В. К. Иванов, Обратная задача потенциала для тела, близ- кого к данному, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1956, том 20, выпуск 6, 793–818

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. К. Иванов, Обратная задача потенциала для тела, близ- кого к данному, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1956, том 20, выпуск 6, 793–818

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 02:07:43

Серия математическая

20 (1956), 7 9 3 - 8 1 8

В. К. ИВАНОВ

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ ТЕЛА, БЛИЗКОГО К ДАННОМУ

(Представлено академиком В. И. Смирновым)

В работе дается решение обратной задачи потенциала в предположении, что внешний потенциал искомого тела близок к внешнему потенциалу данного тела, при условии, что данное тело звездно относительно внутрен­

ней точки и его граница является достаточно гладкой.

Введение

1. Под обратной задачей потенциала мы понимаем здесь задачу о на­

хождении формы тела по его внешнему потенциалу, предполагая, что это тело заполнено веществом с заданной постоянной плотностью, которую мы всюду в дальнейшем будем считать равной единице.

П. С. Новиков (9), А. Н. Тихонов (12) и Л. Н. Сретенский (п) уста­

новили условия единственности и устойчивости этой задачи.

Гораздо меньше изучены вопросы существования решения и его факти­

ческого нахождения.

Для нахождения тела 2\, возбуждающего данный внешний потен­

циал Vx, можно было бы поступить следующим образом: возьмем какое- нибудь тело Т0 простой формы с внешним потенциалом V0 и введем одно- параметрическое семейство потенциалов

F W = F0 + X ( F1- F0) , (1.1)

где X — вещественный параметр, изменяющийся от 0 до 1.

Рассмотрим две следующие частные задачи:

A) Данное тело Т (Х0) (0^Х0<^1) имеет внешний потенциал F(X0).

Требуется найти тело Т (X), внешний потенциал которого известен и ра­

вен V (к), при условии, что |Х — X0|<^s, где е — достаточно малое поло­

жительное число.

B) Найти, когда число е задачи А) может быть выбрано независимо от Х⁰.

Эти две задачи равносильны обратной задаче для потенциала Vl9 так как, решая задачу А) для последовательных значений параметра

где — <<е, можно, исходя из тела Т0, конечным числом шагов добраться до тела Тг.

Подобный прием был успешно использован С. Н. Бернштейном в его известных исследованиях по решению задачи Дирихле для дифферен­

циальных уравнений эллиптического типа [см. (1)].

6 Известия АН СССР, серия математическая, № 6

2. В настоящей работе мы исследуем задачу А) в несколько более общей постановке. Именно, мы будем искать тело Т1У зная его внешний потенциал Vly если известно, что V± близок в смысле некоторой функ­

циональной метрики к внешнему потенциалу заданного тела Т. Такую задачу мы и называем обратной задачей потенциала для тела, близкого к данному. Путем уточнения оценок можно надеяться в будущем подойти к решению и задачи В). Для случая, когда заданным телом Т является шар, рассматриваемая нами задача была решена Л. Н. Сретенским (10).

Мы даем здесь ее решение, предполагая, что тело Т является звездным относительно некоторой внутренней точки, что функции параметрического представления его границы S дважды дифференцируемы и их вторые про­

изводные удовлетворяют условию Гельдера с показателем Х < 1 (поверх­

ность класса Bh по Л. Лихтенштейну; см. (4), стр. 186—187).

Для функции, определяющей границу искомого тела, мы составляем нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, следуя схеме Л. Лих­

тенштейна в теории фигур равновесия вращающейся жидкости [см. (3)>

стр. 36—49].

Однако буквальное применение рассуждений, принятых в теории фигур равновесия, приводит к интегральному уравнению первого рода. Для тела, близкого к шару, решение подобного уравнения дано Л. Н. Сретенским на основе методов А. М. Ляпунова (¹⁰). В рассматриваемом нами общем случае этого сделать не удается, поэтому вместо потенциала мы поль­

зуемся его нормальной производной, что дает уравнение второго рода, но зато увеличивает степень сингулярности подынтегрального выражения и сильно усложняет решение полученного уравнения. Это решение мы проводим методом последовательных приближений. При доказательстве сходимости приходится опираться на оценки граничных значений потен­

циала и его производных и развитую Л. Лихтенштейном теорию диффе­

ренцируемых отображений с введением комплексного параметра.

В работе доказывается существование и единственность решения в рас­

сматриваемом классе и дается способ его фактического построения.

Автор выражает искреннюю благодарность В. И. Смирнову за ряд ценных советов.

Глава 1. Постановка задачи

3. Введем некоторые определения, аналогичные тем, которые были даны в работе (2) (стр. 118—122). Функции точки, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем X:

\f(M)-f(P)\^A\MP\\

будем называть принадлежащими классу Я (О, X). Если функция /(М) непрерывно дифференцируема по координатам точки к раз и все ее част­

ные производные к-то порядка удовлетворяют условию Гельдера с пока­

зателем X, то будем говорить, что эта функция принадлежит классу Н(к,\). Показатель X будем считать везде в дальнейшем раз навсегда фиксированным положительным числом, меньшим единицы.

Изложим некоторые геометрические факты, следуя работе (7) (стр.

Ю5—106).

Пусть S есть замкнутая поверхность, удовлетворяющая условиям Ля­

пунова, ограничивающая односвязную область Т. Известно, что S может быть разбита на конечное число таких кусков, каждый из которых опре­

деляется векторным уравнением

Д = Л(5,Ч), (3.1) где В ($, т]) — непрерывно дифференцируемая векторная функция, опреде­

ленная в некоторой области плоскости £, т] и удовлетворяющая условию

[Д5> Д,] ф 0. (3.2)

Если, сверх того, все три компоненты векторной функции В (5, TJ) при­

надлежат классу Н (к, X), то будем говорить, что поверхность принад­

лежит классу Л (к, X). В частности, поверхности Ляпунова без дополни­

тельных требований гладкости образуют класс Л(1, X).

Везде в дальнейшем мы будем предполагать, что S принадлежит классу Л(2, X) [класс Bh в терминологии Л. Лихтенштейна; см. (*)].

Пусть Р— точка поверхности S, определяемая радиусом-вектором В = В (S, т]), Q — точка пространства, определяемая радиусом-вектором

BQ = Bp + vn, (3.3)

где п — единичный вектор внешней нормали в точке Р. Числа 5, ij, v можно рассматривать как криволинейные координаты точки Q.

Вычисления показывают, что якобиан преобразования криволинейных координат в прямоугольные декартовы равен

g | f ^ = (1 - #v + К*) VEG-F»; (3.4) где Е, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы, Н — средняя

и К — полная кривизны поверхности S. Из (3.4) видно, что при доста­

точно малых v различным точкам отвечают различные тройки чисел £, TJ, V и наоборот. Будем считать, что это условие выполнено для |^|<Jv»

только такие значения v мы и будем рассматривать.

4. Обозначим через В² множество непрерывно дифференцируемых .функций

определенных на поверхности S, первые производные которых удовлет­

воряют условию Гель дера с показателем Х ( 0 < Х < 1 ) (т. е. принадлежа­

щих классу 77(1, X)). На множестве В2 можно ввести норму, считая- ее равной наибольшему из чисел

4 т а х | С ( Р ) | , 4max|C5(i>)|, 4max|C4(i>).|, 4 sup 1 ^ > - Ц " > 1 4 sup ' W - W I

| M P |х ' ^ | MP |л

6*

Коэффициент 4 введен из желания иметь для нормы произведения не­

равенство

I I C ^ K I M - I M (4.1)

(множество R2 замкнуто относительно произведения). Известно, что про­

странство с такой нормой является полным.

Задача, которой мы будем заниматься, ставится следующим образом.

Обозначим через V внешний потенциал тела Г, ограниченного поверх­

ностью S, при заполнении его веществом с плотностью единица. Вне S определена гармоническая функция Vlf регулярная в бесконечности, удов­

летворяющая условию

l i m F1r > 0

и продолжимая через S внутрь Т на положительное расстояние со­

предельные значения на S извне производных

dV_ dW_ dVi -dWi dv"' '№' "д^1 dv2

суть функции, принадлежащие пространству R2 [см. (7), стр. 123]. Пред­

полагая нормы

I dW^x dW I

ll^i-П

^{дУdv dv г дУ dv2 dv2}

(для производных от V берутся предельные значения извне) достаточно малыми, требуется найти тело 7\, ограниченное поверхностью S±1 внешний потенциал которого равен Fx.

Глава II. Вывод интегро-дифференциального уравнения

5. Пусть уравнение искомой поверхности S± в криволинейной системе координат есть

v = C(i>) = C(S,4). (5.1)

В этой главе мы выводим интегро-дифференциальное уравнение для С (6, ч}).

Желая получить уравнение второго рода, мы рассматриваем вместо потен­

циала его производную по v.

Введем между S и S± однопараметрическое семейство поверхностей St, зависящих от параметра t и определяемых уравнением:

v = *C(S, ч) ( 0 < * < 1 ) . (5.2) Область, ограниченную поверхностью Stl обозначим через Tt. Введем •

точки

*(6,Ч>0), Pt(h, ч, Л), ф ( 5 , ч , Л + е)

(s^>0, координаты — криволинейные). Радиусы-векторы этих точек связаны соотношениями:

R (Pt) = R(P) + tin, R (Qt) = R(P) + (Л + в)п. (5.3) Здесь n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S в точке Р.

Переменную точку, лежащую внутри Tt + St, обозначим через М', а ее радиус-вектор — через R'.

Положим

г = R' (71/') — R{P), rt = R' (М') — R (Pt).

Тогда

Q%M' = rt — en.

Потенциал тела Tt на точку Qt равен

Vt(Qt) = {^^r. (5.4)

# I r, — zn I Производная потенциала по v

ov t г cos ^7 где

cos 6J = cos (л, ()*ЛГ).

Интеграл (5.5) можно преобразовать в интеграл по поверхности [см. (7), стр. 112, формула (104)]:

? I V

dVt r cos 0*

(5.5)

U\ ==—\\ -» ¹ -» (», л|) daj. (5.6) Здесь щ — единичный вектор внешней нормали к поверхности St в точке

интегрирования. U* можно рассматривать как функцию параметра t. Вы­

числяя производную

dt л-о h

с учетом того, что в (5.5) и (5.6) от t зависят как подынтегральное вы­

ражение, так и область интегрирования, и применяя те же преобразова­

ния, что в (3) или в (7), приходим к соотношению:

•L*> \ г. — гп \*

st i v

Если для U] использовать (5.6), то получится:

ьт с г cos e! dt

(* (* C O S \) -*• -*•-+•

- = \ \ - '—(tn—tyntdv't. (5.8) Здесь штрих показывает, что значение соответствующей функции берется

в точке интегрирования.

6. В выражении (5.8) можно перейти к пределу при s - » 0 под знаком интеграла. При s = 0 интеграл превращается в несобственный, так как при М' = Pt подынтегральная функция в нем обращается в бесконечность.

Вследствие присутствия множителя (С V — Ся) эта бесконечность будет

иметь первый порядок и для обоснования законности перехода к пределу можно применить обычный прием, состоящий в выделении особенности при помощи круга малого радиуса с центром в точке P^t с последующим сжатием этого круга в точку.

Таким образом, мы можем считать, что равенство (5.8) имеет место при 0 ^ s ^ s⁰, если положить

dU°t dUzt dt « . +о dt

дЩ

7. Наша ближайшая задача состоит в разложении ~^~ в ряд по сте­

пеням t.

Для этого мы разложим в ряд подынтегральную функцию в (5.8) и проинтегрируем его почленно.

В соответствии с предположением в конце п. 3 о малости е0 при доста­

точно малых г имеет место оценка:

^ - ^ < С 1 ( 0 < в < ео) , (7.1) где С^х — постоянная, зависящая только от формы тела Т и числа е⁰

ЛЕММА. Существует такая постоянная А^-0, определяемая лишь видом тела Т и числом е⁰, что при

I 4 < v l^l<A> i^KA»

⁸

о<

^г

о

на всей поверхности S имеет место оценка:

ItV-frl < M o ( 0 < г < 8 о ). (7.2)

\г — гге |

Д о к а з а т е л ь с т в о . Можно написать:

\П'п' — Ь1\_\И'п' — Пп\

(7.3) Пользуясь (7.1), мы можем ограничиться оценкой первого множителя.

В силу того, что числитель в нем ограничен, достаточно рассмотреть случай, когда точка М' близка к Р, т. е. г мало.

Введем прямоугольную декартову систему координат, приняв точку Р за начало и направив ось z по внешней нормали. В этой системе коор­

динат уравнение поверхности вблизи Р имеет вид z = f(x, у), а радиус- вектор РМ' равен

г = Ух2 + у2 + z2.

Пусть составляющие вектора п суть а, &, с. По теореме о среднем значении,

'-^=(b);f+(ca);f.

где (Са)* и (Са)у—значения частных производных в точке между Р и М'.

В силу условий леммы, (Са)х и (Са)у относительно положения точки на S

равномерно ограничены, поэтому существует такая постоянная С2, что равномерно на всей поверхности S

I C V - f r l < С2 V Аналогично,

^ ^ 2 ° о » : ^ > ^ 2 ° о (7.4)

l ^ = ^ l L < Vr3 Ca80. Из (7.1), (7.3) и (7.4) и вытекает (7.2).

8. ТЕОРЕМА 1. Существуют такие о0> 0 , t0^>l, s0> 0 , что при

| С | < о0, |С^|<о0, |Ci,K8o» l*K*o> 0 < s < so, функция -^-разлагается дЩ в ряд по степеням t, сходящийся равномерно относительно е и положения точки Р на S.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Учитывая, что cos fy = — =г— ,

\ rt — en |

мы сможем переписать (5.8) следующим образом:

(Cn —ty)ntdoi.

st I't — ^i

Если ввести векторы внешней нормали Nt = дЩ дЩ

N ~д\ ' 07)'J

то можно перейти к интегрированию по поверхности S:

ди

S \rf — Etl\

Обозначим тогда

r^t — en = r^c + (C'ra' — Cn) t,

(8.1)

(8.2)

(8.3)

.

e

M

1 + 2

M ^ ! ^ *

+

G * z ^ , .

(8.4) Если |С|-^50' 1^г|"^°о> 1^1^°о и постоянная о0 достаточно мала, то, согласно лемме п. 7, существует такая постоянная А, что

K'n'-fcil < Л 80 ( 0 < s < s0) .

(8.5) Перепишем подынтегральную функцию в (8.3) следующим образом:

\^

⁺

—К—7 ^ ~ *

На основании (8.2) и (5.3), вектор ~ имеет вид: iV

Р0 + 2P±t + P2t*,

где Р07 Рг и Р2 — определенные на поверхности S непрерывные вектор­

ные функции и поэтому их модули ограничены некоторым положительным числом Вг:

\Po\<Bi> \Pi\<B^l9 \Р*\<В^±.

Подкоренное выражение в (8.4) может быть разложено на множители:

где ах и а2 — ограниченные функции точек Р и М' на S и числа е ( 0 < е < ео) :

|«l|<#2*0> K K ^ V

Из всего сказанного следует, что степенной ряд для функции (8.5) будет мажорироваться степенным рядом для функции

re( i - 2 W )3 "" Тш 2J Vnt > V'*>

n=0

где Dn — положительные числа.

Ряд (8.6) сходится при

|'|<зж-*

^LQ.

Л

Если взять 80<1г» т 0 будет г0> 1 - Отсюда видно, что при | * | < *0 РЯД по степеням t для функции (8.5) сходится равномерно относительно положе­

ния точки М' на поверхности S и поэтому может быть почленно про­

интегрирован по поверхности S, Произведя такое интегрирование, получим разложение:

Я 77^е

• £ « = % + И > + . . . + З Г » *п+ - - - . (8.7) Ряд (8.7) мажорируется рядом

SM^' ¹ "' ' ⁽⁸ ' ⁸⁾

который получается почленным интегрированием по поверхности S ряда (8.6). Интеграл

[[ — = [[

^d

°' s

^Гг

s IR' — я ~ м I

-»• -•-

равен значению в точке R + еп потенциала простого слоя, распределен­

ного по поверхности S с единичной плотностью, и поэтому равномерно относительно е ограничен:

^ ' < А / \ М>0, 0 < e < so.

S

Таким образом, в условиях теоремы ряд (8.7) мажорируется рядом

%MDntn п=0

с постоянными положительными коэффициентами и поэтому при 111 << t⁰ (t0^>l) сходится равномерно относительно положения точки Р на S и числа s (0 >< е <; e0)w

9. Интегрируя ряд (8.7) по £ от 0 до 1, находим:

Ul-U'0==% + ^%l+...+-A-TWn+---. (9.1) Пользуясь равномерностью этого разложения, можно перейти почленно

к пределу при s —>0. Осуществляя такой предельный переход и обозначая U, = lim Ul U⁰ = lim Ul Uⁿ⁺¹ = lim - L - 2fⁿ,

приходим к соотношению:

U± = U0 + Ux + U2 + • • • + Un + . . . . (9.2) Здесь каждое Un есть интегро-степенная форма п-& степени относительно

С, С$, Ст). Найдем выражение для VLX. Имеем:

VL^X = l i m Ul = l i m ~^-

e->+0 s->-f0 0t t = 0

Подставив вместо -~— его выражение из (5.7), получим:

(9.3)

где

а

²

г

av

^{2 v_0 Q - P 5v2}

(P£S, Q — вне S, cos 6 = cos (n, r)).

Заметим также, что

(9.4)

U - ^

lv=0 = lim ??Ш. (р е S', Q-nneS). (9.5)

Q~P

Значение U±1 определяемое формулой (9.2), должно совпадать со зна­

чением в точке / \ ( £ , т], С) производной - ^ - заданной гармонической функции Vx. Точка Рг(£, т], С), в которой берется значение -^ , лежит на неизвестной поверхности б*!.

Подставляя в левую часть равенства

разложение (8.2), полагая

а27х дУг | ___dFi

где

v=o dv2 L.—л v /» |v=o

Ф

^{( д =}

Щ + ^ 1 _ f i | ,

⁽⁹

.6)

v ' d\> | v = o d v2 | v = 0 dv jv=C V '

и учитывая (9.3) и (9.5), получим после преобразований:

Si^c"-«-*2S=2L ⁺ c S ^ L - . ⁿ _ jn.. (9.7)

Введя обозначения:

n=2

мы сможем переписать (8.7) следующим образом:

27rc-^^crfa' = / + g!; + o(C) + T(g. (9.9)

S

Это есть основное интегро-дифференциальное уравнение задачи.

Глава III. Об эквивалентности интегро-дифференциального уравнения и рассматриваемой задачи

10. В главе II мы показали, что всякое достаточно малое решение поставленной в п. 4 задачи удовлетворяет уравнению (9.9). В этой главе мы покажем, что всякое достаточно малое решение уравнения (9.9) дает решение нашей задачи.

Пусть С есть функция, определенная на поверхности S и удовлетво­

ряющая уравнению (9.9). Будем считать, что |С|<С^> где d — расстояние, на которое может быть продолжен потенциал V± внутрь тела Т. Тогда Vi |v=s будет иметь смысл.

Отложим значения С по внешней нормали к поверхности S и обозна­

чим полученную таким образом поверхность через Slf тело, ограниченное этой поверхностью,— через Тг и внешний потенциал, возбуждаемый ве­

ществом, заполняющим тело Т± с плотностью единица,— через 7Х. Нам надо показать, что

VX=VX. (10.1)

Проведя для функции С рассуждения пп. 7—9, мы обнаружим, что

dVi = # ^ а г д27 4- L-—

S

Подставив это в уравнение (9.9) и учитывая (9.6) и (9.8), получим:

(10.3)

dv __ ЭУ1 v=£ dv v=S

Таким образом, на поверхности S1 производные по направлению v от внешнего потенциала V± полученного нами тела Тг и заданного потен­

циала V± равны между собой. Отсюда мы должны заключить о равен­

стве этих потенциалов вне S\, что сводится к доказательству единствен­

ности решения внешней задачи о косой производной (направление v не совпадает с направлением нормали к З^). В следующем пункте мы пока­

жем, что при достаточно малых С единственность имеет место.

11. ТЕОРЕМА 2. Пусть W есть функция, гармоническая вне поверх­

ности S± (см. п. 10), регулярная на бесконечности и удовлетворяющая

Л.

на S^x условию

3W i

6dv v=S ' 0. (11.1)

Если функция С, определяющая поверхность Sl7 достаточно мала, то W тождественно равна нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим, как и в п. 5, радиусы-векторы точек на S и S± соответственно через R и R±, единичные векторы внешней нормали — через п и п^±; точки интегрирования будем отмечать штрихами.

Тогда

Е± = Е + Ы и

r = R' — R', r1 = R1—R1 = r + {Z!n' — Wj. (11.2) Разместим на S1 простой слой плотности [л, для которого W является

внешним потенциалом. Известно, что ^ удовлетворяет сингулярному ин­

тегральному уравнению

[см. (8), стр. 110, уравнение (1)]. Учитывая (11.2), уравнение (11.3) можно переписать следующим образом:

( T O ^ J X — ^ ^ ^ { w r + w(C'n' —&j)}da'. (11.4) Если С достаточно мало, то каждой точке М поверхности S, определяе­

мой радиусом-вектором R, отвечает одна и только одна точка Мх поверх­

ности Sl9 определяемая радиусом-вектором Rx = R -J- &г, поэтому каждой

функции, определенной на поверхности S^l9 отвечает функция, определен­

ная на поверхности S:

h{Mi) = f{M), д^ей, мея.

Сохраняя для функций, определенных на S, такие же обозначения, как и для соответствующих им функций, определенных на З^, мы сможем в (11.4) перейти к интегрированию по S:

W ^ ~ ^ ^ ^ { w ? + n ( C V - ^ ) } ^ d a ' = 0 f (11.5) s

где Ni и N — длины векторов нормалей к поверхностям S1 и S.

Рассмотрим гильбертово пространство L² функций с суммируемым квадратом, определенных на поверхности S. Введем в этом пространстве операторы

BJ = (nn1-\)f, B2f =

2.у(^Ж-4гИ^)/'^''

з /

~ ^О) 7 wf

^d

°>

S 1

Tf=-h\\^r-fd°'> B = BX-B2-B3

(11.6)

Уравнение (11.5) может быть записано следующим образом:

(л + 7> + By. = 0. (11.7) Операторы В2 и Т в (11.6) вполне непрерывны, так как это — интеграль­

ные операторы, ядра которых регуляризуемы; непрерывность оператора Вх

видна непосредственно; оператор В3 — сингулярный интегральный опера­

тор, а такой оператор также является непрерывным в L2 [см. (8)]. Таким образом, в уравнении (11.7) оператор В непрерывен, а оператор Т вполне

непрерывен.

Согласно классическим результатам теории потенциала (единственность решения внешней задачи Неймана), оператор Е — Т имеет ограниченный обратный. Норма оператора (Е — Т)~г положительна и не зависит от С.

Как видно из (11.6), оператор В непрерывен и его норма непрерывно зависит от С в следующем смысле: для каждого s > 0 можно найти такое 8^>0, что если | С | < § на всей поверхности S, то | | 5 | | 0 .

Переписав уравнение (11.7) в форме

\i + (E — T)~1B\L = 0

и взяв С столь малым, чтобы было

\\(E-T)-iUB\\<U

мы найдем, что оператор Е + (Е — Т)" В будет иметь ограниченный об­

ратный. Но тогда уравнение (11.7) имеет единственное решение (i. = 0.

Если положить

то W есть гармоническая вне &\ и регулярная на бесконечности функ­

ция, удовлетворяющая на S± условию [(11.1). По теореме 2, W=0 и поэтому

P1=V1. (11.8)

Таким образом, справедливо

С л е д с т в и е . Если С—достаточно малое решение уравнения (9.9), то имеет место (11.8), т. е. тело Tlf ограниченное поверхностью v = C(S, ^), имеет своим внешним потенциалом V±.

Глава IV. Решение интегро-дифференциального уравнения 12. Мы будем рассматривать уравнение (9.9) в функциональном про­

странстве R2, введенном нами в п. 4. В символической форме это урав­

нение можно записать следующим образом:

4С = / + *С + Р(С), (12.1) где

Ж = ^ ^ - С ' й а ' — 2тгС, Р(С) = Ф(д + Т(С). (12.2) s

Если Сб/?2 и норма С достаточно мала, то все члены в (12.1) принад­

лежат R2. Для / и j это вытекает из определений (9.6) и (9.8) и ска­

занного в п. 4. Пространство R2 является кольцом, где умножение по­

нимается в обычном смысле, поэтому gC6i?2- ^ е с т ь предельное значе­

ние извне нормальной производной потенциала простого слоя, распреде­

ленного на 5 с плотностью С. Из условий гладкости поверхности S (принадлежность к классу Bh в смысле Л. Лихтенштейна) и того, что С имеет первые производные, удовлетворяющие условию Гель дера, следует, на основании теорем теории потенциала [см. (4), стр. 202], что у функции А С первые производные по £ и т] удовлетворяют Х-условию Гельдера и, следовательно, эта функция принадлежит R2. Принадлеж­

ность Ф(С) к R2 при C6i?2 следует из соотношения (9.6), в правой части которого каждое слагаемое принадлежит R2. Принадлежность Т(С) к R2

будет установлена в п. 19.

Оператор А имеет в пространстве R2 непрерывный обратный, поэтому уравнение (12.1) может быть записано в форме:

Z = A~1f + A-1(gq + A-1P(Q. (12.3) Уравнение (12.3) можно решить методом последовательных приближений,

пользуясь известной схемой Л. Лихтенштейна [см. (7), гл. 1]. Доказа­

тельство сходимости основывается на следующих свойствах оператора Р (С).

ТЕОРЕМА 3. Существуют такие положительные постоянные a, b, d, что для положительного со, не превосходящего d, и при любых функциях С и С из R2, удовлетворяющих неравенствам

ИСК*», 1Ч1<«,

(12.4)

будет:

\Р(Щ<*<*, (12.5)

||Р(С)-/>(С)||<6со||С-С||. (12.6) Соотношения (12.5) и (12.6) соответствуют неравенствам (8) и (И) ра­

боты (7) (стр. 4). В силу (12.2), i>(C) разлагается на сумму Ф(С)и Т(С), поэтому неравенство вида (12.5) или (12.6) достаточно установить для каждого из операторов Ф(С) и Т(С). На основании (9.6), Ф(С) может

быть записано следующим образом:

ф

^) = -у-??Ц'

0 < е < 1

'

откуда следует существование таких положительных постоянных ах и bl9

что при выполнении (12.4) будет:

||Ф(С)||<«1<^ (12.7) ИФ^-ФСдК^соПС-СЦ. (12.8) Таким образом, теорема 3 будет доказана, если мы покажем, что при

выполнении (12.4) имеют место неравенства:

||Т(С)||<а2со*, (12.9)

1 ^ ( С ) - ^ ( С ) « < &2о > | | С - е | | (12.10) (первое и второе неравенства Лихтенштейна).

13. Доказательству неравенств (12.9) и (12.10), что составляет глав­

ную трудность решаемой нами задачи, посвящена глава V. Здесь же мы дадим решение уравнения (12.3), предполагая теорему 3 доказанной и применяя к нашему случаю известный способ рассуждений [см. (⁷)].

ТЕОРЕМА 4. Пусть со— положительное число, удовлетворяющее не­

равенствам:

c o < d , с о ( 1 + 6 | | ^ - 1 | | ) < 1 , со2-2(1+2а||Л-1||)со + 1 > 0 , (13.1) где dub — числа теоремы 3. Если нормы функций f и g в уравнении (12.3) имеют оценки

l / K i ^ q . U K p F r p (13-2) то это уравнение имеет единственное решение С, удовлетворяющее условию

m<d, (13.3)

которое может быть найдено методом последовательных приближений:

Cn+i = ^1/ + ^"1(/Cn) + ^"1i)(C) ( n = lf 2, . . .)• (13.4) Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим квадратное уравнение

т = со + сот + |] А'1 Цат2, (13.5)

где а — число неравенства (12.5) теоремы 3. Обозначим наименьший по­

ложительный корень этого уравнения через тх (при выполнении (13.1) оба корня уравнения положительны). Покажем, что для всех приближе­

ний (13.4) будет:

«СпКх,. (13.6) Для Ci это следует из (13.4) и (13.2), так как, на основании (13.5),

Пусть неравенство (13.6) выполняется для Сп. Тогда, в силу (12.3).

^ы _|_ «г! + И_ 1|1а т! = *г

При со—>0 также т1^>0, поэтому можно считать, что ^-^d.

Рассмотрим оператор

Q (С) = A-1 g + Л"1 (g Q + Л"1 P (С) (13.7) для С, удовлетворяющих (13.3). Пусть С и С — две функции, для которых

выполняется (12.4). Имеем:

Для нормы ||(?(С) — Q(t)\\, учитывая (13.2) и (12.6), получаем:

ie(Q-?(t)ii<4K-cii44K>4ic-e«.

Если обозначить <о(1 -+г || -4""11| 6) = к, то полученное нами деравенство можно записать в виде:

иесэ-еФкАцс-ец, (шо

причем, на основании (13.1), & < 1 .

Таким образом, Q (С) есть оператор сближения, и утверждение теоремы следует из принципа сжатых отображений.

Глава V. Исследование оператора Т(£)

14. В предыдущей главе было дано решение основного интегро-диф- ференциального уравнения (9.9) в предположении, что оператор Т(С) переводит всякую функцию С из R2 снова в функцию из i?2 и что для него в условиях теоремы 2 справедливы неравенства (12.9) и 1(12.10).

В настоящей главе дается доказательство этих неравенств в предполо­

жении звездности тела Т относительно некоторой внутренней точки.

В основу рассуждений положена принадлежащая Л. Лихтенштейну идея дифференцируемых отображений одной области на другую с введе­

нием комплексного параметра [см. (7), стр. 122—127, а также (5) и (6)].

Предположим, что тело Т лежит внутри некоторой ограниченной вы­

пуклой области Z), причем расстояние от границы тела Т до границы области D положительно. Введем для сокращения следующее обозначение:

^ = ^ ^,j iwr (0<x<1) -

Пусть в области D заданы три функции: а (ж, г/, z), Р(ж, г/, z), ^(х, г/, z), принадлежащие классу Я ( 1 , X) ( 0 < Х < 1 ) и удовлетворяющие условиям:

М> IPI, 1т1 < п , )

I да I дх . I да

| дх

где П — положительное число. При достаточно малых а, р, f система функций

1-

^со,

да 1 ду 1

» • • • »

и ' • • • ' су

~~dz

ду

~di

<п, , <п,

(14.1)

я = ж + ос(з, y,z), y = y + ${x,y,z), z = z + t(x,y,z) (14.2) осуществляет взаимно однозначное дифференцируемое отображение об-

А А А

ласти D на некоторую область D. Тело Т + S перейдет в тело Т + S, лежащее в D (поверхность S принадлежит классу Л (1, X).

Введем в области D потенциал

V (х, у, I) = \ $ - , > = (я\ - а)* + (у> - у)2 + (zr - 1)\ (14.3) т г

Потенциал F и его частные производные первого и второго порядка по ху г/, z можно рассматривать, в силу взаимной однозначности отобра­

жений (14.2), как функции координат х, у, z, определенные в области D — Т\ при этом значения его вторых производных на S принимаются как предельные значения извне.

Будем в дальнейшем обозначать через си с2, . . • постоянные, завися­

щие лишь от вида области Т и числа П. Известно [см. (⁷)], что в D — Т имеют место неравенства:

<«i. [ (14.4)

rVi

\у 1»

dW (

дх2 J

dW

дх ²

>

dv дх

dW

дх ду 1 dw

X \д ^{х с}

ь

1

dv ду ^» , . . . ,

X

j • • * ?

[ W 1 1 dz I

dW dz*

dW I

"^4

Здесь и всюду в дальнейшем в аналогичных случаях предполагается, что (14.3) сначала дифференцируется по координатам х, у, z, а потом в полу­

ченное выражение подставляются функции (14.2).

15. Введем однопараметрическое семейство отображений

хх = х + -^-сс, у* = у + -— Р, rzt = z + ~ T . (15.1) Здесь t — вещественный параметр, ос, В, у — функции п. 14. Эти отоб­

ражения переводят D в Du T + S — в Tt-\-St. При 2 = 0 тело Tt + St

совпадает с T + S, при t = U — с Т 4 S. Для каждого значения t из сегмента [0, П] существует потенциал

Vt = \ ^г , А = (а* - XiY + (y't - Vtf + (z't - zt)\ (15.2) В дальнейшем нам придется рассматривать Vt и для комплексных t.

Интеграл (15.2) для этого использован быть не может, так как в нем область интегрирования Tt зависит от t. Чтобы избавиться от этого за­

труднения, перейдем к интегрированию по области Т, для чего произ­

ведем замену переменных по формулам (15.1):

Vt

Sv

, D(x',y',z')aZ • (15.3)

Для производных потенциала находим аналогичные выражения, например:

JXl — [ !L( [ Tx^t ~~ J dx^t \ r^t да

д ( 1 \ D(xt,yt,zt) t

— ! — \ . — — di D(x',y',z')

^2 / i \ D(x^vy^t,

t j D (xf ,y' ,z') •M (15.4) [ср. формулы (26) и (27), соответствующие потенциалу простого слоя, на стр. 78 в (⁵)]. Здесь вторые производные V% имеют на поверхности S предельные значения извне, удовлетворяющие условию Гель дера с пока­

зателем X.

Везде в этой главе мы считаем, что потенциал и его производные определены в области D — Г, под значениями его вторых производных на поверхности S понимаются их предельные значения извне.

Выражения (15.3) и (15.4) имеют смысл и при комплексных значениях t, если только t достаточно мало по модулю. Этот факт основывается на следующей лемме:

ЛЕММА. При | £ | < Ч г фунтшя — , где r1 1 t определяется формулой

• д ' rt

(15.2), разлагается в ряд по степеням t, сходящийся равномерно относи­

тельно х', yf, z'.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

R = {х, у, 2}, Rt = {хи уи zt}, Р = К Р> Т);

тогда

rt = R't—Rt, r = R' — R.

Соотношения (12.1) можно записать следующим образом:

(15.5)

Rt=-R + -fj-p.

Написав такое же соотношение для векторов со штрихом и вычитая одно из другого, получим:

(15.6)

п

^г + п (Р'~ р)-

Оценим

• j p ' _ p |= =y ( « ' _ « ) 2 + (p'_p)a + ( r_T )» .

По теореме о среднем значении,

а' — а = аг (х' — х) + а2 (у' — у) + % О3' — z) = а г, Р' - р = Ь, (х'-х) + Ъ2 {у1 -y) + bs (z' — z) = I r, Т' — Т = с1(ж' — ж) + с2 (г/'— г/) + с3 ( г ' — z) = с г .

(15.7)

Здесь а^х, а², . . . , с³ — значения частных производных а, £$, f по ж, г/, z, например:

а¹ = а^х[ж + в¹( ^ - ж ) , у + б ^ ' — у ) , z + e ^ z ' - s ) ] , 0 < 6¹< 1 , а = К , а², а³}, 6 = {6^1? 6², 6³}, с = {с^1? с², с³}.

7 Известия АЫ СССР, серия математическая, № 6

По неравенству Буняковского — Шварца,

(а' — а)2 < а2/-2, ф' — Р)2 < 6V2, (Т' — Т)2 < с2г2. Отсюда следует:

(р' _ р )2 ^ (а2 + 62 + С2) г2 ( 1 5 > 8^

В силу условий (11.1), поэтому

а2< З П2, 62< З П2, С2< З П2

и, следовательно,

|р' - р | < З П г . (15.9)

1 1 г

Как видно из (12.6), функция — = — • — при rt г rt

tf\p' -P\<r (15.10) разлагается в ряд по степеням t. На основании (15.9) при |£|<СотТ>

неравенство (15.10) будет выполняться и дробь — разложится в ряд I

rt

по степеням t, сходящийся равномерно относительно пространственных координат.

1 dVt dWt dW

С л е д с т в и е. При IЧ <С зТГ выражения Vu "gj » • • • »—i" » • • • »~я~г

t ox ±

являются аналитическими функциями комплексной переменной t.

Для доказательства достаточно подставить разложение по степеням t в соотношения (12.3) — (12.4) и проинтегрировать почленно (якобиан

Jj (х и z I

п, V V 1ч является многочленом относительно t).

D(x',y',z') J

16. Л. Лихтенштейном было показано, что оценки вида (14.4) имеют место и для производных Vt no xtl у и %t при достаточно малых по моду­

лю комплексных t [см. (7), стр. 125—126, или (6)]. Будем считать, что они имеют место при | £ | ^ П0, где П0^ - ~ - . Выпишем их для внешнего потенциала и его производных по х%\

ШЛ | d*Vt | I d2Vf I

|F < ^! -M • Ы • Ь ? ^<с - ^{и < п} ° - ^{16Л)

I ч I охх I I ^ |х

Точно такие же неравенства имеют место и для остальных производных.

Они соответствуют неравенствам (171) и (175) работы (7) (стр. 125—126) или неравенству (28) работы (5) (стр. 78). Постоянная с2, стоящая в пра­

вой части (16.1), зависит от числа П. Но при уменьшении II она может лишь уменьшиться. Поэтому, не нарушая общности, мы можем считать, что

0 < П < 1 П о - П0< | . (16.2)