Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
M. P. Sapagovas, A boundary value problem with a nonlocal condition for a system of ordinary differential equations, Differ. Uravn., 2000, Volume 36, Number 7, 971–978
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 139.59.245.186
November 6, 2022, 02:10:50
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
2 0 0 0 . Т . 3 6 , № 7 . С . 9 7 1 — 9 7 8
УДК 519.622.2
К Р А Е В А Я З А Д А Ч А С Н Е Л О К А Л Ь Н Ы М У С Л О В И Е М Д Л Я С И С Т Е М Ы О Б Ы К Н О В Е Н Н Ы Х Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й
М . П . С А П А Г О В А С
1. В в е д е н и е . Р а с с м о т р и м с л е д у ю щ у ю краевую задачу для системы обыкновенных диф
ференциальных уравнений:
d2u/dx2 - А(х)и - / ( ж ) , (1)
« ( 0 ) - /х, (2) u(l) = cu(0 + d. (3) Здесь А(х) — квадратная положительно-определенная матрица, / ( ж ) , /л, d — заданные
n-мерные векторы, и — и{х) = (щ(х)^ и2(х),..., un(x))f --- искомый вектор, с — число, О < £ < 1. Специфика задачи заключается в наличии вместо обычного краевого условия не
локального условия ( 3 ) , в которое входят значения искомой функции в граничных точках, а также во внутренних точках интервала [0,1].
Задачи для стационарных дифференциальных уравнений с такого рода нелокальным усло
вием рассматривались ранее во многих с т а т ь я х . В р а б о т е [1] получены д о с т а т о ч н ы е условия разрешимости аналогичной задачи для одного линейного обыкновенного дифференциального уравнения. Здесь же рассмотрен метод конечных разностей для изучаемой задачи с нело
кальным условием. Решение методом конечных разностей задачи с малым параметром при старшей производной и нелокальным условием рассмотрены в [2, 3]. Двухмерная задача для уравнения эллиптического типа сформулирована и исследована в [4]. В [5] исследованы чи
сленные методы решения двухмерной задачи. Двухмерные задачи с нелокальным условием рассмотрены также и в других р а б о т а х , в частности в [6, 7].
В [8] предложена методика исследования краевой задачи для обыкновенного дифференци
ального уравнения, основанная на эквивалентности задачи с нелокальным условием и с о о т в е т с т в у ю щ е й задачи с обычными краевыми условиями. Такой подход дал возможность получить необходимые и д о с т а т о ч н ы е условия существования решения задачи с нелокальным условием, а также о б о с н о в а т ь метод конечных разностей.
В настоящей р а б о т е , обобщая методику из [8], исследованы условия существования и един
ственности решения задачи (1) — ( 3 ) , а также решение этой задачи методом конечных раз
ностей. В качестве приложения полученных результатов рассмотрена задача Бицадзе — Самарского для двухмерного эллиптического уравнения.
2 . Р а з р е ш и м о с т ь д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й з а д а ч и . Введем неизвестный вектор А =
— (Ai, А2, . . . , Ап); :
и(1) = А, (4)
Исследуем вопрос, когда исходная задача ( 1 ) — (3) с нелокальным условием эквивалентна классической краевой задаче ( 1 ) , ( 2 ) , (4) с фиксированным значением вектора А. Для этого выясним, когда из формулировки задачи ( 1 ) -— (3) можно однозначно вычислить значение Ц 1 ) .
Будем предполагать, ч т о элементы матрицы А(х) и координаты вектора / ( ж ) удовлетво
р я ю т условиям, обеспечивающим существование единственного решения классической краевой задачи ( 1 ) , ( 2 ) , ( 4 ) , принадлежащего некоторому функциональному п р о с т р а н с т в у Н (напри
мер, И72 или Ср ) .
Полагая, ч т о Л — произвольный фиксированный вектор, найдем выражение решения задачи ( 1 ) , ( 2 ) , ( 4 ) , к о т о р о е будем обозначать и(х,Х).
П у с т ь и°(х) — решение задачи
d2u°/dx2 - А{х)и° = / ( ж ) , (5)
и\0) = ц, t ie( l ) = 0 , (6)
a w\x), i = l , n , — решения задач
d2w{/dx2 - A(x)wi - 0, (7)
И 7 * ( 0 ) = 0 , w\l)^e\ (8)
где ei — единичный п -мерный вектор, г-я координата которого равна единице, а остальные координаты — нули. Т о г д а , очевидно, решение и(хуХ) линейной задачи ( 1 ) , ( 2 ) , (4) может б ы т ь представлено следующим равенством:
п
и(х, А) = и°(х) + А,-ги*(ж).
г-1
Обозначим через W(x) матрицу, г-й столбец которой равняется вектору гу*(я), т . е . W(x)—
= {гу1(аг), * ш2( ж ) , . . . , wn(x)}. Из определения матрицы W(x) и векторов А и w%(x) вытекает, что
] Г \<и'(х) = W(x)\.
г = 1
Следовательно.
u(x,\) = u°(x) + W(x)\. (9) Заметим, ч т о wl(x) является частным случаем решения и(х,Х) при f(x) = О, /i ~ 0, А = е \
Т е о р е м а 1. £7сл« выполнено условие
det{W(O~c-lE)^0, ( 1 0 ) га. е. есуш с "- 1 ке является собственным значением матрицы т о исходная задача с
нелокальным условием (1) — (3) имеет единственное решение, принадлежащее функциональ
ному пространству Н.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Решение и(х,Х) задачи ( 1 ) , ( 2 ) , ( 4 ) представляется формулой (9) и принадлежит, согласно предположению, пространству Н. Если в выражении ( 9 ) вектор А можно подобрать так, ч т о б ы функция и(х,Х) удовлетворяла условию ( 3 ) , т о и(хуХ) с так подобранным значением А будет решением исходной задачи (1) — ( 3 ) . Исследуем, когда и(Х)Х) будет удовлетворять условию ( 3 ) . Подставляя выражение ( 9 ) в условие ( 3 ) , получаем, ч т о и°(1) + И7(1)А = c ( V ( £ ) + W(£)X) + d. Из краевого условия ( 6 ) следует, ч т о и°(1) = 0, а из условий (8) получаем гаъ(1) — е\ г = 1,п. Поэтому W(l) является единичной матрицей.
Следовательно, (Е — cW(£))X си°(£) + d. Эта система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение т о г д а и только т о г д а , когда det(E - c W ( £ ) ) ф 0, ч т о совпадает с условием ( 1 0 ) . Теорема доказана.
С л е д с т в и е ! . Существует не более п различных значений C I * , с2* , . . . , с„* таких, что задача (1) — (3) при с = с* не имеет единственного значения. Значения являются собственными значениями матрицы И7"1^ " ) .
Действительно, любая квадратичная матрица порядка п имеет не более п различных собственных значений.
Заметим, ч т о из доказанной теоремы следует, ч т о в тех случаях, когда с "1 не является собственным значением матрицы И/~(£), исходная задача с нелокальным условием (1) — (3) и задача с обычными краевыми условиями ( 1 ) , ( 2 ) , (4) эквивалентны, т . е . решения обеих задач совпадают и принадлежат т о м у же функциональному пространству Я . Э т о означает, ч т о в
остальных случаях, т . е . когда с"1 является собственным числом матрицы W ( £ ) , решение исходной задачи с нелокальным условием либо не с у щ е с т в у е т , либо оно не однозначно, либо Л гг. — бесконечность. Поэтому результат теоремы 1, как и в одномерном: случае (см.
[8]), может б ы т ь сформулирован так:
Т е о р е м а 1'. Для того чтобы исходная задача с нелокальным условием (1) — (3) при любых значениях Дж),/х и d имела единственное решение с конечным значением w ( l ) , необ
ходимо и достаточно, чтобы число с 1 не являлось собственным значением матрицы W(£).
Рассмотрим п р о с т о й пример — одно обыкновенное дифференциальное уравнение с нело
кальным: условием и" / ( ж ) , и{0) ~ 1, u ( l ) = сге(1/2) + d. Необходимое и достаточное условие существования единственного решения задачи е с т ь с ш ( 1 / 2 ) ф 1. Так как w(x) — ж, т о э т о условие превращается в условие с ф 2.
Исследуем более детально случай с = 2. В случае f(x) — 6ж общее решение уравнения и11 =- 6ж е с т ь и{х) = Ci + с2х + х3. В случае нелокального условия и(1) — 2 ^ ( 1 / 2 ) + 1 решение уравнения и" ~- 6 ж с краевым условием и ( 0 ) = 1 не с у щ е с т в у е т (нельзя определить посто
янные сь с г ) . В случае нелокального условия и(1) = 2и(\./2) — 1/4 с у щ е с т в у е т бесконечное множество решений исходной задачи и{х) — 1 + с2ж + ж3, где с2 — произвольная постоянная.
При конечном значении с2 значение А — и(1) также конечное.
Возьмем теперь другое значение / ( ж ) , например
f(x) = -(4х* - 10* + М / 2 ) / ( (Ж - 1 / 2 )4( 1 - xf).
Общее решение уравнения и11 = / ( ж ) имеет вид
и{х) = d 4- с2х + (ж - 1 / 2 ) ~2( 1 - ж ) "1. (11) В случае нелокального условия и(1) ~ 2u(l/2) + d при любом <i нельзя подобрать значения по
стоянных си. с2 т а к , ч т о б ы выполнялось краевое условие ге(0) — 1 и и{1) было бы конечным числом. Однако функция (11) в любом из интервалов ( 0 , 1 / 2 ) и ( 1 / 2 , 1 ) является решением исходного уравнения, причем и(0) = 1, и(1/2) = о о , и(1) = о с .
В случае одного дифференциального уравнения для задачи
р{х)— - ?(ж)гг - / ( ж ) , 0 < х < 1, и(0) - /х, ?/(!) = си(С) + d, 0 < £ < 1, в работе [8] получено более п р о с т о е необходимое и достаточное условие существования един
ственного решения, а именно условие
cw(0^l, (12) где w(x) — решение задачи
Условие (10) является непосредственным обобщением условия (12) при переходе о т одного уравнения к системе уравнений. В одномерном случае важным следствием необходимого и достаточного условия (12) является простая формулировка достаточного условия однозначной разрешимости
- о о < с < 1 , (13) получаемого с у ч е т о м неравенства. 0 < w(C) < I при 0 < £ < L Возникает вопрос, можно ли,
и если можно, т о в каких случаях, для системы уравнений (1) из условия (10) получить доста
точное условие, аналогичное условию (13) в одномерном случае. Одна из таких возможностей рассмотрена ниже в п.З.
3 . Ч а с т н ы й с л у ч а й ; м а т р и ц а /1 не з а в и с и т о т ж. Рассмотрим более частную задачу (1) — ( 3 ) , в которой элементы матрицы А не зависят о т ж. П у с т ь , как и ранее, матрица А положительно определена. Обозначим собственные значения матрицы А через 7ь72? • - • 57п- Рассмотрим вспомогательные задачи для скалярных функций
d2Wi/dx2 - 7,;U'?; = 0, Ь){(0) = 0. We-(1) = 1. (14)
Т е о р е м а 2. Для того чтобы исходная задача с нелокальным условием (1) — (3) и по
стоянной матрицей А при любых значениях / ( ж ) , JJL и d имела единственное решение с конечным значением и ( 1 ) , необходимо и достаточно, чтобы были выполнены одновременно неравенства
сщ($ф1, * = Т7^ (15) где Wi(x) —решения задач (Ц)-
Д о к а з а т е л ь с т в о , Так как матрица А положительно определена, т о она подобна диаго
нальной матрице, причем Q~lAQ = Л, где Q — невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы А , Л — диагональная матрица, диагональными эле
ментами которой являются собственные значения матрицы А. Заменой Q~lu ~ v исходную задачу ( 1 ) — ( 3 ) преобразуем в эквивалентную ей задачу
d2v/dx2-Av = j{x), (16)
v(0) = ji9 v(l)^cv(0 + l (17)
где j(x) = Q~1f(x)J \i — ^ ~ Q~ld. Система (16) вследствие диагональности матрицы Л распадается на п не связанных между собой отдельных уравнений. П о э т о м у задачу ( 1 6 ) , (17) можно переписать так:
d2Vi/dx2 - jiVi = fi(x), i = i \ n , (18)
v.(0) = ft, т;в-(1) = с ^ ( 0 + * . (19)
Здесь v», ji (ж), Дг, di — координаты с о о т в е т с т в у ю щ и х векторов и, / ( ж ) , Д, d. Таким образом, задача о разрешимости системы уравнений (16) с условиями (17) преобразована в задачу о разрешимости п отдельных уравнений (18) для скалярных функций с условиями (19). Последняя задача решена в [ 8 ] , где доказано, ч т о необходимым и д о с т а т о ч н ы м усло
вием однозначной разрешимости отдельной задачи ( 1 8 ) , (19) является условие ( 1 5 ) . Теорема доказана.
С л е д с т в и е 2. Достаточным условием однозначной разрешимости задачи (1) — (3), когда А. не зависит от ж, является условие (13).
Действительно, так как для решения г#г-(ж), 0 < х < 1, задачи (14) справедлива оценка О < W{(x) < 1, т о условия (13) д о с т а т о ч н о для справедливости неравенств (15) при всех значениях г = 1,п.
С л е д с т в и е 3. Существует не более п значений c J5C 2 , . . . , c * таких, что задача (1)
— (3) с постоянной матрицей А при с — с* (г = 1, п) не имеет единственного решения с конечным значением гг(1), причем для всех i = l , n 1 < сг* < оо.
Действительно, для каждого г = 1,п для задачи ( 1 8 ) , (19) с у щ е с т в у е т такое значение с*, ч т о с?ги,-(£) = 1, при к о т о р о м решение этой задачи не с у щ е с т в у е т либо оно не единственно.
Некоторые из э т и х значений с\ м о г у т совпадать, поэтому общее их число не превышает п.
Так как 0 < «;,•(£) < 1 для 0 < £ < 1, т о с* > 1.
4. М е т о д к о н е ч н ы х р а з н о с т е й . Задачу (1) — (3) будем решать методом конечных разностей. Возьмем в интервале [0,1] равномерную сетку с шагом h = 1/N. Будем предпола
г а т ь , ч т о точка £ в общем случае не совпадает с узлом равномерной сетки. П у с т ь £ = Xj +8h, где Xj — jh, 0 < 8 < 1. Задачу (1) — (3) заменим разностной задачей
(г/-1 - 2yj + yj+l)/h2 - A(x3)yj = Г, j = О Г = Т , (20)
У° = И, (21)
yN = cy(0 + d, (22)
где y(£) = (1 — 6)y* + 6yJ+1. П о г р е ш н о с т ь аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (20) е с т ь величина порядка 0{h2). С э т о й же т о ч н о с т ь ю разностное нелокальное условие (22) аппроксимирует условие ( 3 ) .
Исследуем, при каких условиях; система разностных уравнений (20) — (22) имеет един
ственное решение. Определим неизвестный вектор А;' ; yN ~ \н, где Xh = ( Л | , Х\.. .., Хк).
Р а с с м о т р и м вспомогательную разностную задачу с обычными классическими краевыми усло
виями: у° = /i, yN = Xh. Если в этой системе разностных уравнений с ч и т а т ь , ч т о Xh — произвольно выбранный фиксированный вектор, т о , очевидно, ч т о yJ = yj(Xh). Исследуем, когда задача с нелокальным условием (20) — (22) эквивалентна задаче с классическими кра
евыми условиями. Если для некоторого значения Xh решение yJ(Xh) последней задачи будет удовлетворять нелокальному условию ( 2 2 ) , т о э т о решение также будет решением исходной задачи (20) — ( 2 2 ) .
Как и в случае дифференциальной задачи, классическое решение yJ(Xh) разностной задачи запишем через решения более п р о с т ы х задач. П у с т ь у30 —- решение задачи
(yi)-1-2yi + yi+1)/h2-A(xj)yi = f \ j = T 7 F ^ T , y° = /z, 2 ^ = 0, (23) a w\, г = 1, п. — решения задач
К ' "1 - 2w{ + wi^)/h2 - A(xj)wi = 0 , j = TJT^l, w? - 0, = e \ (24) где e\ как и в краевом условии ( 8 ) , — единичный вектор. Из суперпозиции решений линейных задач получаем
y,'(Af c) = i,j + E A , V = »,o + ^ j ( Af c, j = 1 7 i V ~ - T , (25)
у°(АЛ) = /х, у"(А*) = АЛ, (26)
матрица WjJ = ( Ц , Ц , • • •, < ) = « f c ) " * = i - Определим матрицу
Wh(0 = (l-S)Wi + 6Wi+1. (27) Т е о р е м а 3. т о г о чтобы разностная задача с нелокальным условием (20) — (22)
при любых значениях /*', p u d имела единственное решение, необходимлэ и достаточно, чтобы число с~1 не являлось собственным значением лттрицы Т4^(£), т. е. чтобы было выполнено условие
Aet(Wh(O~c-1E)^0. (28)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выясним, когда решение yJ(Xh), определенное по формуле ( 2 5 ) , удо
влетворяет нелокальному условию ( 2 2 ) . Подставляя выражение (25) в формулу ( 2 2 ) , находим, ч т о Xh = с { ( 1 - + + [(I - S)W{ + SWJh+l]\h} или Xh = c { y0( f ) + ^ ( £ ) АД) . О т с ю д а получаем
{.£; - c Wf c( £ ) } A * =
су
0(О-
(29)Для т о г о ч т о б ы э т а система линейных алгебраических уравнений имела единственное решение при произвольных значениях. fJ\ I1-, d ( т . е . при произвольных значениях
Уо(0)->
необходимо и д о с т а т о ч н о , ч т о б ы определитель этой системы был отличен о т нуля, ч т о совпадает с условием ( 2 8 ) . Теорема доказана.
С л е д с т в и е 4. Существует не более п различных значений ck, cf|V • ? (й таких? ч т о задача (20) — (22) при с = с\, г = I, щ имеет единственного решения. Значения cf являются собственными значениями „матрицы И 4 ( £ ) ~1.
5* С х о д и м о с т ь р а з н о с т н о й с х е м ы » Для изучения сходимости. разностной схемы при
меним методику, использованную ранее в р а б о т а х [9, 10] в случае одного обыкновенного диф
ференциального уравнения с интегральным условием.
П у с т ь и3' = V>(XJ) к yj — решения соответственно дифференциальной и разностной задач в точке х3. Далее, п у с т ь uN = A, yN ~ А'1,, Обозначим: ^ •= uJ - у3, и ~ eN ~ А - Xh. Из условий аппроксимации можем записать
(e3~l - 2е' + ej+1)/h2 - A ( r7V = <^'(Л), j = I , l V ~ ~ T e° == 0, (30)
eN = сё(0 + т , ( 3 1 )
где \tp*(h)\ < Cjh2, \ф(Ь,)\ < C0h2, a Co, C i , . . . , CN — постоянные, не зависящие о т h.
Обозначим \\u\\i — m a x
" IU 1<Г<П] 1 1
Л е м м а 1, Если с"1 не является собственным значением матрицы то <
< Ch2, где С — постоянная, не зависящая от h.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из вида задачи ( 3 0 ) , (31) следует, ч т о вектор е3\ j — 0,JV, является решением задачи (20) — ( 2 2 ) , в которой fj = <p*(ti) - 0(h2), /л - 0, d — ф(Н) = 0(ti2). Поэто
му вектор v является решением системы линейных алгебраических уравнений, аналогичной системе ( 2 9 ) :
{E-cWh(0}v = ce0(0, (32)
где £0( 0 = (1 ~ Я)£о + ^£о+ 1 и 4 определяется системой ( с р . ( 2 3 ) ) ( eJ 0 _ 1 - 2eJ0 + 4+ 1) М2 ~ Следовательно, ||£ol|i < С | | ^ ( ^ ) 1 Ь < С/г2 для всех значений j — 0,7V, где С — постоян
ная, не зависящая о т h. Далее, из (32) получаем \\v\\i < с\\(Е — cWh(0)""1\\i\\^o(0\U' Столбец w{ матрицы WJh является решением задачи ( 2 4 ) . Э т о решение при h —> 0 стремится к решению wl(x) задачи ( 7 ) , ( 8 ) . Следовательно, элемент wik(^) матрицы Wh(Q, который, со
гласно формуле ( 2 7 ) , равняется wik(^) = (1 - S)w{k + 8w\kl, при h —• 0 стремится к элементу w(£) — (1 - S)w\(xj) + 6w{k(xj+i) матрицы W(£). Поэтому для всех 0 < h < h0 как норма матрицы И 4 ( £ ) , т а к и норма матрицы (Е — с\¥н(£))~1 ограничены постоянной, не зависящей о т h. Следовательно, | | ( £ ' - c V I / ^ ( £ ) ) "1| | i < С, где С зависит о т с, но не зависит о т h. Лемма доказана.
Т е о р е м а 4. Если с"1 не является собственным значением матрицы Жд(£), то решение разностной схемы (20) — (22) сходится к решению дифференциальной задачи (1) — (3), причем для погрешности е3 = U(XJ ) — у3 имеет место оценка
\W\U<Ch2. (зз)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Вектор погрешности е3 удовлетворяет системе разностных уравне
ний ( 3 0 ) , (31) или системе (30) и условию eN = v == (pN{h), где ^(h) = 0(h2), j — 1,iV.
Следовательно, ll^'lli = max IdM < Ch2.
" 1 1 1 < « < 1 V - 1 1 г 1 -
З а м е ч а н и е . Как для дифференциальной задачи в случае, когда матрица А не зависит о т ж, так и для разностной задачи условия теорем 3, 4 у п р о щ а ю т с я . В ч а с т н о с т и , имеет место достаточное условие существования единственного решения оо < с < 1. Если предположить, что оо < с < 1 - а, а > 0, т о неравенство (33) может б ы т ь заменено, как и в одномерном случае (см. [8]), неравенством \\e\\i < Mh2ja, где М — постоянная, не зависящая ни о т h.
ни о т а.
6 . Д р у г и е н е л о к а л ь н ы е у с л о в и я . В работе [8] кроме условия (3) были рассмотрены и другие нелокальные условия. Рассмотрим здесь одно из характерных более общих нелокаль
ных условий
к
< 1 ) =
Е
С^) + ^
(34)8 - 1
где 0 <
6 < 6 < ... < 6
< 1.Т е о р е м а 5. Для того чтобы задача с нелокальным условием (1), (2), (34) при любых значениях / ( ж ) , /х и d имела единственное решение с конечным значением, и(1), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие
det(E-J2^m^))^0. (35)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Теорема доказывается аналогично теореме 1. Подставляя выражение (9) в нелокальное условие ( 3 4 ) , получаем систему линейных алгебраических уравнений для
к
определения вектора Л и°(1) + W(1)X = J2 CI{U°(&) + W(£I)\} + d. С у ч е т о м и0(I) = О,
«=i
Г к Л к
W(l) = Е находим, ч т о I Е— Y2 ciW{b) М = ]С + Однозначная разрешимость этой I e=l J s = l
системы эквивалентна выполнению условия ( 3 5 ) . Теорема доказана.
С л е д с т в и е 5. Если в формулировке задачи (1), (2), (34) матрица А не зависит от ж, то необходимым, и достаточным условием однозначной разрешимости этой задачи является
к ^
выполнение условий Yl cjwi(£j) Ф I $ЛЯ 6 Сех ~ г^е WAX) — решение задачи (Ц)°
3 = 1
Действительно, как и при доказательстве теоремы 2, система уравнений (1) преобразуется в п не связанных между собой уравнений (18) с краевым условием (19) и нелокальным условием
к
Э т а задача исследована в [8]. О т м е т и м , ч т о все значения с*, . . . , с£, при к о т о р ы х задача ( 1 ) , ( 2 ) , (34) с постоянной матрицей А не имеет единственного решения, расположены на
к г '
одном из (к - 1)-мерных многообразий c*jwi(£j) ~ Ь г = 1,п. В ч а с т н о с т и , при к ~ 2
i=i ' такие значения с^ и расположены на любой из прямых к;г-(£ i)c* + ^ ' ( £ 2 ) ^ 2 — 1, i ~ 1, '/г,
т . е . на прямой, проходящей через точки ( 0 , г?;г :(£1)~'1), ( ^г( £2) ~ \ 0 ) . Обратим внимание, ч т о
WITTI)"1 > 1, «?,•(&)""1 > 1 Для 0 < 6 < 6 < L
7 . Б о л е е о б щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е . Р а с с м о т р и м краевую задачу с нело
кальным условием для более общего дифференциального уравнения
Bd2u/dx2 - - Дж) (36)
с условиями ( 2 ) , ( 3 ) , где А , В — положительно-определенные матрицы n - г о порядка, причем матрица В не зависит о т ж, остальные обозначения такие же, как и в определении задачи ( 1 ) - ( 3 ) .
Сделаем замену переменных В1/2и = v. В результате получаем новую задачу
d2v/dx2 ~~ Sv = /(яг), v ( 0 ) = Д, v ( l ) = c v ( 0 + d, (37) где 5 - В~^2АВ-1/'2, f(x) = 0 -1 / 2/ ( a ? ) , fi = i ? ~1 / 2/ i , d = B-X'2d. Так как матрицы Л, Б
положительно определены, т о и матрица ,9 положительно определена. Таким образом, исход
ная задача ( 3 6 ) , ( 2 ) , ( 3 ) преобразована в задачу ( 3 7 ) , которая является задачей, аналогичной задаче ( 1 ) — ( 3 ) . Поэтому для задачи ( 3 6 ) , ( 2 ) , (3) справедливы все изложенные в этой работе результаты.
8. П р и м е р . Д в у х м е р н а я з а д а ч а Б и ц а д з е — С а м а р с к о г о » В качестве приложения полученных результатов рассмотрим задачу
d2u/dx2 - Аи = / ( ж ) , и ( - 1 ) = /г, и(1) = cu(O) + d, (38) где К1 А — матрица ( n - 1) -го порядка, у которой, диагональные элементы равны 2, элементы
первой иаддиагонали и. первой поддиагонали равны — 1, а все остальные элементы равны нулю, и = (ui(x), и2(х)7..., un„i(x))\ h постоянная. Задача (38) может б ы т ь получена из двухмерной задачи
д2и/дх2 + д'и/ду2 ^ f{x,y), (39)
и(~1,у) = ft(y), < ж , 0 ) - и(х, 1) - 0, « ( 1 , - у ) = с и ( 0 , у ) + d(y) (40) с помощью метода прямых. Задача ( 3 9 ) , ( 4 0 ) , называемая задачей Бицадзе --— Самарского,
при конкретных значениях с, / i ( y ) , d(y) и / ( у ) рассмотрена в [11, с. 217] и является частным случаем задачи, рассмотренной впервые в [4]. Не касаясь вопросов обоснования метода прямых, рассмотрим задачу (38) как исходную. Э т а задача удовлетворяет условиям задачи (1) — (3)
с постоянной матрицей А . Следовательно, для нее справедлива теорема 2. Таким образом, для существования единственного решения задачи (38) при любых значениях / ( ж ) , \i и d, необходимо и д о с т а т о ч н о , ч т о б ы было выполнено условие сш? :(0) ф 1, где щ{х) — решение задачи
d2Wi/dx2 - XiWi = 0, « > i ( - l ) = 0, t0t-(l) = l, (41) a Aj — собственные значения м а т р и ц ы А. Как хорошо известно [12, с. 113],
Лв- = ( 4 / f t2) s i n2( i 7 r f t / 4 ) , % = 1 , 7 V - 1,
где ft — 2/ЛГ, Решая задачи (41) при конкретных значениях А4- можно получит!» все значения г ^ ( 0 ) > 1, г = 1,7V— 1, после чего вычислить значения с* : с* ~ 1 / ^ ( 0 ) . Заметим, ч т о при ft —> 0 значения At- также стремятся к пределу, не зависящему о т ft : \ъ —> А = г2тг2/4.
Формулировка условий разрешимости задачи (38) в виде п р о с т о г о неравенства сги8-(0) / 1, в котором Эд;(ж) — решение одного обыкновенного дифференциального уравнения, по-видимому, является новой. Э т о т факт представляет особый интерес в связи с тем, ч т о при предельном переходе ft —> 0 э т о условие качественно не меняется. Таким образом, мы приблизились к формулировке нового необходимого и достаточного условия для двухмерной задачи Бицадзе
— Самарского.
Л и т е р а т у р а
1. Ильин В. А., Моисеев Е.И. / / Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я . 1987. Т . 23, № 7 . С . 1198 — 1207.
2. Чегис Р.Ю. / / Л и т . м а т . с б . 1988. Т . 28, № 1 . С . 144 — 152.
3. Досиев А. А., Аширов Б. С. / / П р и б л и ж е н н ы е м е т о д ы р е ш е н и я о п е р а т о р н ы х у р а в н е н и й . Баку, 1991.
С . 41 — 46.
4. Бицадзе А. В., Самарский А. А. / / Д о к л . А Н С С С Р . 1969. Т . 183, № 4 . С . 739 — 740.
5. Гордезиани Д. Г. О м е т о д а х р е ш е н и я о д н о г о к л а с с а н е л о к а л ь н ы х к р а е в ы х з а д а ч . Т б и л и с и , 1981.
6. Вабищевич П.Н. / / И з в . в у з о в . М а т е м а т и к а . 1983. № 5 . С . 13 — 20.
7. Скубачевский А. Л. / / М а т . с б . 1986. Т . 129 ( 1 7 1 ) , № 2 . С . 279 — 3 0 2 .
8. Сапаговас М. П., Чегис Р.Ю. / / Д и ф ф е р е н ц . у р а в н е н и я . 1987. Т . 23, №-7. С . 1268 — 1274.
9. Сапаговас М.П. / / C o m p u t a t i o n a l M a t h e m a t i c s . Banach Center P u b l i c a t i o n s . W a r s a w , 1984. V o l . 1 3 . P. 45 — 59.
10. Сапаговас Af. П. / / Л и т . м а т . с б . 1984. Т . 24, № l . С . 155 — 166.
11. Бицадзе А. В. Н е к о т о р ы е к л а с с ы у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х . М . , 1 9 8 1 . 12. Самарский А. А. Т е о р и я р а з н о с т н ы х с х е м . М . , 1977.
Институт математики и информатики АН Литвы Поступила в редакцию 24 марта 2000 г.
