НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ
ФІГУРИ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ §1
Точки та прямі
Яку фігуру не можна розбити на частини?
Сформулюйте основну властивість прямої
Яка властивість прямої дозволяє позначати її, називаючи будь-які дві точки прямої?
Для чого використовують означення?
Які дві прямі називають такими, що перетинаються?
Як називають твердження, правильність якого встанов- люють за допомогою доведення?
Сформулюйте теорему про дві прямі, що перетинаються
16.* Чи можна провести шість прямих і позначити на них 11 точок, щоб на кожній прямій було позначено рівно чотири точки.
Відрізок і його довжина
Якщо довжина відрізка AB більша за довжину відрізка MN, як, наприклад, на малюнку 24, то кажуть, що відрізок AB більший за відрізок MN, і записують: AB > MN. Можна також сказати, що відрізок MN коротший від відрізка AB, і записати: MN < AB. Якщо точка C є внутрішньою точкою відрізка AB, то відрізок AB дорівнює сумі відрізків AC і CB (рис. 27), тобто.
Скільки існує відрізків, кінцями яких є дві дані точки?
З яких точок складається відрізок AB?
Які два відрізки називають рівними?
Чи можна будь-який відрізок узяти за одиничний?
Що можна сказати про довжини рівних відрізків?
Що можна сказати про відрізки, які мають рівні довжини?
Сформулюйте основну властивість довжини відрізка
Що називають відстанню між двома точками?
Чому дорівнює відстань між двома точками, що збі- гаються?
Яку точку називають серединою відрізка AB?
Кожен із зображених на малюнку 43 променів складається з точки О та всіх точок прямої АВ, які лежать по один бік від точки О. На малюнку 46а зображено фігуру, яка складається з двох променів ОА і ОВ, які мають спільний початок. На малюнку 52 зображено кут AOB і радіус OC, який пов’язаний із цим кутом, але відрізняється від сторін.
Кажуть, що промінь OC проходить між сторонами кута AOB і ділить його на два кути AOC і COB.
Як називають фігуру, утворену точкою, що належить пря- мій, та однією із частин, на які ця точка ділить пряму?
Як позначають промінь?
Які два промені називають доповняльними?
Як називають фігуру, утворену двома променями зі спіль- ним початком та однією із частин, на які ці промені ділять
Як позначають кут?
Який кут називають розгорнутим?
Як називають частини, на які пряма ділить площину?
Які два кути називають рівними?
Що називають бісектрисою кута?
У яких одиницях вимірюють кути?
Яка градусна міра розгорнутого кута?
Як називають кут, градусна міра якого дорівнює 90°?
Який кут називають гострим?
Який кут називають тупим?
Що можна сказати про величини рівних кутів?
Що можна сказати про кути, величини яких рівні?
Сформулюйте основну властивість величини кута
Накресліть промені OA, OB, OC і OD так, щоб промінь OC проходив між сторонами кута AOB, а промінь OD — між сторонами кута BOC.
Суміжні та вертикальні кути
Які два кути називають суміжними?
Чому дорівнює сума суміжних кутів?
Які два кути називають вертикальними?
Сформулюйте теорему про властивість вертикальних кутів
109. • Знайдіть суміжні кути MKE і PKE, якщо кут FKE на 24° більший за кут PKE, де радіус KF — бісектриса кута MKE.
Перпендикулярні прямі
Якщо основа цього перпендикуляра — точка М — належить відрізку АВ (променю АВ), то довжиною відрізка ОМ називають відстань від точки О до відрізка АВ (променя АВ). Припустимо, через точку M проходить інша пряма MD, відмінна від CM і перпендикулярна до прямої AB. Ви можете провести пряму b, перпендикулярну до прямої a, через будь-яку точку M, яка не належить прямій a (рис. 100). ).
Які дві прямі називають перпендикулярними?
Яким символом позначають перпендикулярні прямі?
Що називають кутом між двома прямими, які перетина- ються?
Які два відрізки називають перпендикулярними?
Що називають відстанню від точки до прямої?
Скільки через кожну точку прямої можна провести пря- мих, перпендикулярних до даної?
122.• Доведіть, що коли бісектриси кутів AOB і BOC перпендикулярні, то точки A, O і C лежать на одній прямій. 125.• Кут ABC дорівнює 160°, промені BK і BM проходять між сторонами цього кута і перпендикулярні до них.
Аксіоми
Скільки можна провести відрізків, які містять дві задані точки?
Довжина відрізка AB дорівнює 12 см. Скільки існує на прямій AB точок, сума відстаней від кожної з яких до
Довжина відрізка AB дорівнює 12 см. Скільки існує на прямій AB точок, сума відстаней від кожної з яких до
Два промені є доповняльними, якщо
Яке позначення кута, зображеного на ри- сунку, є неправильним?
Яке з поданих тверджень є хибним?
Яке з поданих тверджень є хибним?
Яке з поданих тверджень є правильним?
Якщо точка C є внутрішньою точкою відрізка AB, то відрізок AB дорівнює сумі відрізків AC і CB, тобто AB = AC + CB.
ТРИКУТНИКИ §2
Як називають і позначають трикутник?
Що називають периметром трикутника?
Які існують види трикутників залежно від виду їхніх кутів?
Який трикутник називають прямокутним? тупокутним?
Які два трикутники називають рівними?
Як називають ті пари сторін і пари кутів рівних трикутників, які суміщаються при накладанні?
Які дві фігури називають рівними?
Що називають висотою трикутника?
Що називають медіаною трикутника?
Що називають бісектрисою трикутника?
Скільки кожний трикутник має висот? медіан? бісектрис?
Перша та друга ознаки рівності трикутників
- Сформулюйте першу ознаку рівності трикутників
- Яку пряму називають серединним перпендикуляром від- різка?
- Яку властивість мають точки серединного перпендику- ляра відрізка?
- Сформулюйте другу ознаку рівності трикутників
- Рівнобедрений трикутник та його властивості О з н а ч е н н я. Трикутник, у якого дві
- у трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути;
- у рівнобедреному трикутнику бісектриса, висота й медіана, проведені до його основи, збігаються;
- у рівносторонньому трикутнику бісектриса, висо- та й медіана, проведені з однієї вершини, збігаються
- Які існують види трикутників залежно від кількості рівних сторін?
- Який трикутник називають рівнобедреним? рівносторон- нім? різностороннім?
- Які сторони рівнобедреного трикутника називають біч- ними?
- Сформулюйте властивість кутів рівнобедреного трикут- ника
- Сформулюйте властивість бісектриси рівнобедреного трикутника, проведеної до основи
- Яку властивість мають кути трикутника, що лежать проти його рівних сторін?
- Сформулюйте властивість кутів рівностороннього трикут- ника
- Яку властивість мають бісектриса, висота й медіана рівно- стороннього трикутника, проведені з однієї вершини?
- Ознаки рівнобедреного трикутника
- у трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони;
- Сформулюйте ознаки рівнобедреного трикутника
- Який зв’язок між рівними кутами та рівними сторонами трикутника?
- Що можна сказати про трикутник, якщо всі його кути рівні?
- Третя ознака рівності трикутників
166.° З точок A і B, які лежать в одній півплощині відносно прямої a на однаковій відстані від неї, на цю пряму опущено перпендикуляри AC і BD. 188.•• Середній перпендикуляр сторони BC трикутника ABC перетинає сторону AB у точці D. Знайдіть відрізок AD, якщо CD = 4 см, AB = 7 см. 189.•• Середній перпендикуляр сторони AB трикутника ABC. трикутник ABC перетинає сторону BC у точці M. Знайдіть довжину сторони AC трикутника ABC, якщо BC = 16 см, а периметр трикутника AMC дорівнює 26 см.
CBL, оскільки за умовою BL бісектриса кута ABC, сторони AB і BC дорівнюють сторонам рівнобедреного трикутника. 218.• На сторонах CA і CB рівнобедреного трикутника ABC відкладено рівні відрізки CK і CM відповідно. На продовженнях сторін AB, BC і AC рівностороннього трикутника ABC (рис. 164) для точок A, B і C відклали відповідно рівні відрізки AD, BK і CE.
Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений. 236.° Пряма, перпендикулярна до середньої лінії кута A, перетинає його сторони в точках B і C. Доведіть, що трикутник ABC — рівнобедрений. 237.° Шийні частини AM. 243.•• Через центр D сторони AB трикутника ABC проведено прямі, перпендикулярні до бісектрис кутів ABC і BAC. 245.•• Пряма, яка проходить через вершину A трикутника ABC перпендикулярно до його медіани BD, ділить цю медіану навпіл.
Пряма, яка проходить через точку М перпендикулярно до бісектриси кута АСВ, перетинає відрізок АС у точці К, А. Третя ознака рівності трикутників 87 і прямої, яка проходить через точку К перпендикулярно до бісектриси кута АСВ. . Кут BAC перетинає пряму AB у точці D.
- Сформулюйте третю ознаку рівності трикутників
- Де знаходяться точки, які рівновіддалені від кінців від- різка?
- Теореми
- З яких двох частин складається формулювання теореми?
- Як називають теорему, у якій перелічено властивості, за якими можна віднести фігуру до певного виду (класу)?
- Як називають теорему, яка безпосередньо випливає з аксіоми чи іншої теореми?
- Як називають пару теорем, у яких умову й висновок по- міняно місцями?
- У чому полягає метод доведення від супротивного?
- У чому полягає прийом додаткової побудови?
- Якщо висота трикутника йому не належить, то цей три- кутник є
- Два трикутники рівні, якщо
- Скільки пар рівних трикутників зображе- но на рисунку?
- Яке з поданих тверджень є правильним?
- Трикутник є рівностороннім, якщо
Якщо точка Х належить прямій АВ, то вона збігається з центром відрізка АВ і, отже, належить його серединному перпендикуляру. Якщо ми, напр. під час доведення теореми 8.2 про властивість серединного перпендикуляра відрізка не розглядали окремо випадок, коли точка X є центром відрізка AB, то в цьому випадку неможливо було б посилатися на трикутники AXM і BXM . 276.• Доведіть методом від зворотного, що якщо сторони AB і BC трикутника ABC не рівні, то його медіана BD не є його висотою.
Для даного трикутника ABC і даного променя A1M існує трикутник A1B1C1, рівний трикутнику ABC, такий, що AB = A1B1, BS = B1C1, AC = A1C1 і сторона A1B1 належить променю A1M, а вершина C1 лежить у даної півплощини відносно прямої A1M . Теорема про пряму, перпендикулярну до даної прямої.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ
СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА
Паралельні прямі
Але в цьому випадку через точку M проходять дві прямі b і c, які паралельні прямій a, що суперечить аксіомі паралельності прямих.
Які дві прямі називають паралельними?
Яким символом позначають паралельність прямих?
Які відрізки називають паралельними?
Яке взаємне розміщення двох прямих, що перпендику- лярні до третьої прямої?
Сформулюйте аксіому паралельності прямих
Яке взаємне розміщення двох прямих, що паралельні третій прямій?
Проведіть пряму m, паралельну прямій AC через точку B, і пряму n, паралельну прямій AC через точку D. 295.•• Доведіть, що коли пряма, яка перетинає пряму a, перетинає пряму b, то прямі a і b паралельні.
Ознаки паралельності двох прямих
Отже, трикутники ABD і CDB рівні за двома сторонами і кутом між ними, тобто за першою ознакою рівності трикутників. Оскільки на прямих BC і AD і січній BD кути BDA і DBC протилежні і ці кути рівні, то BC дорівнює AD.
Якими мають бути різносторонні кути, утворені при пере- тині двох прямих січною, щоб дані прямі були паралель-
Якими мають бути односторонні кути, утворені при пере- тині двох прямих січною, щоб дані прямі були паралель-
Якими мають бути відповідні кути, утворені при перетині двох прямих січною, щоб дані прямі були паралельними?
320.•• Пряма перетинає медіану BM трикутника ABC у точці O, яка є серединою відрізка BM, а сторону BC — у точці K. Відрізок MF відкладено на продовженні відрізка AM за точку M, а на продовженні відрізка CK для точки K — відрізок KD так, що MF=AM, KD CK=.
Властивості паралельних прямих
Оскільки MK ^ b і NP ^ b, то MK || NP, а кути MKN і PNK рівні за всіма сторонами з паралельними прямими MK і NP і діагоналлю KN. Так само кути MNK і PKN дорівнюють сторонам для паралельних прямих MN і KP і діагоналі KN. Отже, трикутники MKN і PNK рівні за стороною і двома прилеглими до неї кутами, тобто за другою ознакою рівності трикутників.
Яку властивість мають різносторонні кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січною?
Яку властивість мають відповідні кути, утворені при пере- тині двох паралельних прямих січною?
Яку властивість мають односторонні кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січною?
Що називають відстанню між двома паралельними пря- мими?
333.° Пряма, паралельна основі AC рівнобедреного трикутника ABC, перетинає його бічні сторони AB і BC у точках D і F відповідно. У продовженнях сторін AC і BC рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC) точки A і B позначені відповідно точками P і K, так що PK || АВ. 342.• Пряма, проведена через вершину A трикутника ABC паралельно його протилежній стороні, утворює зі стороною AC кут, що дорівнює куту BAC.
Через довільну точку M його бісектриси BD проведено прямі, які паралельні його сторонам AB і BC і перетинають відрізок AC у точках E і F відповідно. Властивості паралельних прямих Через точку O перетину бісектрис AE і CF трикутника ABC проведіть пряму, паралельну прямій AC. Через цю точку проведено прямі, які паралельні прямим AB і BC і перетинають сторону AC у точках M і K відповідно.
Чому дорівнює сума кутів трикутника?
Яку найменшу кількість гострих кутів має будь-який три- кутник?
Який кут називають зовнішнім кутом трикутника?
Який зв’язок між зовнішнім кутом трикутника та двома кутами трикутника, не суміжними з ним?
Порівняйте зовнішній кут трикутника з кутом трикутника, який не суміжний з ним
Сформулюйте теорему про нерівність трикутника
Сформулюйте теорему про співвідношення між сторона- ми та кутами трикутника
У трикутнику ABC проведено бісектрису BF. 374.° Доведіть, що якщо один із кутів трикутника дорівнює сумі двох інших кутів, то цей трикутник прямокутний. 393.• Бісектриси кутів при основі AC рівнобедреного трикутника ABC перетинаються в точці O. Доведіть, що кут AOC дорівнює зовнішньому куту трикутника ABC у кутовій точці A. рівнобедреного трикутника ABC з. основа BC, ∠AKB=105. 399. • Через кутову точку C трикутника ABC проведено пряму, яка паралельна бісектрисі AM трикутника і перетинає пряму AB у точці K рівнобедреного трикутника паралельно його основі.
403.• Кут при основі AC рівнобедреного трикутника ABC у 2 рази більший за кут при вершині, AM — медіана трикутника. 418.* На сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначено точки E і F відповідно так, що AC AF EF BE=.
Прямокутний трикутник
Який трикутник називають прямокутним?
Яку сторону прямокутного трикутника називають гіпоте- нузою?
Яку сторону прямокутного трикутника називають катетом?
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та катетом
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за двома катетами
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним гострим кутом
Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та гострим кутом
Чому дорівнює сума гострих кутів прямокутного трикут- ника?
Через точки A і C проведено прямі, які перпендикулярні відповідно до сторін BA і BC і перетинаються в точці O. Доведіть, що радіус BO є бісектрисою кута ABC. На сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначили відповідно точки M і K так, що BM BK=.
Властивості прямокутного трикутника
Треба довести, що ∠BAC=30 .° На промені BC відкладемо відрізок CD, який дорівнює відрізку BC (мал. 269). Крім того, відрізок AC є медіаною і висотою трикутника BAD, тому рівнобедрений трикутник AB = AD.
Яка зі сторін прямокутного трикутника є найбільшою?
Яку властивість має катет, який лежить проти кута, що дорівнює 30°?
Яку градусну міру має кут, який лежить проти катета, що дорівнює половині гіпотенузи?
Знайдіть кут ACB і довжину перпендикуляра AB, якщо ця довжина, виражена в сантиметрах, дорівнює цілому числу. Через вершини A і B трикутника ABC проведено прямі, які перпендикулярні до бісектриси кута ACB і перетинають прямі BC і AC у точках M і K відповідно.
Яке з поданих тверджень є правильним?
Яке з поданих тверджень є неправильним?
На якому з рисунків прямі a і b паралельні?
Яке з поданих тверджень є неправильним?
Скільки зовнішніх кутів має трикутник?
Чому дорівнює сума зовнішніх кутів трикутника, узятих по одному при кожній вершині?
У трикутнику ABC бісектриси кутів A і C перетинаються в точці O. Яка з поданих рівностей є правильною?
КОЛО ТА КРУГ
Геометричне місце точок. Коло та круг
Коло і коло 151 Зрозуміло, що цією властивістю володіють усі точки відрізка АВ і тільки вони (мал. 274). У прямокутних трикутниках BXM і BXN гіпотенуза BX спільна, ∠MBX= ∠NBX, оскільки BX є бісектрисою кута ABC. Розглянемо будь-яку точку X, яка належить куту ABC, не збігається з його вершиною і рівновіддалена від його сторін (мал. 276).
Яку множину точок називають геометричним місцем точок?
Які дві теореми треба довести, щоб деяку множину то- чок можна було назвати ГМТ, які мають певну власти-
Яка фігура є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка?
Яка фігура є геометричним місцем точок, що належать куту й рівновіддалені від його сторін?
Що називають колом?
Що називають радіусом кола?
Що називають хордою кола?
Що називають діаметром кола?
Як пов’язані між собою діаметр і радіус кола?
Що називають кругом?
Чи належить колу його центр?
Чи належить кругу його центр?
Яка нерівність виконується для будь-якої точки A, що на- лежить кругу із центром O та радіусом R?
Коло і коло 157 487.° Відрізки AB і AC — відповідно діаметр і хорда кола, хорда AC дорівнює радіусу цього кола. На стороні AB трикутника ABC позначено точку M так, що BM = CM, радіус MK ділить навпіл кут AMC.
Властивості кола. Дотична до кола
Як ділить хорду діаметр, що перпендикулярний до неї?
Чому дорівнює кут між хордою, відмінною від діаметра, і діаметром, який ділить цю хорду навпіл?
Опишіть усі можливі випадки взаємного розміщення прямої та кола
Яку пряму називають дотичною до кола?
Яку властивість має радіус, проведений у точку дотику прямої та кола?
Сформулюйте ознаку дотичної до кола
Яку властивість мають дотичні, проведені до кола через одну точку?
O — центр кола, діаметр CD — перпендикуляр до хорди AB. 512.° Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від центра. 513.° Доведіть, що якщо хорди кола рівновіддалені від центра, то вони рівні. 514.°. Чи можна стверджувати, що пряма, перпендикулярна до радіуса кола, є дотичною до цього кола? 516.° Пряма CD дотикається до кола з центром. 524. • Через кінці хорди АВ, яка дорівнює радіусу кола, проведено дві дотичні, що перетинаються в точці С.
На колі взято довільну точку M, яка лежить у тій самій півплощині, що й точка C відносно прямої AB, і через неї проведено дотичну до кола, яка перетинає прямі AC і BC у точках D. і E відповідно. На стороні MK трикутника MPK позначено точки E і F так, що точка E лежить між точками M і F, ME EP= , PF FK=.
Описане та вписане кола трикутника
Для доведення достатньо показати, що для кожного трикутника ABC існує точка O, рівновіддалена від усіх його вершин.
Яке коло називають описаним навколо трикутника?
Який трикутник називають вписаним у коло?
Навколо якого трикутника можна описати коло?
Яка точка є центром кола, описаного навколо трикутника?
Яке коло називають вписаним у трикутник?
Який трикутник називають описаним навколо кола?
У який трикутник можна вписати коло?
Яка точка є центром кола, вписаного в трикутник?
551.° Через центр O кола, описаного навколо трикутника ABC, проведено пряму, яка перпендикулярна до сторони AC і перетинає сторону AB у точці M. Точка дотику кола до сторони AB ділить цю сторону у відношенні 2 : 3, відлічуючи від вершини A. 560.• Коло, вписане в рівнобедрений трикутник ABC, дотикається до його бічних сторін AB і BC у точках M і N відповідно.
563.•• До кола, вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною а, проведено дотичну, яка перетинає дві сторони трикутника.
Задачі на побудову 1
Оскільки пряма MAN перетинає відрізок АВ в його середині, в точці О, то розв’язується наступна задача.
Дано пряму та точку, яка їй не належить
- За допомогою яких інструментів виконують геометричні побудови? Які побудови можна ними виконувати?
- Що означає розв’язати задачу на побудову?
- Метод геометричних місць точок у задачах на побудову 1
- Скільки точок містить геометричне місце точок, які на- лежать куту й рівновіддалені від його сторін та вершини?
- На рисунку зображено пряму a, яка до- тикається до кола із центром O в точці A
- Яке твердження є правильним?
- Центр описаного кола трикутника — це точка перетину
- Центр вписаного кола трикутника — це точка перетину
- Центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються
Оскільки AM AN= , ми звели задачу до побудови серединного перпендикуляра відрізка MN. Побудуємо прямокутний трикутник AA1C, у якого гіпотенуза AC дорівнює даній стороні, а катет AA1 — одній із заданих висот (рис. 324, а). Також зауважте, що коли кут ABC відомий, можна побудувати кути ABK і KBC, кожен з яких дорівнює 1.
Побудуємо прямокутний трикутник BDK, у якого гіпотенуза BK дорівнює даній середній лінії, а катет BD — даній висоті (рис. 326). Геометричним місцем точок, які є центрами кіл радіуса R, що проходять через точку M, є коло радіуса R із центром у точці M (на малюнку 331 це «синє коло»). Через центр O його CM трикутника MKN проведено пряму, яка перпендикулярна до його CM і перетинає його MN у точці C.
З точок A і B, які лежать в одній півплощині відносно прямої m, опустіть на цю пряму перпендикуляри AC і BD відповідно. Точка O — перетин середин вертикалей сторін AC і BC трикутника ABC — належить його стороні AB.
