та відповідно паралельні даним.
Д о в е д е н н я. Нехай прямі a і b перетинаються в точці M, а пря- мі a1 і b1 — у точці M1, причому a a 1, b b 1. Доведемо, що кут між прямими a і b дорівнює куту між прямими a1 і b1.
Нехай через прямі a і b проходить площина a, а через прямі a1 і b1 — площина a1.
Якщо площини a і a1 збігаються, то всі дані прямі лежать в од- ній площині (рис. 9.3). Тоді твердження теореми можна довести, використовуючи властивості паралельних прямих на площині.
Зробіть це самостійно.
b a M
a1
b1 M1
a1 b1
α1 M1
A1 B1
B
α
A b
M a
Рис. 9.3 Рис. 9.4
Нехай площини a і a1 різні (рис. 9.4). У площині паралельних прямих a і a1 проведемо пряму AA1 паралельно прямій MM1 (A ∈ a, A1 ∈ a1). У площині паралельних прямих b і b1 проведемо пряму BB1
паралельно прямій MM1 (B ∈ b, B1 ∈ b1).
Чотирикутники AA1M1M і BB1M1M — паралелограми, оскільки в них протилежні сторони паралельні.
Кожний із відрізків AA1 і BB1 дорівнює відрізку MM1 і пара- лельний йому. Отже, чотирикутник AA1B1B — паралелограм.
Оскільки в паралелограмі протилежні сторони рівні, то AM =
= A1M1, BM = B1M1, AB = A1B1. Отже, трикутники AMB і A1M1B1 рівні за третьою ознакою рівності трикутників. Звідси ∠AMB = ∠A1M1B1.
Це означає, що кут між прямими a і b дорівнює куту між пря- мими a1 і b1. ◄
Скориставшись теоремою 9.1, можна показати (зробіть це само- стійно), що кут між мимобіжними прямими a і b дорівнює куту між прямими a і b1, що перетинаються, де b b1 .
Наприклад, на рисунку 9.5 зображено трикутну приз му ABCA1B1C1. Кут між мимобіжними прямими AA1 і BC дорівнює куту між пря- мими BB1 і BC, що перетинаються.
A1 Ñ1
B1
A C
B
Ñ1 D1 A1
B1
B A
C D
Ñ1 D1 A1
B1
B A
C D
Рис. 9.5 Рис. 9.6 Рис. 9.7
О з н а ч е н н я. Дві прямі в просторі називають п е р п е н д и к у- л я р н и м и, якщо кут між ними дорівнює 90°.
Зауважимо, що перпендикулярні прямі можуть як перетина- тися, так і бути мимобіжними.
Якщо прямі a і b перпендикулярні, то записують: a ^ b.
Два відрізки в просторі називають перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.
Наприклад, ребра AD і CC1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикуляр- ні (рис. 9.6). Справді, оскільки DD CC1 1, то кут між прямими AD і CC1 дорівнює куту між прямими AD і DD1. Але ∠ADD1 = 90°, тому AD ^ CC1.
Задача. На рисунку 9.7 зображено куб ABCDA1B1C1D1. Знайдіть кут між прямими A1D і D1C.
Р о з в ’ я з а н н я. Сполучимо точки A1 і B. Оскільки A D BC1 1 , то точки A1, D1, C і B лежать в одній площині. Ця площина перетинає
паралельні площини AA1B і DD1C по паралельних прямих A1B і D1C.
Отже, кут між прямими A1D і D1C дорівнює куту DA1B.
Сполучимо точки B і D. Відрізки A1D, A1B і BD є рівними як діагоналі рівних квадратів. Отже, трикутник A1BD рівносторонній.
Тоді ∠DA1B = 60°.
В і д п о в і д ь: 60°. ◄
?
1. Що називають кутом між двома прямими, що перетинаються?2. Що називають кутом між двома мимобіжними прямими?
3. Які дві прямі в просторі називають перпендикулярними?
4. Які два відрізки в просторі називають перпендикулярними?
ВпраВи
9.1.° Скільки в просторі можна провести прямих, перпендикулярних до даної прямої, через точку: 1) яка належить даній прямій;
2) яка не належить даній прямій?
9.2.° Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 9.8). Знайдіть кут між прямими:
1) CD і BC; 2) AA1 і C1D1; 3) AA1 і D1C; 4) AC і B1D1; 5) A1C1 і AC.
9.3.° Дано куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 9.8). Знайдіть кут між прямими:
1) AB і BB1; 2) AB і B1D1; 3) A1D і B1C; 4) B1D1 і C1C.
C1 D1 A1
B1
B A
C
D A
B C
D M
Рис. 9.8 Рис. 9.9
9.4.° Точка M, яка не належить площині прямокутника ABCD, є такою, що трикутник CMD рівносторонній (рис. 9.9). Знайдіть кут між прямими AB і MC.
9.5.° Точка M не належить площині квадрата ABCD, ∠MBA = 40°,
∠MBC = 90°. Знайдіть кут між прямими: 1) MB і AD; 2) MB і CD.
9.6.° Трапеція ABCD з основами AD і BC та трикутник MEF не лежать в одній площині, точка E — середина відрізка AB, точка F — середина відрізка CD, ME = FE, ∠MEF = 110°.
Знайдіть кут між прямими: 1) AD і EF; 2) AD і ME; 3) BC і MF.
9.7.° Паралелограм ABCD і трикутник AED не лежать в одній пло- щині (рис. 9.10). Знайдіть кут між прямими BC і AE, якщо
∠AED = 70°, ∠ADE = 30°.
C
D A
B E
A B
C
D A C
B M
K D
Рис. 9.10 Рис. 9.11 Рис. 9.12
9.8.° Відомо, що AB ^ AC, AB ^ AD, AC ^ AD (рис. 9.11). Знайдіть відрізок CD, якщо BC = 17 см, AB = 15 см, BD=3 29 см.
9.9.° Відомо, що AB ^ AC, AB ^ AD, AC ^ AD (рис. 9.11). Знайдіть відрізок BC, якщо CD=2 43 см, BD = 12 см, ∠ABD = 60°.
9.10.• Кожне ребро тетраедра DABC дорів- нює a, точки М і K — середини ребер АВ і СD відповідно (рис. 9.12).
1) Доведіть, що MK ^ AB і MK ^ CD.
2) Знайдіть відрізок MK.
9.11.• Точки E, F, M і K — середини відповід- но ребер AB, BC, AD і BD тетраедра DABC (рис. 9.13). Знайдіть кут між прямими EF і MK, якщо ∠BAC = a.
9.12.• Діагоналі грані ABCD куба ABCDA1B1C1D1 перетинаються в точці O. Знайдіть кут між прямими OB1 і A1C1.
9.13.• Основою прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є ква- драт, сторона якого дорівнює a. Знайдіть кут між прямими AD1 і B1C, якщо бічне ребро паралелепіпеда дорівнює a 3.
A C
B
E F
K M
D
Рис. 9.13
9.14.•• Точки E і F — середини відповідно ребер AA1 і CD куба ABCDA1B1C1D1. Побудуйте пряму, яка проходить через точку D1, перпендикулярна до прямої EF і перетинає відрі- зок EF.
9.15.•• Точки E, F, M і K — середини відповідно ребер AB, AD, CD і BC тетраедра DABC. Відомо, що EM = FK. Знайдіть кут між прямими AC і BD.
9.16.•• Точки M і N — відповідно середини ребер AC і BD тетраедра DABC. Знайдіть кут між прямими MN і BC, якщо відомо, що BC = AD, а кут між прямими BC і AD дорівнює 30°.
9.17.•• Точки E, F, M і K — середини відповідно ребер AB, AD, CD і BC тетраедра DABC, AC = 12 см, BD = 16 см, FK=2 13 см.
Знайдіть кут між прямими AC і BD.
9.18.•• Точка K — середина ребра DС куба ABCDA1B1C1D1. Знайдіть косинус кута між прямими B1C і C1K.
9.19.•• Усі ребра тетраедра DABC рівні. Точки M і N — середини ребер AB і CD відповідно. Знайдіть кут між прямими MN і BC.
9.20.•• Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що прямі B1D і AD1 перпендикулярні.
9.21.* Основою призми ABCA1B1C1 є трикутник АВС (∠C = 90°).
Знайдіть кут між прямими AC1 і CB1, якщо відомо, що AC1 =
= CB1 = АВ.
9.22.* Точки M, N і K — середини відповідно ребер CB, B1A1 і AC призми ABCA1B1C1. Знайдіть кут між прямими CB1 і BA1, якщо відомо, що MN = BK.
ВпраВи дЛя поВторення
9.23. Діагоналі AC і BD паралелограма ABCD дорівнюють відпо- відно 24 см і 10 см, AD = 13 см. Знайдіть периметр паралело- грама.
9.24. На стороні АС трикутника АВС позначили точку М так, що АМ : МС = 3 : 2. На відрізку ВМ позначили точку K так, що ВK : KМ = 4 : 1. Пряма АK перетинає сторону ВС у точці Р.
Знайдіть площу трикутника АВР, якщо площа трикутника АВС дорівнює 34 см2.
10. перпендикулярність прямої та площини
У повсякденному житті ми говоримо: флагшток перпендикуляр- ний до поверхні землі (рис. 10.1), щогли вітрильника перпендику- лярні до поверхні палуби (рис. 10.2), шуруп укручують у дошку перпендикулярно до її поверхні (рис. 10.3) тощо.
Рис. 10.1 Рис. 10.2 Рис. 10.3
Ці приклади дають уявлення про пряму, перпендикулярну до площини.
О з н а ч е н н я. Пряму називають п е р п е н д и к у л я р н о ю д о п л о щ и н и, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині (рис. 10.4).
Якщо пряма a перпендикулярна до площини a, то записують:
a ^a. Також прийнято говорити, що площина a перпендикулярна до прямої а або пряма a та площина a перпендикулярні.
З означення випливає, що коли пряма a перпендикулярна до площини a, то вона перетинає цю площину. Справді, якби вико- нувалась одна з двох умов aα або a ⊂ a, то в площині a знайшла- ся б така пряма b, що a b . А це суперечило б означенню.
α
a
B A
C D
C1 D1 A1
B1
Рис. 10.4 Рис. 10.5
Відрізок називають перпендикулярним до площини, якщо він належить прямій, перпендикулярній до цієї площини.
Наприклад, інтуїтивно зрозуміло, що ребро AA1 прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярне до площини ABC (рис. 10.5). Довести цей факт нескладно, скориставшись такою теоремою.
Теорема 10.1 (оз н а к а п е р п е н д и к у л я р н о с т і п р я м о ї т а