Lineer cebirsel sistemlere giris

(1)

Lineer cebirsel sistemlere giri¸s

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Eylül 2020

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 6 Eylül 2020 1 / 36

(2)

Lineer cebirsel sistemler

Bu bölümde

Ax=b denklem sistemini lineer cebirsel ve geometrik olarak inceliyoruz,

çözümünün varl¬k ve tekli¼gi ile birden fazla çözümün mevcut olmas¬ durumunda genel çözümün nas¬l ifade edilebilece¼gini inceliyoruz, çözümü sonlu say¬da aritmetik i¸slem ile elde eden ve

do¼grudan(direkt) yöntemler olarak bilinen yöntemleri özetliyoruz.

(3)

Lineer cebirsel sistemler

Bu bölümde

çözümünün varl¬k ve tekli¼gi ile birden fazla çözümün mevcut olmas¬

durumunda genel çözümün nas¬l ifade edilebilece¼gini inceliyoruz,

çözümü sonlu say¬da aritmetik i¸slem ile elde eden ve

(4)

Lineer cebirsel sistemler

Bu bölümde

çözümünün varl¬k ve tekli¼gi ile birden fazla çözümün mevcut olmas¬

durumunda genel çözümün nas¬l ifade edilebilece¼gini inceliyoruz, çözümü sonlu say¬da aritmetik i¸slem ile elde eden ve

(5)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A matrisi ile x vektörünün çarp¬m¬, A matrisinin sütunlar¬n¬nx vektörünün bile¸senleri ile olu¸sturulan lineer bile¸simi(kombinasyonu) dir.

Örne¼gin

A= ^{1 2}

3 4 (1)

matrisi vex= ^x

y vektörü için Ax= ^{1 2}

3 4 x

y = ^x+2y

3x+4y =x 1

3 +y 2

4 olarak ifade edilebilir.

(6)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A matrisi ile x vektörünün çarp¬m¬, A matrisinin sütunlar¬n¬nx vektörünün bile¸senleri ile olu¸sturulan lineer bile¸simi(kombinasyonu) dir.

Örne¼gin

A= ^{1 2}

3 4 (1)

matrisi vex= ^x

y vektörü için Ax= ^{1 2}

3 4 x

y = ^x+2y

3x+4y =x 1

3 +y 2

4 olarak ifade edilebilir.

(7)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Hat¬rlatma Am n matrisinin sütun uzay¬,A n¬n sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi ile olu¸sturulan vektör uzay¬d¬r ve bu uzay R^m in bir alt uzay¬d¬r.

O haldeAx vektörüA matrisinin sütun uzay¬n¬n bir eleman¬d¬r. Ayr¬ca,A matrisi vex sütun vektörünün çarp¬m¬sonucunda olu¸san y=Ax vektörünün her bir bile¸seni, An¬n her bir sat¬r vektörü ile x= [x₁,x2, ,xn]^T sütun vektörünün skaler çap¬m¬oldu¼guna dikkat edelim. y=Ax vektörünün i inci bile¸seni

y(i) = ai1x1+ai2x2+ +ainxn

=

∑

n j=1

A(i,j) x(j),i =1,2, ...,m

olarak ifade edilir ve a¸sa¼g¬daki y¬¼gmal¬toplam ile hesaplanabilir:

(8)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

O haldeAx vektörüA matrisinin sütun uzay¬n¬n bir eleman¬d¬r.

Ayr¬ca,A matrisi vex sütun vektörünün çarp¬m¬sonucunda olu¸san y=Ax vektörünün her bir bile¸seni, An¬n her bir sat¬r vektörü ile x= [x₁,x2, ,xn]^T sütun vektörünün skaler çap¬m¬oldu¼guna dikkat edelim. y=Ax vektörünün i inci bile¸seni

=

∑

n j=1

A(i,j) x(j),i =1,2, ...,m

(9)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

O haldeAx vektörüA matrisinin sütun uzay¬n¬n bir eleman¬d¬r.

Ayr¬ca,A matrisi vex sütun vektörünün çarp¬m¬sonucunda olu¸san y=Ax vektörünün her bir bile¸seni, An¬n her bir sat¬r vektörü ile x= [x₁,x2, ,xn]^T sütun vektörünün skaler çap¬m¬oldu¼guna dikkat edelim. y=Ax vektörünün i inci bile¸seni

=

∑

n j=1

A(i,j) x(j),i =1,2, ...,m

(10)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m

top=0; for j =1:n

top=top+A(i,j) X(j); end

Y(i) =top; end

(11)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m top=0;

for j =1:n

Y(i) =top; end

(12)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m top=0;

for j =1:n

Y(i) =top; end

(13)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m top=0;

for j =1:n

top=top+A(i,j) X(j);

end

Y(i) =top; end

(14)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m top=0;

for j =1:n

Y(i) =top; end

(15)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m top=0;

for j =1:n

Y(i) =top;

end

(16)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m top=0;

for j =1:n

Y(i) =top;

end

(17)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Yukar¬da tan¬mlananskaler cebirsely¬¼gmal¬toplam,

MATLAB/Octave ortam¬ndavektör cebiri yard¬m¬yla daha pratik bir biçimde hesaplanabilir.

Burada skaler cebirsel i¸slem ile skalerler üzerindeki aritmetik i¸slemleri, vektör cebirsel i¸slem ile de vektörler üzerindeki cebirsel i¸slemleri kastediyoruz.

A(i,:)ileA matrisinini inci sat¬r vektörünü gösterelim. x bir sütun vektörü olmak üzere, y=Ax çarp¬m vektörünün her bir bile¸seni vektörel iç çarp¬m ile

y(i) =A(i,:) x, i =1,2, ...,m

olarak elde edilir ve bu i¸slem MATLAB/Octave ortam¬nda vektör cebirsel i¸slemler yard¬m¬yla a¸sa¼g¬daki gibi gerçekle¸stirilebilir:

(18)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A(i,:)ileA matrisinini inci sat¬r vektörünü gösterelim. x bir sütun vektörü olmak üzere, y=Ax çarp¬m vektörünün her bir bile¸seni vektörel iç çarp¬m ile

y(i) =A(i,:) x, i =1,2, ...,m

(19)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A(i,:) ileA matrisinini inci sat¬r vektörünü gösterelim. x bir sütun vektörü olmak üzere, y=Ax çarp¬m vektörünün her bir bile¸seni vektörel iç çarp¬m ile

y(i) =A(i,:) x, i =1,2, ...,m

(20)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A(i,:) ileA matrisinini inci sat¬r vektörünü gösterelim. x bir sütun vektörü olmak üzere, y=Ax çarp¬m vektörünün her bir bile¸seni vektörel iç çarp¬m ile

y(i) =A(i,:) x, i =1,2, ...,m

(21)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m

Y(i) =A(i,:) x; end

Gözlem:

Vektör cebiri yard¬m¬yla, skaler cebirsel i¸slemde gerekli olan iç içe for döngüsü yerine, ayn¬i¸slemin tek bir döngü ile gerçekle¸stirilebildi¼gine dikkat edelim.

(22)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m

Y(i) =A(i,:) x;

end Gözlem:

(23)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m

Y(i) =A(i,:) x;

end

Gözlem:

(24)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

for i =1:m

Y(i) =A(i,:) x;

end Gözlem:

(25)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Alternatif olarak, matris-vektör çarp¬m¬MATLAB/Octave ortam¬nda

y=A x

olarak tan¬mlan¬r ve çap¬m vektörünün i inci eleman isey(i)dir.

(26)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Alternatif olarak, matris-vektör çarp¬m¬MATLAB/Octave ortam¬nda y=A x

olarak tan¬mlan¬r ve çap¬m vektörünün i inci eleman isey(i)dir.

(27)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Ax=b denklem sisteminin sütunlar¬na bak¬ld¬¼g¬nda lineer cebiri, sat¬rlar¬na bak¬ld¬¼g¬nda ise geometriyi görürüz. Bu tesbit Gilber Strang’a[8] aittir.

Öncelikle denklem sistemini lineer cebirsel aç¬dan inceleyelim: E¼ger bir bvektörü Amatrisinin sütun uzay¬nda ise, bu taktirde b vektörü, Amatrisinin sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi olarak yaz¬labilir, yani Ax=b e¸sitli¼gi sa¼glanacak biçimde x vektörü mevcuttur,

di¼ger bir de¼gimle,Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir. Öte yandan, e¼ger Ax=bdenklem sistemi bir çözüme sahipse, b vektörü Amatrisinin sütun uzay¬ndad¬r: O halde

Ax=b denklem sisteminin çözümünün var olmas¬için gerek ve yeter

¸

sart b vektörünün A matrisinin sütun uzay¬nda yer almas¬d¬r.

(28)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Öncelikle denklem sistemini lineer cebirsel aç¬dan inceleyelim:

E¼ger bir bvektörü Amatrisinin sütun uzay¬nda ise, bu taktirde b vektörü, Amatrisinin sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi olarak yaz¬labilir, yani Ax=b e¸sitli¼gi sa¼glanacak biçimde x vektörü mevcuttur,

¸

(29)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

¸

(30)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

di¼ger bir de¼gimle,Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir.

Öte yandan, e¼ger Ax=bdenklem sistemi bir çözüme sahipse, b vektörü Amatrisinin sütun uzay¬ndad¬r: O halde

¸

(31)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Öte yandan, e¼ger Ax=bdenklem sistemi bir çözüme sahipse, b vektörüA matrisinin sütun uzay¬ndad¬r: O halde

¸

(32)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Öte yandan, e¼ger Ax=bdenklem sistemi bir çözüme sahipse, b vektörüA matrisinin sütun uzay¬ndad¬r: O halde

¸

(33)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Örnek

A= ^{1 2}

3 4

matrisinin sütunlar¬lineer ba¼g¬ms¬zd¬r(Vektörlerden birisi di¼gerinin s¬f¬rdan farkl¬bir sabit kat¬de¼gildir).

O halde A n¬n sütun vektörleri R² nin bir taban¬n¬olu¸sturur. Dolay¬s¬yla herhangi b2^R², A n¬n sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi, yani Ax biçimde ifade edilebilir:

Sonuç olarak herhangi b2^R² ^{için Ax}=b denklem sistemi çözüme sahiptir.

(34)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Önerme

E¼ger bvektörü A matrisinin sütun uzay¬nda yer almakta ve A n¬n sütunlar¬

lineer ba¼g¬ms¬z ise bu taktirde Ax=b denklem sistemi tek bir çözüme sahiptir.

(35)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Ispat y· 6=x olmak üzereAy=b oldu¼gunu kabul edelim, di¼ger bir deyimle y de bir di¼ger çözüm olsun. Bu taktirde

Ax = b

Ay = b

denklem sistemlerinin taraf tarafa fark¬n¬alarak z=x y6=0 olmak üzere

Az=0

elde ederiz ki bu sonuç Amatrisinin sütunlar¬n¬n lineer ba¼g¬ms¬z olmas¬yla çeli¸sir. O halde birden fazla çözüm kabulümüz yanl¬¸st¬r.

(36)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Sonuç:

E¼ger bvektörü Amatrisinin sütun uzay¬nda ve An¬n sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬iseAx=bdenklem sistemi sonsuz say¬da çözüme sahiptir.

(37)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

·Ispat b vektörüA n¬n sütun uzay¬nda oldu¼gundan Ax=bdenklemini sa¼glayan en az bir x= xo_¨ özel çözümü mevcuttur. Öte yandanA n¬n sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬oldu¼gundan, A matrisinin s¬f¬r uzay¬bo¸stan farkl¬d¬r. f^x¹^,^x²^{, ...,}^x^kg^,(k 1)kümesiA matrisinin s¬f¬r uzay¬n¬n bir taban¬olsun. Bu taktirde

x_h =c1x1+c2x2+...+c_kx_k,ci 2^R

Ax=0 homojen sisteminin genel çözümüdür ve homojen olmayan sistemin çözümüx=x_h+x_o_¨ biçimindedir.

Buradan sonsuz say¬da çözüm oldu¼gu aç¬kt¬r.

(38)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(39)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(40)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Örnek

A= ^{1 2}

2 4 ,b= ³ 6 için Ax=b denklem sisteminin çözümünü irdeleyiniz.

(41)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Aç¬kçaA matrisinin sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬d¬r.

An¬n sütun uzay¬ikinci bile¸seni birincisinin 2 kat¬olan noktalar kümesidir: Yani düzlemdey =2x ba¼g¬nt¬s¬ile tan¬mlanan do¼gru üzerindeki noktalardan olu¸sur.

b deAn¬n sütun uzay¬nda yani y =2x do¼grusu üzerinde yer al¬r. O halde x= [x,y]^Tiçin Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir. Standart yok etme i¸slemi ile

x+2y = 3 2x+4y = 6 danx+2y =3 veya y = (x 3)/2 elde ederiz

(42)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

b deAn¬n sütun uzay¬nda yani y =2x do¼grusu üzerinde yer al¬r. O halde x= [x,y]^Tiçin Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir. Standart yok etme i¸slemi ile

(43)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

b de An¬n sütun uzay¬nda yani y =2x do¼grusu üzerinde yer al¬r.

O halde x= [x,y]^Tiçin Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir. Standart yok etme i¸slemi ile

(44)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

O halde x= [x,y]^Tiçin Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir.

Standart yok etme i¸slemi ile

(45)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

O halde x= [x,y]^Tiçin Ax=b denklem sistemi çözüme sahiptir.

Standart yok etme i¸slemi ile

x+2y = 3 2x+4y = 6 danx+2y =3 veyay = (x 3)/2 elde ederiz

(46)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Bu durumda sonsuz say¬da noktadan olu¸san çözüm kümesi

x = ^x

y = ^x

(x 3)/2

= x 1

1/2 + ⁰

3/2 ,x 2^R

= x_h+x_o_¨

biçiminde iki bile¸senden olu¸smaktad¬r.

(47)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Bu durumda sonsuz say¬da noktadan olu¸san çözüm kümesi

x = ^x

y = ^x

(x 3)/2

= x 1

1/2 + ⁰

3/2 ,x 2^R

= x_h+x_o_¨

biçiminde iki bile¸senden olu¸smaktad¬r.

(48)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Burada

x_h =c 1

1/2 ,c 2^R

Ax=0 homojen sisteminingenel çözümü, yani An¬n s¬f¬r uzay¬ndaki noktalar kümesi ve

x_o_¨ = ⁰ 3/2

ise Ax=bnin c =0 skalerine kar¸s¬l¬k gelen birözel çözümüdür.

(49)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Örnek

A= 2 4

3 2 1

1 1 2

2 1 4

3 5

ile verilen A matrisi ve herhangib2^R³ ^{için Ax}=bdenklem sisteminin çözümünü irdeleyiniz.

(50)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A matrisinin sütunlar¬lineer ba¼g¬ms¬zd¬r (Ax=0)^x=0d¬r). Dolay¬s¬yla An¬n sütunlar¬R³ için bir taband¬r. R³ de al¬nan herhangi birb vektörü, bu taban elemanlar¬n¬n lineer bile¸simi olarak yaz¬labilir.

O halde her b2^R³ ^için 2

4

3x+2y+z x y+2z 2x+y+4z

3 5=x

2 4

3 1 2

3 5+y

2 4

2 1 1

3 5+z

2 4

1 2 4

3 5=

2 4

b₁ b2

b₃ 3 5 sistemi çözüme sahiptir.

(51)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

A matrisinin sütunlar¬lineer ba¼g¬ms¬zd¬r (Ax=0)^x=0d¬r). Dolay¬s¬yla An¬n sütunlar¬R³ için bir taband¬r. R³ de al¬nan herhangi birb vektörü, bu taban elemanlar¬n¬n lineer bile¸simi olarak yaz¬labilir.

O halde her b2^R³ ^için 2

4

3x+2y+z x y+2z 2x+y+4z

3 5=x

2 4

3 1 2

3 5+y

2 4

2 1 1

3 5+z

2 4

1 2 4

3 5=

2 4

b₁ b2

b₃ 3 5 sistemi çözüme sahiptir.

(52)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Örnek

Sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬olan

A= 2 4

1 1 1

3 2 7

2 1 4

3

5 (2)

matrisi ve herhangi b= [1 1 1]^T veb= [2 1 1]^T için Ax=b denklem sisteminin çözümünü irdeleyiniz.

(53)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

b= [1 1 1]^T içinAx=b denklem sisteminin çözümü yoktur.

Çünkü bu bvektörü Amatrisinin sütun uzay¬nda yer almamaktad¬r. Amatrisinin sat¬rlar¬ aras¬nda

satır_1+3 satır_2=5 satır_3 (3) ba¼g¬nt¬s¬n¬n oldu¼guna dikkat edelim.

O halde herhangi b= [b₁,b₂,b₃]^T vektörü için Ax=bdenklem sisteminin çözümün var olmas¬ancak ve ancak

b₁+3 b₂ =5 b₃ (4)

ba¼g¬nt¬s¬n¬n sa¼glamas¬yla mümkündür. Oysab= [1 1 1]^T vektörü bu özelli¼gi sa¼glamamaktad¬r.

(54)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Çünkü bu bvektörü Amatrisinin sütun uzay¬nda yer almamaktad¬r.

Amatrisinin sat¬rlar¬ aras¬nda

b₁+3 b₂ =5 b₃ (4)

(55)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

b₁+3 b₂ =5 b₃ (4)

(56)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

b₁+3 b₂ =5 b₃ (4)

(57)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Öte yandanb= [2 1 1]^T vektörü (4) özelli¼gini sa¼glar. Dolay¬s¬yla bu b vektörü için çözüm mevcuttur.

Ancak (2)ile tan¬mlanan Amatrisinin sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬oldu¼gu için sonsuz say¬da çözüm vard¬r. Bu durumda sistemin çözümü

x=xh+xo_¨

olacak biçimde iki bile¸senden olu¸sur.

Burada x_h,Ax=0 homojen sistemin key… parametre veya

parametreler içeren genel çözümü vex_o_¨ ise homojen olmayan Ax=b sistemin bir özel çözümüdür. Örne¼gimiz için

x=x_h+x_o_¨ =c 2 4

1 2 1

3 5+

2 4

1 1 0

3 5,c 2^R dir.

(58)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

x=xh+xo_¨

x=x_h+x_o_¨ =c 2 4

1 2 1

3 5+

2 4

1 1 0

3 5,c 2^R dir.

(59)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

x=xh+xo_¨

x=x_h+x_o_¨ =c 2 4

1 2 1

3 5+

2 4

1 1 0

3 5,c 2^R dir.

(60)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

x=xh+xo_¨

x=x_h+x_o_¨ =c 2 4

1 2 1

3 5+

2 4

1 1 0

3 5,c 2^R dir.

(61)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

x=xh+xo_¨

x=x_h+x_o_¨ =c 2 4

1 2 1

3 5+

2 4

1 1 0

3 5,c 2^R

dir.

(62)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Özetle,

Ax=b denklem sistemi verilmi¸s olsun.

E¼ger b vektörü, A matrisinin sütun uzay¬nda ise çözüm mevcuttur, aksi halde çözüm mevcut de¼gildir.

E¼ger b vektörü A matrisinin sütun uzay¬nda ve A n¬n sütunlar¬lineer ba¼g¬ms¬z ise bir tek çözüm, lineer ba¼g¬ml¬ise sonsuz say¬da çözüm mevcuttur.

Sonsuz say¬daki çözümler ise

x=x_h+xo_¨

biçimindex_h ile gösterilen homojen k¬sm¬n genel çözümü vex_o_¨ ile gösterilen homojen olmayan sitemin özel çözümünün toplam¬olarak ifade edilir.

(63)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Özetle,

x=x_h+xo_¨

(64)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Özetle,

x=x_h+xo_¨

(65)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Özetle,

x=x_h+xo_¨

biçimindexh ile gösterilen homojen k¬sm¬n genel çözümü vexo_¨ ile gösterilen homojen olmayan sitemin özel çözümünün toplam¬olarak ifade edilir.

(66)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

¸

Simdi de denklem sistemini geometrik aç¬dan inceleyelim:

Ax=b denklem sisteminin her bir denklemine(sat¬r¬na) bak¬ld¬¼g¬nda ne gözlemleriz?

n =1,m=1 için sistem ax =b denklemine indirgenir. Bu durumda a6=0 için tek bir çözüm(x =b/a) elde edilir.a=0 olmas¬durumda ise çözüm yaln¬z ve yaln¬zb =0 olmas¬durumunda mümkündür ve bu durumda sonsuz say¬da çözüm mevcuttur(her reel say¬bir çözümdür). n =2,m=2 için

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

denklem sistemini elde ederiz. Her bir denklemin R² de bir do¼gru belirledi¼gini biliyoruz.

(67)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

¸

n =1,m=1 için sistem ax =b denklemine indirgenir. Bu durumda a6=0 için tek bir çözüm(x =b/a) elde edilir.a=0 olmas¬durumda ise çözüm yaln¬z ve yaln¬zb =0 olmas¬durumunda mümkündür ve bu durumda sonsuz say¬da çözüm mevcuttur(her reel say¬bir çözümdür). n =2,m=2 için

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

(68)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

¸

n =1,m=1 için sistem ax =b denklemine indirgenir. Bu durumda a6=0 için tek bir çözüm(x =b/a) elde edilir.a=0 olmas¬durumda ise çözüm yaln¬z ve yaln¬zb =0 olmas¬durumunda mümkündür ve bu durumda sonsuz say¬da çözüm mevcuttur(her reel say¬bir çözümdür).

n =2,m=2 için

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

(69)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

¸

n =1,m=1 için sistem ax =b denklemine indirgenir. Bu durumda a6=0 için tek bir çözüm(x =b/a) elde edilir.a=0 olmas¬durumda ise çözüm yaln¬z ve yaln¬zb =0 olmas¬durumunda mümkündür ve bu durumda sonsuz say¬da çözüm mevcuttur(her reel say¬bir çözümdür).

n =2,m=2 için

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

denklem sistemini elde ederiz. Her bir denkleminR² de bir do¼gru belirledi¼gini biliyoruz.

(70)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

O halde sistem her iki do¼gru üzerinde bulunan noktalar¬n geometrik yerini ara¸st¬rmaktad¬r. Söz konusu do¼grular farkl¬veya ayn¬e¼gimlere sahip olabilirler.

E¼ger farkl¬e¼gimlere sahip olurlarsa, tek bir noktada kesi¸sirler(tek bir çözüm).

Ayn¬e¼gime sahip olmalar¬durumunda ise çak¬¸s¬k do¼grular olabilirler(sonsuz çözüm) veya hiç kesi¸smeyebilirler(çözüm yok).

(71)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(72)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(73)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

n 3 için Ax=b denklem sisteminin her bir sat¬r¬n=3 için bir düzlem ven>3 için hiperdüzlem belirler.

Bu durumda problem, m adet hiperdüzlemin arakesit noktas¬n¬n geometrik yerini ara¸st¬rmaktad¬r.

Tek bir noktada kesi¸smeleri durumunda, kesi¸sim noktas¬sistemin tek bir çözümüdür.

Denklemlerden baz¬lar¬di¼gerlerinin lineer bile¸simi olabilir, buna göre sistem de¼gi¸sik say¬da parametreli sonsuz çözüme sahip olabilir veya hiçbir ortak noktada kesi¸smeyebilirler ki bu durumda sistem herhangi bir çözüme sahip de¼gildir.

(74)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(75)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(76)

Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

(77)

Neden Ax=b?

Farkl¬alanlardaki bir çok problem,Ax=bbiçiminde ifade edilebilen lineer cebirsel bir sistemin çözümünü gerektirir:

En basit durumdan =1,m=1 için f(x) = ¹₂ax² xb = ¹₂xax xb fonksiyonunu gözönüne alal¬m. E¼ger a>0 (a<0)ise f fonksiyonu minimumuna(maksimumuna), ax =b denkleminin çözümünde ula¸s¬r. n =2,m=2 için

f(x,y) = ¹

2[x y] ^a¹¹ ^a¹² a21 a22

x

y [x y] ^b¹ b2

fonksiyonu ekstremum noktas¬na

fx(x,y) = 0 fy(x,y) = 0 veya

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

olarak ifade edilebilen denklem sistemininin çözümünde ula¸s¬r.

(78)

Neden Ax=b?

En basit durumdan =1,m=1 için f(x) = ¹₂ax² xb = ¹₂xax xb fonksiyonunu gözönüne alal¬m. E¼ger a>0 (a<0)ise f fonksiyonu minimumuna(maksimumuna), ax =b denkleminin çözümünde ula¸s¬r.

n =2,m=2 için f(x,y) = ¹

2[x y] ^a¹¹ ^a¹² a21 a22

x

y [x y] ^b¹ b2

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

(79)

Neden Ax=b?

En basit durumdan =1,m=1 için f(x) = ¹₂ax² xb = ¹₂xax xb fonksiyonunu gözönüne alal¬m. E¼ger a>0 (a<0)ise f fonksiyonu minimumuna(maksimumuna), ax =b denkleminin çözümünde ula¸s¬r.

n =2,m=2 için f(x,y) = ¹

2[x y] ^a¹¹ ^a¹² a21 a22

x

y [x y] ^b¹ b2

a₁₁x+a₁₂y = b₁ a₂₁x+a₂₂y = b₂

(80)

Neden Ax=b?

Simetrik birAmatrisi için sonlu bilinmeyenli bir çok …ziksel sistemin(yap¬elemanlar¬, yaylar, kütleler vb) toplam enerjisini ifade eden

f(x) = ¹

2x^TAx x^Tb fonksiyonu, ekstremum noktas¬na(denge noktas¬na)

Ax=b

denklem sisteminin çözümünde ula¸s¬r. E¼gerApozitif de…nit ise çözüm noktas¬minimum, negatif de…nit ise maksimum ve inde…nit ise eyer noktas¬d¬r[8].

(81)

Neden Ax=b?

Sadece do¼ga olaylar¬nda de¼gil, ekonomide de denge bir lineer denklem sisteminin çözümünü gerektirir.

Örne¼gin ulusal ekonomi modelinde D vektörü ile d¬¸s ülkelerden gelen ithalat talebini gösterelim. Bu talebi kar¸s¬lamak üzere ülkenin her bir ekonomi sektöründe üretilmesi gereken miktar¬isex ile gösterim. Bu üretim sürecinde ülkenin iç tüketimiAx e e¸sittir ve d¬¸s talebi kar¸s¬lamak için üretilmesi gereken miktar

x Ax=D veya

(I A)x=D

biçiminde bir lineer sistemin çözümü olarak elde edilir. Bu model Leontief¹ input-output modeli olarak bilinir[4].

1Wasilly Leontief, Rus iktisatç¬.

(82)

Neden Ax=b?

Örne¼gin ulusal ekonomi modelinde D vektörü ile d¬¸s ülkelerden gelen ithalat talebini gösterelim. Bu talebi kar¸s¬lamak üzere ülkenin her bir ekonomi sektöründe üretilmesi gereken miktar¬isex ile gösterim.

Bu üretim sürecinde ülkenin iç tüketimiAx e e¸sittir ve d¬¸s talebi kar¸s¬lamak için üretilmesi gereken miktar

x Ax=D veya

(I A)x=D

(83)

Neden Ax=b?

Örne¼gin ulusal ekonomi modelinde D vektörü ile d¬¸s ülkelerden gelen ithalat talebini gösterelim. Bu talebi kar¸s¬lamak üzere ülkenin her bir ekonomi sektöründe üretilmesi gereken miktar¬isex ile gösterim.

Bu üretim sürecinde ülkenin iç tüketimiAx e e¸sittir ve d¬¸s talebi kar¸s¬lamak için üretilmesi gereken miktar

x Ax=D veya

(I A)x=D

(84)

Neden Ax=b?

Diferensiyel denklemler ile olu¸sturulan s¬n¬r-de¼ger problemleri, sonlu elemanlar veya sonlu farklar yöntemleri yard¬m¬yla elde edilen

yakla¸s¬mlar sonunda lineer cebirsel sistemlerin çözümünü gerektirirler[3].

Verilen veri kümesine uygun e¼grinin belirlenmesi problemi lineer denklem sistemi çözümünü gerektirir(Bölüm 5).

Nonlineer cebirsel sistemler için geli¸stirilen bir çok yöntem(örne¼gin Newton yöntemi ve varyasyonlar¬) her ad¬mda lineer cebirsel sistemlerin çözümünü gerektirir(Bölüm 6).

(85)

Neden Ax=b?

(86)

Neden Ax=b?

(87)

Neden Ax=b?

Yukar¬daki örnekleri ço¼galtmak mümkündür, ¸simdi söz konusu sistemin nas¬l çözülece¼gi problemine geri dönelim.

(88)

Çözüm yöntemleri

Ax=b sisteminin çözümü için esas itibariyle iki çözüm s¬n¬f¬

mevcuttur.

Bu yöntemler do¼grudan(direkt) veyinelemeli(iteratif)çözüm yöntemleri olarak adland¬r¬l¬rlar.

Ayr¬cayar¬yinelemeli(semi-iterative)[7] olarak adland¬r¬lan ve baz¬özel matrisler için daha etkin çözüm üreten yöntemler Gradyan yöntemleri gibi yöntemler de mevcuttur, ancak söz konusu yöntemlere bu çal¬¸sman¬n kapsam¬n¬s¬n¬rl¬tutmak amac¬yla yer veremiyoruz.. Do¼grudan çözüm yöntemleri sonlu say¬da i¸slem yard¬m¬yla çözümü belirli bir yuvarlama hatas¬ile elde eden yöntemlerdir.

(89)

Çözüm yöntemleri

mevcuttur.

Ayr¬cayar¬yinelemeli(semi-iterative)[7] olarak adland¬r¬lan ve baz¬özel matrisler için daha etkin çözüm üreten yöntemler Gradyan yöntemleri gibi yöntemler de mevcuttur, ancak söz konusu yöntemlere bu çal¬¸sman¬n kapsam¬n¬s¬n¬rl¬tutmak amac¬yla yer veremiyoruz.. Do¼grudan çözüm yöntemleri sonlu say¬da i¸slem yard¬m¬yla çözümü belirli bir yuvarlama hatas¬ile elde eden yöntemlerdir.

(90)

Çözüm yöntemleri

mevcuttur.

Ayr¬cayar¬yinelemeli(semi-iterative)[7] olarak adland¬r¬lan ve baz¬özel matrisler için daha etkin çözüm üreten yöntemler Gradyan yöntemleri gibi yöntemler de mevcuttur, ancak söz konusu yöntemlere bu çal¬¸sman¬n kapsam¬n¬s¬n¬rl¬tutmak amac¬yla yer veremiyoruz..

Do¼grudan çözüm yöntemleri sonlu say¬da i¸slem yard¬m¬yla çözümü belirli bir yuvarlama hatas¬ile elde eden yöntemlerdir.

(91)

Çözüm yöntemleri

mevcuttur.

Ayr¬cayar¬yinelemeli(semi-iterative)[7] olarak adland¬r¬lan ve baz¬özel matrisler için daha etkin çözüm üreten yöntemler Gradyan yöntemleri gibi yöntemler de mevcuttur, ancak söz konusu yöntemlere bu çal¬¸sman¬n kapsam¬n¬s¬n¬rl¬tutmak amac¬yla yer veremiyoruz..

Do¼grudan çözüm yöntemleri sonlu say¬da i¸slem yard¬m¬yla çözümü belirli bir yuvarlama hatas¬ile elde eden yöntemlerdir.