.

Л« 4. P. 1117-1128.

11. Xie 0 . Q. A new iterative method for solving the coefficient inverse problem of the wave equation // Communs Pure and Appl. Math. 1980. V. 39. P. 307-322.

12. Барашков А. 6\. Дмитриев В. fl. Обратные задачи зондирования ионосферы//

Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1973. Вып. XX. С; 315-322*

13 Благовещенский А, С О квазидвумерной обратной задаче для волнового урав­

нения//Тр. МИ АН СССР, М., 1971. Т. 115. С. 57-69..

14. Chen У, М., Liu Л (К A numerical algorithm for solving inverse problems of two- dimensional wave equations//J. Comput. Phys. 1983. V. 50. P. 193-208.

15. Lin J. <?., Chen F. M. An iterative algorithm for solving inverse problems of two dimensional diffusion equations//SI AM J. Scient. and Statist. Comput. 1984. V, 5,

№ 2. P. 255-270.

16. Chen У M.. Liu X. Y. A generalized pulse-spectrum technique (G. P. S. T.) for de­

termining time-dependent coefficients of one-dimensional diffusion equations//

SIAM J. Scient and Statist. Comput. 1987, V, 8. № 3. P. 436-446.

17 Xie G. <?.. Chen F. M. A modified pulse spectrum technique for solving inverse problems of two-dimensional elastic wave equation//Appl. Numer. Math. 1985, V, 1. P. 211-237.

18, Самарский А. А. Теория разностных схем. ML: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 31.07.91