Д о в е д е н н я. Через точку А, яка не належить площині a, про- ведемо дві прямі а і b, паралельні площині a. Проведемо через прямі а і b, що перетинаються, площину b (рис. 6.9). Доведемо, що довільна пряма х, яка проходить через точку А паралельно площині a, лежить у площині b.
Припустимо, що пряма х не належить площині b, а перетинає її. За теоремою 6.1 α β . Тоді за наслідком 1 із теореми 6.2 пряма х перетинає площину a. Отримали суперечність. ◄
Т е о р е м а 6.3. Прямі перетину двох паралельних площин третьою площиною паралельні.
Доведення. Нехай дано площини a, b і g такі, що α β , α γ∩ =a, β γ∩ =b (рис. 6.10). Доведемо, що a b .
Прямі a і b лежать в одній площині (площині g). Отже, вони або перетинаються, або паралельні.
Якщо прямі a і b перетинаються, тобто мають спільну точку, то спільну точку мають також площини a і b, що суперечить умові
α β .
Таким чином, прямі a і b паралельні. ◄
α β
A a
b x
b α a
β
γ B
α A β
A1 B1
Рис. 6.9 Рис. 6.10 Рис. 6.11
З а д а ч а 1. Доведіть, що відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні.
Р о з в ’ я з а н н я. Нехай дано паралельні площини a і b та па- ралельні прямі AB і A1B1 такі, що A ∈ a, A1 ∈ a, B ∈ b, B1 ∈ b (рис. 6.11). Доведемо, що AB = A1B1.
Паралельні прямі AB і A1B1 задають деяку площину g, причому α γ∩ =AA1 і β γ∩ =BB1.
За теоремою 6.3 отримуємо, що AA BB1 1. Отже, чотирикутник AA1B1B — паралелограм. Звідси AB = A1B1. ◄
З а д а ч а 2. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди EABCD площиною, яка проходить через точку M бічного ребра EC пара- лельно площині ABE.
Р о з в ’ я з а н н я. Січну площину та площину ABE перетинає площина BEC (рис. 6.12). За теоремою 6.3 площина BEC перетинає вказані площини по паралельних прямих. Тоді в площині BEC проведемо через точку M пряму, паралельну прямій BE. Отримуємо точку N — точку пере- тину проведеної прямої та прямої BC. Таким чином, січна площина перетинає грань BEC по відрізку MN.
Аналогічно можна встановити, що січна площина перетинає грань ABCD по відрізку PN (де PN AB , точка P належить ребру AD), а грань AED — по відрізку PK (де PK AE , точка K належить ребру DE). Точки K і M належать грані DEC і січній площині. Сполучимо точки K і M від- різком. Те, що чотирикутник MNPK — шуканий переріз, випливає з побудови.
Зауважимо, що обґрунтувати паралельність площин ABE і PNM можна, спираючись і на ознаку паралельності двох площин. Справ- ді, AB PN і BE NM , тому площини ABE і PNM паралельні. ◄
?
1. Які площини називають паралельними?2. сформулюйте ознаку паралельності двох площин.
3. У якому разі говорять, що два многокутники паралельні?
4. сформулюйте властивості паралельних площин.
ВпраВи
6.1.° Чи є правильним твердження:
1) якщо дві площини паралельні, то будь-яка пряма однієї площини паралельна будь-якій прямій другої площини;
2) якщо пряма, яка лежить в одній площині, паралельна прямій, що лежить у другій площині, то дані площини паралельні;
3) якщо дві прямі, які лежать в одній площині, паралельні від- повідно двом прямим, які лежать у другій площині, то дані площини паралельні?
B
A C
D M E
N P
K
Рис. 6.12
6.2.° Паралелограми ABCD і AEFD не лежать в одній площині (рис. 6.13). Доведіть, що площини ABE і DCF паралельні.
6.3.° Точки M, N і K — середини ребер AB, АC і AD тетраедра DABC.
Доведіть, що площини MNK і BCD паралельні.
6.4.° На ребрах DA, DB і DC тетраедра DABC позначили відповідно точки E, F і K так, що DE
DA DF DB
DK
= = DC. Доведіть, що площи- ни EFK і AВС паралельні.
6.5.° Дві діагоналі правильного шестикутника паралельні площи- ні a. Чи можна стверджувати, що площина даного шестикутника паралельна площині a?
6.6.° Чи можна стверджувати, що площина a паралельна площині трапеції, якщо площина a паралельна:
1) основам трапеції;
2) бічним сторонам трапеції?
6.7.° Чи є правильним твердження:
1) якщо прямі перетину двох площин третьою площиною пара- лельні, то дані площини паралельні;
2) якщо відрізки, які лежать на паралельних прямих і містяться між двома площинами, рівні, то дані площини паралельні?
6.8.° Площини a і b паралельні. У площині a вибрано точки C і D, а в площині b — точки C1 і D1 такі, що прямі CC1 і DD1 паралельні. Знайдіть відрізки DD1 і C D1 1, якщо CD = 12 см,
CC1=4 см.
6.9.° Трикутник ABC лежить у площині a. Через його вершини проведено паралельні прямі, які перетинають площину b, пара- лельну площині a, у точках A1, B1 і C1. Доведіть, що трикут- ники ABC і A B C1 1 1 рівні.
6.10.° Дано паралельні площини a і b. Відрізок AB і точка C лежать у площині a, точка D — у площині b (рис. 6.14). Побудуйте лінію перетину: 1) площини b і площини ABD; 2) площини b і площини BCD.
B A
C D E F
D α A
β
B C
Рис. 6.13 Рис. 6.14
6.11.° Дано паралельні площини a і b. Точки M і N лежать у пло- щині a, точки K і P — у площині b (рис. 6.15). Побудуйте лінію перетину:
1) площини a і площини MKP;
2) площини b і площини MNK.
6.12.• Паралельні площини a і b перетинають сторону BA кута ABC у точках A1 і A2 відповідно, а сторону BC — у точках C1 і C2 відповідно. Знайдіть:
1) відрізок A1C1, якщо A2C2 = 36 см, BA1 : BA2 = 5 : 9;
2) відрізок C1C2, якщо A1C1 = 14 см, A2C2 = 21 см, BC1 = 12 см.
6.13.• Площини a і b паралельні. Точки A і B лежать у площині a, точки C і D — у площині b. Відрізки AC і BD перетинаються в точці O.
1) Доведіть, що AO OC
BO
=OD.
2) Знайдіть відрізок AB, якщо CD = 32 см, AC : AO = 7 : 3.
6.14.• Відрізки AB, CD і EF, що не лежать в одній площині, пере- тинаються в точці O, яка є серединою кожного із цих відрізків.
Доведіть, що площини ACE і BDF паралельні.
6.15.• Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що площини ACB1 і A1C1D паралельні.
6.16.• На ребрі AB куба ABCDA1B1C1D1 позначили точку M так, що AM : MB = 1 : 2 (рис. 6.16). Побудуйте переріз куба площи- ною, яка проходить через точку M і паралельна площині ACC1. Знайдіть периметр отриманого перерізу, якщо ребро куба до- рівнює a.
K α M
β
N
P B
A
C D M
A1
B1 C1
D1
B A
C D A1 M
B1 C1
D1
Рис. 6.15 Рис. 6.16 Рис. 6.17
6.17.• Точка M — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 6.17).
Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку M і паралельна площині A1BC. Знайдіть периметр отриманого пере- різу, якщо ребро куба дорівнює a.
6.18.• На ребрах AA1 і AD куба ABCDA1B1C1D1 позначили відповідно точки M і K, а на продовженні ребра BB1 за точку B1 — точку N (рис. 6.18). Побудуйте переріз куба площиною MNK.
B A
C K D
M
N A1
B1 C1 D1
B A
C D F
E
K A1
B1 C1
D1
Рис. 6.18 Рис. 6.19
6.19.• На ребрах AB і A1D1 куба ABCDA1B1C1D1 позначили відповідно точки E і F, а на продовженні ребра B1C1 за точку C1 — точку K (рис. 6.19). Побудуйте переріз куба площиною EFK.
6.20.• Точка M належить ребру A1D1 куба ABCDA1B1C1D1. Побудуйте лінію перетину площин BDD1 і CC1M.
6.21.• Точка E належить ребру B1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Побудуйте лінію перетину площин ACC1 і BED.
6.22.• Точка K належить грані BCD тетраедра DABC (рис. 6.20).
Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку K паралельно площині ABD.
A C
B D
K
B C
M
E
D A
Рис. 6.20 Рис. 6.21
6.23.• Точка E належить основі ABCD піраміди MABCD (рис. 6.21).
Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точку E паралельно площині CMD.
6.24.• Площина a паралельна площині b, площина b паралель- на площині g. Доведіть, що площини a і g паралельні.
6.25.• Доведіть, що через дві мимобіжні прямі проходить єдина пара паралельних площин.
6.26.• Доведіть, що коли площини a і b паралельні, то будь-яка пряма, що проходить через точку площини a і паралельна пло- щині b, лежить у площині a.
6.27.•• Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка про- ходить через вершину B1 паралельно площині A1C1D. Знайдіть площу отриманого перерізу, якщо ребро куба дорівнює a.
6.28.•• Точка M — середина ребра А1В1 куба ABCDA1B1C1D1. По- будуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку M паралельно площині A1ВC1. Знайдіть площу отриманого перерізу, якщо ребро куба дорівнює a.
6.29.•• Пряма a та основа ABCD прямокутного паралелепіпеда ABCDA B C D1 1 1 1 лежать у площині a (рис. 6.22). На ребрі AD по- значили точку E, на ребрі CC1 — точку F. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка паралельна прямій a та прохо- дить через точки E і F.
α E
A B C
D F a C1 D1 A1
B1 C1
D1 A1
B1
α
B
A C
D
a E
F
Рис. 6.22 Рис. 6.23
6.30.•• Пряма a та основа ABCD прямокутного паралелепіпеда ABCDA B C D1 1 1 1 лежать у площині a (рис. 6.23). На ребрі AB по- значили точку E, на ребрі C1D1 — точку F. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка паралельна прямій a та прохо- дить через точки E і F.
6.31.•• Точка D лежить на ребрі AB призми ABCA1B1C1, точка E належить грані AA1B1B (рис. 6.24). Побудуйте лінію перетину площини ACC1 і площини, яка проходить через точку E пара- лельно площині DCC1.
6.32.•• Точка E лежить на ребрі BC призми ABCDA1B1C1D1, точка F належить грані BB1C1C (рис. 6.25). Побудуйте лінію перетину площини ABB1 і площини, яка проходить через точку F пара- лельно площині EDD1.
A C B E
D B1
A1 C1
B1
A1 D1
C1
A
B
D C F
E
Рис. 6.24 Рис. 6.25
6.33.•• На ребрах AD, CD і B1C1 куба ABCDA1B1C1D1 позначили від- повідно точки E, F і K (рис. 6.26). Побудуйте переріз куба пло- щиною, що проходить через точку K паралельно площині EFB1.
C1 D1 A1
B1
B A
C D F E
K
C B M
E D
K A
C1 D1 A1
B1
B A
C D K M
N
Рис. 6.26 Рис. 6.27 Рис. 6.28
6.34.•• Точка K належить грані DME піраміди MABCDE (рис. 6.27).
Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точку K паралельно площині CMD.
6.35.•• На ребрах AA1, A1B1 і CD куба ABCDA1B1C1D1 позначили від- повідно точки M, N і K (рис. 6.28). Побудуйте переріз куба пло- щиною, що проходить через точку K паралельно площині MNC.
6.36.•• Точки M і N — середини відповідно ребер BC і AD тетраедра ABCD. Паралельні площини a і b містять відповідно прямі AM і BN. Побудуйте перерізи тетраедра площинами a і b.
6.37.•• Точка M — середина ребра BC куба ABCDA1B1C1D1. Паралель- ні площини a і b містять відповідно прямі A1M і D1C. Побудуйте перерізи куба площинами a і b.
6.38.•• Точки A, B, C, D, E і F є такими, що AB DE , BC EF , CD FA і AB DE≠ . Доведіть, що всі ці точки лежать в одній площині.
6.39.•• Точки A, B, C, D, E і F є такими, що AB DE , BC EF , CD FA . Відомо, що не всі зазначені точки належать одній площині. Доведіть, що AB = DE, BC = EF, CD = FA.
6.40.•• Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка про- ходить через пряму DB1 і паралельна прямій AD1.
6.41.•• Точка M — середина ребра C1D1 куба ABCDA1B1C1D1. Побу- дуйте переріз куба площиною, яка проходить через пряму AC1 і паралельна прямій CM.
6.42.* На ребрі AD і діагоналі CA1 куба ABCDA1B1C1D1 позначили відповідно точки M і N так, що пряма MN паралельна пло- щині BC1D. Знайдіть відношення CN : NA1, якщо відомо, що AM : MD = 1 : 4.
6.43.*Основою призми ABCDA1B1C1D1 є трапеція ABCD (BC AD ).
Точка M — середина ребра AB. На діагоналі AC1 позначили точку N так, що пряма MN паралельна площині BA1D. Знайдіть відношення AN : NC1, якщо відомо, що AD : BC = 2 : 1.
6.44.* На ребрах BC і A1D1 куба ABCDA1B1C1D1 позначили відповідно точки M і N так, що BM = MC, A1N : ND1 = 1 : 3.
1) Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку N і паралельна площині AB1M.
2) У якому відношенні січна площина ділить ребро B1C1, раху- ючи від точки B1?
6.45.* На ребрах BC і A1D1 куба ABCDA1B1C1D1 позначили відповідно точки M і N так, що A1M : MD1 = 1 : 5, BN : NC = 1 : 2. Площи- на a, яка проходить через точку N і паралельна площині AB1M, перетинає пряму DC у точці K.
1) Побудуйте переріз куба площиною a. 2) Знайдіть відношення KD : KC.
ВпраВи дЛя поВторення
6.46. Сума діагоналей ромба дорівнює 14 см, а його площа — 24 см2. Знайдіть сторону ромба.
6.47. У прямокутному трикутнику АВС (∠C = 90°) медіана АМ перетинає висоту СD у точці K. Знайдіть відношення СK : KD, якщо ∠BAC = 60°.