B ¨ol ¨um 6
Fourier Serileri
Fourier serileri [1],[2],[3],[5] gibi elemanter bir çok kaynakta kapsaml¬ ola- rak incelenmi¸stir. Bu çal¬¸smada mevcut kaynaklardan biraz daha farkl¬bir yakla¸s¬mla konuyu Sturm-Liouville problemleri ile olan yak¬n ili¸skilerini her a¸samada ve sürekli olarak vurgulamak suretiyle inceliyoruz. Böylece seçilen bir aral¬k ve periyotta, seri aç¬l¬mlar¬n¬n nas¬l elde edilebilece¼gini daha iyi bir biçimde kavram¬¸s olaca¼g¬z.
Önceki bölümde inceledi¼gimiz Peryodik Sturm-Liouville(PSL)veRegüler Sturm-Liouville(RSL) problemlerinin özfonksiyonlar¬n¬n "taml¬¼g¬" kriterinin pratik uygulamalarda Fourier serisi olarak bildi¼gimiz aç¬l¬mlar¬n gerçekle¸stir- ilebilmesine imkan sa¼glad¬¼g¬n¬ gözlemlemi¸stik. Bu bölümde ise verilen bir periyodik f fonksiyonun s¬ras¬yla
periyodik s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[ 1;1]aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayanPSLproblemi, Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[0;1]aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayan RSL problemi ve
Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬n¬[0;1] aral¬¼g¬üzerinde sa¼glayan RSL problemi- nin özfonksiyonlar¬n¬ lineer kombinasyonu olarak ifadelerinin s¬ras¬yla Fourier serisi,Fourier kosinüs serisi veFourier sinüs serisi olarak ad- land¬r¬ld¬¼g¬na dikkat çekiyor ve bu aç¬l¬mlarla da ilgili katsay¬lar¬n nas¬l hesapland¬¼g¬n¬inceliyoruz. Ayr¬ca
elde edilen seri aç¬l¬mlar¬n¬n yak¬nsad¬klar¬noktalar¬ve yak¬nsaman¬n düzgün veya noktasall¬¼g¬ hakk¬nda analiz gerçekle¸stiriyor ve gra…ksel sunumlarla elde edilen sonuçlar¬destekliyoruz.
Kompleks katsay¬l¬ ve reel katsay¬l¬ Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬n sadece farkl¬özfonksiyon seçimi sonucu olarak farkl¬gözüktüklerini ve aralar¬n- daki ili¸skileri inceliyoruz,
Gibbs olay¬ad¬verilen süreksiz nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬n ço¼gun- lukla do¼gru olsa bileher zaman gerçekle¸smesinin gerekmedi¼gine aitori- jinal örnekler olu¸sturuyoruz ve Maxima sembolik cebirsel yaz¬l¬m¬
deste¼gi ile sunuyoruz.
[ 1;1]aral¬¼g¬nda gerçekle¸stirdi¼gimiz aç¬l¬mlar¬n öncelikle[ b; b]aral¬¼g¬na(b >
0), ve ard¬ndan da key…[a; b]aral¬¼g¬na nas¬l genelle¸stirildi¼gini ilgiliPSL veRSLproblemleri yard¬m¬yla inceliyoruz.
6.1 Giri¸ s
TANIM 6.1. Tan¬m kümesindeki her x için f(x+p) = f(x) özelli¼gini sa¼glayan en küçükp > 0 say¬s¬na f nin periyodu ad¬verilmektedir.
Örne¼gin,
f(x) =sin(x) için
sin(x+p) = sin(x) = sin(x+ 2 ) olup,p= 2 dir.
f(x) =sin(2x)için
sin(2(x+p)) = sin(2x+ 2p) = sin(2x) = sin(2x+ 2 ) olup,p= dir.
f(x) =sin( x)için
sin( (x+p)) = sin( x+ p) = sin( x) = sin( x+ 2 ) olup,p= 2 dir.
Genelle¸stirecek olursak sin(kx) fonksiyonunun periyodu sin(k(x+p)) = sin(kx+kp) = sin(kx) = sin(kx+ 2 )
olup, p = 2k dir. Benzer biçimde cos(kx) fonksiyonunun da periyodu p= 2k d¬r.
TANIM 6.2. f fonksiyonunun herhangi bir süreksizlik noktas¬nda, sa¼g- dan ve soldan limitleri mevcut ve sonlu ise bu tür süreksizliklere s¬çramal¬
süreksizlik ad¬verilir.
Örne¼gin,
f(x) = 1; 1 x 0
1 0< x 1 (6.1)
fonksiyonux= 0 noktas¬nda s¬çramal¬süreksizli¼ge sahiptir, çünkü fonksiyo- nun süreksiz oldu¼gu bu noktada sa¼gdan ve ve soldan limitleri sonludur.
lim
x!0
f(x) = 1; lim
x!0+
f(x) = 1 Öte yandan
f(x) = 1
x 1 (6.2)
fonksiyonununx= 1 noktas¬ndaki süreksizli¼gi s¬çramal¬süreksizlik de¼gildir, çünkü bu noktada soldan ve sa¼gdan limitler sonlu de¼gildir:
lim
x!1
1
x 1 = 1; lim
x!1
1
x 1 =1
TANIM 6.3. Tan¬m kümesi içerinde en fazla sonlu say¬da s¬çramal¬süreksi- zli¼ge sahip olan fonksiyonlara parçal¬(piecewise) sürekli fonksiyon ad¬verilir.
Örne¼gin (6.1) ile tan¬mlanan fonksiyon parçal¬sürekli bir fonksiyon iken, (6.2) ile tan¬mlanan fonksiyon x= 1 noktas¬n¬içeren hiç bir aral¬kta parçal¬
sürekli de¼gildir.
TANIM 6.4. Kendisi parçal¬sürekli olan ve süreksizlik noktalar¬hariç türevi parçal¬sürekli olan fonksiyonlara parçal¬düzgün(smooth) fonksiyon ad¬ver- ilir.
¸
Sekil 6.1: Mutlak de¼ger fonksiyonu ve türevi.
Örne¼gin,
f(x) =jxj (6.3)
fonksiyonu sürekli ve
f0(x) = 1; 1 x <0
1 0< x 1 (6.4)
ise parçal¬ süreklidir. O halde (6.3) parçal¬ düzgün bir fonksiyondur, ¸Sekil 6.1.
ÖRNEK 6.1. ·I¸saret fonksiyonu olarak bilinen f(x) =
8<
:
1; x < 0 0; x= 0 1; x >0
(6.5) fonksiyonu s¬f¬r noktas¬n¬ içeren herhangi bir kapal¬[ a; a],a > 0 aral¬¼g¬nda parçal¬düzgün bir fonksiyon oldu¼gunu gösteriniz.
Çözüm.
I¸·saret fonksiyonunun [ 1;1] aral¬¼g¬ndaki gra…¼gi ¸Sekil 6.2 ile sunulmak- tad¬r.
I¸·saret fonksiyon sadece x= 0 noktas¬nda süreksiz olup lim
x!0 f(x) = 1; lim
x!0+f(x) = 1
sonlu limitlerine sahiptir. Dolay¬s¬yla fonksiyon parçal¬ süreklidir. Ayr¬ca s¬çramal¬ süreksizlik noktas¬ hariç her yerde türevi mevcut ve süreklidir, çünküf0(x) = 0;8x6= 0:
¸
Sekil 6.2: ·I¸saret fonksiyonun [-1,1] aral¬¼g¬ndaki gra…¼gi ÖRNEK 6.2.
f(x) = x1=4
funksiyonu heryerde sürekli ve fakat s¬f¬r noktas¬n¬ içeren hiç bir aral¬kta parçal¬düzgün de¼gildir.
Çözüm.
Fonksiyon gra…¼gi ¸Sekil 6.3 ile verilmektedir.
6.2 Periyodik Sturm-Liouville Problemi
Önceki bölümde Kanonik PSL problemi olarak adland¬rd¬¼g¬m¬z y00+ y = 0
y( 1) = y(1) (6.6)
y0( 1) = y0(1) probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬
0 = 0; u0 = 1=2; n= (n )2; un= cos(n x); n= 1;2; : (6.7)
vn = sin(n x); n= 1;2; : (6.8)
olarak elde etmi¸stik.
¸
Sekil 6.3: f(x) = x1=4 fonksiyonunun gra…¼gi.
Yukar¬daki incelememize göreun vevnfonksiyonlar¬n¬n periyodup= n2 dir. Ancak
f1=2;cos( x);sin( x);cos(2 x);sin(2 x); g (6.9) özfonksiyonlar kümesinin periyodu, ortak periyot olan2dir. Her pozitif say¬ sabit say¬n¬n periyodu oldu¼gu için 1=2 say¬s¬n¬n periyodunu da di¼gerleriyle ortak olan periyot, yani 2 olarak kabul ediyoruz.
Iddia.· (6.9) kümesi [ 1;1] aral¬¼g¬üzerinde ortogonal bir kümedir.
Ispat.· Öncelikle
sin(mx nx) = sinmxcosnx cosmxsinnx cos(mx nx) = cosmxcosnx sinmxsinnx aç¬l¬mlar¬ndan
cosmxcosnx = 1
2(cos(m+n)x+ cos(m n)x) sinmxsinnx = 1
2(cos(m n)x cos(m+n)x) sinmxcosnx = 1
2(sin(m+n)x+ sin(m n)x)
trigonometrik özde¸slikleri ve özel olarak
cos2(mx) = cosmxcosmx= 1
2(1 + cos(2mx)) sin2(mx) = sinmxsinmx= 1
2(1 cos(2mx)) özde¸slikleri hat¬rlayal¬m.
Bu özde¸slikler ve trigonometrik fonksiyonlar¬n integral kurallar¬ yard¬- m¬yla,
Z1 1
cos(n x)dx = sin(n x)n 1
1
= 0; n= 1;2;
Z1 1
sin(n x)dx= cos(n x)n
1
1 = 0; n = 1;2;
Yukar¬daki iki sonuç kümemizin ilk eleman¬olan1=2nin di¼ger her bir el- eman ile ortogonal oldu¼gunu gösterir. ¸Simdi s¬ras¬yla kosinüslü eleman- lar¬n kendi aralar¬nda, sinüslü elemanlar¬n kendi aralar¬nda ve ayr¬ca kosinüs ve sinüslü eleman ikililerinin ortogonal oldu¼gunu gözlemleyelim:
n; m2N ven 6=m için Z1
1
cos(m x) cos(n x)dx (6.10)
= 1 2
sin((m+n) x)
(m+n) + sin((m n) x) (m n)
1
1
!
= 0 n; m2N ven 6=m için
Z1 1
sin(m x) sin(n x)dx (6.11)
= 1 2
sin((m n) x) (m n)
sin((m+n) x) (m+n)
1
1
!
= 0
n; m2N ven 6=m için Z1
1
cos(m x) sin(n x)dx (6.12)
= 1
2
cos((m+n) x)
(m+n) +cos((m n) x) (m n)
1
1
!
= 0
n; m2N ven =m 6= 0 için Z1
1
cos(n x) sin(n x)dx= 1 2
cos2(n x) n
1
1
!
= 0 (6.13)
O halde (6.9) kümesi ortogonal bir kümedir.
Ayr¬ca
n; m2N ven =m 6= 0 için Z1
1
sin2(n x)dx = 2n x sin(2n x)+
4 n
1
1
!
(6.14)
= 1 n; m2N ven =m 6= 0 için
Z1 1
cos2(n x)dx = sin(2n x) + 2n x 4 n
1
1
!
(6.15)
= 1
elde ederiz.
6.3 Fourier serisi
Sturm-Liouville problemlerinin özfonksiyonlar¬n "taml¬k" özelli¼gi, özfonksiy- onlarla ayn¬periyoda sahip olan ve karesi integrallenebilenperyodik bir fonk- siyonun sözkonusu özfonksiyonlar¬n lineer kombinasyonu olarak ifade edilebile- ce¼gi anlam¬n¬ta¸s¬r.
Özel olarak KanonikPSL probleminin (6.9) ile verilen ve ortogonal olan özfonksiyonlar¬yard¬m¬yla, [ 1;1)aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬2 periyotlu bir f fonksiyonunu
f = X1 n=0
anun+ X1 n=1
bnvn
= 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x) + X1 n=1
bnsin(n x) (6.16) biçiminde ifade edebiliriz. Bu seriye f fonksiyonunun [ 1;1] aral¬¼g¬üzerin- deki Fourier aç¬l¬m¬veya Fourier serisi ad¬verilmektedir. Aç¬l¬mdaki reel
an; n= 0;1; ;bn = 1;2;
katsay¬lar¬na Fourier katsay¬lar¬ad¬verilmektedir:
Öncelikle ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n her iki yan¬n¬n [ 1;1] aral¬¼g¬üzerinde in- tegralini alarak ve yukar¬da ifade etti¼gimiz integral özelliklerininde ilk ikisini kullanarak
a0 = Z1
1
f(x)dx elde ederiz.
¸
Simdi seçilen bir n 1 için ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n her iki yan¬n¬ cos(n x) ile iç çarp¬m¬n¬alarak, (6.10)-(6.15) özellikler yard¬m¬yla
Z1 1
f(x) cos(n x)dx= Z1
1
ancos2(n x)dx=an elde ederiz.
Benzer biçimde seçilen bir n 1 için ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n her iki yan¬n¬
sin(n x) ile iç çarp¬m¬n¬alarak, (6.10)-(6.15) özellikleri yard¬m¬yla Z1
1
f(x) sin(n x)dx = Z1
1
bnsin2(n x)dx
= bn
elde ederiz. O halde ( 6.16) aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬n¬
an = Z1
1
f(x) cos(n x)dx; n = 0;1; (6.17)
bn = Z1
1
f(x) sin(n x)dx; n = 1;2; (6.18)
olarak elde ederiz.
ÖRNEK 6.3. [ 1;1)aral¬¼g¬ndaf(x) =x+ 1olarak tan¬ml¬p= 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬belirleyiniz.
Çözüm.
(6.16) ile
a0 = Z1
1
(x+ 1)dx= 2
ve k¬smi integrasyonla
an = Z1
1
f(x) cos(n x)dx
= Z1
1
(x+ 1) cos(n x)dx
= 1
n (x+ 1) sin(n x)
1
1
1 n
Z1 1
sin(n x)dx
= 1
n
cos(n x) n
1
1
= 0; n = 1;2;
elde ederiz. Benzer biçimde,
bn = Z1
1
f(x) sin(n x)dx
= Z1
1
(x+ 1) sin(n x)dx
= (x+ 1)
n cos(n x)
1
1
+ 1 n
Z 1 1
cos(n x)dx
= 2( 1)n+1 n elde ederiz.
O halde
fN = 1 2a0+
XN n=1
ancos(n x) +bnsin(n x)
= 1 + 2XN
n=1
( 1)n+1
n sin(n x)
¸
Sekil 6.4: Örnek 6.3 ile verilen f fonksiyonu veN = 5 içinfN k¬smi toplam¬.
aç¬l¬m¬n¬ elde ederiz. N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu(do¼grular) ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi(pembe e¼gri) ¸Sekil 6.4 ile verilmektedir.
ÖRNEK 6.4. Örnek 6.3 de verilen periyodik fonksiyonun [ 3;3] aral¬¼g¬n- daki parçal¬düzgün oldu¼gunu gösteriniz.
Çözüm.
¸
Sekil 6.4 deki do¼grular Örnek 6.3 ile verilen periyodik f fonksiyonu- nun [ 3;3] aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gini temsil etmektedir. f fonksiyonunun x = 1 ve x = 1 noktalar¬nda süreksiz oldu¼gu görülmektedir. Fakat bu noktalarda fonksiyon sonlu limit de¼gerlerine sahiptir:
lim
x! 1 f(x) = 2; lim
x! 1+f(x) = 0;
lim
x!1 f(x) = 2; lim
x!1+f(x) = 0:
Di¼ger tüm noktalarda f süreklidir. O haldef fonksiyonu [ 3;3] kapal¬ara- l¬¼g¬nda parçal¬süreklidir. f fonksiyonun [ 3;3] aral¬¼g¬ndaki türevi ise
f0(x) = 1; x2( 3;3)nf 1;1g
olarak tan¬mlan¬r. O halde f0 fonksiyonu [ 3;3] aral¬¼g¬nda f 3; 1;1;3g noktalar¬hariç her yerde süreklidir, dolay¬s¬ylafayn¬zamanda parçal¬düzgündür.
Öte yandan her N içinx= 1 vex= 1 noktalar¬nda fN(1) = 1 = fN( 1)
dir, dolay¬s¬syla
1 = lim
N!1fN(1) = 1 2 lim
x!1
f(x) + lim
x!1+
f(x) 1 = lim
N!1fN( 1) = 1
2 lim
x! 1
f(x) + lim
x! 1+
f(x) oldu¼gunu gözlemliyoruz. Bu sonuç genelde de do¼grudur.
TEOREM 6.1. Parçal¬sürekli ve süreksizlik noktalar¬hariç parçal¬ düzgün periyodik f fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬n k¬smi toplam¬fN ise her x noktas¬nda
lim
N!1fN(x) = f(x ) +f(x+) 2
dir, burada f(x ) ve f(x+) s¬ras¬yla x noktas¬ndaki soldan ve sa¼gdan lim- itlerdir. f fonksiyonu x noktas¬nda sürekli ise, bu limitler fonksiyonunun x noktas¬ndaki de¼gerine e¸sit olaca¼g¬ndan
Nlim!1fN(x) = f(x)
sa¼glan¬r ve bu yak¬nsama "noktasal yak¬nsama" olarak adland¬r¬l¬r.
O halde N nin artan de¼gerleri için, süreklilik noktalar¬nda fN (x) k¬smi toplam¬n¬n f(x) ’e yak¬nsamas¬n¬bekleriz. N = 50 için Örnek 6.3 ile veri- len f fonksiyonu(do¼grular) ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3] aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi(sürekli e¼gri) ¸Sekil 6.4 ile verilmektedir.
¸
Sekil 6.4, Teorem 6.1 ’i do¼grulamaktad¬r:
( 1;1) aral¬¼g¬nda f(x) = x+ 1 olup, bu aral¬ktaki her noktada artan N de¼geri için fN(x) > f(x) yak¬nsakl¬¼g¬n¬gözlemliyoruz.
2 birim periyotlu fonksiyonumuz ( 3; 1) aral¬¼g¬nda 2birim sola kay- d¬r¬larak (x+ 2) + 1 =x+ 3’e e¸sittir.
Ayr¬ca periyodik fonksiyonumuz (1;3) aral¬¼g¬nda 2 birim sa¼ga kay- d¬r¬larak (x 2) + 1 =x 1’e e¸sittir ve bu aral¬klarda da yak¬nsamay¬
gözlemliyoruz.
x= 1 noktas¬nda periyodik fonksiyonumuz sürekli de¼gildir.
f( 1 ) = lim
x! 1 f(x) = lim
x! 1 (x+ 3) = 2 f( 1+) = lim
x! 1 f(x) = lim
x! 1+(x+ 1) = 0 olup,
f( 1 ) +f( 1+)
2 = 1
elde ederiz. ¸Sekil 6.4 ile de bu sonucu gözlemliyoruz.
Benzer biçimde
f(1 ) = 2; f(1+) = 0;f( 1 ) +f( 1+)
2 = 1
olup, bu sonuç ¸Sekil 6.4 ile uyumludur.
ÖRNEK 6.5. [ 1;1) aral¬¼g¬nda
f(x) = 0; 1 x <0 1 0 x <1
olarak tan¬mlanan p = 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬
belirleyiniz Çözüm.
a0 = Z 1
1
f(x)dx= Z 1
0
dx= 1;
an = Z1
1
f(x) cos(n x)dx= Z1
0
cos(n x)dx= 0 ve
bn = Z1
1
f(x) sin(n x)dx= Z1
0
sin(n x)dx
= 1
n (cos(n x)j10) = 1
n (( 1)n 1) = 1 ( 1)n+1 n
¸
Sekil 6.5: Örnek 6.5 ile verilen f fonksiyonu ve N = 5 içinfN k¬smi toplam¬.
olup,
fN(x) = 1 2a0+
XN n=1
ancos(n x) +bnsin(n x)
= 1
2 + 1 XN
n=1
1 ( 1)n+1
n sin(n x) (6.19)
elde ederiz.
N = 5 için 2 periyotlu f fonksiyonu(mavi, ye¸sil, k¬rm¬z¬) ve fN k¬smi toplam¬n¬n[ 3;3]aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi(pembe) ¸Sekil 6.5 ile verilmektedir.
¸
Sekil 6.5 ile görülece¼gi üzere f fonksiyonu
[ 3; 2);[ 1;0);[1;2) aral¬klar¬üzerinde0 sabit de¼gerini almakta ve [ 2; 1);[0;1);[2;3)aral¬klar¬üzerinde 1 sabit de¼gerini almaktad¬r.
O halde fonksiyon parçal¬süreklidir, herhangi bir kapal¬aral¬ktaki sürek- sizlik noktalar¬ söz konusu aral¬k içerindeki tamsay¬lar kümesidir. O halde f fonksiyonu parçal¬süreklidir.
Ayr¬ca, süreksizlik noktalar¬hariç di¼ger her noktadaf türevlenebilirdir ve türevi de süreklidir çünkü sabittir. O halde fonksiyonun türevi de parçal¬ süreklidir. Dolay¬s¬yla f süreksizlik noktalar¬ hariç heryerde parçal¬düzgün bir fonksiyondur.
¸
Sekil 6.6: Örnek 6.5 ile verilen f fonksiyonu veN = 50içinfN k¬smi toplam¬.
N nin artan de¼gerleri için fN k¬smi toplam¬n¬n f ye yak¬nsamas¬n¬
bekleriz. N = 50 için Örnek 6.5 ile verilen f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n[ 3;3]aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.6 ile verilmektedir.
Ayr¬cançif t ile gösterece¼gimiz her çift tamsay¬için f(ncif t) = 0; f(n+cif t) = 1 olup, Teorem 6.1 gere¼gi
) lim
N!1fN(ncif t) = f(ncif t) +f(n+cif t) = 1
2 = 1
2 ntekt ile gösterece¼gimiz herhangi bir tek tamsay¬için
f(ntek) = 1; f(n+tek) = 0 Teorem 6.1 gere¼gi
lim
N!1fN(ncif t) = f(ntek) +f(n+tek)
2 = 1
2 elde ederiz.
Di¼ger noktalardaf süreklidir ve herhangi x2(ntek; nçif t) için lim
N!1fN(x)!f(x) = 0
ve herhangi x2(nçift; ntek) için
Nlim!1fN(x)!f(x) = 1 oldu¼gunu gözlemliyoruz.
ÖRNEK 6.6. [ 1;1) aral¬¼g¬nda
f(x) = 1 x2; x2[ 1;1)
ile tan¬mlanan p= 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belir- leyiniz
Çözüm.
Önceki örneklerimizin aksine bu kez periyodik fonksiyonumuz süreklidir.
a0 = Z 1
1
f(x)dx= Z 1
1
(1 x2)dx
= 2 Z 1
0
(1 x2)dx
= 2(x x3
3 )j10 = 4=3
Öncelikle k¬smi integrasyonla Z
xcos(n x)dx = n xsin(n x) + cos(n x) n2 2
Z
x2cos(n x)dx = (n2 2x2 2) sin(n x) + 2n xcos(n x) n3 3
integrallerini hesaplayal¬m. Bu durumda an =
Z1 1
f(x) cos(n x)dx
= Z1
1
(1 x2) cos(n x)dx
= 2 Z1
0
(1 x2) cos(n x)dx
= 2
n sin(n x) (n2 2x2 2) sin(n x) + 2n xcos(n x) n2 2
1
0
!
= 2
n ( 2n ( 1)n
n2 2 ) = 4( 1)n+1 n2 2 ve
bn = Z1
1
f(x) sin(n x)dx
= Z1
1
(1 x2) sin(n x)dx
= 0 elde ederiz. O halde
fN(x) = 1 2a0+
XN n=1
ancos(n x) +bnsin(n x)
= 2 3 + 4
2
XN n=1
( 1)n+1
n2 cos(n x) (6.20)
elde ederiz.
N = 5 için2periyotluf fonksiyonu vefN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3]aral¬-
¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.7 ile verilmektedir.
¸
Sekil 6.7: Örnek 6.6 ile verilen f fonksiyonu ve [ 3;3] aral¬¼g¬nda Fourier k¬smi toplam gra…¼gi.
Fonksiyon sürekli oldu¼gu için önceki örneklerde oldu¼gu üzere k¬smi toplam- lar gra…¼ginde s¬çramalar söz konusu de¼gildir. Ayr¬ca N = 5 için elde edilen Fourier k¬smi toplam gra…¼gi ve fonksiyon gra…¼gi, süreksizlik içeren örneklere k¬yasla tüm bölgede örtü¸smektedir. Bu davran¬¸s düzgün yak¬nsaman¬n tipik bir örne¼gidir.
Bu durumu izah edebilmek için a¸sa¼g¬daki teoremi inceleyelim:
TEOREM 6.2. Sürekli ve parçal¬düzgün periyodikf fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬n k¬smi toplam¬fN ise her x noktas¬nda
Nlim!1fN(x) = f(x) dir, ve bu yak¬nsama düzgündür.
Gerçekten deWeierstrass M-testi yard¬m¬yla Örnek 6.6 ile elde edilen fN k¬smi toplamlar dizisi düzgün yak¬nsakt¬r.
Hat¬rlatma 6.1. (Weierstrass M-testi): E¼ger bir küme üzerinde jun(x)j Mn
ve X
Mn
yak¬nsak bir say¬serisi ise bu taktirde Xun(x)
serisi söz konusu küme üzerinde düzgün yak¬nsakt¬r.
Örne¼gimiz için R de
( 1)n+1
n2 cos(n x) 1 n2 ve
X1 n=1
1 n2 =
2
6 (Euler say¬s¬)
yak¬nsak olup,fN(x) fonksiyonlar dizisi R üzerinde düzgün yak¬nsakt¬r, do- lay¬s¬yla
f(x) = 2 3 + 4
2
X1 n=1
( 1)n+1
n2 cos(n x) düzgün yak¬nsakt¬r.
Özel olarak herx2[ 1;1]için 1 x2 = 2
3 + 4
2
X1 n=1
( 1)n+1
n2 cos(n x) eldee ederiz. x= 0 için
1 = 2 3 + 4
2
X1 n=1
( 1)n+1 n2 veya
X1 n=1
( 1)n+1 n2 = 1
12
2
elde ederiz. Bu örnekten de görülece¼gi üzere Fourier serileri baz¬say¬ seri- lerinin yak¬nsad¬¼g¬de¼gerleri belirleyebilmektedir.
6.4 Tek ve çift fonksiyonlar ve Fourier serileri
A¸sa¼g¬daki kavramlar¬hat¬rlayal¬m:
Hat¬rlatma 6.2. E¼ger 8x2[ a; a] için f( x) =f(x);
ise f fonksiyonuna bu aral¬kta çift fonksiyon ve e¼ger 8x2[ a; a] için f( x) = f(x)
ise f fonksiyonuna söz konusu aral¬kta tek fonksiyon ad¬verilir.
Hat¬rlatma 6.3. E¼ger f fonsiyonu[ a; a] aral¬¼g¬nda çift ise Z a
a
f(x)dx= 2 Z a
0
f(x)dx (6.21)
sa¼glan¬r. Çünkü Z a
a
f(x)dx= Z 0
a
f(x)dx+ Z a
0
f(x)dx
e¸sitli¼ginde sa¼gdaki birinci integralde u = x dönü¸sümü yaparak, f nin çift oldu¼gunu ve kullanmak suretiyle
Z 0 a
f(x)dx =
Z 0 a
f( u)du
=
Z 0 a
f(u)du
= Z a
0
f(u)du
elde ederiz, burada son e¸sitlikte integral s¬n¬rlar¬n¬n yer de¼gi¸siminin, interar- ilin i¸saretinin de¼gi¸simine neden oldu¼gu kural¬n¬ kulland¬k. O halde f çift ise (6.21) kural¬n¬elde ederiz.
Hat¬rlatma 6.4. E¼ger f fonsiyonu[ a; a] aral¬¼g¬nda tek ise Z a
a
f(x)dx= 0 (6.22)
sa¼glan¬r. Çünkü Z a
a
f(x)dx = Z 0
a
f(x)dx+ Z a
0
f(x)dx
e¸sitli¼ginde sa¼gdaki birinci integralde u = x dönü¸sümü yaparak, f nin tek oldu¼gunu ve kullanmak suretiyle
Z 0 a
f(x)dx =
Z 0 a
f( u)du
= Z 0
a
f(u)du
=
Z a 0
f(u)du
elde ederiz, burada son e¸sitlikte integral s¬n¬rlar¬n¬n yer de¼gi¸siminin, interar- ilin i¸saretinin de¼gi¸simine neden oldu¼gu kural¬n¬ kulland¬k. O halde f tek ise (6.22) kural¬n¬elde ederiz.
Hat¬rlatma 6.5. Tek fonksiyonun integrali çift ve çift fonksiyonun integrali tek fonksiyondur.
Hat¬rlatma 6.6. Tek fonksiyon ile çift fonksiyonun çarp¬m¬tek, tek fonksi- yonla tek fonksiyonun çarp¬m¬çift fonksiyondur.
Sonuç 6.1. E¼ger f fonsiyonu [ a; a] aral¬¼g¬nda tek ise, cos(x) fonksiyonu çift oldu¼gu için, çarp¬mlar¬tek ve dolay¬s¬yla
an = Z1
1
f(x) cos(n x)dx= 0 d¬r.
Sonuç 6.2. E¼ger f fonsiyonu [ a; a] aral¬¼g¬nda çift ise, sin(x) fonksiyonu tek oldu¼gu için, çarp¬mlar¬tek ve dolay¬s¬yla
bn = Z1
1
f(x) sin(n x)dx= 0 d¬r.
O halde Örnek 6.6 ile bn =
Z1 1
(1 x2) sin(n x)dx= 0 oldu¼gunu integrali hesaplamadan da kolayca görebiliriz.
Sonuç 6.3. E¼ger f fonksiyonu tek ise ( 6.16) ile verilen Fourier aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬
an = 0; n = 0;1; (6.23)
bn = Z1
1
f(x) sin(n x)dx
= 2 Z1
0
f(x) sin(n x)dx; n= 1;2; (6.24) olarak elde ederiz.
Sonuç 6.4. E¼ger f fonksiyonu çift ise ( 6.16) ile verilen Fourier aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬
an = Z1
1
f(x) cos(n x)dx (6.25)
= 2 Z1 0
f(x) cos(n x)dx; n= 0;1;2;
bn = 0; n= 1;2; (6.26)
olarak elde ederiz.
ÖRNEK 6.7. [ 1;1) aral¬¼g¬nda
f(x) = x3; x2[ 1;1)
ile tan¬mlanan p= 2 periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belir- leyiniz ve[ 3;3]aral¬¼g¬nda Fourier k¬smi toplam gra…¼giniN = 5;50de¼gerleri için çiziniz. Teorem 6.1 yard¬m¬yla Fourier serisinin yak¬nsakl¬¼g¬n¬ara¸st¬r¬n¬z.
Çözüm.
f tek oldu¼gu için
an= 0; n= 0;1;2;
ve art arda k¬smi integerasyon yard¬m¬yla hesaplayabilirizbn leri hesaplaya- biliriz: Öncelikle
Z
xsin(n x)dx = sin(n x) n xcos(n x)
(n )2 ;
Z
x2sin(n x)dx = 2n xsin(n x) + (2 (n x)2) cos(n x)
(n )3 ;
Z
x3sin(n x)dx = (3n2 2x2 6) sin(n x) + (6n x n3 3x3) cos(n x) n4 4
integrallerinden(Al¬¸st¬rma 2), bn = 2
Z 1 0
x3sin(n x)dx
= 2( 1)n+1(n2 2 6) n3 3
= 2( 1)n+1( 1 n
6 n3 3) katsay¬lar¬n¬elde ederiz. O halde
f = X1 n=1
2( 1)n+1( 1 n
6
n3 3) sin(n x) elde ederiz.
N = 5 için2periyotluf fonksiyonu vefN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3]aral¬-
¼
g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.8 ile verilmektedir.
p = 2 periyotlu f fonksiyonu parçal¬ sürekli ve f0 de her tek say¬ hariç parçal¬süreklidir. O halde fonksiyonumuz Teorem 6.1 in hipotezlerini sa¼glar, dolay¬s¬yla her tek tamsay¬da Fouirer serisi her tek tamsay¬için
lim
N!1fN(ntek) = f(n+tek) +f(ntek)
2 = 1 + 1
2 = 0 ve di¼ger her bir nokta için
Nlim!1fN(x) = f(x)
dir.N = 50 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3]
aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.9 ile verilmektedir.
¸
Sekil 6.8: Örnek 6.7 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N=5) gra…¼gi
¸
Sekil 6.9: Örnek 6.7 ile verilen fonksiyonun ve Fourier serisi k¬smi toplam(N = 50) gra…¼gi.
Al¬¸st¬rmalar 6.1.
1. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n periyotlar¬n¬belirleyiniz (a) sin(3x)
(b) sin(2x+ 1) (c) cos(x=2 1) (d) e2ix; i=p
1
2. A¸sa¼g¬da verilen integralleri k¬smi integrasyon yard¬m¬yla hesaplay¬nz.
(a) Z
xcos(n x)dx (b) R
xsin(n x)dx (c) R
x2sin(n x)dx (d) R
x3sin(n x)dx (e)
Z
x2cos(n x)dx
3. A¸sa¼g¬daki verilen fonksiyon çiftlerinin[ 1;1]aral¬¼g¬nda ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.
(a)
f1;sin( x)g (b)
f1;cos( x)g (c)
fsin( x);sin(2 x)g (d)
fsin( x);cos( x)g (e)
fcos( x);cos(2 x)g
4. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen aral¬klar üzerinde parçal¬sürekli olup olmad¬klar¬n¬ara¸st¬r¬n¬z.
(a) f(x) = 1 x <0 1 x >0 (b) f(x) = sgn(x); 4< x <4
(c) f(x) = [x]; 4< x <4;[x] : tamde¼ger fonksiyonu olup [x] =fn:n x < n+ 1; n2Zg ile tan¬ml¬d¬r.
(d) f(x) = 1=x; 1< x <1
5. Soru4te verilen fonksiyonlar¬n parçal¬düzgün olup olmad¬klar¬n¬ara¸st¬r¬n¬z.
6. A¸sa¼g¬da verilen ve 2periyotlu olarak tan¬mlanan fonksiyonlar¬n[ 3;3]
aral¬¼g¬nda gra…klerini çiziniz (a) f(x) = 1 1< x <0
1 0< x <1 (b) f(x) = 0 1< x 0
2 0< x < 1 (c) f(x) = x; 1< x < 1 (d) f(x) = jxj; 1< x < 1
7. Soru 6 daki fonksiyonlar¬n [ 3;3] aral¬¼g¬ üzerindeki süreksizlik nokta- lar¬n¬belirleyiniz ve gra…k üzerinde i¸saretleyiniz.
8. Soru 7 de elde etti¼giniz süreksizlik noktalar¬ndaki sa¼gdan ve soldan lim- itlerini hesaplay¬n¬z
9. Soru 6 da verilen fonksiyonlar¬n Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z.
Tek veya çift fonksiyon aç¬l¬mlar¬nda sadece s¬f¬rdan farkl¬ katsay¬lar¬
hesaplay¬n¬z.
10. Soru 9 da elde etti¼giniz Fourier serilerinin süreksizlik noktalar¬nda hangi noktaya yak¬nsad¬¼g¬n¬ilgili teorem yard¬m¬yla belirleyiniz.
11. Soru 9 da elde etti¼giniz Fourier serilerinin[ 3;3]aral¬¼g¬nda gra…klerini çiziniz.
6.5 Kompleks katsay¬l¬Fourier aç¬l¬m¬
Esasen katsay¬lar¬n kompleks oldu¼gu e¸sde¼ger bir aç¬l¬m daha mevcuttur: (6.6) de
=k2; k > 0
biçiminde arad¬¼g¬m¬z özde¼geri denklemde yerine yazarak y00+k2y= 0
elde ederiz.
k 6= 0 için bu denklemin lineer ba¼g¬ms¬z kompleks çözümler kümesini, y=erx biçimde arayarak
r2+k2 = 0 denklemini sa¼glayan
r1 =ik; r2 = ik de¼gerleri ile
fer1x; er2xg= eikx; e ikx (6.27) dir. Buradan
y= keikx+ ke ikx genel çözümünü elderiz.E¼ger
k =kn=n ;1;2;
ise (6.6) ile verilen Periyodik s¬n¬r ¸sartlar¬n¬n sa¼glanmas¬için gerek ve yeter ¸sart
e ik eik = 0
sa¼glanmas¬d¬r(Al¬¸st¬rma). Bu kriter ise ancak ve ancak k = kn = n ; n= 1;2; olmas¬n¬gerektirir. O halde özfonksiyonlar¬m¬z (6.27) nin periyodik s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan kn=n de¼gerleri için
un =ein x; vn =e in x; n= 1;2; :::
olarak elde ederiz.
k= 0 için elde edece¼gimiz sabit çözümü bu kez1 alal¬m.
Bu durumda
1; ein x; e in x ; n= 1;2; (6.28) özfonksiyonlar kümesini elde ederiz. Bu kümenin periyodu da 2 ye e¸sittir.
Esasen reel elemanlardan olu¸san (6.9) kümesi kompleks elemanl¬(6.28) kümesinin elemanlar¬n¬n uygun bir lineer kombinasyonu ile elde edilen kümedir.
(6.28) kümesinin de[ 1;1]aral¬¼g¬üzerinde ortogonal oldu¼gunu kolayca görebiliriz(Al¬¸st¬rma 1),
Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlar kümesi olarak bu küme de tamd¬r. O halde verilen 2 periyotlu periyodik bir fonksiyonu
f = X1 n= 1
cnein x; cn2C (6.29)
olarak ifade edebiliriz. (6.29) un her iki yan¬n¬n seçilen bir n tamsay¬s¬
içinein x ile [ 1;1]üzerinde iç çarp¬m¬n¬alarak,
cn= 1 2 Z1
1
f(x)e in xdx
elde ederiz.
Reel ve kompleks Fourier katsay¬lar¬aras¬nda
an = 2 Re(cn); n = 0;1; (6.30) bn = 2 Im(cn); n = 1;2;
ba¼g¬nt¬s¬mevcuttur(Al¬¸st¬rma 2).
6.6 [0; 1) aral¬¼ g¬ üzerinde Fourier kosinüs ve sinüs serileri
f fonksiyonunun[0;1)aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs serisi y00+ y = 0
y(0) = y(1) = 0
Kanonik RSL probleminin özfonksiyonlar¬olarak belirledi¼gimiz yn = sin(n x); n= 1;2; :::
kümenintaml¬¼g¬n¬esas al¬r. Di¼ger bir deyimle bu fonksiyonlar kümesi2ortak periyoduna sahip vetek fonksiyonlar olduklar¬için
[ 1;1) aral¬¼g¬nda tek olan ve
ftek(x) = f(x) 0< x <1 f( x) 1< x <0 ile tan¬mlanan ftek fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬
ftek(x) = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x) +bnsin(n x)
= X1 n=1
bnsin(n x)
olarak ifade edilir, çünkü an = 0; n = 0;1; d¬r. ftek fonksiyonuna f nin [ 1;0) aral¬¼g¬na tek geni¸slemesi ad¬verilir.
ftek fonksiyonunun tan¬m¬gere¼gix2[0;1)için f(x) =
X1 n=1
bnsin(n x) (6.31)
dir ve
bn = 2 Z1
0
f(x) sin(n x)dx (6.32)
olarak elde ederiz. (6.31) serisine f ninFourier sinüs serisi ad¬verilir.
ÖRNEK 6.8.
f(x) = 2x+ 1; x2[0;1)
ile tan¬mlanan p= 2 periyotlu Fourier sinüs seri aç¬l¬m¬n¬belirleyiniz.
Çözüm.
bn = 2 Z1
0
f(x) sin(n x)dx
= 2 Z1
0
(2x+ 1) sin(n x)dx
= 2( 1 n
3( 1)n
n )
olup
f(x) = 2 X1
n=1
(1 3( 1)n)
n sin(n x) elde ederiz.
¸
Sekil 6.10 da f fonksiyonunun [0;1] aral¬¼g¬ üzerindeki gra…¼gi,f nin tek geni¸slemesinin[ 1;0]aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gi ve Fourier sinüs seri aç¬l¬m¬n¬n fN k¬smi toplam¬N = 10 için hesaplanarak sunulmaktad¬r.
Fonksiyonumuz Teorem 6.1 in hipotezlerini sa¼glamaktad¬r, o halde özel olarak her k tamsay¬için
f(k) = 0 = lim
N!1fN(k)
sa¼glanmal¬d¬r ki bu sonucun do¼grulu¼gu aç¬kça görülmektedir. Gra…¼gimiz de bu sonucu do¼grulamaktad¬r.
Benzer biçimde f fonksiyonunun [0;1) aral¬¼g¬üzerindeki Fourier kosinüs serisi
y00+ y = 0
y0(0) = y0(1) = 0
Kanonik RSL probleminin özfonksiyonlar¬olarak belirledi¼gimiz y0 = 1=2; yn= cos(n x); n= 1;2; :::
¸
Sekil 6.10: Örnek 6.8 ile verilen fonksiyon ve[ 1;0]aral¬¼g¬na çift geni¸slemesi ile[ 1;1]aral¬¼g¬üzerinde f10 k¬smi toplam¬
kümenintaml¬¼g¬n¬esas al¬r. Di¼ger bir deyimle bu fonksiyonlar kümesi2ortak periyoduna sahip veçift fonksiyonlar olduklar¬için
[ 1;1) aral¬¼g¬nda çift olan ve
fçift(x) = f(x) 0< x <1 f( x) 1< x <0 ile tan¬mlanan fçift fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬,
fçift(x) = 1 2a0 +
X1 n=1
ancos(n x) +bnsin(n x)
= 1 2a0 +
X1 n=1
ancos(n x)
olarak ifade edilir, çünkü bn = 0; n = 0;1; d¬r.fçift fonksiyonuna f nin [ 1;0] aral¬¼g¬na çift geni¸slemesi ad¬verilir.
fçift fonklsiyonunun tan¬m¬gere¼gi x2[0;1)için fçift(x) =f(x) dir ve dolays¬ylax2[0;1) için
f(x) = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x) (6.33)
dir ve
an = 2 Z1
0
f(x) cos(n x)dx; n= 0;1;2; (6.34) olarak elde ederiz.
ÖRNEK 6.9.
f(x) = 2x+ 1; x2[0;1)
ile tan¬mlanan p= 2 periyotlu Fourier cosinüs seri aç¬l¬m¬n¬belirleyiniz.
Çözüm.
Öncelikle Fourier cosinüs aç¬l¬m¬n¬n katsay¬lar¬n¬elde edelim:
a0 = 2 Z1
0
f(x)dx
= 2 Z1
0
(2x+ 1)dx= 2(x2+x 10)
= 4;
an = 2 Z1
0
f(x) cos(n x)dx
= 2 Z1
0
(2x+ 1) cos(n x)dx
= 4
n2 2(( 1)n 1) elde ederiz. O halde f
f(x) = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x)
= 2 + 4
2
X1 n=1
( 1)n 1
n2 cos(n x)
¸
Sekil 6.11: Örnek 6.9 ile verilen fonksiyon ve [-1,0] aral¬¼g¬na çift geni¸slemesi ile [-1,1] aral¬¼g¬üzerinde f10 k¬smi toplam¬
Fourier kosinüs aç¬l¬m¬n¬elde ederiz.
¸
Sekil 6.11 da f fonksiyonunun [0;1] aral¬¼g¬ üzerindeki gra…¼gi,f nin çift geni¸slemesinin[ 1;0]aral¬¼g¬üzerindeki gra…¼gi ve Fourier cosinüs seri aç¬l¬m¬n¬n fN k¬smi toplam¬N = 10 için hesaplanarak sunulmaktad¬r.
Çift geni¸slemenin sürekli ve parçal¬ düzgün oldu¼guna dikkat edelim. O halde Teorem 6.2 gere¼gince yak¬nsama her noktada ve düzgün olarak gerçek- le¸smelidir. Gerçekten de
( 1)n 1
n2 cos(n x) 2 n2
olup X1
n=1
2 n2 =
2
3 yak¬nsak oldu¼gundan
fN(x) = 2 + 4
2
X1 n=1
( 1)n 1
n2 cos(n x) herx için düzgün yak¬nsakt¬r. Özel olarakx= 0 için
f(0) = 1 = 2 + 4
2
X1 n=1
( 1)n 1 n2
veya X1 n=1
( 1)n 1
n2 =
2
4 sa¼glanmal¬d¬r.
Al¬¸st¬rmalar 6.2.
1. (6.28) kümesinin[ 1;1]aral¬¼g¬üzerinde ortogonal oldu¼gunu gösteriniz.
2. Reel ve kompleks Fourier seri aç¬l¬mlar¬n¬n katsay¬lar¬aras¬ndan (6.30) ile belirtilen ba¼g¬nt¬lar¬n geçerli oldu¼gunu gösteriniz.
3. A¸sa¼g¬daki ifadelerden hangisi yanl¬¸st¬r.
(a) f fonksiyonu tek ise Z1
1
f(x)dx= 2 Z1
0
f(x)dx
(b) Z1
1
cos(x)dx= 2 sin(1)
(c) Z1
1
cos( x)dx= 0
(d) Z1
1
cos(3 x)dx = 32 sin(3 )
4. f(x) = x; 1 < x < 1 ile tan¬mlanan 2 periyotlu fonksiyonun reel ve kompleks katsay¬l¬Fourier aç¬l¬mlar¬n¬hesaplay¬n¬z ve sonuçlar¬n¬z¬
kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.
5. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n[ 1;0]aral¬¼g¬na tek geni¸slemelerini elde ederek [ 1;1] aral¬¼g¬üzerindeki gra…klerini çiziniz.
(a) f(x) = x, 0< x <1
(b) f(x) = cos( x=2);0< x < 1 (c) f(x) = x2;0< x < 1
6. Soru 4 de verilen fonksiyonlar¬n [0;1] aral¬¼g¬ üzerindeki Fourier sinüs serilerini belirleyiniz.
7. Soru 4 de verilen fonksiyonlar¬n [ 1;1] aral¬¼g¬üzerindeki Fourier ser- ilerini belirleyiniz.
8. Soru 5 ve 6 daki cevaplar¬n¬z¬kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Ne gözlemliyorsunuz?
9. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n[ 1;0]aral¬¼g¬na çift geni¸slemelerini elde ederek [ 1;1] aral¬¼g¬üzerindeki gra…klerini çiziniz.
(a) f(x) =x, 0< x < 1
(b) f(x) = 0 0< x <1=2 x+ 1=2 1=2< x <1 ; (c) f(x) = 1 0< x <1=2
1=2 1=2< x <1
10. Soru 8 de verilen fonksiyonlar¬n[0;1]aral¬¼g¬üzerindeki Fourier kosinüs serilerini belirleyiniz.
11. Soru 8 de verilen fonksiyonlar¬n [ 1;1] aral¬¼g¬üzerindeki Fourier ser- ilerini belirleyiniz.
12. Soru 9 ve 10 daki cevaplar¬n¬z¬kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Ne gözlemliyorsunuz?
6.7 [ b; b] aral¬¼ g¬nda Fourier serisi
Önceki bölümde[ 1;1]aral¬¼g¬üzereinde gerçekle¸stirdi¼gimiz Fourier aç¬l¬m¬n¬
herhangi b >0 için[ b; b] aral¬¼g¬na genelle¸stirebiliriz. Bu kez y00+ y = 0
y( b) = y(b); (6.35)
y0( b) = y0(b)
ile verilen Periyodik Sturm-Liouville probleminin ortogonal olan özfonksiy- onlar¬olarak
u0 = 1=2;
un(x) = cos(n x=b); vn(x) = sin(n x=b); n = 1;2; (6.36)
kümesinin taml¬¼g¬ ile 2b periyotlu parçal¬ sürekli f fonksiyonunun Fourier aç¬l¬m¬n¬
f = 1 2a0 +
X1 n=1
ancos(n x
b ) +bnsin(n x
b ) (6.37)
olarak elde ederiz. [ 1;1]aral¬¼g¬üzerinde gerçekle¸stirdi¼gimiz i¸slemlere paralel olarak Fourier katsay¬lar¬n¬
Zb b
cos2(n x b )dx=
Zb b
sin2(n x
b )dx=b (6.38)
ba¼g¬nt¬s¬n¬kullanarak
a0 = Zb
b
f(x)u0(x)dx Zb
b
u20(x)dx
= 1 b Zb
b
f(x)dx
an = Zb
b
f(x)un(x)dx Zb
b
u2n(x)dx
= 1 b Zb
b
f(x) cos(n x
b )dx; n= 1;
veya
an = 1 b Zb
b
f(x) cos(n x
b )dx; n = 0;1; (6.39)
bn = Zb
b
f(x)vn(x)dx Zb
b
v2n(x)dx
= 1 b Zb
b
f(x) sin(n x
b )dx; n= 1;2; (6.40)
olarak elde ederiz ki bu aç¬l¬mfnin[ b; b]aral¬¼g¬ndaki Fourier seri aç¬l¬m¬d¬r.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — -H Özetle
[ b; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬2b periyotlu parçal¬sürekli f fonksiyonunun Fourier aç¬l¬m¬
f = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x
b ) +bnsin(n x
b ) (6.41)
olarak tan¬mlan¬r, burada
an = 1 b Zb
b
f(x) cos(n x
b )dx; n= 0;1; (6.42) ve
bn= 1 b Zb
b
f(x) sin(n x
b )dx; n = 1; (6.43) reel de¼gerli Fourier katsay¬lar¬d¬r.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —N
6.8 [0,b] aral¬¼ g¬nda Fourier sinüs ve kosinüs serileri
Önceki bölümde [0;1] aral¬¼g¬ üzereinde gerçekle¸stirdi¼gimiz Fourier sinüs ve kosinüs aç¬l¬m¬n¬herhangib >0için[0; b]aral¬¼g¬na genelle¸stirebiliriz. Bu kez
y00+ y = 0
y(0) = 0; y(b) = 0
ile verilen Regüler Sturm-Liouville problemini göz önüne alal¬m. Bu prob- lemin özfonksiyonlar¬[0; b] aral¬¼g¬nda ortogonal olan 2b periyotlu özfonksiy- onlar¬olan
fvn= sin(n x=b)g1n=1
olup, bu küme [0; b] aral¬¼g¬nda ortogonal bir kümedir ve ortak periyodu 2b dir.
Ayr¬ca önceki bölümde inceledi¼gimiz üzere bu küme tamd¬r: [0; b] aral¬¼g¬
üzerinde tan¬mlanan f fonksiyonu [ b;0] aral¬¼g¬na tek olarak geni¸sleterek elde edece¼gimiz 2b periyotlu parçal¬ sürekli ftek fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬
ftek(x) = X1 n=1
bnsin(n x b )
olarak elde ederiz.[0; b] aral¬¼g¬üzerinde ftek(x) = f(x) oldu¼gundan [0; b] üz- erinde
f = X1 n=1
bnsin(n x
b ) (6.44)
aç¬l¬m¬n¬elde ederiz ki bu aç¬l¬m f nin [0; b] aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs aç¬l¬m¬d¬r.
Ancak [0;1] aral¬¼g¬ üzerinde gerçekle¸stirdi¼gimiz i¸slemlere paralel olarak Fourier katsay¬lar¬n¬
Zb 0
cos2(n x b )dx=
Zb 0
sin2(n x
b )dx=b=2 (6.45)
ba¼g¬nt¬s¬n¬kullanarak(Al¬¸st¬rma 11)
bn = Zb
b
ftek(x)vn(x)dx Zb
b
vn2(x)dx
= 1 b Zb
b
ftek(x) sin(n x
b )dx; n = 1;2;
= 2 b Zb
0
ftek(x) sin(n x
b )dx; n = 1;2;
= 2 b Zb
0
f(x) sin(n x
b )dx; n = 1;2; (6.46) olarak elde ederiz.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —H Özetle
[0; b]aral¬¼g¬nda tan¬ml¬f fonksiyonununFourier sinüs aç¬l¬m¬
f = X1 n=1
bnsin(n x
b ) (6.47)
olarak tan¬mlan¬r, burada
bn = 2 b Zb
0
f(x) sin(n x
b )dx; n= 1;2; (6.48) ile verilen Fourier sinüs katsay¬lar¬d¬r.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —N Verilenf fonksiyonunun
¸
Sekil 6.12: Fourier sinüs aç¬l¬m¬için Maxima bloku
[0; b]aral¬¼g¬üzerinde Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n verilenN pozitif tamsay¬s¬
için k¬smi toplam¬n¬hesaplayarak [0; b] aral¬¼g¬üzerinde k¬smi toplam¬ile
[0; b] aral¬¼g¬üzerinde aral¬¼g¬nda fonksiyonun ve [ 1;0] aral¬¼g¬nda tek geni¸slemesinin gra…¼gini çizen Maxima bloku ¸Sekil 6.12 ile verilmektedir.
Benzer biçimde bu kez
y00+ y = 0
y0(0) = 0; y0(b) = 0
ile verilen Periyodik Sturm-Liouville problemini göz önüne alal¬m. Bu prob- lemin özfonksiyonlar¬
v0 = 1=2; vn = cos(n x=b); n= 1;2;
olup, bu küme [0; b] aral¬¼g¬nda ortogonal bir kümedir ve ortak periyodu 2b dir.
Ayr¬ca önceki bölümde inceledi¼gimiz üzere bu küme tamd¬r: [0; b] aral¬¼g¬
üzerinde tan¬mlanan f fonksiyonu [ b;0] aral¬¼g¬na çift olarak geni¸sleterek elde edece¼gimiz 2b periyotlu parçal¬ sürekli fçift fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬bu ortogonal kümenin elemanlar¬n¬n lineer kombinasyonu olarak
fçift(x) = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x b )
biçiminde ifade edebiliriz.[0; b] aral¬¼g¬ üzerinde fçift(x) = f(x) oldu¼gundan [0; b]üzerinde
f = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x
b ) (6.49)
aç¬l¬m¬n¬elde ederiz ki bu aç¬l¬mf nin [0; b] üzerindeki Fourier kosinüs aç¬l¬m¬d¬r.
[0;1] aral¬¼g¬ üzerinde gerçekle¸stirdi¼gimiz i¸slemlere paralel olarak (6.45) ba¼g¬nt¬s¬n¬kullanarak Fourier katsay¬lar¬n
an = Zb
b
fçift(x)un(x)dx Zb
b
u2n(x)dx
(6.50)
= 1 b Zb
b
fçift(x) cos(n x
b )dx; n = 0;1;2; (6.51)
= 2 b Zb 0
fçift(x) cos(n x
b )dx; n = 0;1;2; (6.52)
= 2 b Zb 0
f(x) cos(n x
b )dx; n = 0;1;2; (6.53) olarak elde ederiz.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —H Özetle
[0; b]aral¬¼g¬nda tan¬ml¬f fonksiyonununFourier kosinüs aç¬l¬m¬
f = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(n x
b ) (6.54)
ile tan¬mlan¬r, burada an = 2
b Zb
0
f(x) cos(n x
b )dx; n= 1;2; (6.55)
¸
Sekil 6.13: Fourier cosinüs aç¬l¬m¬için Maxima bloku ile tan¬mlanan Fourier kosinüs katsay¬lar¬d¬r.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —N ÖRNEK 6.10. Verilen f fonksiyonunun
[0; b] aral¬¼g¬üzerinde Fourier cosinüs aç¬l¬m¬n¬n verilen N pozitif tam- say¬s¬için k¬smi toplam¬n¬hesaplayarak
[0; b] aral¬¼g¬üzerinde k¬smi toplam¬ile
[0; b] aral¬¼g¬ üzerinde aral¬¼g¬nda fonksiyonun ve [ b;0] aral¬¼g¬nda çift geni¸slemesinin gra…¼gini çizen Maxima bloku ¸Sekil (6.13) ile verilmek- tedir.
6.9 [a; b] aral¬¼ g¬üzerinde Fourier serisi
Son olarak herhangi bir[a; b]kapal¬aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬parçal¬sürekli ve (b a) periyotlu f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬hesaplayal¬m.
Bu amaçla
y00+ y = 0 y(a) = y(b) y0(a) = y0(b)
periyodik Sturm-Liouville probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬na ihtiyac¬- m¬z olacak.
0 = 0 özde¼ger ve y0 = 1=2özfonksiyondur.
=k2; k >0 biçiminde özde¼ger arayal¬m.
y=cksin(kx) +dkcos(kx) çözümündeny(a) =y(b))
cksin(ka) +dkcos(ka) = cksin(kb) +dkcos(kb) veya
(sin(ka) sin(kb))ck+ (cos(ka) cos(kb))dk= 0 (6.56) elde ederiz.
y0 =kckcos(kx) kdksin(kx) deny0(a) = y0(b))
kckcos(ka) kdksin(ka) = kckcos(kb) kdksin(kb) veya
(cos(ka) cos(kb))ck+ (sin(kb) sin(ka))dk= 0 (6.57) elde ederiz. (6.56),(6.57) homojen bir lineer sistemdir ve s¬f¬rdan farkl¬
çözüme sahip olabilmesi için katsay¬matrisinin determinant¬s¬f¬ra e¸sit olmal¬d¬r:
det sin(ka) sin(kb) cos(ka) cos(kb)
cos(ka) cos(kb) sin(kb) sin(ka) = 0 )(sin(ka) sin(kb))2+ (cos(ka) cos(kb))2 = 0
)sin(ka) = sin(kb) ve cos(ka) = cos(kb) veya k=kn
knb =kna+ 2n )kn= 2n
b a; n= 1;2;
elde ederiz. O halde özde¼gerleri
n = 2n b a
2
; n = 0;1;2; :::
olarak elde ederiz. Özfonksiyonlar¬ ise
y=cksin(knx) +dkcos(knx) veya lineer ba¼g¬ms¬z alt küme olarak
un = cos(knx) = cos( 2n
b ax); n= 1;2;
vn = sin(knx) = sin( 2n
b ax); n= 1;2;
olarak elde ederiz.
Böylece [a; b] aral¬¼g¬üzerinde ortogonal olan 1=2;cos( 2
b ax);sin( 2
b ax);cos( 4
b ax);sin( 4
b ax); (6.58) kümesini eldederiz(Al¬¸st¬rma 12). Ortogonal olan bu kümenin ortak periyodub a d¬r.(6.58) kümesi tamd¬r, dolay¬s¬yla f nin Fourier serisi bu kümenin elemanlar¬n¬n lineer kombinasyonu olarak ifade edilir. Ayr¬ca
Zb a
cos( 2n
b ax)2dx= b a
2 (6.59)
dir.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —H Özetle
[a; b]aral¬¼g¬nda tan¬ml¬b a periyotlu parçal¬sürekli f fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬,(6.58) kümesi yard¬m¬yla
f = 1 2a0+
X1 n=1
ancos( 2n
b ax) +bnsin( 2n
b ax) (6.60) ile tan¬mlan¬r, burada
an = 2 b a
Zb a
f(x) cos( 2n
b ax)dx; n = 0;1; ; (6.61) bn = 2
b a Zb a
f(x) sin( 2n
b ax)dx; n = 1;2; (6.62) reel Fourier katsay¬lar¬d¬r.
Özel olarak a = 0 için [0; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬b periyotlu f fonksiyonun Fourier seri aç¬l¬m¬
f = 1 2a0+
X1 n=1
ancos(2n
b x) +bnsin(2n
b x) (6.63)
ile tan¬mlan¬r, burada
an = 2 b Zb
0
f(x) cos(2n
b x)dx; n= 0;1; (6.64) bn = 2
b Zb
0
f(x) sin(2n
b x)dx; n= 1;2; (6.65) reel Fourier katsay¬lar¬d¬r.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —N Uyar¬.
1. [0; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬f fonksiyonunun Fourier aç¬l¬m¬n¬n (6.64) ile verilen ankatsay¬lar¬ileffonksiyonunun[0; b]aral¬¼g¬üzerindeki Fourier cosinüs aç¬l¬m¬n¬n (6.55) ile verilen katsay¬lar¬n¬ kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.Farkl¬
olduklar¬na dikkat ediniz ve bu aç¬l¬mlar¬kar¬¸st¬rmay¬n¬z.
2. [0; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬f fonksiyonunun Fourier aç¬l¬m¬n¬n (6.65) ile verilen bnkatsay¬lar¬ilef fonksiyonunun[0; b]aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs aç¬l¬m¬n¬n (6.48) ile verilen katsay¬lar¬n¬ kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Farkl¬
olduklar¬na dikkat ediniz ve bu aç¬l¬mlar¬kar¬¸st¬rmay¬n¬z.
6.10 Gibbs olay¬
Verilen bir [a; b] aral¬¼g¬nda (b a) periyotlu fonksiyonun Fourier seri kat- say¬lar¬n¬sembolik cebirsel yaz¬l¬mlar yard¬m¬yla hesaplayabiliriz. Bu bölümde Maxima ortam¬nda tan¬mlanan fonksiyonun
belirtilen aral¬k üzerinde Fourier serisi katsay¬lar¬n¬hesaplayarak,
¸
Sekil 6.14: Verilen[a; b]aral¬¼g¬üzerinde Fourier seri katsay¬lar¬n¬vefN k¬smi toplam¬n¬hesaplayarak üç ard¬¸s¬k periyod üzerinde gra…¼gini çizer.
girilen N >0 içinfN k¬smi toplam¬ile
(b a) periyotlu fonksiyon ve fN toplam¬n¬n gra…¼gini [2a b;2b a]
aral¬¼g¬üzerinde çizdiren Maxima[6] bloku, ¸Sekil ( 6.14) ile verilmekte- dir
Yukar¬da verilen fourier bloku ile Örnek 6.5 ile verilen birim basamak fonksiyonunun Fourier katsay¬lar¬n¬ve gra…¼gini hesaplayal¬m.
Yukar¬daki ¸sekilde ve bu bölümdeki örneklerde Fourier serisi k¬smi toplam- lar gra…¼ginde gözlemledi¼gimiz süreksizlik noktalar¬ kom¸sulu¼gunda fonksi- yon de¼gerinden yukar¬veya a¸sa¼g¬do¼gru olu¸san s¬çramalar Fourier serilerinin genelde görülen bir olayd¬r veGibbs olay¬olarak bilinir. J.W. Gibbs taraf¬n- dan 1899 [4] y¬l¬nda vurgulanan bu özelli¼gi bu alt bölümde baz¬ örnekler üzerinde inceliyoruz.
Örnek 6.3 de verilen fonksiyonun Fouirer seri aç¬l¬m¬n¬n[ 3; 1]aral¬¼g¬n- daki yak¬nsakl¬¼g¬n¬yak¬ndan inceleyelim: A¸sa¼g¬daki tablonun
birinci sütununda k¬smi toplamda kullan¬lan N de¼geri verilmektedir.
ikinci sütununda N nin farkl¬ de¼gerleri için x = 3 noktas¬n¬ sol uç
nokta kabul eden ( 3; 2:9) kom¸sulu¼gunda minimum fN de¼gerleri verilmektedir.
üçüncü sütununda ise elde edilen minimum de¼gerlerin, bu kom¸suluktaki fonksiyon de¼gerininden yüzdelik dü¸sü¸s miktar¬verilmektedir.
dördüncü sütununda N nin farkl¬de¼gerleri için x = 1 noktas¬n¬sa¼g uç nokta kabul eden( 1:1; 1)kom¸sulu¼gunda maksimumfN de¼gerleri verilmektedir.
tablonun son sütununda ise elde edilen maksimum de¼gerlerin, bu kom¸su- luktaki fonksiyon de¼gerininden yukar¬do¼gru yüzdelik s¬çrama miktar¬
verilmektedir.
¸
Sekil 6.15: Örnek 6.3 için x = 3 noktas¬ kom¸sulu¼gunda N = 100 için Fourier k¬smi toplam¬.
N min(fN) dü¸sü¸s(%) max(fN) s¬çrama(%) x2( 3; 2:9) x2( 1:1; 1)
10 0:08664 0:0433 2:08669 0:0433
20 0:131 0:065 5 2:131 0:065 5
50 0:1578 0:078 9 2:159 0:0795
100 0:1685 0:084 25 2:1681 0:084 05
200 0:17335 0:08675 2:1675 0:08375
TablodanN in artan de¼geleri için süreksizlik nokta kom¸suluklar¬nda Fourier k¬smi toplam¬n¬n fonksiyon de¼gerini maximum nokta kom¸sulu¼gunda yak- la¸s¬k olarak %0:09 kadar ani s¬çramalar ile a¸st¬¼g¬n¬ gözlemliyoruz. Benzer biçimde minimum nokta kom¸sulu¼gunda ise Fourier k¬smi toplam¬n¬n benzer davran¬¸sla ve fonksiyon de¼gerinden benzer oranlarda dü¸sü¸s de¼gerler ald¬¼g¬n¬
gözlemliyoruz.
N = 100 için Örnek 6.3’e ait f100 k¬smi toplam¬n¬n x= 3 noktas¬sa¼g kom¸sulu¼gundaki gra…¼gi ¸Sekil 6.15 ile verilmektedir.
N = 100 için Örnek 6.3’e ait f100 k¬smi toplam¬n¬n x = 1 noktas¬sol kom¸sulu¼gundaki gra…¼gi ¸Sekil 6.16 ile verilmektedir.
Benzer durum, uç noktalarda periyodik geni¸sleme sonucu olu¸san sürek- sizlik noktalar¬nda de¼gil, ayn¬ zamanda göz önüne al¬nan aral¬kta mevcut sürekiszlik noktalar¬nda da geli¸sebilir. Bu amaçla Örnek 6.5’e x = 0 nok- tas¬kom¸sulu¼gunda yak¬ndan bakal¬m. ¸Sekil 6.17 ve 6.18 ile s¬ras¬yla Örnek 6.5 ’e ait Fourier k¬smi toplam¬n¬n N = 50 için s¬f¬r noktas¬n¬n sol ve sa¼g kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬gösterilmektedir.
Her iki örnekte de, süreksizlik noktas¬ kom¸sulu¼gunda Fourier k¬smi toplam¬ile fonksiyon de¼gerinde yakla¸s¬k olarak%0:09 kadar bir sapma gerçekle¸smektedir. Bu olay Gibbs olay¬olarak bilinir.
Süreksizlik noktas¬ kom¸sulu¼gunda genellikle gerçekle¸sen bu olay, her zaman gerçekle¸smez.
Fourier isimli maxima bloku ile Gibbs olay¬n¬n her süreksizlik nokta kom¸su- lu¼gunda gerçekle¸smeyebilece¼gine ait a¸sa¼g¬daki örnek üzerinde gözlemleyelim:
ÖRNEK 6.11.
f(x) = 1=10x+x2; x2[ 1;1]
f periyodik ve periyodu p = 2 fonksiyonunun Fourier seri aç¬l¬m¬n¬ belir- leyiniz.
Çözüm.
a0 = 2 3 an = 4( 1)n
n2 2
bn = (9n2 2 20)( 1)n 10n3 3
(11n2 2 20)( 1)n 10n3 3
N = 5 için2periyotluf fonksiyonu vefN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3]aral¬-
¼
g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.19 ile verilmektedir.
N = 50 için 2 periyotlu f fonksiyonu ve fN k¬smi toplam¬n¬n [ 3;3]
aral¬¼g¬nda çizilen gra…¼gi ¸Sekil 6.20 ile verilmektedir.
