На кожній поверхні можна бачити дві групи кривих ліній: групуl і групуm, кожна з них накриває всю поверхню (рис.10.1)

Лекція 10 Поверхні

Класифікації поверхонь

Поверхня в нарисній геометрії розглядається як неперервна сукупність послідовних положень змінної твірної, що переміщується в просторі за певним законом. На кожній поверхні можна бачити дві групи кривих ліній: групуl і групуm, кожна з них накриває всю поверхню (рис.10.1).

Рис.10.1

Дві лінії однієї групи m не повинні перетинатися між собою і навпаки, кожна лінія однієї групи повинна перетинати всі лінії другої групи. Таким чином, поверхня може бути утворена рухом лінії l однієї групи по нерухомих лініях m1,m2, ... іншої групи. Лінію l називають твірною, а лінії т напрямними. У загальному випадку твірна І при своєму русі може неперервно деформуватися. Коли поміняти місцями твірні і напрямні, тобто криві l1, l2... будуть нерухомі, а рухатися буде крива т, то утвориться та ж сама поверхня.

Вид поверхні залежить від форми твірної і закону переміщення її в просторі.

За формою твірної поверхні поділяються на:

- лінійчасті поверхні, які утворюються рухом прямої лінії;

- нелінійчасті, які утворюються рухом кривої лінії.

Лінійчасті діляться на:

- розгортні ;

- нерозгортні або косі.

Від виду руху твірної:

- поверхні обертання (обертовий рух);

- некругові поверхні (поступальний або обертово-поступальний рух) Аналогічно кривим лініям поверхні поділяються на:

- закономірні;

- графічні.

Порядок поверхні, яка описується закономірною залежністю, дорівнює показнику степені рівняння поверхні при аналітичному опису поверхні і максимальному числу точок перетину прямої лінії з поверхнею при графічному опису поверхні.

Рис.10.2 Рис.10.3

В залежності від форми ліній однієї і другої груп, одержуємо поверхні різних типів. Одну і ту ж поверхню можна побудувати декількома способами.

Всі поверхні можна розбити на декілька класів, причому окремі поверхні можуть бути віднесені до декількох класів.

Класи поверхонь:

1. Многогранна поверхня, що утворюється рухом прямої по ламаній напрямній, або частинами площин, що перетинаються.

2. Поверхні обертання, що утворюються обертанням довільної твірної навколо нерухомої осі, в тому числі поверхні обертання другого порядку.

3. Поверхні другого порядку загального виду.

4. Лінійчасті поверхні, що утворюються рухом прямої лінії, в тому числі гвинтові поверхні.

5. Циклічні поверхні,що утворюються рухом кола сталого, або перемінного діаметру.

6. Топографічні та інші графічно задані поверхні, що утворює на кресленні група деяких ліній, наприклад: горизонталей.

На кресленні поверхня може бути задана сіткою обох груп ліній твірних і напрямних, а також контуром поверхні.

Многогранна поверхня і многогранники.

На рис. 10.2 показаний многогранний кут. Група прямих перетинає вершину S і напрямну ламану лініюАВСD. Пряміl₁,l₂,lз іl₄ називають ребрами мноогранного кута, а частину площини, яка утворена двома ребрами, називають граню, а саму поверхню пірамідальною. Якщо віддалити вершину S в нескінченність, то многогранний кут зменшиться до нуля, а поверхня перетвориться в призматичну.

(рис. 10.3).

Рис.10.2, 10.3, 10.4

В призматичній поверхні всі ребраl1, І2, Із іl4паралельні між собою.

В загальному випадку многогранником називають геометричне тіло, що обмежене з всіх боків площинами. Елементами многогранника будуть вершина, ребро і грань. Сукупність всіх ребер многогранника називають .його сіткою. Многогранник називають опуклим, якщо весь він лежить по

один бік від площини будь-якої його грані. Побудова проекцій многогранника зводиться до побудови його сітки. З многогранників найбільше практичне значення мають: призми, піраміди, призмотоїди і правильні опуклі многогранники (тіла Платона).

Призма. Для того щоб побудувати на комплексному кресленні призму (рис. 10.4), треба задати її основу, напрямок ребер і висоту. Якщо ребра будуть перпендикулярні до площини основи, то такі призми називають прямими. На цьому ж рисунку показана побудова точки М, що задана на горизонтальній проекції грані ВСGК. Фронтальна проекція М знайдена за допомогою допоміжної прямої RТ, проведеної на грані ВСGК. через точку М.

Піраміда. Для побудови піраміди на комплексному кресленні треба задати основу і вершину. На рис. 10.5 показана правильна п'ятикутна піраміда. На ній дана побудова фронтальної проекції точкиМ, розміщеної на граніАВS. Ця задача розв'язана за допомогою горизонталі граніАВS, що проведена через горизонтальну проекцію точкиМ.

Призмотоїдом називають многогранник, обмежений, будь-якими многокутниками, розміщеними в паралельних площинах, які називають основами, і трикутниками або трапеціями, вершинами яких є вершини основ. На рис. 10.6 показаний призмотоїд, нижня основа якого є прямокутник, верхня — правильний шестикутник. Дві бокові грані його — трапеції, а інші трикутники.

Рис.10.5 Рис.10.6

Поверхні обертання 1. Утворення. Характерні лінії поверхні обертання

Крива m (твірна), обертаючись навколо осі i, утворює поверхню, яку називають поверхнею обертання (рис. 10.7).

Рис.10.7

Кожна точка твірної при обертанні утворює коло з центром на осіi,Ці кола називають паралелями поверхні. Паралель з найбільшим діаметром називають екватором , а з найменшим — горлом . Різні положення твірної під час обертання називають меридіаном поверхні . Той меридіан, який проектується без спотворення, називають головним меридіаном .

2. Лінійчаті поверхні обертання

2.1.Циліндрична поверхня обертання утворюється обертанням прямої лінії l навколо осі, або поступальним рухом кола вздовж осі (рис.10.8.-а)

2.2Конічна поверхня обертання утворюється обертанням прямої навколо осі, при цьому пряма проходить через точку S і рухається по напрямній, якою є коло. Точку S називають вершиною.

2.3.Однополий гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо дійсної чи уявної осіі.

3.Нелінійчаті поверхні обертання

3.1. Поверхня кулі утворюється обертанням кола навколо її діаметра .

Рис.10.8, 10.9

3.2..Поверхня тора утворюється обертанням кола або його частини навколо осіV_1, або v₂ (рис. 10.9- а), розміщеною в його площині, при умові, що вісь не проходить через центр кола. На рис. 10.9-6, в і г показані проекції можливих видів поверхонь тора.

3.3Параболоїд обертання утворюється обертанням параболи навколо своєї осі. Меридіанами будуть параболи (рис.10.11)

Рис. 10.10 ,10.11

Рис.10.12

3.4. Двополий гіперболоїд обертання утворюється обертатаням гіперболи навколо її дійсної осі.

Асимптоти цієї гіперболи при обертанні утворюють конус, який називають асимптотичним конусом (рис. 10.12).

3.5. Еліпсоїд обертання. При обертанні еліпсу навколо його малої осі, одержимо так званий стиснений еліпсоїд обертання (рис. 10.10-а), а при обертанні навколо великої осі - витягнутий еліпсоїд (рис, 10.10-6), Меридіанами в обох випадках є еліпси.

Поверхні лінійні, які розгортуються Торс, конічна та циліндричні поверхні.

Поверхні лінійні ,які не розгортуються

Гвинтові поверхні