Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
P. A. Vakulchik, A. A. Shorets, Convergence of the Newton method for solving difference schemes for equations of gas dynamics with heat conduction, Differ. Uravn., 1986, Volume 22, Number 7, 1149–1155
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 6, 2022, 11:18:08
УДК 519.6:533.7
П. А. В А К У Л Ь Ч И К , А. А. Ш О Р Е Ц
О С Х О Д И М О С Т И М Е Т О Д А Н Ь Ю Т О Н А Р Е Ш Е Н И Я Р А З Н О С Т Н Ы Х СХЕМ Д Л Я У Р А В Н Е Н И Й Г А З О В О Й Д И Н А М И К И С Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т Ь Ю Р е ш а я н е л и н е й н ы е з а д а ч и м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и с п о м о щ ь ю не
я в н ы х р а з н о с т н ы х с х е м , п р и х о д и м к с и с т е м а м н е л и н е й н ы х р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й , р а з м е р н о с т ь к о т о р ы х п р о п о р ц и о н а л ь н а ч и с л у ш а г о в прост
р а н с т в е н н о й с е т к и . Д л я р е ш е н и я э т и х систем о б ы ч н о и с п о л ь з у ю т с я и т е р а ц и о н н ы е м е т о д ы . В ч а с т н о с т и , к а к о т м е ч е н о в р а б о т а х [ 1 — 4 ] , д л я п л о с к и х з а д а ч г а з о в о й д и н а м и к и э ф ф е к т и в н ы м я в л я е т с я м е т о д Н ь ю т о н а .
О б о з н а ч и м ч е р е з и т о ч н о е р е ш е н и е исходной з а д а ч и , у — р е ш е н и е к
р а з н о с т н о й с х е м ы , а п п р о к с и м и р у ю щ е й эту з а д а ч у , у— k-e п р и б л и ж е ние к р е ш е н и ю р а з н о с т н о й с х е м ы , п о л у ч е н н о е на k-wi ш а г е по м е т о д у Н ь ю т о н а , h, х — ш а г и р а в н о м е р н о й сетки Wh%. В о з н и к а е т в о п р о с , б у д е т
k • л и у-^и при &->оо и А, т - > 0 .
В с л у ч а е , н а п р и м е р , п о л и н о м и а л ь н о й н е л и н е й н о с т и исходной з а д а ч и п р о ц е с с и с с л е д о в а н и я с х о д и м о с т и р а з б и в а е т с я на д в а э т а п а . В н а ч а л е д о к а з ы в а е т с я с х о д и м о с т ь с а м о й р а з н о с т н о й с х е м ы , а з а т е м и с с л е д у е т с я с х о д и м о с т ь и т е р а ц и о н н о г о м е т о д а Н ь ю т о н а к р а з н о с т н о й с х е м е . Д л я п р о и з в о л ь н о й ж е н е л и н е й н о с т и т а к о е р а з д е л е н и е не и м е е т м е с т а , что п р и в о д и т к н е п о с р е д с т в е н н о м у и с с л е д о в а н и ю с х о д и м о с т и м е т о д а Н ь ю т о н а к т о ч н о м у р е ш е н и ю и с х о д н о й з а д а ч и . Э т о т ф а к т д л я р а з н о с т н ы х с х е м п е р в о г о п о р я д к а у с т а н а в л и в а е т с я на о с н о в а н и и о ц е н к и в и д а
| | г | | . < Д О ( А ° + т ) , h k
г д е z = u—y, М — о г р а н и ч е н н а я в е л и ч и н а , не з а в и с я щ а я от /г, т, а =
= 1, 2,
11-11*
— н е к о т о р а я с е т о ч н а я н о р м а .И с с л е д о в а н и е с х о д и м о с т и м е т о д а Н ь ю т о н а б у д е м п р о в о д и т ь на п р и м е р е с и с т е м ы у р а в н е н и й г а з о в о й д и н а м и к и , о п и с ы в а ю щ е й о д н о м е р ное п л о с к о е н е с т а ц и о н а р н о е т е ч е н и е т е п л о п р о в о д н о г о г а з а [2] в л а г р а н - ж е в ы х м а с с о в ы х п е р е м е н н ы х
dv др д-ц dv дг ди д ( , _ дТ V
Ж~~~~дГ' ~дГ~~дГ' ~дГ+р~д^~^Г\ ( ' T ) )^ 7 / v (1) р=2Р(Т, г}), е = £ ( Г , ц), т ] = 1 / р .
З д е с ь / — в р е м я , s — л а г р а н ж е в а м а с с о в а я п е р е м е н н а я , v — с к о р о с т ь , р — д а в л е н и е , Т — т е м п е р а т у р а , е — в н у т р е н н я я э н е р г и я , р — п л о т н о с т ь . С и с т е м у у р а в н е н и й ( 1 ) . б у д е м р а с с м а т р и в а т ь в п р я м о у г о л ь н и к е П =
= { 0 ^ s ^ M , O^t^t*}, на г р а н и ц а х к о т о р о г о 5 = 0 и s = M з а д а н ы не
к о т о р ы е к р а е в ы е у с л о в и я д л я г а з о д и н а м и ч е с к и х и т е п л о в ы х ф у н к ц и й . П у с т ь в н а ч а л ь н ы й м о м е н т з а д а н о и с х о д н о е с о с т о я н и е с р е д ы
v(s, 0 ) = i > o ( s ) , p ( s , 0 ) = p0( s ) , 4 ( S , 0 ) = T I O ( S ) ,
(2) T(s, 0 ) = r0( s ) , e( s , 0 ) = e0( s ) , O ^ s ^ M .
П р и s = 0 и s = l р а с с м о т р и м р е ж и м ы и з м е н е н и я ф у н к ц и и г\ в и д а
4(0, 0 = < p i ( 0 , T I ( M ,
0 =
Ф 2( 0 ,
o < * < * j , (3) а д л я т е п л о в ы х ф у н к ц и й б у д е м с ч и т а т ь и з в е с т н ы м и з а к о н ы и з м е н е н и яс о в р е м е н е м [2] л и б о т е м п е р а т у р ы
Г ( 0 ,
* ) = М 0 ,
T(M,t)=%2(t), 0 < * < * ; , (4)( 5 ) л и б о т е п л о в о г о п о т о к а
дТ(0,
t)
k(T(0, t),i\(0, t)) K
-^-L-=
Wl(t),
дТ(М,
t)
k(X(M,
t),n(M,t))
— K — - =w2(t), o < f < * ; , • л и б о с о о т н о ш е н и я м е ж д у т е м п е р а т у р о й и п о т о к о мk(T(0, t), т , ( 0 , t)) д Т {^ t ] =wl(T(0, t), t),
k(T(M, t), ц(М, 0) д Т ( ^ t ] =w2(T(M, t), t),
О т у р а в н е н и й с о с т о я н и я p=<P(r\, T), s = E(i\, T) и ф у н к ц и и k(T, \\) п о т р е б у е м в ы п о л н е н и я е с т е с т в е н н ы х у с л о в и й , ч т о на т о ч н о м р е ш е н и и
д*(ч,г) ад (л, г)
< 0 , -5= > 0 , й ( Г , т ) ) > 0 .
(6>
Е с л и т е п е р ь в с и с т е м е (1) и с к л ю ч и т ь р и е, т о п р и д е м к с л е д у ю щ е й с и с т е м е т р е х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й о т н о с и т е л ь н о н е и з в е с т н ы х v, ц, Т:
dv & ? ( т ) , Т) дц dv dt ~*~ • ds ' dt ds ' дЕ(г\, Т)
dt
И с п о л ь з у я и н т е г р о - и н т е р п о л я ц и о н н ы й м е т о д п о с т р о е н и я р а з н о с т н ы х с х е м д л я з а д а ч г а з о в о й д и н а м и к и [2, 5 ] , на р а в н о м е р н о й с е т к е у з л о в
<uhT={(Si, tj), Si = ih9 h>0, i=09 N, Nh=M; t5=jx9 т > 0 , / = 0, /0, т /0 =
= t*} р а с с м о т р и м д в у х п а р а м е т р и ч е с к о е с е м е й с т в о к о н с е р в а т и в н ы х р а з н о с т н ы х с х е м
v t + ^ = 09 4t(+l)-v{s°>5) = 09
Et + OMP ( + 1) ^ ° '5) + ^ ' 5 ) ) = {kTTp) , (7) г д е f = 0 , 5 ( f + f ( - l ) ) ,
f(±l)=f(s±h); a
u o2>09f™=of+{l-o)f.
Н а ч а л ь н ы е д а н н ы е д л я с и с т е м ы ( 7 ) , а т а к ж е к р а е в ы е у с л о в и я д л я ц а п п р о к с и м и р у ю т с я т о ч н о и и м е ю т в и д
vio = vo(Si), T| i o= T| o ( S i) i Tio = To(Si), Sio = so(Si)9 i=09 N9 (8)
1l0j = < P l ( * j ) , 1 1 i V j = < P 2 ( / j ) , / = 0, jo. (9)
С ц е л ь ю у п р о щ е н и я в ы к л а д о к (не о г р а н и ч и в а я о б щ н о с т и и с с л е д о в а н и я ) д л я т е п л о в ы х ф у н к ц и й р а с с м о т р и м к р а е в ы е у с л о в и я п е р в о г о р о д а ( 4 ) , а п п р о к с и м а ц и я к о т о р ы х б у д е т с л е д у ю щ е й :
Toj = Qi(tj)9 TNj = Q2(tj)9 j=TjZ ( Ю ) : П у с т ь в с и с т е м е у р а в н е н и й (7) 0 1 = 0 2 = 1 и р а з н о с т н а я с х е м а (7) —
(10) а п п р о к с и м и р у е т и с х о д н у ю д и ф ф е р е н ц и а л ь н у ю з а д а ч у (1) — (4) с п о г р е ш н о с т ь ю 0 ( 7 г2+ т ) .
Д л я н а х о ж д е н и я п р и б л и ж е н н о г о р е ш е н и я з а д а ч и (1) — (4) п о л у ч и л и с и с т е м у н е л и н е й н ы х (на ( / + 1 ) - м в р е м е н н о м с л о е ) р а з н о с т н ы х у р а в - 1150
нений (7) с н а ч а л ь н ы м и (8) и к р а е в ы м и ( 9 ) , (10) у с л о в и я м и . К а к о т м е ч а л о с ь в ы ш е , э т у с и с т е м у б у д е м р е ш а т ь , и с п о л ь з у я и т е р а ц и о н н ы й м е т о д Н ь ю т о н а [ 1 — 4 ] . С о о т в е т с т в у ю щ а я (7) л и н е а р и з о в а н н а я по м е т о д у Н ь ю т о н а с и с т е м а п р и м е т в и д
k к k k
k±} /ддь ft+i ддь ft+i\ / ft ддь
+ w
T)
T-(-
6jb dr\ft Qap r\ -\ •
dT k dE
f
k dE dT
k k
k±} k+i /BE k+l dF fe+i\ / л rJF k 3F k
т ь ( + 1 ) - O< o - . » ) = 0, T + ^ - ц
j ^ +
^ - ^ - T - ^ t i 1 + ft+i k k+i k k_+ 0 , 5 ( 3 4 + l ) ys { 0'5 ) + ? a<°-5>) + 0,5 ( # ( + l)(vs-vs) k
A k Jtk+i k i riktA- 1Л ft+i k + d»(vT-vT)) = (k ГГ) , + 0 , 5 Г8| ^ ^ ( T ( + 1 ) _ T ( + 1 ) ) +
ft
Я £ fe+1 k \ k I Pjh fc+1 k
+
^
{ T~ -
T )) - ° '
5 T- [ W
{ T~
T^
k
+
1 J( Г ( - l ) - r ( - l ) ) , ( 1 1 ) ат(—l) /
г д е и н д е к с k у к а з ы в а е т н а н о м е р и т е р а ц и и н а ( / + 1 ) - м с л о е .
П о л у ч е н н а я с и с т е м а у р а в н е н и й (11) с н а ч а л ь н ы м и и к р а е в ы м и у с л о в и я м и (8) — (10) л е г к о р е ш а е т с я м е т о д о м м а т р и ч н о й п р о г о н к и , к о т о р ы й , к а к о т м е ч е н о в р а б о т е [ 6 ] , и м е е т з н а ч и т е л ь н ы е п р е и м у щ е с т в а пе
р е д м е т о д о м р а з д е л ь н ы х п р о г о н о к [ 2 ] .
Р а с с м о т р и м т е п е р ь р а з н о с т н у ю з а д а ч у д л я п о г р е ш н о с т и м е т о д а Н ь ю т о н а ( 1 1 ) . С э т о й ц е л ь ю в в е д е м с е т о ч н ы е ф у н к ц и и п о г р е ш н о с т и
& k k k h
Av = v—v, Дт)=т)—T), AT=T—7, г д е й, т], f — т о ч н о е р е ш е н и е и с х о д н о й з а д а ч и (1) — (4) в т о ч к а х ( / + 1 ) - г о в р е м е н н о г о с л о я . В ы ч т е м из к а ж д о г о у р а в н е н и я с и с т е м ы (1) с о о т в е т с т в у ю щ и е у р а в н е н и я с и с т е м ы ( 1 1 ) .
Т о г д а д л я п о г р е ш н о с т и м е т о д а Н ь ю т о н а п о л у ч и м с л е д у ю щ у ю с и с т е м у у р а в н е н и й :
h±l Qcf fe+i Qop k+i /дф \ k+i
4 - + | - Д ^ + ^ Д Т Г + ( ^ ) г А , ( - . ) +
*-И ft ft ft ft+i ft ft ft+l
+ Ш _ AT = ШАцАТ + А ц AT + АцА T ) )r + rt(h2 + x),
A 4t ( + 1) - 0,5A
ki! = r
2{h? + %%
дЁ k+l дЁ ft+i « *+• - ft+'
— ATt + — - A % -f- 0,5 ( # ( + l ) A f '5) +;3sAt><°-5>) = ft+1 / fib ft+i \ ft ft ft Tft ft+l
= (ЙД 7 »
S+ ( j j L A T T
TJ + № (АР + А
Л 2)), + R
3A л +
fe ft ft+i л+.i ft ft ft+i ft
+ £4 (Ar)A ys + А л Ai>.) + R5&T (AT + ATS) + r3 (/i2 + т), (12) г д е r i ( A2+ x ) , г2( А2+ т2) , r3( / i2+ T ) — п о г р е ш н о с т и а п п р о к с и м а ц и и соот-
k
в е т с т в у ю щ и х у р а в н е н и й (1) с и с т е м о й р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й ( 8 ) , Ri, i=l, 5,— н е к о т о р ы е с е т о ч н ы е ф у н к ц и и , в ы ч и с л е н н ы е на k-n и т е р а ц и и .
К с и с т е м е (12) п р и с о е д и н и м н а ч а л ь н ы е и к р а е в ы е у с л о в и я , к о т о р ы е и м е ю т в и д
Avio = 09 Ат]/о = 0, ДГ;о = 0, / = 0 , /V, (13)
и и
Д т | о = 0 , A T ] J V = 0 Д Л Я всех k, (14) k k
А Г0= 0 , ATN=0 д л я всех k. (15)
Д л я о ц е н к и п о г р е ш н о с т и м е т о д а Н ь ю т о н а у м н о ж и м с к а л я р н о п е р в о е
k+l k+l k+l k+l
уравнение системы (12) на т ( 2 А v + A vt + 2А rj/ s-), второе—на т ( 2 А т) +
k±} k+i k+i k+i k+i
- f A t |t — 2A vt8), а третье — на т ( 2 А T + A Tt — A T-s). П р и этом будем иметь в виду, что
k+i k+l k+i k+l
(A vt 9 A T )/ s- ] - [ A r )f ( + 1), A vt8) = 0, h+l k+l k+l k+l
(A , A 7 > ] = (A T|T , A 7 -s) + 0,5ft (А т ,д, A T -s s) . Обозначим
fe±i fe±i k+i k+i , к+1 др ш
\\AW\\*+1 = (Av , Д о ] + (Дт) , А л ] + ( A 7 \ - ^ L A T +
ft+1 Д& fc+l\ ft±1 fe±* k+l h+l
+ r [ATt9 — ATt\ +x(Avt9 Avt] + т ( Д r |t, A % ] +
ft+i < Э # *+i ft+i ft+i *-R ft+i
+ [ А У8, Avs) + (kATr, AT-] + л ft+i ft+i
+ T ( M 7 -s , A T - ) . ( 16)
И с п о л ь з у я т е п е р ь д л я о ц е н к и с л а г а е м ы х с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и я не
р а в е н с т в о К о ш и — Б у н я к о в с к о г о , е - н е р а в е н с т в о , р а з н о с т н ы е ф о р м у л ы k+l
Г р и н а , т е о р е м ы в л о ж е н и я [7, 8 ] , д л я ||Д W 4 |2 + 1 а н а л о г и ч н о [ 9 ] п о л у ч и м р е к у р р е н т н о е н е р а в е н с т в о
k+i k k+i k
НА
W Ц+1^ (1 +xfl) ||ДЩ» Д
W Ц+1 \\AW\\*+l ++с\\ЬЩ^+г{№+х)\
||ДЩ
о=0,
(17)г д е | | Д Щ2 о п р е д е л я е т с я из с о о т н о ш е н и я (16) д л я н и ж н е г о в р е м е н н о г о с л о я , а= c o n s t ^ 0 о п р е д е л я е т с я на т о ч н о м р е ш е н и и з а д а ч и (1) — ( 4 ) , k k
b9 с^О — н е к о т о р ы е в е л и ч и н ы , в ы ч и с л я е м ы е на k-и и т е р а ц и и , r ( f t2+ + т )2— в е л и ч и н а , з а в и с я щ а я о т к в а д р а т а п о г р е ш н о с т и а п п р о к с и м а ц и и р а з н о с т н о й с х е м ы ( 7 ) . Е с л и т е п е р ь п р е д п о л о ж и т ь , ч т о д л я н е к о т о р о г о в р е м е н н о г о £ л о я с н о м е р о м / и м е е т место с о о т н о ш е н и е \\AW\\j = 0 (h2-{- + т ) и з н а ч е н и е р е ш е н и я на н у л е в о й и т е р а ц и и б е р е т с я с н и ж н е г о в р е -
О О О
м е н н о г о с л о я , т. е. v = v, г\=ц, Т=Т, то л е г к о в и д е т ь , ч т о
<т||-^-||+||ДЩ,+0(т
2)=0(т+И, (18)
1152
г д е W — с е т о ч н а я ф у н к ц и я , в ы ч и с л я е м а я на т о ч н ы х з н а ч е н и я х .у, т), Т.
Р а с к р о е м с о о т н о ш е н и е (17) р е к у р р е н т н о по k [ 1 0 ] . С э т о й ц е л ь ю в в е -
к
д е м с л е д у ю щ и е о б о з н а ч е н и я : А = (l+та) \\AW\\2. + г ( / г2+ т )2, В=\ —
к k k к k k
—b\\AW\\2, q = c\\AW\\2+{ /В. Т о г д а п р и k = 0 н е р а в е н с т в о (17) п р и м е т в и д
1 1 А Щ 5
+ 1< Л А Щ 5
+ 1+ Л / В . (19)
о
И з (18) с л е д у е т , что п р и д о с т а т о ч н о м а л ы х / г и т В = 1 + 0 ( / г2+ т )2 и
о
(7 = 0 ( Л2+ т )2< 1 . И с п о л ь з у я т е п е р ь с о о т н о ш е н и е (19) в о ц е н к е (17) п р и k=\, б у д е м и м е т ь
W№\%
< ((°?11ДЙ*
+1 +А/В) | | Д Щ j+1 + Л ) / Б < £< < 5 ? | | Д Щ *+1+ < } л / Я + Л / Я ,
1 1
г д е В = 1 + 0 ( / г2+ т ) и g = 0 ( / i2+ x )2< 1 п р и д о с т а т о ч н о м а л ы х h и т.
А н а л о г и ч н о
ЦАЩ*
+1^ J w l l A ^ I I ^ ,
(\/B+qJB+qq/B) и т. д. Д л я п р о и з в о л ь н о г о k о ц е н к а п р и м е т в и дk+l о 1 k о k k k-1 к k-l 1 о
| | Д № | | 2+ 1 < W . . . ? | | Д Щ j+1 + Л ( 1 / Б + 1 7 / Б + . . . + q q . . . q/B),
k k
где все 0 ^ ^ < 1 и В = \-\-0(h2-\-х)2. О т с ю д а с л е д у е т , что
\/B+q/kB + ... +q V . • • < j / 5 < ( 1 + 9 + • •. + 9 * ) / Ж
& ft
< ( 1 - 9 ) - 7 В = 0 ( 1 ) , 9 = m a x q , 5 = m i n £ ,
ft ft
а, з н а ч и т , п р и &->оо и м е е т м е с т о п р е д в а р и т е л ь н а я о ц е н к а д л я
k+i
\\AW\\2+1 в и д а
ft+i
UW\\2+l=0(A)=0(h2+%)2.« (20) П е р е й д е м т е п е р ь в с о о т н о ш е н и и (17) к п р е д е л у п р и &->оо, п р е д в а р и -
k ft ft
т е л ь н о о б о з н а ч и в l i m | | A W \ \ j + \ = \ \ A \ i m b = b, l i m c = c , г д е b ft->oo ft->-oo ft-^oo
и с — о г р а н и ч е н н ы е в е л и ч и н ы п р и в ы п о л н е н и и у с л о в и я ( 2 0 ) . Б у д е м и м е т ь н е р а в е н с т в о
ПА^П^! ^ (1Ч-^)ПА^1^
+ ( 6 + ^ )11А1^||)
+1+г(Я2+х)
2,
| | А Щ0= 0 , р а с к р ы в а я к о т о р о е р е к у р р е н т н о п о л у ч и м11ДЩ
2+1^
exp ( a /j) /j( r + d t -10 ( / i2+ T )2) ( / z2+ T )2, d = m a x ( f c + c ) , (21) яп р и э т о м о ц е н к а (21) м о ж е т б ы т ь п о л у ч е н а д л я л ю б о г о ^ 6 ( 0 , t$]. О т с ю д а с л е д у е т , что д л я р а з н о с т н о й с х е м ы (7) — (9) с п р а в е д л и в а с л е д у ю щ а я т е о р е м а о с х о д и м о с т и и т е р а ц и о н н о г о м е т о д а Н ь ю т о н а р е ш е н и я э т о й с х е м ы к т о ч н о м у р е ш е н и ю и с х о д н о й з а д а ч и (1) — ( 4 ) .
Т е о р е м а 1. Пусть v(s, t), p(s,t), ф , 0Щ(П), T(s, t)eC\(II) u разностная схема (7) — (9) аппроксимирует исходную задачу с по-
4. Дифференциальные уравнения № 7 1153
грешностью 0(h2-\-x). Тогда при достаточно малых h и % и таких, что x = ha, 0 < а < 2 , для погрешности метода Ньютона (12) —(15) имеет место при k-^oo оценка (21), из которой следует сходимость итера
ционного метода к точному решению исходной задачи в сеточной нор
ме (16).
З а м е ч а н и е 1. А н а л о г и ч н ы м о б р а з о м и с с л е д у е т с я с х о д и м о с т ь и т е р а ц и о н н о г о м е т о д а Н ь ю т о н а р е а л и з а ц и и р а з н о с т н ы х с х е м , а п п р о к с и м и р у ю щ и х с и с т е м у у р а в н е н и й (1) с к р а е в ы м и у с л о в и я м и ( 5 ) , ( 6 ) , п р и э т о м д л я их а п п р о к с и м а ц и и у д о б н о и с п о л ь з о в а т ь м е т о д и к у , п р е д л о ж е н н у ю в р а б о т е [ 2 ] .
З а м е ч а н и е 2. Р а з н о с т н ы е с х е м ы д л я р е ш е н и я а н а л о г и ч н о й з а д а ч и с у р а в н е н и е м с о с т о я н и я р = р1(ц)р2(г) в с л у ч а е с л а б ы х р а з р ы в о в
р е ш е н и я и з у ч е н ы в [ 1 1 ] . Д о к а з ы в а е т с я с х о д и м о с т ь в н о р м е Ь2 и С и з у ч а е м ы х р а з н о с т н ы х с х е м в п р е д п о л о ж е н и и , что x = ha, 1 < а < 2 .
З а м е ч а н и е 3. Р а с с м о т р и м с и с т е м у п г и п е р б о л и ч е с к и х у р а в н е н и й в д и в е р г е н т н о й ф о р м е [12]
И м е е т м е с т о
Т е о р е м а 2. Пусть разностная схема (23) аппроксимирует систе
му (22) с погрешностью 0(h2-\-x) и элементы вектора ^(U) являются функциями, достаточно гладкими. Тогда при достаточно малых шагах сетки h и х и таких, что x=ha, 0 < с с < 4 , решение, получаемое из ли
неаризованной по методу Ньютона системы (23), сходится к решению исходной задачи в сеточной норме | | Д Щ2 = l | Z | |2+ | | | £ | ° '5ZX| |2, где Z —
= U—Y, .g — матрица собственных значений матрицы {{d<tf(U)'/dw}}y i,j = TTn.
З а м е ч а н и е 4. Д л я н е л и н е й н о й г и п е р б о л и ч е с к о й с и с т е м ы [ 1 3 ]
р а с с м о т р и м н е я в н у ю р а з н о с т н у ю с х е м у
Yt=q>(x9 f, F, ?х) . ^( 2 5 ) { Т е о р е м а 3. Пусть разностная схема (25) аппроксимирует исход
ную систему (24) с погрешностью 0(h2 + x) и компоненты вектора q> яв
ляются функциями, достаточно гладкими. Тогда при достаточно малых h их и таких, что x = ha, 1<а<Ъ, решение, получаемое из линеаризован
ной по методу Ньютона системы (25), сходится к решению исходной за
дачи (24) со скоростью 0(h2 + x).
П р и д о к а з а т е л ь с т в е т е о р е м 2 и 3 и с п о л ь з у е т с я м е т о д и к а п р и в е д е н и я к р а е в ы х у с л о в и й к с т р о г о д и с с и п а т и в н о м у в и д у [15, 1 6 ] .
З а м е ч а н и е 5. С л е д у е т о т м е т и т ь , что р е з у л ь т а т ы , а н а л о г и ч н ы е т е о р е м е 1, и м е ю т м е с т о д л я с и с т е м ы у р а в н е н и й м а г н и т н о й г и д р о д и н а м и ки с т е п л о п р о в о д н о с т ь ю [ 2 ] .
1. С а м а р с к и й А. Д., П о п о в Ю. П. / / Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1976.
Т. 16, № 6. С. 1503—1518.
2. С а м а р с к и й А. А., П о п о в Ю. П. Разностные методы решения задач газо
вой динамики. М., 1980.
3. П о п о в Ю. П., С а м а р с к а я Е. А. / / Ж у р н . вычисл. мат. и мат. физ. 1977..
Т. 17, № 1. С. 276—280.
4. С а м а р с к а я Е. А. Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. мат. и кибернетика. 1980.
№ 1. С. 58—66.
, ср»} ( 2 2 )
(23)
( 2 4 )
Л и т е р а т у р а
1154
5. М о с к а л ь к о в М. Н . / / Ж у р н . вычисл. мат. и мат. физ. 1980. Т. 20, № 1.
С. 162—170.
6. П о в е щ е н к о Ю. А., П о п о в Ю. П., С а м а р с к а я Е. А. / / Ж у р н . вычисл.
кат. и мат. физ. 1982. Т. 22, № 4. С. 903—912.
7. С а м а р с к и й А. А. Теория разностных схем. М., 1977.
8. А н д р е е в В. Б , / / Ж у р н . вычисл. мат. и мат. физ. 1968. Т. 8, № 6. С. 1218—
1231.
9. А б р а ш и н В. Н . / / Д и ф ф е р е н ц . уравнения. 1975. Т. 11, № 2. С. 294—308.
10. В а к у л ь ч и к П. А . / / В е с т н . Б Г У им. В. И. Ленина. Сер. 1. Физ., мат., мех.
1984. № 1. С. 38—42.
11. М а т у с П. П., Ш а в е л ь А. Н, / / Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 7.
С. 1251—1261.
12. Р о ж д е с т в е н с к и й Б . Л., Я н е н к о Н. Н. Системы квазилинейных уравне
ний. М., 1978.
13. А б р а ш и н В. Н., В а к у л ь ч и к П. А . / / В е с щ АН Б С С Р . Сер. ф1з.-мат. на
вук. 1975. № 5. С. 125—126.
14. А б р а ш и н В. Н. / / В е с щ А Н Б С С Р . Сер. ф!з.-мат. навук. 1977. № 4.
С 13—16.
15. Г о д у н о в С. К. Уравнения математической физики. М., 1978.
16. В а к у л ь ч и к П. А . / / В е с т н . Б Г У им. В. И. Ленина. Сер. 1. Физ., мат., мех.
1982. № 2. С. 41—43.
Белорусский государственный университет Поступила в редакцию им. В. И. Ленина 5 марта 1984 г.
УДК 517.962
И. П. Г А В Р И Л Ю К , В. Л . М А К А Р О В
Т О Ч Н Ы Е Р А З Н О С Т Н Ы Е С Х Е М Ы
Д Л Я О Д Н О Г О К Л А С С А Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х К Р А Е В Ы Х З А Д А Ч И ИХ П Р И М Е Н Е Н И Е
Т о ч н ы е р а з н о с т н ы е с х е м ы в с л у ч а е л и н е й н ы х к р а е в ы х з а д а ч д л я о б ы к н о в е н н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й в т о р о г о п о р я д к а в п е р в ы е б ы л и п о с т р о е н ы и и с с л е д о в а н ы в и з в е с т н ы х р а б о т а х А. Н . Т и х о н о в а и А . А . С а м а р с к о г о [ 1 , 2 ] . С п о м о щ ь ю э т и х с х е м м о ж н о с т р о и т ь с х е м ы л ю б о г о п о р я д к а т о ч н о с т и , к о т о р ы е у д о б н ы с т о ч к и з р е н и я р е а л и з а ц и и н а Э В М .
В д а л ь н е й ш е м т о ч н ы е р а з н о с т н ы е с х е м ы э ф ф е к т и в н о и с п о л ь з о в а л и с ь д л я р е ш е н и я р а з л и ч н ы х м а т е м а т и ч е с к и х з а д а ч , в ч а с т н о с т и в п р о б л е м е с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й (см., н а п р и м е р , [ 3 — 5 ] ) , д л я п о л у ч е н и я т а к н а з ы в а е м ы х с о г л а с о в а н н ы х о ц е н о к с к о р о с т и с х о д и м о с т и р а з н о с т н ы х с х е м д л я ш и р о к о г о к л а с с а з а д а ч м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и с о б о б щ е н н ы м и р е ш е н и я м и [ 6 ] .
Н а с т о я щ а я р а б о т а п о с в я щ е н а п о с т р о е н и ю точной р а з н о с т н о й с х е м ы д л я о д н о г о к л а с с а н е л и н е й н ы х к р а е в ы х з а д а ч д л я л и н е й н о г о о б ы к н о в е н ного д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я в т о р о г о п о р я д к а и ее п р и м е н е н и ю д л я п о с т р о е н и я р а з н о с т н ы х с х е м в с л у ч а е н е к о т о р ы х н е л и н е й н ы х к р а е в ы х з а д а ч д л я у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х . В р а б о т е п о л у ч е н а с о г л а с о в а н н а я о ц е н к а с к о р о с т и с х о д и м о с т и р а з н о с т н о й с х е м ы д л я н е л и нейной к р а е в о й з а д а ч и д л я у р а в н е н и я Г е л ь м г о л ь ц а в сеточной н о р м е W\((o) в п р е д п о л о ж е н и и , ч т о р е ш е н и е и(х) п р и н а д л е ж и т к л а с с у W\ ( Q ) ,
2 ] . Д л я с л у ч а я u£W32/2~e(Q) и п о л и г о н а л ь н о й о б л а с т и в р а б о т е [7, с. 286] и м е е т с я а н а л о г и ч н а я о ц е н к а д л я с х е м ы м е т о д а к о н е ч н ы х ( т р е у г о л ь н ы х ) э л е м е н т о в с б а з и с н ы м и ф у н к ц и я м и , я в л я ю щ и м и с я п о л и н о м а м и п е р в о й с т е п е н и .
1. Р а с с м о т р и м з а д а ч у в и д а
-Lu=:^[k(x)^]-q(x)u(x)=-f(x), * G ( 0 , 1 ) , ( 1 )
*(0 )и'(0 )=ф(и (0)),
И ( 1 ) = 0 , k9q,fGQi°\ ( 2 )|<р(н)—ф(в) | и | , Li= c o n s t > 0 .
4* 1 1 5 5
