PDF Say‹sal Türev

(1)

B ¨ol ¨um 1

Say¬sal Türev

Bu bölümde

sonlu fark olarak bilinen yöntemlerle bir fonksiyonun herhangi bir nokta veya aral¬ktaki nokta kümesi üzerinde farkl¬yöntemlerle say¬sal türev- lerinin nas¬l hesapland¬¼g¬n¬,

yöntemlerin hatalar¬n¬n nas¬l belirlendi¼gini,

MATLAB veya OCTAVE ortam¬nda bir nokta veya aral¬k içerisindeki nokta kümesi üzerinde say¬sal türevlerin nas¬l hesapland¬¼g¬n¬ve

yüksek basamaktan hata içeren yöntemlerin nas¬l elde edilebilece¼gini inceliyoruz.

1.1 Say¬sal türev

Öncelikle say¬sal türevi anlamaya çal¬¸sal¬m.

TANIM 1.1. Herhangi bir fonksiyonun tan¬m kümesi içerisinde bulunan bir t_i noktas¬ndaki say¬sal türevi, t_i noktas¬ kom¸sulu¼gundaki fonksiyon de¼gerlerinin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilen ve genelde hata içeren bir türev yakla¸s¬m¬d¬r.

Say¬sal türev farkl¬lineer kombinasyonlar yard¬m¬yla hesaplanabilir. Bir yöntemi di¼gerlerinden ay¬ran özellik, yöntemin

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(2)

hatas¬ve

lineer kombinasyondaki terim say¬s¬d¬r.

Tercihen en iyi say¬sal türev yöntemi, en az hata ve

minumum bilgisayar kayna¼g¬kullanarak belirtilen türev i¸slemini gerçek- le¸stiren yöntemdir. Burada bilgisayar kayna¼g¬ ile bilgisayar bellek ve i¸slem gerçekle¸stirme zaman¬n¬kastediyoruz. Dolay¬s¬yla bilgisayar kay- nak kullan¬m¬ aç¬s¬ndan tercih edilen yöntem, en az say¬da fonksiyon de¼geri hesaplamak suretiyle ilgili türev yakla¸s¬m¬n¬elde eden yön- temdir.

¸

Simdi birinci basamaktan türev için farkl¬say¬sal yöntemlere göz atal¬m.

1.2 Birinci basamaktan türev için yakla¸ s¬m- lar

BirI = (a; b) R aç¬k aral¬¼g¬nda türevlenebilir birf fonksiyonun bu aral¬k içerisinde herhangi birt noktas¬ndaki türevinin, birbirine denk olan

f0(t) = lim_h_!₀f(t+h) f(t) h

= lim_h_!₀f(t) f(t h) h

= lim_h_!₀f(t+h) f(t h) 2h

limitleri ile tan¬mland¬¼g¬n¬ biliyoruz. h ! 0 için limit i¸slemini kald¬rmak suretiyle,h n¬n yeterince küçük ve pozitif de¼geri için elde edilen

f⁰(t) = f(t+h) f(t) h

= f(t) f(t h) h

= f(t+h) f(t h) 2h

(3)

1.2 Birinci basamaktan türev için yakla¸s¬mlar 3

yakla¸s¬mlar¬ndan her birisitnoktas¬ndaki birinci basamaktan türev için farkl¬

say¬sal yakla¸s¬md¬r. Bu yakla¸s¬mlar¬a¸sa¼g¬da tan¬mlanan bölünmü¸s fark notasyonu yard¬m¬yla ifade edebiliriz.

TANIM 1.2. f fonksiyonun a ve b noktalar¬ndaki bölünmü¸s fark¬

f[a; b] = f(b) f(a)

b a

ile tan¬mlan¬r.

f[a; b]bölünmü¸s fark¬n¬n,(a; f(a))ve(b; f(b))noktalar¬n¬birle¸stiren do¼gru parças¬n¬n(kiri¸sin) e¼gimi oldu¼guna dikkat edelim.

TANIM 1.3. h >0olmak üzere(t; f(t));(t+h; f(t+h))noktalar¬ndan geçen do¼grunun e¼gimini, (t; f(t)) noktas¬ndaki te¼get do¼gru e¼gimi olarak kabul eden

D_i(f; t; h) :=f[t; t+h] = f(t+h) f(t)

h (1.1)

yakla¸s¬m¬na f⁰(t) için ileri fark yakla¸s¬m¬ ad¬ verilmektedir. Benzer olarak, t noktas¬ve bu noktan¬n gerisinde yer alan t h noktas¬ndaki fonksiyon de¼geri ile elde edilen

D_g(f; t; h) :=f[t h; t] = f(t) f(t h)

h (1.2)

yakla¸s¬m¬na f⁰(t) için geri fark, vet noktas¬n¬merkez kabul eden t h ve t+h noktalar¬ndaki fonksiyon de¼gerleri ile elde edilen

D_m(f; t; h) := f[t h; t+h] = f(t+h) f(t h)

2h (1.3)

yakla¸s¬m¬na ise birinci basamaktan türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬ad¬verilmektedir.

ÖRNEK 1.1. f(t) = t² + 1 fonksiyonun t = 1 noktas¬ndaki ileri fark, geri fark ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬ ile elde edilen e¼gimlere sahip ve (1;2) noktas¬ndan geçen do¼grular ile ayn¬ noktadan geçen te¼get do¼gru gra…klerini ayn¬eksende çizdiriniz.

Çözüm. Birinci mertebeden türev için de¼gi¸sik yakla¸s¬mlar ve geometrik gös- terimleri ¸Sekil 1.2 de verilmektedir.

(4)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

teğet doğru

eğim=geri fark

teğet doğru

eğim=merkez fark eğim=ileri fark

Te¼get do¼gru ve ileri fark, geri fark ve merkezi fark e¼gimli do¼grular.

¸

Sekil 8.1 de, f(t) = t² + 1 fonksiyonuna t = 1 noktas¬nda çizilen te¼get do¼grular ile t = 1 noktas¬ndah= 1 ad¬m

uzunlu¼gu ile olu¸sturulan ileri fark, geri fark ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬n¬

e¼gim kabul ederek, (1;2) noktas¬ndan geçen do¼grular¬n gra…kleri görülmek- tedir. ·Ileri fark ile elde edilen e¼gim

f[1;1] = (f(2) f(1))=1 = 3;

geri fark ile elde edilen e¼gim

f[0;1] = (f(1) f(0))=1 = 1 ve merkezi fark ile elde edilen e¼gim ise

f[0;2] = (f(2) f(0))=2 = 2

olarak elde edilir. Bu örnek için merkezi fark e¼giminin t = 1 noktas¬nda gerçek e¼gime e¸sit oldu¼gunu gözlemleyiniz.

ÖRNEK 1.2. f(t) =at+bfonksiyonunun t₀ noktas¬ndaki birinci basamaktan say¬sal türevini h ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplayal¬m.

Çözüm.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(5)

D_i(f; t₀; h) = f(t₀+h) f(t₀) h

= a(t₀+h) +b a(t₀) b

= a h

d¬r ve bu sonuçh ad¬m uzunlu¼gundan ba¼g¬ms¬z olarak do¼grudur. Di¼ger yön- temlerle de ayn¬ sonucu elde edebilece¼gimizi kontrol ediniz. Bu durumda say¬sal türevde olu¸san hata

Hata = f⁰(t₀) f[t₀; h]

= a a

= 0 d¬r.

ÖRNEK 1.3. f(t) = at² fonksiyonunun t₀ noktas¬ndaki birinci basamaktan say¬sal türevini h > 0 ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark, geri fark ve merkezi fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z. Her bir durumda olu¸san hatay¬hesaplay¬n¬z.

Çözüm.

·Ileri fark yöntemi ile

D_i(f; t₀; h) = f(t₀+h) f(t₀) h

= a(t₀+h)² a(t₀)² h

= a(h+ 2t₀);

ve

Hata = f⁰(t₀) D_i(f; t₀; h)

= 2at₀ a(h+ 2t₀)

= ah

olarak elde edilir. Geri fark yöntemiyle

D_g(f; t₀; h) = f(t₀) f(t₀ h) h

= a(t₀)² a(t₀ h)² h

= a( h+ 2t₀)

(6)

Hata = f⁰(t0) Dg(f; t0; h)

= 2at₀ a( h+ 2t₀)

= ah ve merkezi fark yöntemiyle ise

D_m(f; t₀; h) = f(t₀+h) f(t₀ h) 2h

= a(t₀+h)² a(t₀ h)² 2h

= 2at₀

Hata = f⁰(t₀) D_m(f; t₀; h)

= 2at0 2at0

= 0

elde edilir. O halde bu örnek için elde edilen say¬sal türev yakla¸s¬mlar¬

ileri fark ve geri fark yönteminde ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬ olarak de¼gi¸sirken, merkezi fark yönteminde ise ad¬m uzunlu¼gundan ba¼g¬ms¬zd¬r ve elde edilen yakla¸s¬m ayn¬zamanda gerçek türev de¼geridir.

ÖRNEK 1.4. f(t) = t³ fonksiyonunun t = 1 noktas¬ndaki türevinde olu¸san hatay¬h= 0:2ve h= 0:1 ad¬m uzunluklar¬için

ileri fark geri fark merkezi fark

yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

Çözüm.

·Ileri fark yöntemi ile türev

D_i(f;1; h) = f(1 +h) f(1) h

= (1 +h)³ (1)³ h

= h²+ 3h+ 3

(7)

olup, hata

f⁰(1) D_i(f;1; h) = (h²+ 3h)

olarak elde edilir. h = 0:2 için hata de¼geri 0:64 olarak bulunur.

h= 0:1için ise hata de¼geri 0:31olarak elde edilir. Bu de¼gerinh= 0:2 için elde edilen hatan¬n yakla¸s¬k olarak yar¬s¬ kadar oldu¼guna dikkat edelim.

Geri fark yöntemi ile türev

D_g(f;1; h) = f(1) f(1 h) h

= (1)³ (1 h)³ h

= h² 3h+ 3 olup, hata

f⁰(1) D_g(f;1; h) = h²+ 3h

olarak elde edilir. h= 0:2için hata de¼geri0:56olarak bulunur. h= 0:1 için ise hata de¼geri 0:29 olarak elde edilir. Bir önceki ¸s¬kta oldu¼gu gibi bu de¼ger, h = 0:2 için elde edilen hatan¬n yakla¸s¬k olarak yar¬s¬

kadard¬r.

Merkezi fark yöntemi ile türev

D_m(f;1; h) = f(1 +h) f(1 h) 2h

= (1 +h)³ (1 h)³ 2h

= h²+ 3 olup, hata

f⁰(1) Dm(f;1; h) = h²

elde edilir. h = 0:2 için hata de¼geri 0:04 olarak bulunur. h = 0:1 için ise hata de¼geri 0:01 olarak elde edilir. ·Ilk ¸s¬klarda elde edilen sonuçlar¬n aksine bu de¼ger h= 0:2 için elde edilen hatan¬n dörtte biri kadard¬r.

Özetle burada sunulan örnekler ve benzer di¼ger örnekler sonucunda

(8)

Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda olu¸san hatan¬n mutlak de¼gerce di¼ger yakla¸s¬m hatalar¬ndan daha küçük oldu¼gunu,

·Ileri fark ve geri fark yakla¸s¬mlar¬nda olu¸san hatalar¬n mutlak de¼gerce birbirlerine yak¬n olduklar¬n¬,

Ad¬m uzunlu¼gununh= 0:2denh= 0:1’e yani yar¬s¬na dü¸sürülmesiyle, ileri fark ve geri fark yakla¸s¬m hatalar¬n¬n da yakla¸s¬k olarak yar¬ya indirgendi¼gini,

Merkezi fark formülünde ise ad¬m uzunlu¼gunun yar¬ya dü¸sürülmesiyle hatan¬n yakla¸s¬k olarak 4 kat azald¬¼g¬n¬gözlemliyoruz.

ÖRNEK 1.5. Sat¬r fonksiyonu(inline function) olarak tan¬mlanan bir f fonksiyonunun, verilen bir noktadaki say¬sal türevini verilen bir ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark, geri fark ve merkezi fark yöntemi ile hesaplayan MATLAB/OCTAVE program¬geli¸stiriniz.

Çözüm.

Program¬m¬z¬sturev olarak adland¬ral¬m:

function sonuc=sturev(f,a,h) ilerifark=(f(a+h)-f(a))/h;

merkezifark=(f(a+h)-f(a-h))/(2*h);

gerifark=(f(a)-f(a-h))/h;

sonuc=[ilerifark,merkezifark,gerifark];

end

%--- Program 1.1: Farkl¬yöntemlerle say¬sal türev

Program 1.1 i çal¬¸st¬rmak için önceliklef fonksiyonunu tan¬mlayal¬m: f fonksiyonunu iki farkl¬¸sekilde tan¬mlayabiliriz. Birincisi a¸sa¼g¬da görüldü¼gü gibi inline fonksiyonu yard¬m¬yla

>> f=inline(’t^2’) f =

Inline function:

f(t) = t^2

Alternatif olarak f fonksiyonunu "anonim fonksiyon" olarak ’@’sembolü ile

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(9)

1.3 O(Büyük O) notasyonu 9

>> f=@(t) t^2

biçiminde de tan¬mlayabiliriz. Burada @(t) terimi f nin t ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenin fonksiyonu oldu¼gunu ifade etmektedir.

>> sonuc=sturev(f,1,0.1) sonuc =

2.1000 2.0000 1.9000 elde ederiz.

Türev için elde edilen de¼gi¸sik yakla¸s¬mlardan hangisinin kullan¬laca¼g¬na karar verirken dikkat etti¼gimiz kriterlerden birisi ve belki de en önemlisi, yöntem ile elde edilen sonuç ile gerçek de¼ger aras¬ndaki fark, yani hatad¬r.

Genelde gerçek türev de¼geri elimizde olmayaca¼g¬ için bir sonlu fark yönte- minde her bir noktada olu¸sacak olan hatay¬tam olarak belirlemek mümkün olmad¬¼g¬gibi, gerekli de de¼gildir. Fakat verilen bir yöntemde olu¸san hatan¬n, ad¬m uzunlu¼gunun hangi dereceden polinomuyla k¬yaslanabilece¼gini belirlemek mümkündür. Söz konusu k¬yaslama i¸slemi O(b•uy•uk O olarak okunur) notasyonu yard¬m¬yla gerçekle¸stirilebilir. ¸Simdi büyükO notasyonunu k¬saca tan¬yal¬m.

1.3 O(Büyük O) notasyonu

O notasyonu, belirli bir noktan¬n kom¸sulu¼gunda verilen bir fonksiyonun art¬¸s veya azalma h¬z¬n¬ elemanter fonksiyonlar cinsinden ifade etmek için kullan¬l¬r.

TANIM 1.4. t=anoktas¬kom¸sulu¼gunda tan¬ml¬f veg fonksiyonlar¬için e¼ger limt!a(f(t))=(g(t)) = sabit6= 0ise bu taktirdef(t)fonksiyonuna,t=anoktas¬

kom¸sulu¼gunda g inci mertebedendir denir. Bu durum f(t) = O(g(t)); t! a gösterimi ile ifade edilir ve f(t) büyük o g(t) diye okunur ve alternatif olarak f(t)~g(t); t!a notasyonu da bazen kullan¬l¬r.

Yukar¬daki tan¬mda a = 1 olmas¬durumunda, bu noktan¬n kom¸sulu¼gu olarak yeterince büyük c >0 için(c;1) aral¬¼g¬al¬n¬r.

ÖRNEK 1.6. O(büyük o) notasyonunun kullan¬m¬na ili¸skin olarak a¸sa¼g¬daki örnekleri inceleyelim.

sin(t) =O(t); t!0 d¬r, çünkü

lim_t_!₀(sin(t))=t= 16= 0

(10)

d¬r. Bu durumda t = 0 noktas¬ kom¸sulu¼gunda sin(t) fonksiyonu t fonksiyonu ile benzer davran¬¸s gösterir, o halde bu nokta kom¸sulu¼gunda sin(t)~t al¬nabilir.

3t²+ 3t+ 1 =O(t²); t ! 1çünkülim_t_!1((3t²+ 3t+ 1))=t² = 36= 0 dir. O halde yeterince büyükt ler için3t²+ 3t+ 1~t² al¬nabilir.

3t²+ 3t+ 1 =O(1); t!0çünkü lim_t_!₀((3t²+ 3t+ 1))=1 = 1 6= 0:

O halde s¬f¬r noktas¬n¬n yeterince küçük kom¸sulu¼gundakitler için3t²+ 3t+ 1~1al¬nabilir.

sinh(t) = 1=2(e^t e ^t) = 1=2(e^t) 1=2(e ^t)

= 1=2(1 +t+t²=2! +t³=3!: : :) 1=2(1 t+t²=2! t³=3!: : :)

= t+t³=3! : : :

= O(t); t!0

O halde t = 0 noktas¬n¬n küçük kom¸sulu¼gunda sinh(t)~t al¬nabilir.

Benzer biçimde

cos(t) =O(1); t!0 ve

e^t 1 =O(t); t!0 fakat

e^t 16=O(t); t! 1 d¬r.

(11)

1.4 Say¬sal türev yakla¸s¬m hatalar¬ 11

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 1 2

x y

¸

Sekil 1.1: S¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gundaf(t) =e^t 1 ve g(t) = t fonksiyonlar¬

Özetle büyükO notasyonu yard¬m¬yla bir fonksiyonun bir nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬ daha basit fonksiyonlarla( örne¼gin tⁿ; n 2 Z ) ifade edilmektedir. Örne¼gin

lim_t_!₀(e^t 1)=t= 1 olup, büyük O notasyonu ile

e^t 1 =O(t); t !0

ile s¬f¬r noktas¬n¬n küçük kom¸sulu¼gunda e^t 1~t al¬nabilece¼gini anl¬yoruz.

S¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda f(t) = e^t 1ve g(t) =t fonksiyonlar¬n¬n gra…k- leri ¸Sekil 1.1 de görülmektedir.

e^t = 1 +t+t²=2 +O(t³); t !0 oldu¼gunu da kolayca görebiliriz.

1.4 Say¬sal türev yakla¸ s¬m hatalar¬

TEOREM 1.1. f 2C²[a; b]ve küçük bir pozitifhsabiti için,tvet+h2(a; b) olsun. Bu taktirde

f⁰(t) = f(t+h) f(t)

h +O(h); h >0 d¬r.

(12)

Ispat.·

Taylor teoreminden

f(t+h) =f(t) +hf0(t) +h²f⁰⁰(c)=2

ba¼g¬nt¬s¬sa¼glanacak biçimde c2(a; b) sabiti mevcuttur. Bu ba¼g¬nt¬dan f0(t) = (f(t+h) f(t))=h hf⁰⁰(c)=2

elde edilir. f 2 C²[a; b] oldu¼gundan f⁰⁰ fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬d¬r ve dolay¬s¬yla

hf⁰⁰(c)=2 =O(h); h >0 d¬r.

Ileri fark yöntemi ile türev yakla¸· s¬m¬nda olu¸san h=2f⁰⁰(c) olarak elde edilen hata terimine yak¬ndan bakal¬m:

Hata terimi bize ileri fark yöntemiyle f(t) = at+b ile verilen lineer fonksiyonlar¬n türevinin hatas¬z olarak hesaplayaca¼g¬n¬aç¬kça ifade etmektedir.

Yine hata terimi, ad¬m uzunlu¼gu h yerine h=2 al¬nmas¬ durumunda hatan¬n yakla¸s¬k olarak hile olu¸san hatan¬n yar¬s¬kadar olaca¼g¬n¬ifade etmektedir.

Fonksiyonun d¬¸sbükey oldu¼gu (f⁰⁰ > 0) noktalarda hata, yani gerçek türev de¼geri ile fark yakla¸s¬m¬ ile elde edilen de¼ger aras¬ndaki fark, negatiftir. Di¼ger bir deyimle, fark yakla¸s¬m¬gerçek de¼gerden büyüktür.

Fonksiyonun içbükey oldu¼gu bölgede ise tersi durum söz konusudur.

Son olarak hata terimi, fonksiyonunu ikinci türevinin mutlak de¼gerce büyük de¼gerler ald¬¼g¬ noktalarda iyi sonuç elde edebilmek için ad¬m uzunlu¼gunun çok küçük olmas¬gerekti¼gini ifade etmektedir.

Benzer biçimde geri fark yakla¸s¬m¬ için de hatan¬n ayn¬ mertebeden, yani O(h) oldu¼gu ve merkezi fark yakla¸s¬m¬ için ise O(h²) oldu¼gu göster- ilebilir(Al¬¸st¬rma 1 ).

Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda olu¸san hata, ileri fark ve geri fark yakla¸s¬m- lar¬na göre daha küçüktür. Merkezi fark yakla¸s¬m¬ daha iyi bir yakla¸s¬m olmas¬na ra¼gmen diferensiyel denklemlerin say¬sal çözümlerinde bu yakla¸s¬m yerine bazen ileri fark bazen de geri fark yakla¸s¬mlar¬n¬n kullan¬lmas¬ daha uygundur.

(13)

1.5 Aral¬k üzerinde say¬sal türev(ileri, geri ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬) 13

1.5 Aral¬k üzerinde say¬sal türev(ileri, geri ve merkezi fark yakla¸ s¬mlar¬)

[a; b] aral¬¼g¬ üzerinde tan¬ml¬ bir y = f(t) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

Bu aral¬kta aralar¬ndaki uzakl¬klar¬h= (b a)=n olann adet alt aral¬¼g¬n uç noktalar¬

t_i =a+ (i 1)h; i= 1;2; ; n+ 1 dir. Bu uç noktalar¬

T = [t₁; t₂; ; t_n; t_n+1]

vektörü ile gösterelim. T nin elemanlar¬na kar¸s¬l¬k gelen fonksiyon de¼gerlerinin bile¸sen kabul eden vektörü ise

f(T) = [f(t₁); f(t₂); : : : ; f(t_n)]

ile gösterelim.

T = [t₁; ; t_n] noktalar¬nda ileri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m Di(f; T; h) = f(T +h) f(T)

h (1.4)

olarak tan¬mlan¬r.Burada T +h ile T vektörünün her bir eleman¬na h skalerinin ilave edilmesiyle elde edilen

T +h : = [t₁+h; t₂+h; ; t_n+h]

= [t₂; t₃; ; t_n+1] vektörünü ifade ediyoruz.

T = [t₂; ; t_n; t_n+1]noktalar¬nda geri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

Dg(f; T; h) = f(T) f(T h)

h (1.5)

olarak tan¬mlan¬r.

(14)

Uyar¬. 1.4 ve 1.5 yöntemleri kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda, her ikisi de sonuç olarak ayn¬indesel notasyona sahip gözükmekte olsa bile 1.4 formülasyonununT = [ t₁; ; t_n] noktalar¬nda ve 1.5 notasyonunun ise T = [ t₂; ; t_n; t_n+1] noktalar¬nda tan¬ml¬ oldu¼guna dikkat ediniz. Di¼ger bir de¼gimle, t1 noktas¬nda ileri fark yöntemine göre say¬sal türev ile t₂ noktas¬nda geri fark yöntemine göre say¬sal türev ayn¬d¬r.

t₁ vet_n+1 noktalar¬aras¬nda kalanT = [t₂; ; t_n] iç noktalar¬nda merkezi fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_m(f; T; h) = f(T +h) f(T h)

2h (1.6)

ÖRNEK 1.7. f(t) = t³; t 2 [ 1;1]; h = 0:2 ad¬m uzunlu¼gu ile belirtilen T noktalar¬nda birinci türev için ileri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬, gerçek türev de¼geri ve her noktada olu¸san hatay¬hesaplayarak tablo halinde sunal¬m.

Çözüm.

Verilen ad¬m uzunlu¼gu ile olu¸san alt aral¬k say¬s¬

h= (b a)=n= 2=n = 0:2)n= 10

dur. Bu durumda nokta say¬s¬isen+1 = 11adet olup, alt aral¬k uç noktalar¬

t_i =a+ (i 1)h= 1 + (i 1)0:2; i= 1;2; ;11 :olarak tan¬mlan¬r. Uç noktalar vektörü

T = [ 1; 0:8; 0:6; 0:4; 0:2;0;0:2;0:4;0:6;0:8;1]

olup, ileri fark yöntemi ile yakla¸s¬mlar ilk 10 noktada, merkezi fark yöntemi ile ise ilk ve son nokta d¬¸s¬ndaki noktalarda hesaplanmaktad¬r.

f(t) = t³ fonksiyonu, t < 0 için iç bükey ve t > 0 için ise d¬¸s bükeydir.

Özetle

·Ileri fark yönteminde hatan¬n i¸sareti yukar¬da belirtildi¼gi üzere iç bükey bölgede pozitif ve d¬¸s bükey bölgede ise negatiftir.

(15)

Ileri Fark· Merkezi Fark

T Türev Yakla¸s¬m Hata Yakla¸s¬m Hata 0.0000 0.0000 0.0400 0.0400 0.0400 -0.0400 0.2000 0.1200 0.2800 -0.1600 0.1600 -0.0400 0.4000 0.4800 0.7600 -0.2800 0.5200 -0.0400 0.6000 1.0800 1.4800 -0.4000 1.1200 -0.0400 0.8000 1.9200 2.4400 -0.5200 1.9600 -0.0400

Tablo 1.1: Örnek 1.7 için baz¬·Ileri Fark ve Merkezi Fark yakla¸s¬mlar¬

S¬f¬r noktas¬ndan uzakla¸st¬kça ikinci türev de¼gerinin büyümesine ba¼gl¬

olarak ileri fark yöntemine göre hatan¬n mutlak de¼gerce artmaktad¬r.

Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda hatan¬n, türevi hesaplanan fonksiyonun üçüncü türevini içerdi¼gini(Al¬¸st¬rma 2) biliyoruz. Göz önüne ald¬¼g¬m¬z örnekte fonksiyonun üçüncü türevi sabit oldu¼gu için hata formülü bu durumda gerçek hatay¬da vermektedir.

( h²f⁰⁰⁰(c)=6 = h² = (0:2)² = 0:04)

Merkezi fark yakla¸s¬m¬üçüncü türevi s¬f¬ra e¸sit olan iki veya daha dü¸sük dereceli polinomlar¬n türevini hatas¬z olarak hesaplar.

ÖRNEK 1.8. f fonksiyonu ve gerçek türevi ile [a;b] aral¬¼g¬ ve bu aral¬kta kullan¬lmas¬ istenilen alt aral¬k say¬s¬n¬(n) kullan¬c¬dan alarak, birinci türev için ileri fark, geri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬ile gerçek türev de¼gerini hesaplayan program¬haz¬rlayal¬m

Örnekte belirtilen i¸slemler Program 1.2 ile gerçekle¸stirilmi¸stir. Ayr¬ca

>> f=@(t) sin(t)

>> df=@(t) cos(t) ile

>>asturev(f,df,-3,3,20)

komutu ile elde edilen sonuçlar ¸Sekil 1.2 de sunulmaktad¬r.

¸

Sekilde oklarla belirtildi¼gi üzere ·Ileri fark yöntemi ile say¬sal türevin aral¬¼g¬n sa¼g uzunda, geri fark ile hesaplanan say¬sal türevin aral¬¼g¬n sol ucunda ve merkezi fark ile hesaplanan türevin ise aral¬¼g¬n uç noktalar¬nda hesaplan- mad¬¼g¬na dikkat ediniz.

(16)

%--- function asturev(f,df,a,b,n)

h=(b-a)/n;

T=a:h:b;

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

ifark=(f(Ti+h)-f(Ti))/h;

mfark=(f(Tm+h)-f(Tm-h))/(2*h);

gfark=(f(Tg)-f(Tg-h))/h;

subplot(3,1,1);

plot(Ti,ifark,’-o’);hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

subplot(3,1,2);

plot(Tg,gfark,’-d’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

subplot(3,1,3);

plot(Tm,mfark,’-*’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

%---

Program 1.2: Gerçek türev ile farkl¬yöntemlerle aral¬k üzerinde say¬sal türev Al¬¸st¬rmalar 1.1.

1. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen noktalardaki say¬sal türev- lerini ileri fark yöntemi veh= 0:1ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z.

f(t) = sin(t); t= 1 f(t) = ln(t); t= 1 f(t) =e^2t; t= 0

2. Soru 1 de verilen fonksiyonlar¬n gerçek türevlerini de kar¸s¬lar¬nda verilen noktalarda hesaplay¬n¬z.

3. Soru 1 de elde etti¼giniz say¬sal türev de¼gerleri ile soru 2 de elde etti¼giniz say¬sal türev de¼gerlerinin fark¬ile olu¸sturaca¼g¬n¬z say¬sal türev hata de¼gerlerini hesaplay¬n¬z.

4. Soru1 3üh= 0:05için tekrarlay¬n¬z. Elde etti¼giniz yeni hata de¼gerleri ile h= 0:1için elde etti¼giniz hata de¼gerlerini kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Ad¬m uzunlu¼gunu ikiye bölmek suretiyle elde etti¼giniz yakla¸s¬mlarda olu¸san hata de¼gerleri, önceki de¼gerlerin yakla¸s¬k olarak ne kadar¬d¬r. Elde etti¼giniz sonuç hatan¬n O(h) büyüklü¼günde olmas¬ile uyumlu mudur?

(17)

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

¸

Sekil 1.2: ·Ileri fark(o), geri fark(kare) ve merkezi fark(*) yakla¸s¬mlar¬ ile gerçek türev(-)

5. (Birinci basamaktan türev için geri fark yakla¸s¬m¬) f 2 C²[a; b] ve küçük pozitif h sabiti için,t vet h 2(a; b) olsun. Bu taktirde

f0(t) = (f(t) f(t h))=h+O(h); h!0 oldu¼gunu gösteriniz.

6. Soru 1 4ü geri fark yakla¸s¬m¬için tekrar ediniz.

7. (Birinci basamaktan türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬) f 2 C³[a; b] ve küçük pozitif sabiti için, t h; t+h2(a; b)olsun. Bu taktirde

f0(t) = (f(t+h) f(t h))=2h+O(h²) dir, burada O(h²) = h²=6f⁰⁰⁰(c); h!0; c2(a; b)

oldu¼gunu gösteriniz.

8. Soru1 4ü merkezi fark yakla¸s¬m¬için tekrar ediniz. Elde etti¼giniz sonuçlar hatalar¬n O(h²) büyüklü¼günde olmas¬ile uyumlu mudur?

(18)

9. f(t) = sin(t) fonksiyonunun ileri fark yöntemine göre say¬sal türevini [ 1;1]aral¬¼g¬ndaki10adet alt aral¬¼g¬n uç noktalar¬nda hesaplayarak gerçek ve say¬sal türevin gra…¼gini ayn¬ekranda çizdiriniz.

10. Soru 1 için [-1,1] aral¬¼g¬nda 10 adet noktada ileri fark, geri fark ve merkezi fark ile elde etti¼giniz hata de¼gerlerini tablo halinde ve gra…ksel olarak kar-

¸

s¬la¸st¬r¬n¬z. Hangi yöntemle elde etti¼giniz sonuçlar gerçek türev de¼gerlerine daha yak¬nd¬r? Neden?

Al¬¸st¬rmalar 1.2. (Bilgisayar destekli al¬¸st¬rmalar)

1. f(t) = sin(t) fonksiyonunun ileri fark yöntemine göre birinci basmaktan say¬sal türevini [ 2;2] aral¬¼g¬n¬10 adet alt aral¬¼ga bölerek elde edilen alt aral¬k uç noktalar¬nda hesaplayarak, gerçek ve say¬sal türevin gra…¼gini ayn¬

ekranda çizdiriniz.

2. Yukar¬da verilen aral¬¼g¬20 adet alt aral¬¼ga bölerek her bir noktada olu¸san hatan¬n yakla¸s¬k olarak kaç kat azald¬¼g¬n¬gözlemlemeye çal¬¸s¬n¬z.

3. t= 2 noktas¬nda olu¸san hatan¬n kaç kat azald¬¼g¬n¬hesaplay¬n¬z.

4. Elde etti¼giniz sonuç yöntemin hata tahmini ile uyumlu mu?

5. Soru1 4 ü geri fark yöntemi için tekrar ediniz.

6. Soru1 4 ü merkezi fark yöntemi için tekrar ediniz.

1.6 Ikinci türev ve merkezi fark yakla¸ · s¬m¬

·Ikinci türev için genellikle kullan¬lan sonlu fark yakla¸s¬m¬merkezi fark yakla¸s¬m¬d¬r. Yakla¸s¬m formülü ve hata terimi a¸sa¼g¬daki gibidir:

TEOREM 1.2. Teorem (·Ikinci basamaktan türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬) f 2 C⁴[a; b] ve küçük pozitif h sabiti için, t h ve t+h 2 (a; b) olsun. Bu taktirde

f⁰⁰(t) = (f(t+h) 2f(t) +f(t h))=h²+O(h²); h >0 d¬r.

(19)

1.6 ·Ikinci türev ve merkezi fark yakla¸s¬m¬ 19

·Ispat: Taylor teoreminden

f(t+h) f(t) =hf⁰(t) +h²f⁰⁰(t)=2 +h³f⁰⁰⁰(t)=6 +h⁴f^(iv)(c₁)=24; c₁ 2(a; b)

f(t h) f(t) = hf⁰(t) +h²f⁰⁰(t)=2 h³f⁰⁰⁰(t)=3! +h⁴f^(iv)(c₂)=24; c₂ 2(a; b) Aç¬l¬mlar¬taraf tarafa toplanarak düzenlenirse,

f(t+h) +f(t h) 2f(t) =h²f⁰⁰(t) +h⁴=12((f^(iv)(c₁) +f^(iv)(c₂))=2); (1.7) c₁; c₂ 2(a; b) elde ederiz. Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ger teoreminden

f^(iv)(c) = ((f^(iv)(c₁) +f^(iv)(c₂))=2)

ba¼g¬nt¬s¬sa¼glanacak biçimde (a; b) aral¬¼g¬nda bir c eleman¬mevcuttur.

O halde (1.7) denkleminin her iki yan¬h² ile bölünürse,

(f(t+h) 2f(t) +f(t h))=h² =f⁰⁰(t) +h²=12(f^(iv)(c)) veya

f⁰⁰(t) = (f(t+h) 2f(t) +f(t h))=h²+O(h²); h >0 elde ederiz.

Tan¬m kümesi içerindeki bir t noktas¬nda f fonksiyonunun ikinci basamaktan merkezi fark yöntemiyle say¬sal türevi

D2(f; t; h) := f(t+h) 2f(t) +f(t h)

h² (1.8)

ÖRNEK 1.9. f(t) = cos(t) fonksiyonunun t = =4 noktas¬ndaki ikinci türev yakla¸s¬m¬n¬ ve yakla¸s¬m hatalar¬n¬h = 0:2 ve h = 0:1 ad¬m uzunluklar¬ için hesaplayal¬m.

Çözüm.

(20)

Belirtilen h de¼gerleri için elde edilen yakla¸s¬mlar ve hatalar¬ a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir:

h= 0:2 h= 0:1

t_i Yakla¸s¬m Hata(h= 0:2) Yakla¸s¬m Hata(h = 0:1)

=4 0:7048 0:0024 0:7066 5:89E 04

Hata(h= 0:2)=Hata(h= 0:1) = 4:074

olup, bu sonuç Teorem 1.2 ile elde edilen O(h²) teorik hatas¬n¬do¼grulamak- tad¬r: ad¬m uzunlu¼gu ikiye bölününce hata dört kat azalmaktad¬r.

Al¬¸st¬rmalar 1.3.

1. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen noktalardaki ikinci basamaktan say¬sal türevlerini merkezi fark yöntemi ve h= 0:1 ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z.

f(t) = sin(t); t= 1 f(t) = ln(t); t= 1 f(t) =e^2t; t= 0

2. Soru 1 de verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen noktalardaki ikinci basamaktan türevlerini(gerçek) hesaplay¬n¬z.

3. Soru 1 ve 2 deki sonuçlar¬n¬z¬kar¸s¬la¸st¬rarak, say¬sal türev i¸sleminde olu¸san hatalar¬hesaplay¬n¬z.

4. Soru 1 3 ü h= 0:05ad¬m uzunlu¼gu ile tekrar ediniz. Elde etti¼giniz yeni hata de¼gerlerinih = 0:1 için elde etti¼giniz hata de¼gerleri ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

Gözlemleriniz hatan¬nO(h²) büyüklü¼günde olmas¬ile uyumlu mudur?

5. ·Ikinci basamaktan türev için merkezi fark formülü ile, birinci basamaktan türev için ileri ve geri fark formülleri aras¬nda a¸sa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lar¬n mevcut oldu¼gunu gözlemleyiniz:

D₂(f; t; h) = (D_goD_i)(f; t; h) = (D_ioD_g)(f; t; h)

Al¬¸st¬rmalar 1.4. (Bilgisayar destekli al¬¸st¬rmalar)

(21)

1.7 Proje çal¬¸smalar¬ 21

1. f(t) =sin(t) fonksiyonunun merkezi fark yöntemine göre ikinci basamaktan say¬sal türevini [0;1] aral¬¼g¬n¬10 adet alt aral¬¼ga bölerek elde edilen alt aral¬k uç noktalar¬nda hesaplay¬n¬z. Gerçek ve say¬sal türev fark¬n¬

hesaplay¬n¬z.

2. Yukar¬da verilen aral¬¼g¬20 adet alt aral¬¼ga bölerek her bir noktada olu¸san hatan¬n yakla¸s¬k olarak kaç kat azald¬¼g¬n¬gözlemlemeye çal¬¸s¬n¬z.

3. t = 1=2noktas¬nda olu¸san hatan¬n kaç kat azald¬¼g¬n¬hesaplay¬n¬z.

4. Elde etti¼giniz sonuç yöntemin hata tahmini ile uyumlu mudur?

5. Soru 1 4ü f(t) = cos(t) fonksiyonu için tekrar ediniz.

1.7 Proje çal¬¸ smalar¬

1. (Birinci basamaktan türev için merkezi fark formülü için farkl¬bir yakla¸s¬m)

f fonksiyonununti noktas¬ndaki birinci mertebeden türevi için ileri fark yöntemi(t_i; f_i);(t_i+1; f_i+1)noktalar¬ndan geçen kiri¸sin e¼gimini yakla¸s¬m olarak kulland¬¼g¬n¬biliyoruz, burada f_i =f(t_i) dir. Benzer olarak geri fark yakla¸s¬m¬(ti 1; fi 1);(ti; fi) noktalar¬; merkezi fark yakla¸s¬m¬ ise (t_i ₁; f_i ₁);(t_i+1; f_i+1) noktalar¬ndan geçen kiri¸sin e¼gimini t_i noktas¬n- daki türev için yakla¸s¬m kabul etmektedir. Bu noktada akl¬m¬za ¸su soru gelebilir: Belirtilen noktalardan geçen kiri¸sin e¼gimini kullanmak yerine, söz konusu noktalardan geçen parabolün t_i noktas¬ndaki e¼giminin bu noktadaki türev için yakla¸s¬m olarak kabulü daha iyi sonuç vermez mi?

Ancak parabol için üç nokta çiftine ihtiyac¬m¬z olacakt¬r. Örne¼gin ap- sisleri aras¬ndaki uzakl¬¼g¬h ya e¸sit olan(ti 1; fi 1); (ti; fi), (ti+1; fi+1) nokta çiftlerini göz önüne alal¬m. Newton formülü yard¬m¬yla bu noktalardan geçen ikinci dereceden polinomun

P(t) = f_i ₁ +f[t_i ₁; t_i](t t_i ₁) +f[t_i ₁; t_i; t_i+1](t t_i ₁)(t t_i) olarak verildi¼gini hat¬rlayal¬m. Burada

f[t_i ₁; t_i] = (f_i f_i ₁)=h

f[t_i ₁; t_i; t_i+1] = (f[t_i; t_i+1] f[t_i ₁; t_i])=2h= (f_i+1 2f_i+f_i ₁)=(2h²)

(22)

Newton bölünmü¸s farklar¬d¬r. Bu de¼gerler yukar¬da verilenP(t)ifadesinde yerine yazarak

P(t) = f_i ₁+(f_i f_i ₁)=h(t t_i)+(f_i+1 2f_i+f_i ₁)=(2h²)(t t_i ₁)(t t_i) elde ediniz. Buradan

P⁰(t_i) = (f_i+1 f_i ₁)=2h oldu¼gunu gösteriniz.

Ancak bu e¼gimif⁰(t_i)için yakla¸s¬m olarak kulland¬¼g¬m¬zda merkezi fark yakla¸s¬m¬n¬elde ederiz!

O halde merkezi fark yakla¸s¬m¬n¬n (t_i ₁; f_i ₁); (t_i+1; f_i+1) noktalar¬n- dan geçen kiri¸sin e¼gimini, fonksiyonunt_inoktas¬ndaki te¼getinin e¼gimine yakla¸s¬m olarak almak suretiyle, ayn¬ zamanda (t_i ₁; f_i ₁); (t_i; f_i) , (t_i+1; f_i+1)noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomunt_i noktas¬n- daki türevini fonksiyonun bu noktadaki türevi için bir yakla¸s¬m olarak kabul etti¼gini görüyoruz.

Sonuç olarak e¼ger türevini hesaplamak istedi¼gimiz fonksiyon ikinci dereceden polinom olsayd¬, merkezi fark yakla¸s¬m¬ile fonksiyon türevini neden hatas¬z olarak hesaplayabilece¼gimizi de görmü¸s olduk. Bu sonucu

¸süphesiz hata formülünden de elde edebiliriz. Çünkü hata,f fonksiyonunun üçüncü mertebeden türevini içermektededir.

2. (Birinci basamaktan türev için yüksek basamaktan hata içeren formül aray¬¸s¬)

Birinci basamaktan türev için daha yüksek basamaktan hata içeren türev yakla¸s¬m aray¬¸s¬m¬z¬sürdürelim:

a; b; c; dve e sabitlerih ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬olmak üzere

D(f; t_i) = af_i ₂+bf_i ₁+cf_i+df_i+1+ef_i+2 =f⁰(t_i) (1.9)

¸seklinde ifade edilebilen bir türev formülü arayal¬m. Elde edece¼gimiz formülün f(t) = 1; t; t²; t³; t⁴ fonksiyonlar¬n¬n herhangi bir t_i noktas¬n- daki türevlerini do¼gru hesaplamas¬n¬ istiyoruz. Kolayl¬k olsun diye t_i = 0 alal¬m. Bu durumda e¸sit aral¬kl¬noktalar¬m¬z

t_i ₂ = 2h; t_i ₁ = h; t_i = 0; t_i+1 =h; t_i+2 = 2h d¬r.

(23)

Yukar¬da verilen fonksiyonlar¬n t_i = 0 noktas¬ndaki birinci basamaktan türevlerinin do¼gru hesaplanmas¬gereklili¼ginden hareketle, çözülmesi gereken denklem sisteminin

a+b+c+d+e = 0 2a b+d+ 2e = 1=h 4a+b+d+ 4e = 0 8a b+d+ 8e = 0 16a+b+d+ 16e = 0 oldu¼gunu belirleyiniz.

Yukar¬daki denklem sistemini çözerek türev yakla¸s¬m katsay¬lar¬n a= 1=12h; b = 2=3h; c= 0; d= 2=3h; e= 1=12h

oldu¼gunu gösteriniz. Böylece türev yakla¸s¬m¬m¬z

D(f; t_i) = (1=12f_i ₂ 2=3f_i ₁+ 2=3f_i+1 1=12f_i+2)=h olarak elde edilir.

f 2 C^m[a; b] ve t 2h; t h; t; t+h; t+ 2h 2 (a; b) olmak üzere türev yakla¸s¬m hatas¬

D(f; t) f⁰(t) = C₁f^(m)(c)hⁿ; c2(a; b) olacak biçimdeki pozitif m ve n tamsay¬lar¬n¬belirleyiniz.

Yukar¬da elde etti¼giniz yönteminf(t) = 1; t; t²; t³; t⁴ fonksiyonlar¬- n¬n türevlerini herhangih >0ad¬m uzunlu¼gu ile hata yapmaks¬z¬n hesaplad¬¼g¬n¬gösteriniz.

3. (Proje II deki fark formülü için farkl¬bir yakla¸s¬m)

(t_i ₂; f_i ₂);(t_i ₁; f_i ₁);(t_i; f_i);(t_i+1; f_i+1);(t_i+2; f_i+2)noktalar¬ndan geçen interpolasyon polinomunu belirleyiniz.(Yard¬m: E¸sit aral¬kl¬

veriler için Newton formülünü kullan¬n¬z.) II. Projede belirtilen

f0(t)~1=h(1=12f_i ₂ 2=3f_i ₁+ 2=3f_i+1 1=12f_i+2)

yakla¸s¬m¬n¬n yukar¬da belirledi¼giniz polinomunt_inoktas¬ndaki türevine e¸sit oldu¼gunu gösteriniz.

(24)

4. (II. basamaktan Türev için Yüksek basamaktan yakla¸s¬m aray¬¸s¬) ·Ikinci basamktan türev için daha yüksek basamaktan hata terimi içeren aray¬¸s¬m¬z¬

sürdürelim:

a; b; c; dveesabitlerihad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬sabitler olmak üzere D2(f; t_i) = af_i ₂+bf_i ₁+cf_i+df_i+1+ef_i+2 =f⁰⁰(t_i)

¸seklinde ifade edilebilen bir türev formülü arayal¬m. Elde edece¼gimiz formülünf(t) = 1; t; t²; t³; t⁴ fonksiyonlar¬n¬n herhangi bir t_inoktas¬ndaki türevlerini do¼gru hesaplamas¬n¬istiyoruz. Kolayl¬k olsun diye ti = 0 alal¬m. Bu durumda e¸sit aral¬kl¬noktalar¬m¬z

t_i ₂ = 2h; t_i ₁ = h; t_i = 0; t_i+1 =h; t_i+2 = 2h d¬r.

Yukar¬da verilen f fonksiyonlar¬n¬n t_i = 0 noktas¬ndaki türev- lerinin do¼gru hesaplanmas¬ gereklili¼ginden hareketle, çözülmesi gereken denklem sisteminin

a+b+c+d+e = 0 2a b+d+ 2e = 0 4a+b+d+ 4e = 2=h² 8a b+d+ 8e = 0 16a+b+d+ 16e = 0 oldu¼gunu belirleyiniz.

Yukar¬daki denklem sistemini çözerek türev yakla¸s¬m katsay¬lar¬

a= 1=12h²; b = 4=3h²; c= 5=2h²; d= 4=3h²; e= 1=12h² oldu¼gunu gösteriniz. Böylece türev yakla¸s¬m¬m¬z

D2(f; t) = ( 1=12f_i ₂+ 4=3f_i ₁ 5=2f_i+ 2=3f_i+1 1=12f_i+2)=h² olarak elde edilir.

f 2 C^m[a; b] ve t 2h; t h; t; t+h; t+ 2h 2 (a; b) olmak üzere türev yakla¸s¬m hatas¬n¬n

D2(f; t) f⁰⁰(t) =C₁f^(m)(c)hⁿ; c2(a; b)

olacak biçimdeki pozitif m ven pozitif tamsay¬lar¬n¬belirleyiniz.

(25)

5. a; b; c; d ve e sabitleri h ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬ sabitler olmak üzere üçüncü basamaktan türev için

D3(f) =afi 2+bfi 1+cfi+dfi+1+efi+2 =f⁰⁰⁰(ti)

¸seklinde ifade edilebilen bir türev formülü aray¬n¬z. Elde etti¼giniz yakla¸s¬m¬n basama¼g¬nedir?

6. a; b; c; d ve e sabitleri h ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬ sabitler olmak üzere dördüncü basamaktan türev için

D4(f; t_i) =af_i ₂+bf_i ₁+cf_i+df_i+1+ef_i+2 =f^(iv)(t_i)

¸seklinde ifade edilebilen bir türev formülü aray¬n¬z. Elde ettti¼giniz yakla¸s¬m¬n basama¼g¬nedir?