КОЛО ТА КРУГ
Задача 4. Дано пряму та точку, яка їй не належить
10. Центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються
А) у рівнобедреному трикутнику;
Б) у рівносторонньому трикутнику;
В) у прямокутному трикутнику;
Г) у різносторонньому трикутнику.
ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 4
Геометричне місце точок (ГМТ)
Геометричним місцем точок (ГМТ) називають множину всіх точок, які мають певну властивість.
Серединний перпендикуляр відрізка як ГМТ
Серединний перпендикуляр відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка.
Бісектриса кута як ГМТ
Бісектриса кута є геометричним місцем точок, які на- лежать куту й рівновіддалені від його сторін.
Коло
Колом називають геометричне місце точок, рівновідда- лених від заданої точки.
Головне в параграфі 4 195
Круг
Кругом називають геометричне місце точок, відстань від яких до заданої точки не більша за дане додатне число.
Хорда кола
Відрізок, який сполучає дві точки кола, називають хор- дою кола.
Діаметр кола
Хорду, яка проходить через центр кола, називають діа- метром.
Властивості кола
Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду навпіл.
Діаметр кола, який ділить хорду, відмінну від діаметра, навпіл, перпендикулярний до цієї хорди.
Дотична до кола
Пряму, яка має з колом тільки одну спільну точку, на- зивають дотичною до кола.
Властивість дотичної
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведе- ного в точку дотику.
Ознака дотичної до кола
Якщо пряма, яка проходить через точку кола, перпенди- кулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то ця пряма є дотичною до даного кола.
Якщо відстань від центра кола до деякої прямої дорівнює радіусу кола, то ця пряма є дотичною до даного кола.
Властивість дотичних, проведених до кола через одну точку Коли через дану точку до кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних, які сполучають дану точку з точками дотику, рівні.
Коло, описане навколо трикутника
Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.
Центр кола, описаного навколо трикутника
Центр кола, описаного навколо трикутника, — це точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника.
Коло, вписане в трикутник
Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно до- тикається до всіх його сторін.
У будь-який трикутник можна вписати коло.
Центр кола, вписаного в трикутник
Центр кола, вписаного в трикутник, — це точка перетину бісектрис трикутника.
197 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ 7 КЛАСУ
Найпростіші геометричні фігури та їхні властивості 665. Відрізок, довжина якого дорівнює a, поділили на п’ять
рівних відрізків. Знайдіть відстань між серединами крайніх відрізків.
666. Точка C — середина відрізка AB, AB = 10 см. На пря- мій AB знайдіть усі точки X такі, що AX + BX + CX =
= 12 см.
667. Точка D — середина відрізка MK, MK=16 см. На прямій MK знайдіть усі точки Y такі, що MY + KY + + DY = 30 см.
668. На прямій позначили 10 точок: A, B, C, D, E, F, M, N, K, P. Скільки при цьому утворилося відрізків, одним із кінців яких є точка A? Скільки всього утворилося відрізків із кінцями в позначених точках? Чи залежить загальна кількість відрізків від того, лежать позначені точки на одній прямій або ні?
669. На рисунку 337 AN = 24 см, AB = BC, CD = DE, EF = FK, KM = MN, DF = 6 см. Знайдіть відрізок BM.
A В C D E F K M N Рис. 337
670. Накресліть кут MKE, який дорівнює 120°. Проведіть промінь KC так, щоб ∠MKC=60 .° Знайдіть кут CKE та вкажіть його вид. Скільки розв’язків має задача?
671. Градусні міри суміжних кутів ABC і CBD відносяться як 5 : 4. Знайдіть кут між бісектрисами кутів ABC і ABD.
Скільки розв’язків має задача?
672. Два кути мають спільну сторону й не мають інших спільних точок. Чи є ці кути суміжними, якщо: 1) їхні величини відносяться як 11 : 19 та один із кутів на 32°
більший за другий; 2) їхні величини відносяться як 7 : 3 та один із кутів на 72° менший від другого?
673. На рисунку 338 BD ^ BC. Кут між бісектрисами кутів ABD і DBC дорівнює 55°. Знайдіть кут ABD.
Трикутники
674. Периметр трикутника дорівнює 87 см, одна зі сторін — a см, друга — b см. Складіть вираз для знаходження третьої сторони. Обчисліть довжину третьої сторони, якщо а = 27, b = 21.
675. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо AB + BC =
= 27 см, AB AC+ =28 см, BC AC+ =29 см.
676. На рисунку 339 ∠ = ∠1 2, ∠ = ∠3 4, AD CF= . Доведіть, що ∆ABC= ∆DEF.
D
B C
A
A D
B
E
F C
3 2 4
1
Рис. 338 Рис. 339
677. У трикутниках ABC і DEF проведено медіани BM і EK відповідно. Відомо, що BC EF= , ∠ABC= ∠DEF, ∠С =
= ∠F. Доведіть, що: 1) ∆BMC= ∆EFK; 2) ∆ABM= ∆DEK.
678. У гострокутних трикутниках ABC і A B C1 1 1 проведено висоти BD і B D1 1відповідно. Доведіть, що ∆ABC= ∆A B C1 1 1, якщо BD B D= 1 1, AD A D= 1 1, CD C D= 1 1.
679. У трикутниках ABC і MKE відомо, що AB = MK, BC = KE, ∠ = ∠B K. На відрізку AB позначено точку F, а на відрізку MK — точку P так, що ∠ACF= ∠MEP.
Яка довжина відрізка CF, якщо PE=15 см?
680. У трикутниках ABC і DEF відомо, що AC = DF, BC =
= EF, ∠ = ∠C F. Бісектриси кутів BAC і ABC перетина- ються в точці O, а бісектриси кутів DEF і EDF — у точ- ці M. Доведіть, що ∆AOB= ∆DME.
Вправи для повторення курсу геометрії 7 класу 199 681. На продовженні основи BC рівнобедреного трикутника
ABC за точку B позначено точку M таку, що ∠MBA =
= 128°. Знайдіть кут між бічною стороною AC та бісек- трисою кута ACB.
682. Із точок A і B, які лежать в одній півплощині відносно прямої m, опущено на цю пряму перпендикуляри AC і BD відповідно. Точки A і B рівновіддалені від пря- мої m, точка O — середина відрізка CD. Доведіть, що трикутник AOB рівнобедрений.
683. На рисунку 340 AB BC= , AD FC= , ∠ADE= ∠CFE. До- ведіть, що точка E — середина відрізка AC.
684. Рівнобедрені трикутники ABC і ADC мають спільну основу AC. Доведіть, що пряма BD — серединний пер- пендикуляр відрізка AC.
685. На рисунку 341 AB BC= , ∠ABO= ∠CBO. Доведіть, що
∠DAO= ∠DCO.
686. На рисунку 342 OA = OC, OD = OB. Доведіть, що ∠DAC =
= ∠BCA.
A Е C
D B
F
A
B
O D
C A D
C O B
Рис. 340 Рис. 341 Рис. 342
687. Точка O — точка перетину серединних перпендикуля- рів сторін AC і BC трикутника ABC — належить його стороні AB. Доведіть, що: 1) точка O — середина від- різка AB; 2) ∠ACB= ∠ + ∠A B.
688. Медіана трикутника ABC розбиває його на два три- кутники, периметри яких рівні. Доведіть, що трикут- ник ABC рівнобедрений.