All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

A. G. Zarubin, The problem of nonstationary free convection, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 1968, Volume 8, Number 6, 1378–1383

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 139.59.245.186

November 6, 2022, 02:00:33

1378

В. И. Лебедев

Пусть

y(t)= lim y(t, h), * e ( 0 ,

оо);

/г->1—о ' • . . •

тогда легко видеть, что

у(«) = г ( 0 - - | - Г¹( 1 - . г ( « ) ) . - (6) И з (6) следует, что для любого 1 > е > 0 найдется такое б > 0, что у (t) > 1 — е

при 0 < t ^ б. Следовательно, при достаточно малых значениях А и при значе­

ниях /г, достаточно близких к единице, метод оценки итерационных отклонений бу­

дет сходиться сколь угодно медленно.

Автор признателен Л . В . Майорову, обратившему внимание на неэквивалент­

ность итерационных схем, изложенных в [2] и [*].

Поступила в редакцию 7.08.1967 Цитированная литература

1; В . И . Л е б е д е в. О .КР-методе ускорения сходимости итераций при решении кине­

тического уравнения. В сб. «Числ. методы решения задач матем. физ.» М.,

«Наука», 1966,154—176.

2. В . Н . М о р о з о в. О решении кинетических уравнений с помощью 1$^п-метода. В сб.

«Теория и методы расчета ядерных реакций». М., Атомиздат, 1962, 91---117.

3. В , И . Л е б е д е в. О нахождении решений кинетических задач. Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1966, 6, № 5, 895—912.

У Д К 517.9:532 З А Д А Ч А О Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О Й С В О Б О Д Н О Й К О Н В Е К Ц И И

А. Г. ЗАРУБИН

(Воронеж) j

к'^! ' ' '• "¹' • ' Введение

В настоящей статье устанавливается теорема существования решения задачи о, свободной конвекции несжимаемой вязкой жидкости, заполняющей ограниченный сосуд. В частном случае эта задача сводится к стационарной задаче гидродинамики, и, таким образом, в работе содержится доказательство теоремы существования ре­

шения этой задачи, несколько отличающееся от ранее известных.

Свободная конвекция в несжимаемой вязкой жидкости, заполняющей сосуд Q, при наличии внутри источников тепла и в поле массовых сил описывается систе­

мой [*] ^v'

1 . v A y - g r a d p = (v, V)y + $gT + f(x), \. , (1) div p = 0, ^ (2)

%M:= (v, VT) + h(x) (3)

с граничными условиями

»U = o, > |

⁵

= Т о И ,

^л

(4)

щ е v(х) — скорость жидкости; х = (х^и х%, х³) —точка трехмерного пространства;

Т(х)—температура; р(х) — давление; v, %, р — коэффициенты, соответственно, вязкости, теплопроводностиу и теплового расширения жидкости; g — (0, Q^r g) ускорение силы тяжести; плотность жидкости -считается равнай>единице. ^; -v...-

Научные сообщения 1379

§ 1. Основные пространства ж вспомогательные

леммы

Замыкание линейного многообразия всех гладких соленоидальных вектор-функ­

ций v(x), обращающихся в нуль Ha\S", в норме пространства Wr2(Q) обозначаем че­

рез H^r2(Q), где W^r2(Q) — пространство С . Л . Соболева [²] (г > 1). Под £^г* будем по- пимать совокупность, элементами которой являются классы функций из W^i®), имеющих все одинаковые обобщенные производные первого порядка [2]. К а к обычно, через W^iQ) обозначаем замыкание гладких, финитных в Q функций в норме про­

странства Wr¹ (Q) и Wr²{&) = Й У Г ) W^r2. Введем еще прямую сумму K^r{Q) =

^ = Hr² X L^rl X W^r2 пространств H^r2(Q), Ь^г*{&), W^{f(Q), т. е. совокупность элементов вида г] = (и, у, и )т, где v е Яг 2, р <= и е Wr2! (индекс «т» означает транспониро­

вание). Норма определяется равенством ji

I, *) Ик

^{г =}

И" Ин

^г2

+ И Р h

^r

i 4" II" Iky

^(5).

Наконец, и з прямой суммы пространств L^r.X L^r <К L^r выделим пространство X^r( Q ) , которое состоит и з элементов вида £ = (ф, г|), 0 )^т. \ ;

Предполагаем в дальнейшем поверхность S дважды непрерывно дифференци­

руемой. * "\

Преобразуем систему (1) — (3) следующим образом. Пусть Т0 (х) принадлежит Wr2~{iir)(S); тогда по теореме о следах [3] существует продолжение Т</(х) внутрь области Q, принадлежащее пространству Wr 2( Q ) | . В силу нашего предположения относительно границы S существует [⁴] последовательность дважды непрерывно диф­

ференцируемых «срезающих» функций 1,(х, б) для б е (О, 6 J , равных 1 вблизи £ , нулю в точках области Q, удаленных от границы на расстояние, большее б, и таких»

что |£(я, б| <С с с одной и т о й ж е постоянной с для всех б из (0, 6i].

Сделаем в системе (1) — (3) замену ' •

Тогда получаем

' Т(х) = и • vAv — grad р •==

-То'Цх, б) = Ш + ц>(х),

I; '

div

V

~ 0, [:

где F(x) = h(x)

%Аи = (v, Vtt) + (v, Vyl + F(x), I.

- ХАф. Граничные условия (4) перейдут в следующие:

v\s О, u\^s =

Уравнения ( Г ) — (3') в пространстве Кт можно записать в матричном виде следую­

щим образом: li . '

(11 (20 (31

m

Ац = Вц — £, \ (6)

где

А =

— vA grad 0 0 0 - х ^д О О О

В =

Р 0 — g$E

6

0 R (v, ф) V

о о о

Pv = — (у, .V)y, Л(у, ф) V и ' = — (У, Viz) — (у, Vjjp), 'Е-^- единичный оператор, х\ =

= (v,pruy,l= ( / 1 , ^ 0 ) ^ / 1 = РЙГФ + /, " I ».

I Л е м м а 1. ^Оператор А линейный и ограниченный, как оператор, действующий из пространства К^г в пространство Z^T, причем имеет место неравенство коэрцитив-

ii

ности |!

где — положительная .постоянная, не зависяща\ от выбора Л-

Доказательство следует из [^{5 _ 7}] . В дальнейшем всюду считаем г > ⁶/s для про­

странственной задачи, г > 1 для плоской задачи, ||

1380 А. Г. Зарубин

Л е м м а 2. Оператор В вполне непрерывен, как оператор, действующий из Кг

в L^r.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть последовательность {ц п} е Кт слабо сходится к r j o e i f r , rjn = (vⁿ, Рп, и^п)^т. Отсюда следует, что vⁿ слабо сходится к v⁰ в про­

странстве Н^г2, а и^п слабо сходятся к и⁰ в пространстве W^r2(Q).

Нетрудно подсчитать, что для ⁶/s < г < 2

II 5 П^Я - В%\ \LrXLrXLr < || »Я - Р0

|1ь

^2г/(2

_

^г) II B^{W I}. + II "о

К

^К2

_

^Г)

И " „

- »о llwv + (») + II"» - "о ЦГ / ( 2_^{Г )} И ^{M N} «HV + II "о « L2 R / ( 2_^{R )} И " „ - "о I k - +

+ II " » ~ »о \\

^{Чг1 ( 2}

_

^{R )}

IIФ W + Ъ« И"» - "оlb/'

для 2 ^ г < оо

И ВЦ

^П

- В

^{Ч о}

\\

^LrXLrXLr

< || »„—*<,• «ц,. II *-» W + II *о Иь

2г

II » „ - "о HWV + . " (

9

) + II »„ - .»„ И

^V

II

^В

„ Uwv + «

^v

o КII " „ - «о И»у + . •

+ II "„ -

v

o k

2 r

« Ф 11*у + И»« - " o H

^V

Из неравенства (8), (9) и полной непрерывности оператора вложения про­

странств Н^г2, W^r2 в пространстве L^Zr(^), W²rⁱ(&), L^2r / (2_r)(Q), И У ( Й ) вытекает полная непрерывность оператора В. Лемма доказана.

Под обобщенным решением задачи (1) —(4) будем понимать функцию ц <= К^Гу удовлетворяющую уравнению (6) при f(x), h (х), принадлежащих Ь^г.

Л е м м а 3. Если т] е К^г является обобщенным решением задачи (1) — (4), то имеет место априорная оценка

\\^vWw²\Q)+W^u\\w^2l'(Q)<^c^ (¹⁰⁾ где с²-—положительная постоянная,, зависящая от v, %, Р, g, fi(x), F(x) и области Q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Домножим ( Г ) на v, а (3') — на и,, проинтегрируем по области Q по частям, получим

з •

v

2

^{II Vvk} l i , = ~ № J . . ^ -

5

^{/1» dx, ч ( И )}

x || ||^2 = + ^ (г?, .Va) ф dx — ^Fudx. (12)

h

^V Q

Применим неравенство Гёльдера к (11), (12), учитывая, что fi(x) и F(x) принадле­

жат Ly5 (Q), а ф(#) принадлежит Wr2(Q) (г > 6/ s ) ; тогда получим з .

. ^v S I'^Vp* Hi. < Р* I I^и Иьз И» HL² + II hЦ, И" lib,' . - (^{1 3}) k=l

X l | V^M| | |²< | | f | |^{L 4}l | V^M| |^{L 2}| | 9 | |^{L i} + B ^ I L^{/ 5}l k l l L^e- (14 Известно, что обычная норма пространства кгУ(&) и норма, определяемая ра-

о

венством | | t t | |W 2i . = | | У и | | ь2, эквивалентны в tf^Q), поэтому неравенства (13) — (14) можно оценить таким образом:

з

2 l | V r

^{f c}

| |

^{L i}

< * P 2 d | | V « . B

ⁱ

, +

^ - c . l /^I| l^{t ( / t f} (15) k=-l '

3 '

I I V « I I

^{L 2}

< ^ - 2 и ^ | | ь

²

| | Ф к + ^ - | | ^ | Ц . •.• а»)

где Сз, с4, с5 — нормы операторов вложения пространства HV(£2), соответственно, в пространства L2(Q), LQ(Q), L4( Q ) .

Hay чные со общения 1381

|одной буквой с. Подставляя (16)

(17)

\П^Ч + c | | / i | |L i /.

/ 6 / 5

б таким образом, чтобы | | ф | к4 <

. ' (18) Б дальнейшем все постоянные будем обозначать

в (15), получаем - '

: з з

Ъ\\^

^к

\\

^и

<с\т

^и

-^\\ч*ъ\\и+

h=l k=l В силу построения функции ф ( я ) можно выбрать

• < 1 / с. Выбранное б фиксируем, тогда из (17) следует 1 " Ц, ' ( 0) <^с( 1 1 ' Ц( 0 )

+ (/11Ь^а))-

Подставляя (18) в (16), получаем jj

\ " I M W ) <^с( 1 1 ^ Ц, ( 0 ) + j / i l l t ./ I (0 ) ) - " ( I9) Лемма доказана. |;

Пусть ^ Е Гг; тогда, как нетрудно подсчитать^ по теоремам вложения, элемент i?n + | принадлежит Lr при r\ Kr. j

Поэтому в силу леммы 1 уравнение (6) можно| заменить эквивалентным:

Л = А-ЧВг\ + А-% (20) с вполне непрерывным оператором A^iB в банаховом пространстве Дг (£2). Ясно, что

любая неподвижная точка операторного уравнения (20) будет обобщенным реше­

нием задачи (1) — (4), т. е. будет почти всюду удовлетворять уравнениям (1) — (3) и краевым условиям в смысле теорем вложения [2]. | '

N I

§ 2. Теорема существования

Т е о р е м а 1. Для любых f(x)^-L^r, h(x)^L^r, То(х) е W^r2~^li^r(S) существует по крайней мере одно обобщенное решение задачи (1) — (4).

Для доказательства существования обобщенных решений уравнений (20) будем этого рассмотрим уравнения пользоваться принципом Лере — Шаудера [8]. Для

1] = Х(А-1Вг\ + А~{%), (21) тде X GE [0,1].

Покажем, что все возможные решения уравнений (21) ограничены в совокуп­

ности по норме пространства Кг. Оценим по норме пространства Кг правую часть (21): ! ' • ' •

Мк <\\А~Ч^{Ь XL X L} ^ ^K (\\Pv\\^L + g

$ \ \

^u

\ \

^L

+ \ \ 4 ( v ,

9 ) V i * | |^L. + | | / i | I^L

+!|F[i

^L

).(22)

r r r r r r r{ ' \ r r

Рассмотрим , j Ir = \\Pv\\Lr + \\R(v, 4 > ) V « i lv|

I^T < IU". V) »I t + II (v, Vu) \\^t | + J (v, V 9 ) ||^L . ⁴ (23) К неравенству (23) применяем неравенство Гёлг|дера и мультипликативные нера­

венства [⁹~^и] следующим образом. I

1. Если ⁶/s < г < 2, то J

/r< W L^{2 r}/⁽2_ r ) (Ы + \W\f2l + ПфИ w2 (24) Применяя к (24) мультипликативные неравенства по отношению к пространствам X r , и Ь2г/(2-г), а также неравенство (10), получаем

г г ,• j г 1где TI = ³/⁴. , • j;

2. Если 2 <

3, то

i

⁽²⁶⁾

^Пространство КУУ (£2) вложено в L^2r(Q).

Применим к (26) мультипликативные неравенства, связывающие пространства

'W-2I-1, W^r2, Х^т., & также (10). Получаем:

1382 Л. Г. Зарубин

lr < ^ (с II» llw- 2II »ИГ' + с И » ИЙ- 2II а |)Г2 + IIФ l lwi ) < с (|| т) ||£ + IФ «w l \ (27>

г т

' Г .

2Г ^г 2г

где Т 2 = V2 + ³/ 4 < 1. ^ ,

3. Пусть 3 < г ^ 6. По теоремам вложения пространство W^r2(Q) вложено в С¹, , поэтому

г • г г

Учитывая, что и г У ( ^ ) вложено в Lr(Q), неравенство (10), а также мультипликатив­

ные неравенства, примененные к пространствам С¹, W^r2, L^r, получаем

1^Т <сс² (с || v ||£ , || v | t^{T 3} + с \\ и //£ ²1| ^u ! | ^⁺¹| ф || ) < с (||-т, | g +1| ф || ), ^{( 2}8 >

г г г г г где Т з =

У

²

+

³/2г < 1.

4. Наконец, пусть 6 < г < оо. Имеем

• /

^r

< | l » D c ( l l ^ l ^ ' + l l

^M

l l w

^r

i + l l * V / b (29>

Применим мультипликативные неравенства для пространств £, W$2, L& и Wrl, We2,

Le, тогда из (29) следует "

. . 1

^Т

< Ф ||#

^§1

1| v (с \\v ||^

²

II г; | | « » + с ||

^и

||^

²

1| и + II Ф 1Ц0, (30>

где т⁴ = ^!Л , т⁵ = 7² + ³/² (Ve — 1 / г ) . Так как T r V ( Q ) вложено в L^a, a W⁶² — в то из (30) имеем

где т4 = V4, т4 + Т 5 = 2/4 + 3/ г (Ve — 1/r) < 1. Неравенство (22) после подстановки, в него последовательно неравенств (23), (25), (27), (28) и (31.) будет иметь вид

II м \\^к < ^с (IIЛ HI + II / i ll^L ' + II F WL ) ..(0 < т < 1).

/ г г . г

Отсюда следует равномерная ограниченность решений уравнений (21). Теорема до­

казана.

Если положить в системе (1) — (3) равным нулю Г, /г, Г0, получим стационар­

ное ~ уравнение Навье — Стокса, которое описывает течения вязкой несжимаемой;

жидкости в заданной области Q. Теорема 1 для этого случая трансформируется в следующую.

Т е о р е м а 2. Если f(x) G L^r , то существует по крайней мере одно решение- уравнения Навье — Стокса, принадлежащее пространству K^r = H^r2 X Ь^г1.

Последняя теорема является повторением результатов работ [1 2 _ 1 4] . Выражаю глубокую благодарность С. Г . Крейну за руководство.

Поступила в редакцию 7.09.1967 Цитированная литература

•1. J I . Д . Л а н д а у , Е . М . Л и ф ш и ц . Механика сплошных сред. М., Гостехиздат,.

1953. I 2. С . Л . С о б о л е в . Некоторые применения функционального анализа в математи­

ческой физике. Л., Изд-во Л Г У , 1950. § '

3. Э . М а д ж е н е с. Интерполяционные пространства и уравнения в частных про*- изводных. Успехи матем. наук, 19G6, 21, вып. 2, 169—218.

4. О. А . Л а д ы ж е н с к а я. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., Физматгиз, 1961. -

5. В . А . С о л о н н и к о в. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А . Даглиса — Л . Ниренберга. I . Изв. А Н С С С Р . Сер. матем., 1964, 28, № 3,.

655-706.

6. В . А . С о л о н н и к о в . Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А . Даглиса — Л . Ниренберга. I I . Тр. М И А Н С С С Р , 1966, 92, 233—297.

1., А . И . К о щ е л о в . Априорные оценки в А^{) ;} и обобщенные решения эллиптпче.ских уравнений и систем. Успехи матем. наук, 1958, 13, г.ьш. 4, 29—88.

Научные сообщения

8. М . А . К р а с н о с е л ь с к и й. Топологические методы в теории нелинейных ин­

тегральных уравнений. М., Гостехиздат, 1956. ||

9. В . П . Г л у ш к о , С . Г . К р е й н . Неравенства!'для норм производных в простран­

ствах Lv с весом. Сибирский матем. ж., 1960, i № 3, 343-382.

10. В . П . И л ь и н . Некоторые функциональные неравенства типа теорем вложения..

Докл. А Н С С С Р , 1958, 123, № 6, 967-970. \

11. L. N i г е n b е г g. Remarks on strongly partial difierential equatioko. Communs Pure- and Appl. Math., 1955, 3, 648-674. , ' ' jj -

12. И . И . В о р р в и ч , В . И . Ю д о в и ч . Стационарное течение вязкой жидкости. Докл.

А Н С С С Р , 1959, 126, № 3, 542-545. ;|

13. И . И . В о р о в и ч , В . И . Ю д о в и ч. Стационарное течение ⁽вязкой несжимаемой жидкости. Матем. сб., 1961, 53 (95), вып. 4, 393-^-428.

14. О А . Л а д ы ж е н с к а я . О классичности обобщенных решений общих нестацио­

нарных уравнений Навье — Стокса. Тр. МИАЩ С С С Р , 1966,. 92, 100—105.

Г У Д К 681.142.2:

ОБ О Д Н О М А Л Г О Р И Т М Е РЕШЕНИЯ}, З А Д А Ч И В Ы Б О Р А

Е. А . КОПНИНСКИЙ

• \ (Москва) ;;

Пусть Т — || а г |3 j || — матрица порядка n X п, ^элементы которой являются

про­

изведениями элементов строк а — ( а^ь а², а³, ...ji, а^п) и р , = ( р^ь р², Р з , Р п ) . Любой набор о* = (ajpj,, a²P j², aⁿP i n ) из п 'Элементов матрицы Г , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, будем Ь п и с ы в а т ь подстановкой

' /1 2 3 I . . п

К

V1 . / з - / 8 . • • Ц1

где в верхней строке стоят номера строк матрицы ST, а в нижней — столбцов.

Сформулируем две задачи выбора. j •

I. Требуется из всех наборов о* выбрать такой; у которого максимальный э л е ­ мент минимален. \ '

I ^п

I I . Требуется выбрать такой набор а, для которого ^ ^Р^.достигает минимумам.

Для матриц типа Т обе задачи решаются следующим алгоритмом:

1) упорядочиваем элементы строки а в порядке возрастания,

. a .i< a .2< a .3< . . . < ; ain; (iy 2) упорядочиваем элементы строки р в „порядке убывания,

3) строим подстановку из индексов членов неравенств (1) и (2),

Покажем, что набор a ' = (ai.'Pj,, a,-2pJ 2, ainPjn), описываемый подстановкой (3), является решением обеих поставленных задач. {

Строим матрицу

а. , а. . а . . . . а. |

г1 Ч Ч ^гп\

у которой в верхней строке стоят левые сомножители элементов набора а', а в ниж­

ней — правые. ,