G. G. Ilyuta, Interpolation by symmetric functions and alternating higher Bruhat orders, Izv. RAN. Ser. Mat. , 2003, Volume 67, Issue 5, 3–34

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

G. G. Ilyuta, Interpolation by symmetric functions and alternating higher Bruhat orders, Izv. RAN. Ser. Mat. , 2003, Volume 67, Issue 5, 3–34

DOI: https://doi.org/10.4213/im449

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use http://www.mathnet.ru/eng/agreement

Download details:

IP: 139.59.245.186

November 6, 2022, 11:24:17

С Е Р И Я М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Том 67, № 5, 2003

УДК 519.651

Г. Г. И л ь ю т а

Интерполяция по симметрическим функциям и альтернированные высшие порядки Б р ю а

Изучается интерполяция по грассмановым полиномам Шуберта - функциям Шура. Доказаны отвечающие элементарным симметрическим функциям и функ­

циям Шура варианты формулы Зелевинского-Штурмфельса для произведения максимальных миноров прямоугольной матрицы и, как следствия, обобщения формулы для определителя Коши-Вандермонда и формулы Коши для функций Шура. Определены обобщения высших порядков Брюа, элементы которых коди­

руют связные компоненты конфигурационных пространств, а также обобщения дискриминантных конфигураций Манина-Шехтмана.

Библиография: 41 наименование.

В в е д е н и е

Полиномы Ш у б е р т а были введены А. Л а с к у и М.-П. Шютценберже при изуче­

нии когомологий многообразия флагов. Интерпретация полиномов Ш у б е р т а как базисных функций интерполяции привела к обобщению классических интерполя­

ционных формул [32]. В настоящей статье изучается интерполяция по грассма­

новым полиномам Шуберта, которые совпадают с симметрическими функциями Ш у р а [12]. Известно обобщение интерполяционной формулы Л а г р а н ж а д л я сим­

метрических функций [10]. Обобщаются д л я симметрических функций интерпо­

ляционная формула Ньютона, рекуррентные соотношения и интегральные пред­

ставления д л я интерполяционного полинома, разделенных разностей и остаточ­

ного члена интерполяционного ряда, аналог формулы Лейбница д л я разделенных разностей произведения двух функций, оценки д л я разделенных разностей, кото­

рые могут быть использованы д л я оценок остаточного члена интерполяционно­

го р я д а (некоторые результаты были анонсированы в [6]). Эти формулы приво­

дят к определению обобщенных высших порядков Б р ю а , которые назовем альтер­

нированными в силу их тесной связи с альтернированными ориентированными матроидами [23] (обобщение этой конструкции д л я любого невырожденного ори­

ентированного матроида получено в [41]) и элементы которых кодируют компо­

ненты связности определяемых с помощью интерполяции конфигурационных про­

странств. Т а к ж е определим обобщения д л я симметрических функций дискрими­

нантных конфигураций гиперплоскостей и, тем самым, обобщения высших групп кос Манина-Шехтмана, т.е. фундаментальных групп дополнений к дискриминант- ным конфигурациям.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов NWO-RFBR (№047.008.005), INTAS (№ 00-0259), РФФИ (№ 01-01-00739).

© Г . Г. ИЛЬЮТА, 2003

4 Г. Г. И Л Ь Ю Т А

В качестве примеров применения общих интерполяционных формул в § 1 полу­

чены некоторые тождества для функций Шура, которые аналогично [31] можно ин­

терпретировать как утверждения из теории пересечений. Представлены как раз­

деленные разности операторы Макдональда (их собственными функциями явля­

ются зависящие от двух параметров симметрические полиномы Макдональда [11]).

В контексте симметрических функций определен обобщенный циклический много­

гранник (альтернированный ориентированный матроид является комбинаторным вариантом циклического многогранника [23]).

Матрица интерполяционной системы, записанной в базисе, состоящем из моно- миальных симметрических функций, совпадает с некоторой специализацией мат­

рицы Зелевинского-Штурмфельса [22]. В §2 доказаны варианты формулы Зеле- винского-Штурмфельса для произведения максимальных миноров прямоугольной матрицы, из аналогичной специализации которых получены формулы для опре­

делителей интерполяционных систем, записанных в базисах, состоящих из эле­

ментарных симметрических функций и функций Шура. Как следствия, получе­

ны обобщения формулы для определителя Коши-Вандермонда и формулы Коши для функций Шура.

Элемент симметрической группы 7г Е Sn можно определить как последователь­

ность элементов множества п = { 1 , . . . , п} или как множество инверсий, т.е. пар г, j Е п, г < j , 7г(г) > 7Г (j). В [8] элементы высших порядков Брюа В(т,п) опре­

делены как последовательности /^-подмножеств в п, факторизованные по некото­

рому отношению эквивалентности. В [9] дано другое определение и доказана его эквивалентность определению из [8], что является нетривиальным фактом. В §3 приведено определение альтернированных высших порядков Брюа В(т, п,к), об­

общающее данное в [9] определение высших порядков Брюа В(т, п), где В(т, п) =

£?(m,n, 1). В §3 также определены конфигурационные пространства и постро­

ено отображение из множества компонент связности пространства невырожден­

ных вещественных конфигураций в В(т, п, к). Пространство конфигураций рас­

слаивается на дополнения к конфигурациям гиперплоскостей, которые являют­

ся обобщениями дискриминантных конфигураций Манина-Шехтмана. В [5] дока­

зано, что невырожденным конфигурациям, возникающим как множества экстре­

мумов М-морсификации особенности Аш, отвечают специального вида элементы В(т, п) - обобщения up down-перестановок. В § 3 приводится иное доказательство этого факта.

В теории конфигураций гиперплоскостей при индуктивных доказательствах час­

то используется операция удаление-сокращение [16]. Например, применение этой операции позволяет найти порождающие элементы и определяющие соотношения в группе крашеных кос [18]. В работах [8], [9] с помощью этой операции доказа­

ны основные структурные свойства высших порядков Брюа В(т, п). В §3 описа­

на операция удаление-сокращение для альтернированных высших порядков Брюа и для обобщенных разделенных разностей. Это позволяет сделать некоторые вы­

воды о фундаментальной группе дополнения к обобщенной дискриминантной кон­

фигурации.

Аналогично одномерному случаю [13], теорию интерполяционных полиномов и разделенных разностей можно интерпретировать с точки зрения коалгебр. При замене xi i—> l ( g ) - - - ( g ) l ( g ) x ( g ) l ( g ) - - - ( g ) l ( x расположен на г-м месте) можно

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я ПО С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М ФУНКЦИЯМ 5 рассматривать операцию разделенной разности как коумножение на пространстве полиномов:

Af(x) = / ( X ) 0 1~1 0 / ( X ) V ' ж (8)1 - 1(8) ж

Симметрические полиномы от к переменных при такой замене переходят в элемен­

ты к-й тензорной степени пространства полиномов от одной переменной. Напри­

мер,

m2l(xi,X2) = х\х2 + Х\х\ и ^ 0 Ж + Ж 0 Ж2.

Как отмечается в [13], получающаяся коалгебра является аналогом универсаль­

ной обертывающей алгебры для алгебры Ли. Точнее, аналогия состоит в сле­

дующем: предельным вариантом интерполяционной формулы Ньютона является формула Тейлора, подходящая интерпретация которой приводит к понятию алгеб­

ры Ли.

При изучении интерполяции используются три базиса в интерполяционном про­

странстве: функции Шура, элементарные и мономиальные симметрические функ­

ции. Рассматривая в качестве базисных функций полиномы Макдональда, можно объединить эти подходы. Формулы Коши для полиномов Мак дона льда-Корнвин- дера [40] позволяют обобщить интерполяционные формулы для базиса, состоящего из этих полиномов.

Для базиса в интерполяционном пространстве, состоящего из функций Шура от к переменных, интерполяцию по симметрическим функциям можно рассматри­

вать как внешнюю степень классической интерполяции Ньютона (матрица интер­

поляционной системы получается умножением к-й ассоциированной для матрицы Вандермонда на диагональную матрицу).

Высшие порядки Брюа описывают в терминах комбинаторики рекуррентные соотношения для разделенных разностей. В настоящей статье рекуррентные со­

отношения получены как следствия интерполяционной формулы Лагранжа для симметрических функций [10]. Симметризаторы Лагранжа-Сильвестра и Яко- би представимы в виде композиций элементарных разделенных разностей дг, от­

вечающих транспозициям Si = (г г + 1) в симметрической группе Sⁿ [33], [31].

Это представление позволяет свести рекуррентные соотношения для разделенных разностей интерполяции по симметрическим функциям и по полиномам Шуберта к следующему рекуррентному соотношению для перестановок: элемент наиболь­

шей длины (по отношению к системе образующих s i , . . . , sn) в группе Sn+ i полу­

чается умножением элемента наибольшей длины в группе Sn на элемент Кокстера si ---sn в группе 5n +i .

Изучаемая в статье алгебраическая интерполяция позволяет реализовать гео­

метрически лишь представимые элементы альтернированных высших порядков Брюа подобно тому, как конфигурации гиперплоскостей реализуют лишь пред­

ставимые ориентированные матроиды. При помощи интерполяции сплайнами [39]

можно реализовать и непредставимые элементы альтернированных высших по­

рядков Брюа.

Выделим наиболее интересный, на взгляд автора, вопрос, возникший при рабо­

те над статьей. Представление разделенных разностей для симметрических функ­

ций в виде контурного интеграла содержит одномерные дискриминант и резуль-

6 Г. Г. И Л Ь Ю Т А

тант. Существуют ли обобщения этой и сопутствующих формул, в которых ана­

логичную роль играют многомерные дискриминанты и результанты из [28]?

§ 1 . Симметризатор Лагранжа—Сильвестра и интерполяция д л я симметрических функций

1. Обозначения и вспомогательные результаты. Приведенные в этом пункте тождества для симметрических функций можно найти в [11]. Для произ­

вольного разбиения j = (7ъ72> • • •)? 7i ^ 72 ^ • • • ^ 0> J2li < °°5 обозначим через У = (7i? 72? • • •) сопряженное разбиение,

Пусть mi(7) ~~ кратность числа г в разбиении 7, '(7) ~~ количество ненулевых частей разбиения 7 и

П *т*( 7 )^ ( 7 ) ! , ^7 = ( - 1 )E 7^Z ( 7 ).

г > 1

Через [m]n обозначим разбиение, состоящее из п частей, равных т. Для j = ( 7 1 , . . . , 7п) определим разность разбиений:

7 - [т]^п = (⁷i - ш , . . . ,7п - ш).

Напомним обычные обозначения для базисов в кольце симметрических функ­

ций:

& к \%11 %2 •>•••) — / ^ %i\ ' ' ' %ik 1 ^7 — ^71 ^72 '

ч<---<ч - элементарные симметрические функции;

i^k \%11 %2 •)•••) = / ^ ^г\ ' ' ' %ik 1 ^7 = 71 72 " " " '

- полные симметрические функции;

Pk(xi,x²,...) = ^2,х\, р¹ =Р¹¹Р¹² ••• ,

г

- степенные суммы; для 7 = (7i ? • • • •> In)

Д ж^ьж², . . . ) = ^^ж? 1 ^{7 1 • • • ж7 г г}

- мономиальные симметрические функции (суммируются все различные мономы с показателями из 7); для 7 = (7i •> • • • •> In)

s7( x i , . . . ,хп) = n_7- 5 (1)

V i O i , . . . , xn) =det(>™~J) = Ц(жг - ^ j ) (2)

i<j

- функции Шура.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО СИММЕТРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ 7

Предполагаем, Ч Т О «S^v \t-r,~\n = 0, если 7n ^— rn < 0. Через с7 обозначим коэф­

фициенты Литтлвуда-Ричардсона, т.е.

*А^ = Х1СА^7- (3)

7

Рассмотрим в кольце симметрических функций скалярное произведение, для ко­

торого базисы {hry} и {га⁷} двойственны:

( Д7, тм) = £7М

для всех разбиений 7? А*- -Для любого п ^ 0 пусть {г^7}, {^7} - индексируемые разбиениями числа п базисы в ко льце симметрических функций. Тогда следующие условия равносильны:

( ^7, ^ ) = £7А6 длявсех 7?/^

Е %(

К (У) = П i _-.,,. ' ^

7 i,j 1 Ж г ^

Частными случаями тождества (4) являются следующие формулы:

П п = ^hi(x)mi(v) = ^2m-r(x)h-r(y) (5)

г,J J 7 7

= ^ s⁷( x ) s⁷Q / ) (6)

7

= ^ 2 : -¹р⁷( ж ) р⁷(^?/ ) . (7)

7

Применение к формулам (5)-(7) инволюции, переставляющей элементарные и пол­

ные симметрические функции, позволяет получить следующие формулы:

Ц ( 1 + аэд) = ^т1(х)е1(у) = ^е1(х)т1(у) (8)

i,j 7 7

= 5^s

(a;)sy(2/) (9)

7

= ^ £72 ~ V y ( a ) p7( 2 / ) . (10)

7

Пространство интерполирующих функций определим с помощью базиса из мо- номиальных симметрических функций

P * = ( mA( r ) : A = (Ai,...,Af c), Ai < п - к, Y = {У1,... ,ук}).

Пусть для п = { 1 , . . . , п}

С(п,к) = {1:1 Си, \1\ = к}, I = {h,...,ik} £ С(п,к).

8 г. г. И Л Ь Ю Т А

Множество узлов интерполяции обозначим через

X = { жь. . . , жп} E С, Хгфх^ гфз,

Xl = {Жг1? • • • ,Xik}, Xij = {Жг,Жг+1, . . . , ^ j } , Х& = X\k = -Xjfe >

Аналогичные обозначения используются для У = {?/i, . . . , ^ } и ^ = {^i,..., ^ } . Для произвольных числовых множеств А, В пусть

ш{А,В)= f j (а -Ъ).

аеА,ьев

Через C Vm( F , X) обозначим матрицу Коши-Вандермонда. Строки этой мат­

рицы имеют вид

1 1 _ 1

J , г = 1 , . . . , п .

Xi -У1 Xi- у к

Известно и легко доказывается индукцией по п (вычитаем г-ю строку из осталь­

ных) , что

*

.-.<Г,Х)-<М>«*™. (11)

си [Л, У)

2. С и м м е т р и з а т о р Л а г р а н ж а — С и л ь в е с т р а . Симметрическим функци­

ям / от к переменных и д от п — к переменных симметризатор Лагранжа-Силь- вестра LS сопоставляет симметрическую функцию от п переменных [31], [33]:

L S ( /

'

^ * № , * n \ / ) •

Введем специальное обозначение для частного случая оператора LS - оператора разделенных разностей для симметрических функций (ниже увидим, что этот опе­

ратор вычисляет старший коэффициент интерполяционного полинома для функ­

ции / ) :

A$[f(Y)] = LS(f(Y),l).

Заметим, что любую симметрическую функцию g(Xⁿ\j) можно выразить через симметрические функции от X и Xj (обозначим такое представление через ~g{Xj)).

Достаточно найти представление для любого базиса в пространстве симметричес­

ких функций от Хп\х. Для базисов e\,h\, f\,m\,s\ это можно сделать с помощью известных формул [11]

ет(Х) = ^2 ep(Xi)e<i(Xn\i)i

p+q=m

h

(X)= J2 h

(X!)h

{X

),

p+q=m

Prn(X) = pm(Xi) + PmiXfi^),

m\ (X)= £ ш

( % а д ,

a+/3 = A

s

x(X) = Y^

x/i(X

)s

(X

\

).

7CA

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я ПО С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М ФУНКЦИЯМ 9

Это замечание позволяет свести симметризатор Лагранжа-Сильвестра к разде­

ленным разностям:

LS(f,g) = A^x[fg]. (12) Далее нам понадобится формула для разделенных разностей от функции Шура

(см. [10])

Ax [ s7] = s1_[n_k]k, 7 = (7ь---,7/с). (13) Эта формула является частным случаем следующей формулы [31], [33]:

^ VS( 7 b - - - , 7 f c ) 'S( M b - - - , M n - f c ) ) = S (7 l_n +f c). . .) 7 f c_n +f c) / X b. . .) / X f c) .

3. Классические интерполяционные формулы д л я одной перемен­

ной. Если в определении производной функции, являющейся пределом отношения приращения функции к приращению аргумента, не переходить к пределу, то по­

лучим разделенную разность функции. Кратные производные используются при разложении функции в ряд Тейлора. Соответствующее разложение функции в ряд по кратным разделенным разностям называется интерполяционным рядом Нью­

тона. Задача поиска частичных сумм ряда Ньютона известна как полиномиаль­

ная интерполяция функции. Решение этой задачи может быть представлено разны­

ми способами: частным двух определителей, рекуррентной формулой, контурным интегралом, кратным интегралом, значением кратной производной функции в про­

межуточной точке [1]. В настоящем пункте выпишем соответствующие формулы, а в следующем - обобщим их для симметрических функций.

Задача полиномиальной интерполяции функции f(y) состоит в поиске полинома Р^УХШУ) = А х ^ - ¹ ^ - ¹ + ••• + А^х[у]у + А^Х[1],

значения которого в точках из X совпадают со значениями функции / в этих точ-

Px[f](^Xi) = Д^жг), i = 1,...,П.

ках:

Задача сводится к решению линейной системы

^Ах[у3]х1 = f(xi), г = 1 , . . . , п .

3=0

Правило Крамера позволяет записать решение в следующем виде:

(14)

р

\П у

~

••• У 1 f(xi) хГ

j{xⁿ) х^п РУх1Я = _Vi(X)

. . . Х\ 1 1 0 у71-1

п - 1

/0*1) X?

j[xn) хп

у 1 Х\ 1

(15)

10 Г. Г. И Л Ь Ю Т А

Разложение по первому столбцу определителя в последней формуле приводит к интерполяционной формуле Лагранжа

^[/] = Е / ( ^ ) П ^ - (

)

1=1 гфз

Эта формула на самом деле принадлежит Е. Варингу и вновь открыта Эйлером в 1783 г. Публикация Лагранжа была в 1795 г. По-видимому, формула Лагранжа была известна еще Ньютону. Исторические ссылки можно найти в [4], [33].

Поскольку система (14) имеет единственное решение, то для полинома / степени меньше п справедлива формула

Pyxlf] = f-

Формула Лагранжа в этом случае равносильна разложению на простейшие дроби:

/Ы

у^ /fri) 1

Il?=i(v-Xi) ^iUj^i - XJ) у - ^Xi '

Из формулы Лагранжа для любых г, j легко следуют рекуррентные соотношения

D 5 m

(y-^)p

,jf]-(y-

)p

Af]

p

x[f} =

Ay \f]-Ay \f]

A^x[yⁿ-i] = A^x[f] = ^ХХЩ _ ^{X W} , (18)

Ju j Ju 2,

. . ^{p l} A^x\^Xi[yP-i]-A^x\ [yP-i]

AX[yp\ = 7 ^ —

Ju j Ju 2,

XiAx\Xi [yp] - XjAx\Xj [yp]

0<p<n-l, (19)

Jb q Jb 2,

A^x[1] = ^{X Л J} ° ^{X j L J} . (20)

Интерполяционные формулы Эрмита представляют разделенные разности, ин­

терполяционный полином и остаточный член интерполяционного ряда в виде кон­

турных интегралов. Предположим, что функция f(z) регулярна внутри простого контура С\ С С, охватывающего точки у, x i , . . . , х^п. Тогда

/ci ^Z~V u(z,X)

Эта формула доказывается прямым вычислением вычетов.

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я ПО С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М ФУНКЦИЯМ 11

Формулы (11), (15), (16), (21) позволяют по лучить представления для разделен­

ных разностей

*№

/On) < "2 ... хг 1

| J У%п) %п • • • хп 1

у f(xj) ⁼ 1 Г f(z)

rr[ Uj^i(xi - XJ) 2тгг J^Cl u(z,X) dz

dz

V¹(X)2mJ^Clf{z)

„n-2 Z — X\

dz z xⁿ

X\ 1

„ n - 2 • • • xn i

(22)

Формулы (16), (21) позволяют представить интерполяционный полином как раз­

деленную разность:

Р^Ух [Л = А х и , [(Ф, X)-^U(y, X))f(z)].

С помощью (18) нетрудно доказать интерполяционную формулу Ньютона [1]

f(y) = Y,^yxp[fMy,Xp-1) + Ayxuy[f]uj(y,X). (23)

P=I

Аналогично, с помощью (20) доказывается формула Ньютона для младшего коэф­

фициента интерполяционного полинома

п

xi • • • xnf(y) = у ^2(-1)р~1хр+1 • • • хпАХр[l]w(2/, Хр-г)

Р=1

+ (-1)пАХиу[1]ои(у,Х).

Разделенная разность может быть представлена в виде кратного интеграла [1].

Д л я Т = { ( t i , . . . ,tn) G Mn: J2~ti = 1? ^i ^ 0, i = 1 , . . . , n } имеем формулу

A^[/] = I / ^ - ^ ( t i r r i + • • • + tnxn) dt2 • • .dtn. (24) Предельным случаем оператора разделенных разностей (при совпадающих уз­

лах интерполяции) является оператор дифференцирования. Существует аналог для разделенных разностей формулы Лейбница производной произведения двух функций [38]:

^

[fg] = E

x

W

x\x

-№

P = I

И, наконец, приведем несколько формул, используемых при оценках остаточного члена интерполяционного ряда [1]:

|Ci| maxC l \f(z)\

| А^^{[ / ] К} 2тг m i n c X * , * ) ! ' fn-l(f)

Ах1Л= (n_ i ) ! > ^efmmari.maxrci], I d ,

|A^[/]| <

( n - 1 ) ! max | /( n - 1 )( s

m m a%- . m a x a%-

(26) (27) (28)

12 Г. Г. И Л Ь Ю Т А

4. Интерполяция д л я симметрических функций. Рассмотрим простра­

нство Р% симметрических полиномов от Y = {^д,... ,2//с}, степень которых по каждой переменной не превосходит п — к. Комбинаторный факт, лежащий в основе интерполяции симметрических функций по полиномам из Р ^ , состоит в том, что число элементов в С(п, к) = С% равно числу разбиений Л = ( A i , . . . , А&), Ai ^ п — к. Это использовалось в [10] при доказательстве интерполяционной формулы Лагранжа для симметрических функций. Базис в Р% образуют функции т\, и поэтому dim Р% = С%.

Пусть В^п'^к = {В^^к} - л ю б о й базис в Р%. Будем использовать, в основном, базисы {т\}, {ед/}, {s\}. Они связаны следующими матрицами перехода [11]:

{sx} = K{mx}, (29)

{еА,} = JKTJ{sx}, (30)

где J является инволюцией, переставляющей Аи У, а элементами матрицы К являются числа Костки. Если разбиения А взять в порядке, являющемся линей­

ным расширением доминантного частичного порядка (7 ^ А, если 71 + • • • + 7г ^ Ai + • • • + Xi для всех г), то матрицы К и JK^T J будут верхнетреугольными с еди­

ницами на диагонали [11].

Задача полиномиальной интерполяции обобщается для симметрических функ­

ций следующим образом [10]: найти полином

Р$Ш) = Y,Ax[B

>

]B

>

(Y) e рЦ, (31)

Л

значения которого в точках X / , / £ С(п, &), совпадают со значениями симметри­

ческой функции f(Y):

PxlfKXi) = f(Xi), IeC(n,k).

Задача сводится к решению линейной системы

52A

[BZ

]BZ

(X

) = f(X

), IeC(n,k). (32)

Л

Из формул (29), (30) вытекает, что для базисов {гад}, {еу}, {$\} определители матриц этих систем ( т д ( Х / ) ) , (ед/(Х/)), (s\(Xi)) (обобщения для симметричес­

ких функций определителя Вандермонда) совпадают.

Введем обозначение

V^k(X) = det(m^A(Xj)) = det(e^A/(X/)) = d e t ( *^A№ ) ) . Из формулы Зелевинского-Штурмфельса (см. далее § 2) вытекает, что

V^k(X) = (У1(Х))^С*=2 = Jlixi-Xjfn-l.

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я П О С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М Ф У Н К Ц И Я М 13

Отметим еще два способа доказательства этой формулы, обобщающие извест­

ные доказательства формулы для определителя Вандермонда. Во-первых, при­

менение (34) к базисным полиномам позволяет представить матрицы ( т д ( Х / ) ) , (ед/(Х/)), (s\(Xi)) в виде произведения треугольных матриц, определители ко­

торых легко вычисляются. Во-вторых, для каждой пары г, j , i ф j , существует CnZ_\ п аР I,Jt С(п, к), для которых г Е / , j Е J, / \ г = J \ j . Вычитая из строки с индексом / строку с индексом J, получим строку, все элементы которой делятся

Ск-1

на Xi — Xj, и поэтому определитель делится на (xi — Xj) n~2. Остается сравнить степени полиномов в левой и правой частях формулы.

Поскольку С^п_\ s-rn — k — l ^ ^

Сп-2 >т 0

V^k(X) = Vⁿ-^k(X) = d e t ( m^v( X^{w V}) ) = det(e^x(X^nV)) = det(^{e A},(*n\j))- Эти соотношения отражают двойственность альтернированных ориентированных матроидов Afc([n]) и Ап_^{\п\) [23]. При к = 1 получаем тождество (оно является также частным случаем формулы (59))

d e t ( eⁿ_ⁱ( X^{f i}\^j) ) = d e t ( ^ -ⁱ) .

Это тождество использовалось в [11] при доказательстве формулы Якоби-Труди.

Правило Крамера позволяет записать решение интерполяционной системы (32) в следующем виде:

P$[f] . . . Bnx'\Y) . . .

,n,/c

f(Xi)

pirn =

Bl>K(X!

detiB^iX!))

0 . . . B^k(Y)

f(Xj) . . . B^iXj) (33)

Мы не можем, как в случае одной переменной, сразу получить отсюда обобще­

ние формулы Лагранжа, поскольку не имеем формул для соответствующих опре­

делителей. В [10] обобщение формулы Лагранжа получено другим способом.

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1 [10]. Для симметрического полинома f(Y), у которого степень по каждой переменной не превосходит п — к, справедлива формула

f(Y)= Y, № :

iec(n,k)

"(Y,XnV)

^{Xi,Xn\j) (34)

Эта формула равносильна обобщению разложения дроби на простейшие для симметрических функций (формула (17)):

/СП

u(Y, X) ^ u(Xj, XnXI) u,{Y, Xj) •

14 г. г. И Л Ь Ю Т А

эп,к

Пусть разложение oo(Y, Xn\j) по базису Bn,k(Y) имеет вид

u(Y,X^nV) = £ с^л( Х^{я Х /}) В £ ' * ( У ) . (35) л

Тогда из формул (12), (34) вытекает, что

Л* [^БА ] = 2 ^ ,,,гу^г у _^{ч т}\ = LS(/,c^A) = А х [/ел].

iec(n,k)

Введем обозначения:

А = (п - к - Х^к,... ,п - fe - Ai), s^x = (_i)(^-^)fc-i:A^

С Л Е Д С Т В И Е 1. Справедливы формулы

Ах[тх] = eAL S ( / , ex) = exAx[fej], Ах[еу] = eAL S ( / , mr) = exAYx[fm^

Ax[sx] = exLS(f,sJI)=exAx[fsJ,].

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Заменяя в формулах (8), (9) yi на \jy% и домножая на Уг~^к '-Ук~^к, имеем

х

= ^ sAmA- i ( X ^7) ev( F ) = ^ sA^ ( X ^7) ,A( F ) .

Для небольшого упрощения формул до конца статьи мы используем базис В⁷¹' (возможно, с другими индексами), в котором

Я[

Д

(У) = 1/Г

• • • s/JT * = ™[»-ч* (У) = ^-щу (У) = v - ч * (У)

и полная степень любого другого полинома из базиса меньше (п — к)к. Для всех таких базисов коэффициент при В™' и]к^в интерполяционном полиноме Р£ [/] (об­

общение для симметрических функций разделенных разностей) один и тот же и со­

гласно формуле (34) совпадает с Д ^ [ / ] .

В следующем предложении собраны вместе формулы для Д ^ [/]. В определите­

лях (37), (38) предполагается, что столбцы, начиная со второго, отвечают разбие­

ниям А = ( A i , . . . , Afc), Ai ^ п — к, Х^к < п — к. В содержащих интегралы формулах предполагается, что симметрическая функция f{z\,..., z^) регулярна по zi внутри простого контура С^, охватывающего X UY,i = 1 , . . . , fc. Пусть

г г г (-i)

^ (1

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я ПО С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М ФУНКЦИЯМ

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2. Справедливы формулы

15

Д£[/]= Е №)

7eC(n,fc) 1

ш(Х/,Хйу7)

d e t ^ ^ X j ) )

/ № ) ... B^

№) ...

(_l)("-fc)fc

d e t ( B ^ " -f e( XR y) )

/№) ... в£"-*(х

)

= c

j ^f(Z)V?(Z)

LO(Z,X) dZ ( - l )G- cf c

Vi(X)

j f{Z)Vi{Z)

Xi - Zi

dz\

xi - zk

dzk

1 x^r

Xn Z\

Д > - о Д | [ ( - 1 ^ / ( ^

( г ) ] ;

1 xx . . . < -f c"1

~n —/c —1

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41) в частности, при п = к получаем обобщение для симметрических функций интегральной формулы Коши

f(X) =c

f ^f(Z)VHZ)

OJ(Z,X) dZ (42)

и для / = 1 получаем обобщение формулы (11) для определителя Коши-Ван- дермонда при к = 1

1

io{Y,Xj) B^nx>^k(Xj)

u(Y,X) (43)

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Формула (39) доказывается прямым вычислением выче­

тов. Формулы (Зб)-(38), (40), (41) вытекают из формул (11), (22), (33), (34).

В следующем предложении обобщаются интерполяционные формулы Ньюто­

на и Эрмита. (Предполагается, что в определителях (48), (49) столбцы, начиная со второго, отвечают разбиениям S = (Si,..., Sk—t), Si ^ к, S^—t < к.)

16 Г. Г. И Л Ь Ю Т А

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3. Справедливы формулы co(Z,X)-to(Y,X)f(Z)V?(Z)

Ск

1

= A^UY[(U(Z,X)-U(Y,X))f(Z)]

= f(Y)-u(Y,X)AXuY[f(z)]

" U~ ^} мес.пЛ) ^^XM^n\MMY^N,Y-^kXN) NeC(k,k-t)

= т ы г ¹ v ^p * ^kXN

' r ^ ^{) / ( r )} ]

*=1 NeC(k,k-t) к

= E(-!)

—

OJ(YN,Y, k\N)

(44) (45) f{XMyJYN) (46)

(47)

t = l det(B^ks'^k-\Y^N))

Yi

= E(-D

Px*N[<j(YN,YkXN)f(Y)]

( _ l ) ( f c - t ) t

B%'k-\YN) (48)

* + i i = l

n-1

det(Bk/(Y-k\N))

P^xkY, ^^N[u;(Y^N,Y-^kXN)f(Y)} _{В 5' (Yk\N)}

5>(У,Х

)с* I

p=0 •'

w(Z,xp)-u(Y,xp) f(Z)V?(Z)

LO(Z,Y) LO(Z,XP+1) dZ.

(49)

(50)

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Формула (46) доказывается прямым вычислением выче­

тов. Формулы (44), (45), (47)-(49) вытекают из формул предложения 2. Докажем формулу (50) (при к = 1 она сводится к интерполяционной формуле Ньютона (23)).

Слагаемое с индексом р в сумме (50) равно

oo(Y,Xp)AXpUY[f(Z)} - u(Y,Xp+1)A и поэтому (50) вытекает из формулы (45).

Опишем еще один способ обобщения интерполяционной формулы Ньютона (23).

По индукции легко доказывается формула

п - 1

1 и(у,Х^р) ш(у,Х) 1

Z~V t^viZ'Xp+i) u(z,X) z-y' Поэтому

p=0

к / n — 1

^ = П ( £

^ (Z'X) ijiiK^o u(zJ>XP+l) u(Zj,X) Zj -yi

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я ПО С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М ФУНКЦИЯМ 17 Умножим последнюю формулу на f(Z)V±(Z) и проинтегрируем обе части равен­

ства, используя формулу (42).

В следующем предложении обобщаются рекуррентные соотношения для интер­

поляционного полинома и разделенных разностей. Предполагается, что в опре­

делителях (51), (52) столбцы, начиная со второго, отвечают разбиениям \i — ( / i i , . . . , / ir) , \i\ ^ £ — r, \ir < t — г, а строки - г-подмножествам R фиксированного множества T G C(n,t). Далее v = (z/i,... ,vr), v\ < &, 17 = (fc — z /r, . . . , к — v{).

ЛЕММА 1. Справедливы формулы

( ^2(-l)^kr ^^Uis^vl(Y)s^u_y^t_^rY{X^T) для ecext,r,k, z^r

A%T[uj(Zr,Y)}

1, I 0,

t = r + k, t>r + k.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О следует из формул (9), (13).

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 4. Справедливы формулы

£ Рх

\л

RCT

W(XR,Y)

\KlJiL0(XR,XT\R)

Aet{B^^r{X^R)) (-l)C ^{t — r)r} d e t ( B ^ -r( ^ T \ K ) )

uj(XR,Y)P^R[f} ... B^{XR) ...

u{X^R,Y)pY[f] ... Ву-^г{Х^ТХК)

^n\RL

-sJY)

(51)

(52)

V У У У Г иы-т.и^х*^8^8»^

RCT v ip 7 \ ri,-, ± \n/

P$[f(Y)A%^T[u>(Z^r,Y)]] (53)

( J2(-1)kr~I2Vis-[t-rV(XT)P^[s17/(Y)f(Y)] dA*ecext,r,k,

РЕЯ

i o,

t = r + k, t>r + k.

В частности,

(-lf

у

(-1) кг

&^{Вг/{ХК)) А ^х д[ / ] ••• &*(XR) ...

18 Г. Г. И Л Ь Ю Т А

(_l\(k+t-r)r

A

W / ] •••

J (

т\я)

det(B^-r(XT\R)) AYx[f(Y)A%(Zr,Y)]

< Y;(-l)kr~^UiSv-[t-rY(XT)AYx[f{Y)sv,{Y)\ длявсех1,г,к,

A $ [ / ] , t = r + k,

t> r + k, и для t = г + к

ад^ЕЕиГ-'^l^

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Достаточно доказать равенство выражений (51) и (53), осталь­

ные утверждения вытекают из формул предложения 2 и леммы 1. Очевидно, что (51) является симметрическим полиномом от У и его степень по каждой переменной не превосходит п — к. Поэтому согласно предложению 1 достаточно доказать, что (51) и (53) совпадают в точках X / , / £ С(п, к). Из определения интерполя­

ционного полинома следует, что

^ ( ХЯ, Х7) Р ^Я[ / ] ( Х7) О, / П Л / 0 , u{XR,XI)f{XI), / П Д = 0 .

Поэтому (51) в точке Xj равно f(Xi)Axr [<jj(Zr,Xi)].

Формула (41) представляет разделенные разности для симметрических функций в виде композиции обычных разделенных разностей для функций от одной перемен­

ной. Это позволяет обобщить для симметрических функций многие другие форму­

лы интерполяции. В качестве примеров таких следствий формулы (41) приведем обобщения формул (24)-(28).

С Л Е Д С Т В И Е 2. Пусть

{ .7 = 1 >

г — 1 , . . . , к,

TiX = J2 UjXj, dTt = dti2 dti3 • • • dtin, dT = dTi • • • dTk.

Тогда

ДМ/]

(-i)

^«^...адйг.

•дуПк-

И Н Т Е Р П О Л Я Ц И Я ПО С И М М Е Т Р И Ч Е С К И М ФУНКЦИЯМ 19

С Л Е Д С Т В И Е 3. Справедливы формулы

A

[f-9] = (-D

^--E

x

х А у \ v о • • • о

( - D

* £ - - - £ A

х А ^{1/1 о ••• с}

P I

Axl, t / W ) ]

Ах^х [gV1{Y)\.

С Л Е Д С Т В И Е 4. Пусть I c M ; тогда существуют f i , . . . , 6 ; G [minX,maxX], дл^г которых

(-1)^2 ^ ^ - ^ ( / ( У ) ^²^ ) )

А^[/] = ,,71—1 О П - 1

2/l=£b.-.,2/fc=£fc

( ( п - 1 ) ! ) * ду^~1---дук

Из формул (39) и следствия 4 вытекают оценки для | А ^ [/] |.

С Л Е Д С Т В И Е 5. Справедливы оценки

\Ax[f}\ <

|Д£[/]| <

/ / -1 \ i\ ь niax

((П - 1 ) ! )к [ m i n X . m a x X ] *

a*("-

)(/(y)v

(r))

ад-

--ад-

| C i | - - - | Cf c| m a x c1x . . . x c J / ( ^ ) V1 2( Z ) |

(2ж)к minClx-xCkHZ,X)\ ' 5. Примеры. 1. Из формулы (1) следует, что

УГк • --УГ%(У) = °[п-к]ь(У)*>г(У) = sJ+[n_k]k(Y).

Поэтому, применяя формулу (13), имеем из (6)

I d , I c C .

Ах

п — к екУг UiekV

Hi,jek(l-ViZj)

- П г т

jG/c

(1-XiZj) (54)

(в [15] это тождество доказано индукцией по к). Домножая равенство (54) на П(1 — xiZj) и заменяя Zj на —Zj, имеем

*х

ilien-k,jek\^- + 2/*^')

l l i G n — /с "i п — к

(-1) (п — к)к п — к

П— *

Применяя тождества для разделенных разностей из п. 4, получаем следствия формул (13), (54), (55). Выпишем некоторые из этих следствий для формулы (13), для (54), (55) они получаются аналогично.