Am n matrisinin sütun uzayı, A n sütunlarının doğrusal birleşiminden oluşan vektör uzayıdır ve bu uzay, Rm'nin bir alt uzayıdır. Amatrix'in sütun uzayında bir b vektörü varsa, o zaman b vektörü, A matrisinin sütunlarının doğrusal birleşimi olarak yazılabilir, yani x vektörü, Ax = b olacak şekilde mevcuttur, başka bir deyişle, Ax = b denklem sisteminin çözümü vardır. Dolayısıyla, herhangi bir b2R2, A n¬n sütunlarının doğrusal birleşimi, yani Ax biçiminde ifade edilebilir: Sonuç olarak, herhangi bir b2R2 için Ax=b denklem sisteminin bir çözümü vardır.
Eğer b vektörü A matrisinin sütun uzayındaysa ve A'nın sütunları doğrusal olarak bağımsızsa, Ax = b denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. b'nin kanıtı n¬n sütunluk uzayda bir A vektörü olduğundan, Ax = b denklemini karşılayan en az bir özel x = xo• çözümü vardır. Ann sütun uzayı, ikinci bileşeni birincinin iki katı olan bir noktalar kümesidir: Yani düzlemdeki y = 2x bağıntısıyla tanımlanan doğru üzerindeki noktalardan oluşur.
Ancak (7:2) ile tanımlanan A matrisinin sütunları doğrusal bağımlı olduğundan sonsuz sayıda çözüm vardır. E¼ger vektörü b, A matrisinin sütun uzayındaysa çözüm vardır, aksi durumda çözüm yoktur.
Ax = b için do¼ grudan çözüm yöntemleri
Üst üçgensel sistemler(geriye do¼ gru çözüm)
Son denklemden xn = bn=unn elde edip, bu değeri bir sonraki satırdaki denklemde yerine koyarak xn 1 değerini bulursunuz ve aynısı olur. U x=y denklem sistemini çözmek için 1. satırda 1 çarpma işlemi, 2. satırda n 2 çarpma işlemi ve 1. satırda n 1 çarpma işlemi yapılması gerekmektedir. Öte yandan bu çözme işleminde gerekli olan bölme işlemi sayısı her satırda 1 olmak üzere toplam n'dir.
Pivotsuz ve k¬smi pivotlu Gauss yok etme yön- temi ile çözüm
Yukarıda bahsedilen ilk adımı hiçbir satır veya sütunu hareket ettirmeden gerçekleştiren yok etme yöntemine Gauss döndürmesi olmayan yok etme yöntemi denir. Üst üçgen sistemini Gauss eliminasyonuna göre uyguladıktan sonra Algoritma 7.2 yardımıyla çözen engaussilecoz adlı program 7.3 aşağıda verilmiştir. Örnek 7.6'da verilen doğrusal sistemi, pivot olmayan Gauss yok etme yönteminin Program 7.2'sinin yardımıyla çözün.
Daha sonra 1'den n'ye kadar sayıların karelerinin toplamı formülü kullanılarak çarpma işlemlerinin sayısı uygulanır. Ayrıca bölme işlemi sayısı gerekiyorsa, eleme işlemi için gereken faktör sayısı da. Yani Ax= b sistemini Gauss eliminasyonuyla Ux = c sistemine dönüştürmek için gereken toplam çarpma ve bölme işlemleri sayısı. Diğer taraftan elde edilen ve 7.5 ile verilen Ux=c sisteminin çözümü için gereken işlem sayısının eklenmesiyle, Gauss eliminasyon yöntemiyle verilen denklem sisteminin çözümü için gereken işlem sayısı elde edilir.
Bu yönteme kısmi döndürmeli Gauss eliminasyonu adı verilir. Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi Ax =b denklem sisteminin LU ayrıştırması kullanılarak çözülmesi için Ly=balt üçgen ve U x=üst üçgen sistemlerin çözülmesi gerekmektedir. Ayrıca, gerekli bölme işlemlerinin sayısı, yukarıdaki eleme işlemi için gerekli olan faktörlerin sayısı ise.
Gauss eleme yöntemiyle çözüm için gerekli olan ve (7.7) ile verilen işlem sayısının, (7.11) ile verilen ve LU ayrışımıyla çözüm için gereken sayısal değere eşit olduğuna dikkat edin. Çözüm Gauss eleme yöntemiyle elde edilebilirken, LU ayrıştırma yönteminin neden gerekli olduğunu düşünebiliriz. Ancak Gauss eleme yöntemini uygulayacak olsaydık, değişen her değişken için eleme işlemini tekrarlamak zorunda kalırdık.
Ax=b denklem sisteminin PA=LU ayrıştırması ile döner Gauss eliminasyon yöntemiyle çözümü için Algoritma 7.4 aşağıda verilmiştir. Ann sütunları, dik (ortonormal) kümeyi sütun olarak kabul eden Gram-Schmidt kullanılarak ortogonize edilir. Dolayısıyla sistemin (7:12) çözümü üst üçgen sistemin (7.15) çözümüne indirgenir. Q matrisi (7.13)), A n-n doğrusal bağımsız sütunların Gram-Schmidt yöntemi kullanılarak dikleştirilmesiyle elde edilen vektörleri sütun olarak kabul eden matristir.
am n'nin sütunları doğrusal bağımsız bir matris ve bm'nin bir vektör olduğu Ax=b denklem sisteminin en küçük kareler çözümü olup, QR ayrıştırması ile elde edilen çözümler aynıdır. QR ayırma kullanarak çözüm için gereken işlem sayısını proje olarak okuyucuya bırakıyoruz (alıştırma(proje) 17). Aşağıda verilen kısmi döndürme ile Gauss yok etme yönteminin Program 7.7'sini çalıştırarak Örnek 7.14'te elde edilen sonuçları kontrol edin. a) A'nın dikleştirilmesiyle oluşturulan Q ve QTQ matrisini gs fonksiyon programını kullanarak hesaplayın.
Mutlak değer, en büyük özdeğer ile en küçük özdeğer arasındaki orandır. x'in bilinmemesi koşuluyla Ax = b denklem sistemi. a) Pivotsuz Gauss yok etme programı, (b) Kısmi pivotlu Gauss yok etme programı, (c) LU ayrıştırma yöntemi.
Yinelemeli(· Iteratif ) yöntemler
Gauss-Jacobi yöntemi
Yukarıda özetlenen prosedür takip edildiğinde, x = 1. Başlangıç tahmini x2 = 1 kullanılarak. Ondalık noktadan sonra dört haneye yuvarlandığında sunulan yaklaşık değerler aşağıdaki gibidir. Yukarıdaki sistemin iki satırının yerde çaprazlanmasıyla elde edilen x+ 4y+z = 1 ıraksak iterasyon yaklaşımlarını elde ederiz. Örnek 7.18 için kullanılan yöntem yakınsak sonuçlar verirken, Örnek 7.19 için denklem sistemindeki satırların serpiştirilmesiyle elde edilen ıraksak bir yaklaşım elde edilir.
O zaman akla gelen soru A-matris Gauss-Jacobi yineleme anahtarının hangi kısıtlama altında olduğudur. başlangıç noktasına yaklaşır. Bunun için aşağıda verilecek Teoremde belirtildiği ve kanıtlandığı gibi Amatrix'in köşegen baskınlığının, yani elemanın her köşegendeki mutlak değerinin aynı köşedeki diğer elemanların mutlak değerini aşması yeterlidir. sıra. değerlerinin toplamından büyüktür. A=gerA matrisi köşegen baskın bir matris ise Gauss-Jocobi yinelemeleri kullanılır. başlangıç noktasına yaklaşır. A matrisini üç matrisin toplamı olarak yazarak: alt üçgen, köşegen ve üst üçgen. Bu, şu şekilde ifade edilen sabit x noktasının belirlenmesi problemine dönüştürülebilir:
Böylece Gauss-Jacobi yönteminin sabit noktasını belirlemek için oluşturulmuştur. 7.18) ile tanımlanan vektör tabanlı Gauss-Jacobi yöntemi için Algoritma 7.7 aşağıda verilmiştir.
Gauss-Seidel Yöntemi
Buna göre, örnek 7.18'deki ile aynı başlangıç değeri ve aynı kapanış kriterleri için. Örneğimiz için, Gauss-Seidel yinelemeleri 10 adımda yakınlaşırken Gauss-Jacobi yinelemeleri 17 adımda yakınsar. Vektör Gauss-Seidel yönteminin algoritması ve ilgili programı Gauss-Jacobi yöntemine benzer şekilde geliştirilebilir (Alıştırma 8.
Yinelemeli Yöntemlerin Yak¬nsakl¬¼ g¬
Çapraz baskınlık kriteri Gauss-Jacobi veya Gauss-Seidel yinelemesinin yakınsaması için yalnızca yeterlidir, ancak gerekli değildir. Herhangi bir A3 3 matrisi ve b3 1 vektörü için yineleme (7.17) ve yinelemenin (??) eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bilgisayar Uygulamaları¬) Soru 1'de elde ettiğiniz yaklaşıklıkları Gauss_Jacobi programını kullanarak elde edin. İteratif yöntemlerde uygun bir tersinir B matrisi için Ax=b Bx+ (A B)x=b sistemi. a) B =Dolu ve olması durumunda elde edilen yöntemin Gauss-Jacobi yöntemi.
Proje: Modi…ye Thomas) Matris A. Şöyle yazın L'ler üçgen kısmın altında bulunan elemanlardır. onu içeren alt üçgen matristir ve U s, üç köşegen parçanın üzerindeki kısmı içeren üst üçgen matristir. Yöntemin her adımında Thomas algoritması. Üç köşegenli doğrusal sistemi aşağıdakileri kullanarak çözmesi gerektiğine dikkat edin: a) Yukarıda açıklanan algoritmayı ¬X =mthomas(A;b; X0) komutuyla uygulayan bir MATLAB/Octave programı hazırlayın.
