«Київський полiтехнiчний iнститут»
МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФIЧНОЇ РОБОТИ
«Лiнiйнi простори. Лiнiйнi оператори»
з дисциплiни «Лiнiйна алгебра та геометрiя»
для студентiв спецiальностей: 6.040303 «Системний аналiз»
6.030302 «Iнформатика»
Розробник: доц. Подколзiн Г.Б.
Затверджено на засiданнi кафедри Протокол №
вiд « » 20 р.
Завiдувач кафедри
(пiдпис) (прiзвище, iнiцiали)
Київ — 2015
1. Задачи
Задача 1. Для заданных матриц A, B и C решить матричное уравнение AXB =C отно- сительно матрицы X :
1.1. A=
7 0 2 4 5 4 0 2 3
, B =
4 1 1 5 5 3 5 8 6
, C =
8 7 7 2 8 3 3 3 0
.
1.2. A=
7 7 8 0 6 1 1 6 0
, B =
4 4 5 0 3 0 3 2 5
, C =
3 4 4 1 8 3 8 4 2
.
1.3. A=
3 8 2 6 8 1 7 8 1
, B =
0 6 8 4 8 4 3 7 7
, C =
1 6 7 8 2 6 1 1 4
.
1.4. A=
2 2 8 5 0 7 4 5 7
, B =
4 1 1 1 4 4 6 2 3
, C =
6 3 6 7 6 4 3 4 1
.
1.5. A=
4 0 7 3 4 8 0 5 8
, B =
8 4 6 8 4 0 8 5 2
, C =
1 2 2 8 6 2 7 4 3
.
1.6. A=
3 2 1 5 1 4 0 6 1
, B =
0 5 3 4 4 6 1 4 3
, C =
6 4 1 0 2 1 3 6 0
.
1.7. A=
5 8 8 5 8 4 3 7 3
, B =
5 2 3 1 7 4 2 0 5
, C =
3 8 2 1 5 4 8 1 7
.
1.8. A=
3 5 2 3 7 6 3 3 5
, B =
7 8 1 6 3 2 1 0 0
, C =
5 4 0 6 3 0 3 0 5
.
1.9. A=
1 2 0 7 7 2 0 0 3
, B =
1 6 0 0 7 4 6 7 6
, C =
3 4 3 3 3 0 8 1 7
.
1.10. A=
4 8 4 7 2 1 7 0 7
, B =
2 5 3 5 5 7 5 3 5
, C =
8 1 5 5 4 0 1 5 0
.
1.11. A=
5 3 7 7 6 4 2 6 6
, B =
2 6 4 2 5 3 6 7 8
, C =
7 5 4 7 7 7 2 3 1
.
1.12. A=
4 5 0 5 7 7 8 8 8
, B =
1 6 1 0 8 1 5 4 7
, C =
8 7 5 7 5 3 0 1 1
.
1.13. A=
1 7 7 4 6 0 1 7 3
, B =
0 5 5 0 4 1 8 4 7
, C=
0 2 3 1 1 3 8 7 0
.
1.14. A=
3 8 0 0 1 5 0 6 6
, B =
0 4 7 6 2 6 5 5 8
, C=
4 4 0 3 0 6 6 7 2
.
1.15. A=
5 7 5 2 3 3 7 3 2
, B =
0 4 3 1 6 5 7 8 2
, C=
1 1 4 1 1 5 3 7 6
.
1.16. A=
0 6 2 2 4 1 7 7 4
, B =
8 2 6 6 5 6 6 3 7
, C=
5 4 6 5 1 7 7 0 8
.
1.17. A=
4 2 1 0 4 3 7 3 8
, B =
2 2 3 2 2 5 6 0 1
, C=
1 1 6 5 2 1 1 2 4
.
1.18. A=
8 7 5 2 7 4 4 1 0
, B =
7 6 0 3 4 7 6 8 4
, C=
5 8 2 7 6 4 8 6 3
.
1.19. A=
1 3 4 3 5 4 5 3 5
, B =
8 6 6 4 8 5 8 7 4
, C=
5 0 3 7 8 0 0 1 8
.
1.20. A=
7 3 2 4 3 4 1 8 5
, B =
4 6 1 1 2 5 6 6 8
, C=
0 0 0 4 0 2 7 4 3
.
1.21. A=
7 5 3 4 8 4 4 4 3
, B =
1 3 8 2 0 4 1 4 1
, C=
3 6 3 0 4 3 1 8 7
.
1.22. A=
8 5 3 0 1 6 1 2 5
, B =
4 5 1 0 1 5 5 2 6
, C=
7 8 1 3 6 2 7 2 5
.
1.23. A=
3 6 0 2 2 4 7 2 8
, B =
3 7 8 7 5 3 4 7 6
, C=
4 8 0 6 0 0 8 6 8
.
1.24. A=
7 1 7 1 5 4 3 7 8
, B =
6 0 3 5 2 8 0 1 2
, C=
4 8 5 2 4 4 0 3 2
.
1.25. A=
3 0 0 6 1 0 5 2 1
, B =
2 7 6 8 8 6 7 0 6
, C=
2 4 5 6 2 6 0 6 3
.
1.26. A=
3 3 5 1 1 0 6 2 6
, B =
3 7 1 1 0 4 7 5 6
, C =
2 4 5 5 0 2 8 0 4
.
1.27. A=
5 0 0 7 1 3 6 0 2
, B =
1 2 3 2 6 8 2 2 1
, C =
6 5 5 7 8 2 6 3 4
.
1.28. A=
5 0 3 5 7 8 4 3 5
, B =
6 4 8 6 6 2 6 7 1
, C =
0 0 5 3 2 3 0 2 1
.
1.29. A=
3 0 7 4 0 8 4 4 6
, B =
6 0 2 0 4 2 8 8 6
, C =
3 3 6 7 4 2 3 5 4
.
1.30. A=
1 5 2 3 6 3 7 8 4
, B =
6 6 1 8 7 1 4 3 8
, C =
8 2 3 2 2 0 6 6 2
.
1.31. A=
0 3 8 8 8 5 2 2 3
, B =
0 8 7 4 3 2 7 0 2
, C =
2 6 0 8 1 0 1 2 5
.
1.32. A=
0 2 0 4 5 1 2 0 3
, B =
0 8 6 4 1 2 7 0 1
, C =
4 0 5 6 0 1 7 5 5
.
Задача 2. Найти матрицу оператора в базисе (e01,e02,e03), если она задана в базисе (e1,e2,e3):
2.1.
1 0 2 3 −1 0 1 1 −2
, где
e01 = e1+e2+ 2e3, e02 = 2e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.2.
2 1 0 3 0 4 1 −1 2
, где
e01 = e1+e2+ 3e3, e02 = 32e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.3.
0 2 3 4 1 0 2 −1 −2
, где
e01 = e1+e2+ 4e3, e02 = 43e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.4.
1 2 0 3 0 −1 2 1 −1
, где
e01 = e1+e2+32e3, e02 = 3e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.5.
2 0 1 3 0 2
−1 1 2
, где
e01 = e1+e2+43e3, e02 = 4e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.6.
0 3 2 2 1 −1 0 −1 2
, где
e01 = e1+e2+ 5e3, e02 = 54e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.7.
1 3 0 2 1 −1 0 2 1
, где
e01 = e1+e2+ 54e3, e02 = 5e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.8.
2 1 2 3 0 2 1 0 1
, где
e01 = e1+e2 + 6e3, e02 = 65e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.9.
0 1 2 4 0 1
−1 −2 1
, где
e01 = e1+e2+ 65e3, e02 = 6e1 −e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.10.
1 1 0 0 −1 1 2 3 1
, где
e01 = e1+e2 + 7e3, e02 = 76e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.11.
2 1 1 0 0 2 1 3 −1
, где
e01 = e1+e2 +76e3, e02 = 7e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.12.
3 0 1 1 −1 0 2 1 −1
, где
e01 = e1+e2 + 8e3, e02 = 87e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.13.
1 2 1 0 2 0
−1 1 1
, где
e01 = e1+e2 −e3, e02 = 12e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.14.
1 1 2 0 2 1 1 −1 0
, где
e01 = e1+e2 +12e3, e02 = −e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.15.
1 1 1 2 0 1 0 1 1
, где
e01 = e1+e2−2e3, e02 = 23e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.16.
1 1 3 1 0 1 2 0 1
, где
e01 = e1+e2+23e3, e02 = −2e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.17.
1 0 1 0 −1 2 3 −1 1
, где
e01 = e1+e2 −3e3, e02 = 34e1−e2, e3 = −e1+e2 +e3
.
2.18.
1 0 2 3 0 −1 1 −2 1
, где
e01 = e1+e2 −3e3, e02 = 34e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.19.
2 0 0 1 −1 1
−1 2 1
, где
e01 = e1+e2−4e3, e02 = 45e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.20.
1 1 0 1 1 1 0 2 1
, где
e01 = e1+e2+45e3, e02 = −4e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.21.
0 1 1 1 1 0 2 1 1
, где
e01 = e1+e2−5e3, e02 = 56e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.22.
0 0 1 2 1 −1
−1 1 1
, где
e01 = e1+e2+56e3, e02 = −5e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.23.
0 1 1 0 2 1
−1 2 1
, где
e01 = e1+e2−6e3, e02 = 67e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.24.
0 2 1 0 3 2 1 1 −1
, где
e01 = e1+e2+67e3, e02 = −6e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.25.
2 0 1 0 1 −1 1 1 −1
, где
e01 = e1+e2−7e3, e02 = 78e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.26.
2 0 1 1 1 1 0 2 −1
, где
e01 = e1+e2−8e3, e02 = 89e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.27.
2 1 −1
−1 3 1 0 1 0
, где
e01 = e1+e2+89e3, e02 = −8e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.28.
2 1 0 1 0 1 1 −1 1
, где
e01 = e1+e2−9e3, e02 = 109e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.29.
2 1 0 0 1 −1
−1 1 1
, где
e01 = e1+e2+109 e3, e02 = −9e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.30.
2 1 0
−1 0 1 1 1 −1
, где
e01 = e1+e2+ 10e3, e02 = 109e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
2.31.
0 1 1
−1 0 1 1 −1 1
, где
e01 = e1+e2+ 11e3, e02 = 1110e1−e2, e3 = −e1+e2+e3
.
Задача 3. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений :
3.1.
3x1+x2−8x3+ 2x4+x5 = 0, 2x1−2x2−3x3−7x4+ 2x5 = 0, x1+ 11x2−12x3+ 34x4−5x5 = 0.
3.2.
7x1+ 2x2 −x3 −2x4+ 2x5 = 0, x1−3x2+x3−x4−x5 = 0, 2x1+ 5x2 + 2x3+x4+x5 = 0.
3.3.
x1+x2+ 10x3+x4−x5 = 0, 5x1−x2+ 8x3−2x4+ 2x5 = 0, 3x1−3x2−12x3−4x4+ 4x5 = 0.
3.4.
6x1−9x2+ 21x3−3x4−12x5 = 0,
−4x1+ 6x2 −14x3+ 2x4 + 8x5 = 0, 2x1−3x2+ 7x3−x4−4x5 = 0.
3.5.
2x1−x2+ 2x3−x4+x5 = 0, x1+ 10x2−3x3−2x4−x5 = 0, 4x1+ 19x2−4x3−5x4−x5 = 0.
3.6.
5x1−2x2+ 3x3−4x4−x5 = 0, x1+ 4x2−3x3 + 2x4−5x5 = 0, 6x1+ 2x2 −2x4−6x5 = 0.
3.7.
12x1−x2+ 7x3+ 11x4−x5 = 0, 24x1−2x2+ 14x3+ 22x4−2x5 = 0, x1+x2+x3−x4+x5 = 0.
3.8.
x1+ 2x2+x3 + 4x4+x5 = 0, 2x1−x2+ 3x3 +x4−5x5 = 0, x1+ 3x2−x3−6x4 −x5 = 0.
3.9.
2x1−x2+ 3x3−x4−x5 = 0, x1+ 5x2−x3+x4 + 2x5 = 0, x1+ 16x2−6x3+ 4x4+ 7x5 = 0.
3.10.
3
2x1+ 54x2+57x3+x4 = 0,
3
5x1+ 12x2+27x3+25x4 = 0,
1
5x1+ 16x2+212x3+152x4 = 0.
3.11.
8x1+x2+x3−x4+ 2x5 = 0, 3x1−3x2−2x3+x4−3x5 = 0, 5x1+ 4x2+ 3x3−2x4+ 5x5 = 0.
3.12.
x1+ 3x2−x3+ 12x4−x5 = 0, 2x1−2x2+x3−10x4+x5 = 0, 3x1+x2 + 2x4 = 0.
3.13.
7x1−14x2+ 3x3−x4+x5 = 0, x1−2x2+x3−3x4+ 7x5 = 0, 5x1−10x2+x3+ 5x4−13x5 = 0.
3.14.
x1+ 2x2+ 3x3+x4−x5 = 0, 2x1−2x2−5x3−3x4 +x5 = 0, 3x1−2x2+ 3x3+ 2x4−x5 = 0.
3.15.
x1+x2+x3−x4−x5 = 0, 2x1+x2−2x3−x4−2x5 = 0, x1+ 2x2+ 5x3−2x4−x5 = 0.
3.16.
2x1+x2−3x3+x4−x5 = 0, 3x1−x2+ 2x3−x4+ 2x5 = 0, x1−2x2+ 5x3−2x4+ 3x5 = 0.
3.17.
x1+ 2x2−3x3+ 10x4−x5 = 0, x1−2x2+ 3x3−10x4+x5 = 0, x1+ 6x2−9x3+ 30x4−3x5 = 0.
3.18.
2x1+x2−x3+ 7x4+ 5x5 = 0, x1−2x2+ 3x3−5x4−7x5 = 0, 3x1−x2+ 2x3+ 2x4−2x5 = 0.
3.19.
2x1−2x2−3x3−7x4 + 2x5 = 0, x1+ 11x2−12x3+ 34x4 −5x5 = 0, x1−5x2+ 2x3−16x4+ 3x5 = 0.
3.20.
3x1+x2−8x3+ 2x4+x5 = 0, x1+ 11x2−12x3+ 34x4−5x5 = 0, x1−5x2+ 2x3−16x4+ 3x5 = 0.
3.21.
x1+ 3x2−5x3+ 9x4−x5 = 0, 2x1−2x2−3x3−7x4+ 2x5 = 0, x1−5x2+ 2x3−16x4+ 3x5 = 0.
3.22.
5x1+ 2x2−x3+ 3x4+ 4x5 = 0, 3x1+x2−2x3+ 3x4+ 5x5 = 0, 6x1+ 3x2−2x3+ 4x4+ 7x5 = 0.
3.23.
3x1+ 2x2−2x3−x4+ 4x5 = 0, 7x1+ 5x2−3x3−2x4+x5 = 0, x1+x2+x3 −7x5 = 0.
3.24.
6x1+ 3x2−2x3+ 4x4+ 7x5 = 0, 7x1+ 4x2−3x3+ 2x4+ 4x5 = 0, x1+x2−x3−2x4−3x5 = 0.
3.25.
3x1−5x2+ 2x3+ 4x4 = 0, 7x1−4x2+x3+ 3x4 = 0, 5x1+ 7x2−4x3−6x4 = 0.
3.26.
x1+x2+ 3x3−2x4+ 3x5 = 0, 2x1+ 2x2+ 4x3−x4+ 3x5 = 0, x1+x2+ 5x3−5x4+ 6x5 = 0.
3.27.
x1+ 2x2+ 3x3−2x4+x5 = 0, x1+ 2x2+ 7x3−4x4+x5 = 0, x1+ 2x2+ 11x3−6x4+x5 = 0.
3.28.
6x1+ 3x2+ 2x3+ 3x4+ 4x5 = 0, 4x1+ 2x2+x3+ 2x4+ 3x5 = 0, 2x1+x2+x3+x4 +x5 = 0.
3.29.
3x1+ 2x2+ 4x3+x4+ 2x5 = 0, 3x1+ 2x2−2x3+x4 = 0, 3x1+ 2x2+ 16x3+x4+ 6x5 = 0.
3.30.
x1+x2+x3+ 2x4 +x5 = 0, x1−2x2−3x3+x4−x5 = 0, 2x1−x2−2x3+ 3x4 = 0.
3.31.
x1−x2+x3−2x4+x5 = 0, x1+x2−2x3−x4+ 2x5 = 0, x1−3x2+ 4x3−3x4 = 0.
Задача 4. Найти базисы в подпространствах X+Y и X∩Y, если X =л.о.{x1,x2} ⊂R3, Y =л.о.{y1,y2} ⊂R3, и:
4.1. x1 = −2, 4, 7t
, x2 = 0, 1, 2t
, y1 = 1, 0, 1t
, y2 = −1, 2, 4t
. 4.2. x1 = 6, 12, −1t
, x2 = 1, 3, 0t
, y1 = 2, −1, 1t
, y2 = 0, −1, 2t
. 4.3. x1 = 1, −4, 4t
, x2 = 2, 1, −1t
, y1 = 0, 3, 2t
, y2 = 1, −1, 1t
. 4.4. x1 = −9, 5, 5t
, x2 = 4, 1, 1t
, y1 = 2, 0, −3t
, y2 = −1, 2, 1t
. 4.5. x1 = −5, −5, 5t
, x2 = −2, 0, 1t
, y1 = 1, 3, −1t
, y2 = 0, 4, 1t
. 4.6. x1 = 13, 2, 7t
, x2 = 5, 1, 0t
, y1 = 2, −1, 3t
, y2 = 1, 0, −1t
. 4.7. x1 = −19, −1, 7t
, x2 = 0, 1, 1t
, y1 = −2, 0, 1t
, y2 = 3, 1, 0t
. 4.8. x1 = 3, −3, 4t
, x2 = 1, 0, 2t
, y1 = 0, 1, 1t
, y2 = 2, −1, 4t
. 4.9. x1 = 3, 3, −1t
, x2 = 3, 1, 0t
, y1 = −1, 2, 1t
, y2 = −1, 0, 2t
. 4.10. x1 = −1, 7, −4t
, x2 = −1, 2, 1t
, y1 = 2, 0, 3t
, y2 = 1, 1, −1t
. 4.11. x1 = 6, 5, −14t
, x2 = 1, 1, 4t
, y1 = 0, −3, 2t
, y2 = 2, 1, −1t
. 4.12. x1 = 6, −1, 7t
, x2 = 1, −2, 0t
, y1 = −1, 1, 3t
, y2 = 1, 0, 4t
. 4.13. x1 = 5, 15, 0t
, x2 = 1, 0, 5t
, y1 = −1, 3, 2t
, y2 = 0, −1, 1t
.
4.14. x1 = 2, −1, 11t
, x2 = 1, 1, 0t
, y1 = 0, 1, −2t
, y2 = 1, 0, 3t
. 4.15. x1 = 11, 5, −3t
, x2 = 1, 0, 2t
, y1 = −1, 0, 1t
, y2 = 2, 5, −3t
. 4.16. x1 = 8, 0, 5t
, x2 = 2, 0, 1t
, y1 = 1, 1, 0t
, y2 = 4, 1, 2t
. 4.17. x1 = 3, 1, 8t
, x2 = 0, 1, 3t
, y1 = 1, 2, −1t
, y2 = 2, 0, −1t
. 4.18. x1 = 8, 1, 2t
, x2 = 1, 2, −1t
, y1 = 3, 0, 2t
, y2 = −1, 1, 1t
. 4.19. x1 = −9, −8, −3t
, x2 = 1, 4, 1t
, y1 = −3, 2, 0t
, y2 = 1, −1, 2t
. 4.20. x1 = −5, 9, −13t
, x2 = 0, 1, −2t
, y1 = 3, −1, 1t
, y2 = 4, 1, 0t
. 4.21. x1 = −15, 5, 6t
, x2 = 0, 5, 1t
, y1 = 3, 2, −1t
, y2 = −1, 1, 0t
. 4.22. x1 = 8, 9, 4t
, x2 = 1, 0, 1t
, y1 = 0, −2, 1t
, y2 = 1, 3, 0t
. 4.23. x1 = 23, −14, −30t
, x2 = 2, 1, 0t
, y1 = 1, −1, 0t
, y2 = −3, 2, 5t
. 4.24. x1 = 3, 1, 3t
, x2 = 2, 1, 0t
, y1 = 1, 0, 1t
, y2 = 4, 2, 1t
. 4.25. x1 = −1, 7, 0t
, x2 = 0, 3, 1t
, y1 = 1, −1, 2t
, y2 = 2, −1, 0t
. 4.26. x1 = 11, −1, 4t
, x2 = 1, −1, 2t
, y1 = 3, 2, 0t
, y2 = −1, 1, 1t
. 4.27. x1 = −13, 2, 18t
, x2 = 1, 1, 4t
, y1 = −3, 0, 2t
, y2 = 1, 2, −1t
. 4.28. x1 = 0, −8, 9t
, x2 = 0, −2, 1t
, y1 = 3, 1, −1t
, y2 = 4, 0, 1t
. 4.29. x1 = 8, −7, −13t
, x2 = 0, 1, 5t
, y1 = 3, −1, 2t
, y2 = −1, 0, 1t
. 4.30. x1 = 2, 7, 5t
, x2 = 1, 0, 1t
, y1 = 1, −2, 0t
, y2 = 0, 3, 1t
. 4.31. x1 = 15, −20, −1t
, x2 = 0, 2, 1t
, y1 = 0, 1, −1t
, y2 = 5, −3, 2t
.
Задача 5.Доказать линейность, найти матрицу в каноническом базисе, область значений и ядро оператора :
5.1. проектирования на ось Oxвдоль плоскости x+y+z = 0.
5.2. проектирования на плоскость z = 0 вдоль оси x=y=z.
5.3. проектирования на ось Oz вдоль плоскости x+y+z = 0.
5.4. зеркального отражения относительно плоскости Oyz вдоль оси x=y=z.
5.5. проектирования на ось Oy вдоль плоскости x+y+z = 0.
5.6. проектирования на плоскость y= 0 вдоль оси x=y=z.
5.7. зеркального отражения относительно плоскости x+y = 0 вдоль оси x=y =z.
5.8. зеркального отражения относительно плоскости y+z = 0 вдоль оси x=y =z.
5.9. проектирования на плоскость y+z = 0 вдоль оси x=y=z.
5.10. проектирования на плоскость y=√
3x вдоль оси x=y=z.
5.11. проектирования на плоскость Oyz вдоль оси x=y=z.
5.12. зеркального отражения относительно плоскости x−2z = 0 вдоль оси x=y=z.
5.13. зеркального отражения относительно плоскости Oxy вдоль оси x=y =z.
5.14. поворота относительно оси Oxв R3 на угол π2 в положительном направлении.
5.15. проектирования на плоскость x−2y = 0 вдоль оси x=y =z.
5.16. проектирования на плоскость y+z= 0 вдоль оси x=y=z.
5.17. зеркального отражения относительно плоскости x+y= 0 вдоль оси x=y =z.
5.18. зеркального отражения относительно плоскости y−2z = 0 вдоль оси x=y =z.
5.19. проектирования на плоскость x+y = 0 вдоль оси x=y=z.
5.20. проектирования на плоскость x−2z = 0 вдоль осиx=y=z.
5.21. зеркального отражения относительно плоскости x+z = 0 вдоль оси x=y =z.
5.22. поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол π2. 5.23. проектирования на плоскость √
3y+z= 0 вдоль оси x=y=z.
5.24. зеркального отражения относительно плоскости Oxz вдоль оси x=y=z.
5.25. поворота в положительном направлении относительно оси Oy вR3 на угол π2. 5.26. проектирования на плоскость x+z= 0 вдоль оси x=y=z.
5.27. проектирования на плоскость y+√
3z= 0 вдоль оси x=y=z.
5.28. проектирования на плоскость √
3x+z = 0 вдоль оси x=y=z.
5.29. проектирования на плоскость √
3x+y= 0 вдоль оси x=y=z.
5.30. поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол π4. 5.31. проектирования на плоскость x−√
3z = 0 вдоль оси x=y=z.
Задача 6. Вычислить etA, если :
6.1. A=
2 2 −1 1 1 3 −1 1 4 8 −3 4 1 2 −1 2
. 6.2. A=
3 1 4 1
2 4 8 2
−1 −1 −2 −1
1 1 4 3
.
6.3. A=
5 1 3 −1 4 5 6 −2
−2 −1 0 1 2 1 3 2
. 6.4. A=
1 4 −2 2 1 1 −1 1 3 6 −4 3
−1 −2 1 −2
.
6.5. A=
0 1 −3 −1 4 0 −6 −2 2 1 −5 −1 2 1 −3 −3
. 6.6. A=
4 2 −1 −1 2 7 −2 −2 4 8 −1 −4 1 2 −1 2
.
6.7. A=
3 2 −4 −1 2 6 −8 −2 1 2 −2 −1 1 2 −4 1
. 6.8. A=
5 −4 −2 2 1 1 −1 1 1 −2 2 1 1 −2 −1 4
.
6.9. A=
1 −1 −1 1 4 −3 −2 2 2 −1 −2 1 2 −1 −1 0
. 6.10. A=
3 2 −4 −1 2 6 −8 −2 1 2 −2 −1 1 2 −4 1
.
6.11. A=
0 2 −1 1 1 1 −1 1 5 10 −6 5 2 4 −2 1
. 6.12. A=
4 1 −5 2 2 5 −10 4 1 1 −2 2 1 1 −5 5
.
6.13. A=
4 2 −1 −1 2 7 −2 −2 2 4 1 −2 3 6 −3 0
. 6.14. A=
1 −2 2 3
−2 −2 4 6
−1 −2 4 3
−1 −2 2 5
.
6.15. A=
2 1 −1 −1 3 0 −1 −1 3 1 −2 −1 9 3 −3 −4
. 6.16. A=
5 3 −3 −9 1 3 −1 −3 1 1 1 −3 1 1 −1 −1
.
6.17. A=
−1 −3 3 9
−1 1 1 3
−1 −1 3 3
−1 −1 1 5
. 6.18. A=
5 2 −2 −2 3 0 −1 −1 3 1 −2 −1 18 6 −6 −7
.
6.19. A=
1 6 −3 6
−1 6 −1 2
−1 2 3 2
−1 2 −1 6
. 6.20. A=
−4 1 −1 1
−6 1 −2 2
−3 1 −2 1
−6 2 −2 1
.
6.21. A=
6 −6 −6 3 1 1 −2 1 1 −2 1 1 1 −2 −2 4
. 6.22. A=
5 −1 −1 1 6 0 −2 2 6 −2 0 2 3 −1 −1 3
.
6.23. A=
1 1 1 −1
−2 4 2 −2
−3 3 5 −3
−4 4 4 −2
. 6.24. A=
4 −2 −3 4 1 1 −3 4 1 −2 0 4 1 −2 −3 7
.
6.25. A=
−4 2 −2 1
−4 2 −4 2
−6 6 −8 3
−8 8 −8 2
. 6.26. A=
3 2 4 −6 2 3 4 −6 1 1 3 −3 2 2 4 −5
.
6.27. A=
4 2 1 2
2 4 1 2
4 4 4 4
−6 −6 −3 −4
. 6.28. A=
1 −2 −4 6 1 4 2 −3 2 2 7 −6
1 1 2 0
.
6.29. A=
−3 1 2 1
−2 0 2 1
−4 2 3 2 6 −3 −6 −4
. 6.30. A=
−1 −2 2 3
−2 −4 4 6
−1 −2 2 3
−1 −2 2 3
.
Задача 7. В линейном пространстве L =
A ∈ Mat (2×2;R) : tr (AD) = 0 найти орто- нормированный базис, если скалярное произведение в L задано формулой (A, B) = tr (ABT) и:
7.1. D=
1 1 1 1
. 7.2. D=
−1 1 1 1
.
7.3. D=
1 −1 1 1
. 7.4. D=
1 1
−1 1
.
7.5. D=
1 1 1 −1
. 7.6. D=
−2 1 1 1
.
7.7. D=
1 −2 1 1
. 7.8. D=
1 1
−2 1
.
7.9. D=
1 1 1 −2
. 7.10. D=
−1 −1 1 1
.
7.11. D=
−1 1
−1 1
. 7.12. D=
1 −1 1 −1
.
7.13. D=
1 1
−1 −1
. 7.14. D=
−1 1 1 −1
.
7.15. D=
1 −1
−1 1
. 7.16. D=
−1 −1
−1 1
.
7.17. D=
−1 1
−1 −1
. 7.18. D=
−1 −1 1 −1
.
7.19. D=
1 −1
−1 −1
. 7.20. D=
1 2 1 1
.
7.21. D=
2 1 1 1
. 7.22. D=
1 1 1 2
.
7.23. D=
1 1 2 1
. 7.24. D=
2 2 1 1
.
7.25. D=
1 2 1 2
. 7.26. D=
1 2 2 1
.
7.27. D=
2 1 1 2
. 7.28. D=
2 1 2 1
.
7.29. D=
1 3 1 1
. 7.30. D=
1 1
−3 1
.
Задача 8. Найти ортопроекцию и ортогональную составляющую вектора x на подпро- странство L=л.о.{f1,f2}, где вектора f1, f2, x заданы своими координатами в ортонор- мированном базисе e1, e2, e3, e4 :
8.1. f1 = (1,1,2,0)t, f2 = (2,0,0,−1)t, x= (6,−1,3,7)t. 8.2. f1 = (1,1,0,3)t, f2 = (1,−1,1,0)t, x= (1,2,4,2)t. 8.3. f1 = (1,0,1,4)t, f2 = (1,0,−1,1)t, x= (1,3,6,−3)t. 8.4. f1 = (1,1,1,0)t, f2 = (3,−1,1,1)t, x= (2,4,1,−2)t. 8.5. f1 = (0,1,1,1)t, f2 = (1,−1,1,1)t, x= (6,3,1,−1)t. 8.6. f1 = (1,1,5,0)t, f2 = (1,0,−1,1)t, x= (1,4,8,−3)t. 8.7. f1 = (1,0,−1,1)t, f2 = (5,−1,0,0)t, x= (8,4,1,−3)t. 8.8. f1 = (1,1,0,−1)t, f2 = (1,0,−1,0)t, x= (2,5,10,−2)t. 8.9. f1 = (1,1,−1,0)t, f2 = (0,6,0,−1)t, x= (10,5,1,−3)t. 8.10. f1 = (1,−1,1,0)t, f2 = (0,0,1,−1)t, x= (1,6,1,−6)t. 8.11. f1 = (1,1,0,−1)t, f2 = (1,0,−1,0)t, x= (−1,6,1,−3)t. 8.12. f1 = (1,0,−1,1)t, f2 = (1,−1,0,0)t, x= (−1,7,1,7)t. 8.13. f1 = (1,1,−1,0)t, f2 = (1,−1,0,1)t, x= (−3,2,4,3)t. 8.14. f1 = (1,1,1,0)t, f2 = (−1,−1,−1,1)t, x= (2,4,3,−1)t. 8.15. f1 = (1,1,−2,0)t, f2 = (1,−1,0,1)t, x= (2,5,−3,2)t. 8.16. f1 = (1,1,0,−1)t, f2 = (−2,0,−1,0)t, x= (2,3,−1,4)t. 8.17. f1 = (1,1,−3,0)t, f2 = (0,1,0,−1)t, x= (1,−4,8,2)t. 8.18. f1 = (1,1,−3,0)t, f2 = (1,−1,0,1)t, x= (1,4,−8,1)t. 8.19. f1 = (1,1,0,−4)t, f2 = (1,−1,1,0)t, x= (7,−5,1,3)t. 8.20. f1 = (1,1,0,0)t, f2 = (−4,−1,1,1)t, x= (5,−5,−4,3)t. 8.21. f1 = (1,1,−5,0)t, f2 = (1,0,0,−1)t, x= (1,−6,6,1)t. 8.22. f1 = (1,1,1,0)t, f2 = (−5,−1,0,1)t, x= (6,6,2,3)t. 8.23. f1 = (1,1,−1,0)t, f2 = (1,−1,0,−1)t, x= (1,7,−7,1)t. 8.24. f1 = (1,1,1,0)t, f2 = (−1,−1,0,1)t, x= (7,7,2,2)t. 8.25. f1 = (1,1,−1,0)t, f2 = (1,−1,0,1)t, x= (3,−8,8,3)t. 8.26. f1 = (1,1,−2,0)t, f2 = (1,−2,0,−1)t, x= (1,−9,9,1)t. 8.27. f1 = (1,1,1,0)t, f2 = (−1,−1,0,3)t, x= (9,9,2,2)t. 8.28. f1 = (1,1,−3,0)t, f2 = (1,0,0,−1)t, x= (3,−10,10,3)t.
8.29. f1 = (1,1,1,0)t, f2 = (1,−2,0,1)t, x= (1,1,7,7)t. 8.30. f1 = (1,0,1,1)t, f2 = (1,3,0,−1)t, x= (1,9,1,9)t. 8.31. f1 = (0,1,1,1)t, f2 = (1,0,−1,0)t, x= (1,1,1,3)t.
Задача 9. Найти матрицу оператора ортогонального проектирования на линейное под- пространство a) L⊂R3 в каноническом базисе; b) M ⊂R2[x] в базисе {1, x, x2}, если :
9.1. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 : 2x−y+ 5z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
0 f(x)(x+ 1)dx= 0 , (f, g) = R1
0 f(x)g(x)dx.
9.2. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x−3y+z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R0
−1f(x)(x+ 2)dx= 0 , (f, g) =R0
−1f(x)g(x)dx.
9.3. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x−4y−z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
−1f(x)(x+ 4)dx= 0 , (f, g) =R1
−1f(x)g(x)dx.
9.4. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 : 3x−y+ 2z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
−1f(x)(x+ 4)dx= 0 , (f, g) = R1
−1f(x)g(x)dx.
9.5. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x+ 2y−4z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
0 f(x)(x+ 5)dx= 0 , (f, g) = R1
0 f(x)g(x)dx.
9.6. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x−y√
2 +z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R0
−1f(x)(x+ 6)dx= 0 , (f, g) = R0
−1f(x)g(x)dx.
9.7. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x+ 3y−z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R0
−1f(x)(x+ 7)dx= 0 , (f, g) =R0
−1f(x)g(x)dx.
9.8. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x+ 2y+z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
−1f(x)(x+ 8)dx= 0 , (f, g) =R1
−1f(x)g(x)dx.
9.9. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 :x+ 2y+ 2z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
0 f(x)(x−1)dx = 0 , (f, g) =R1
0 f(x)g(x)dx.
9.10. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 : 2x−y+ 5z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
−1f(x)(x−2)dx= 0 , (f, g) = R1
−1f(x)g(x)dx.
9.11. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 : 2x+ 2y+z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R0
−1f(x)(x−3)dx= 0 , (f, g) =R0
−1f(x)g(x)dx.
9.12. a) L=л.о.
(x, y, z)t∈R3 : 3x+y+z = 0 , b) M =
f ∈R2[x] :R1
−1f(x)(x−4)dx= 0 , (f, g) =R1
−1f(x)g(x)dx.
