• Nenhum resultado encontrado

(1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів

N/A
N/A
Info
Descarregar agora
Protected

Academic year: 2023

Share "(1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів"

Copied!
304
0
0

Carregando.... (Ver texto completo agora)

Descarregar agora ( 304 páginas )

Texto

Оскільки при a>0 вираз ax визначено для всіх дійсних значень x, область визначення показникової функції y a= x - це всі дійсні числа. При a>1 функція y a= x зростає на всій області визначення, а при 0< 1 і спадання при 0<

Крім загальних властивостей показникової функції при a>1 і 0< 1, тим крутіше «піднімається» графік функції y a= x, якщо точка рухається вправо, і тим швидше графік наближається до осі Ox, якщо точка рухається. зліва. Аналогічно, чим менший базис 0<

Звичайно, вираз ax можна розглядати як при a=0, так і при a<0, але в цих випадках воно не буде визначено для всіх дійсних значень x. Через це експоненціальна функція a=0 (ми отримуємо постійну функцію для x>0) і a<0 (ми отримуємо функцію, визначену лише для певних значень x, а саме x∈Z) не приймаються як основа.

Приклади розв’язування завдань

Запитання

Сформулюйте означення показникової функції

Поясніть, як, використовуючи зростання чи спадання відповідної показникової функції, порівняти значення

ПОКАЗНИКОВИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

Н АЙПРОСТІШІ ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ

Зведення деяких показникових рівнянь до найпростіших

Пояснення й обґрунтування

Наприклад, щоб розв’язати рівняння 7x=49, достатньо подати це рівняння у вигляді 7x=72 і записати єдиний квадратний корінь x=2.

Р озв ’ язування   показникових

Рівнянь ,  які   зводяться

Позбуваємося чис ло вих доданків у  по казниках

Щоб дізнатися, чи можна ввести заміну змінних у дане показникове рівняння, часто корисно позбутися числових членів у степенях на початку розв’язку, використовуючи формули au v+ =a. au v і au v

ОО

Змінна входить у задане рівняння лише у вигляді степеня з однією основою: 3x, тому зручно використовувати підстановку 3x=t і отримати дробове рівняння. Враховуючи, що 3х≠0 для всіх значень х, в результаті ділення на 3х отримуємо рівняння, аналогічне попередньому (а, отже, і даному).

Наприклад, нерівність 7x< −7 не має розв’язків, а множиною розв’язків нерівності 7x> −7 є всі дійсні числа.

ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ

Основна логарифмічна тотожність

Формула переходу до логарифмів з іншою основою log log

Пояснення й обґрунтування 1. Логарифм числа

Якщо ми підставимо його значення замість x в останню рівність, то отримаємо рівність, яка називається основною логарифмічною тотожністю: . alogab=b, де a>0, a≠1, b>0. Тоді xy>0 і loga( )xy існують, але формулу (2) використовувати не можна - вона виправдана тільки для додатних значень x і y. Показник степеня x, до якого необхідно піднести основу a, щоб отримати b, називається логарифмом b за основою a, отже, x=logab.

Спочатку наведемо число 700 як добуток степенів 5 і 7 (дано) і 2 (основа логарифма), потім скористаємося властивостями логарифмів і підставимо значення log25 і log27 в отриманий вираз . Спочатку наведемо число 700 як добуток степенів 5 і 7 (дано) і 2 (основа логарифма), потім скористаємося властивостями логарифмів і підставимо значення log25 і log27 в отриманий вираз . Прологарифмуйте вираз з основою 10 ab c. lgab lg lg lg lg lgab lg lg lg lg

Ї Ї ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК

Г РАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ ТА Ї Ї ВЛАСТИВОСТІ Таблиця 6

Графік логарифмічної функції

Область визначення D y( ) функції : x>0 y=logaxD y така: ( ): x>0, тому графік цієї функції завжди розташований праворуч від осі Oy. При a>1 логарифмічна функція зростає, тому графік функції y=logax буде логарифмічною кривою, точки якої «піднімаються» зі збільшенням аргументу. З огляду на задану нерівність з’ясовуємо, зростаюча чи спадна ця функція, пам’ятаючи, що вона зростає при a>1 і спадає при 0<

Тому надалі формулу ( )xn ′ =nxn−1 можна використовувати для будь-яких дійсних значень n (пам’ятайте, що в цьому випадку її можна використовувати лише для тих значень x, для яких її права частина сторона визначається).

ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

Якщо рівності (1) або (2) правильні (для тих значень x, які є коренями цих рівнянь), то для таких значень x існують всі записані логарифми, тоді вирази x−2 і 3x −6 додатні.

Поясніть на прикладах, як можна розв’язувати найпростіші лога- рифмічні нерівності, користуючись властивостями логарифмічної

Поясніть на прикладі використання методу інтервалів для розв’я- зування логарифмічних нерівностей

Завдання для підготовки до оцінювання

ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

Невизначений інтеграл

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

Пояснення й обґрунтування 1. Поняття первісної

Основна властивість первісних

Відповідно до умови стійкості функції (§ 16 підручника для 10 класу), якщо похідна функції F x1( )−F x( ) дорівнює нулю на проміжку I, то ця функція набуває деякої сталої . значення C у цьому діапазоні. Враховуючи, що постійний множник можна видалити зі знаком похідної, маємо ( )cF ′ = ′ =cF cf, а це означає, що cF є примітивом для cf.

ВпраВи

ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

Криволінійна трапеція

Площа криволінійної трапеції

Властивості визначених інтегралів

Властивості визначених інтегралів

Економіка

Фізика

ВПРАВИ

Доведіть правильність рівності

Обчисліть інтеграл

Потрібно пофарбувати з однієї сторони 30 однакових плоских металевих деталей. Ескіз деталі зображено

Чому формула Ньютона — Лейбніца має таку назву?

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ОЦІНЮВАННЯ

ЕЛЕМЕНТИ

КОМБІНАТОРИКИ,

ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ

СТАТИСТИКИ

П равило сУми Й добУткУ . У Порядковані мноЖини

ПОяснення й Обґрунтування

Поняття сполуки. Правило суми й добутку

Упорядковані множини

Розміщення

Приклади рОзв’язування завдань

Сформулюйте й поясніть на прикладах правило суми й правило добутку для розв’язування комбінаторних задач

Скількома способами можуть 8 учасників фінального забігу на 100 м (припустимо, що 8 учасників фінального забігу на 100 м (припустимо, що всі вони показали різний час) отримати перше, друге і третє місце. Оскільки вам також потрібно вибрати 2 яблука і 3 груші, використовуємо правило добутку і множимо отримані можливості для вибору яблук ( )C102 і груш ( )C53.

ЗаПитання

Поясніть на прикладах, як можна вибирати відповідну формулу під час розв’язування найпростіших комбінаторних задач

ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Для експерименту з кидання кубика елементарними подіями можуть бути: u1 — випадання 1 бала, u2 — випадання 2 очок, u3 — випадання 3 очок, u4 — випадання 4 очок, u5 — випадання 5 очок, u6 — випадання 6 очок. Нехай результатом випадкового експерименту буде одна і тільки одна з n попарно несумісних і рівноможливих елементарних подій u1, u2, .., un (тобто простір U елементарних подій у цьому випадковому експерименті складається з рівноможливих елементарних подій u1 , u2, .., un.І нехай подією А в цьому експерименті буде поява однієї з m попередньо вибраних елементарних подій ui1, ui2, .., uim, тобто A={u ui1, i2, .

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ *

Поясніть, що таке випадковий експеримент та випадкова подія

Поясніть зміст класичного означення ймовірності. Наведіть прикла

Яку подію вважають вірогідною, а яку неможливою? Наведіть при

ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДІВ ДАНИХ 10.1. П оняття Про статистикУ

Поняття про статистику

Генеральна сукупність і вибірка

Поясніть, які завдання розв’язують статистика й математична статистика

Подання даних

Табличне і графічне представлення даних. Полігони частот

Числові характеристики рядів даних

Розмах, мода й медіана ряду даних

Тож щодо дівчат можна сказати, що одна половина прочитала менше 4,5 книжок, а друга – більше 4,5 книг. Якщо відомо, що в наборі даних зустрічаються різні значення x1, x2, .., xk відповідно до частот m1, m2, .., mk (тоді ∑M n= ), то ми замінюємо ті самі члени в чисельника з відповідними добутками, отримуємо, що середнє арифметичне можна обчислити за формулою. У таблиці наведено статистичні дані про кількість медалей, здобутих українськими школярами на міжнародних математичних олімпіадах, здобутих українськими школярами на міжнародних математичних олімпіадах. піади у 2013–2018 н

ГЕОМЕТРІЯ

Многогранник і його елементи. Опуклі многогранники

Призма

Бічні ребра призми паралельні й рівні (оскільки в результаті па- ралельного перенесення точки переміщуються по паралельних (або таких,

Пряма призма

Висота прямої призми дорівнює її бічному ребру (оскільки кожне бічне ребро перпендику-

Відповідно до стану задачі необхідно вказати кут між прямою A B1 і площиною BCC1, тобто за означенням це кут між прямою та її проекцією на цю площину. Щоб отримати проекцію прямої A B1 на площину BCC1, достатньо з точки A1 провести перпендикуляр до площини BCC1. Для полегшення аналізу просторових конфігурацій на кожному кроці розрахунків можна супроводжувати рішення рухомими плоскими малюнками (рівнобедрений трикутник A B C1 1 1, прямокутник BB C C1 1, прямокутний трикутник.

ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД

ТТ

Аналогічно доведіть, що діагоналі AC1 і DB1 і діагоналі AC1 і CA1 перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Фактично, напр. AD⊥pl.ABB A1 1 (рис. 2.4) зі знаком перпендикуляра до прямої та площини, оскільки AD⊥AB і AD⊥AA1.

Якщо всі сторони паралелограма ABCD рівні між собою, то паралелограм є ромбом і його менша діагональ лежить під гострим кутом, тобто BD a=. Знайти площу бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює h, площа основи Q, площа діагоналі, висота якої дорівнює h, площа основи Q, площа діагонального перетину M .

ПРИЗМИ Й ЗАДАЧІ, ПОВ’ЯЗАНІ З ПЕРЕРІЗАМИ

Методом сліду побудуємо переріз куба ABCDA B C D1 1 1 1 площиною, яка проходить через три точки K, L, M, які попарно лежать на суміжних ребрах куба (рис. 3.4). Отже, січна площина перетинає основу куба по прямій MP (оскільки точки M і P належать і січній, і площині основи ABCD). Січна площина ABC1 перетинає нижню основу по прямій AB, а верхню — по прямій, паралельній прямій AB і проходить через точку C1.

Враховуючи, що AD⊥AB і те, що пряма AD є проекцією прямої AD1 на площину ABCD, отримуємо, що AD1⊥AB (згідно з трьома теоремами про перпендикуляр). Зокрема, для обґрунтування того, що трикутник ADD1 прямокутний, достатньо вказати, що DD1 є висотою паралелепіпеда (тоді пряма DD1 перпендикулярна до площини основи, а значить, вона перпендикулярна до прямої AD , яка лежить у цій площині). Дерев’яний куб із ребром 28 см необхідно розпиляти так, щоб пилка проходила через точки K, P і T на ребрах куба, щоб точки K проходили через точки K, P і T на ребрах. куба. куба так, що точки К і Р розташовані на відстані 7 см від найближчої вершини куба, а точка Т є центром відповідного ребра куба (рис. 3.7, а).

Побудуйте на зображенні куба відповідний переріз і знайдіть відстань DX, де X — точка перетину січної площини і ребра DD1 (рис. 3.7, б). O — точка перетину діагоналей AD, BE і FC SO — висота правильної піраміди (SO⊥ кв.ABC; O — центр основи).

Правильна піраміда

Зауважимо, що якщо BC дорівнює SM⊥ , то OM⊥BC (згідно з теоремою про три перпендикуляри), то кут SMO є лінійним кутом двогранного кута при ребрі BC, тобто це кут нахилу бічної грані до основи піраміди. Враховуючи, що прямокутні трикутники SMO, SNO і SKO рівні (по гіпотенузі і катету), отримуємо: SMO=SNO=SKO.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему

Примітка: щоб підтвердити, що трикутник SAO прямокутний, достатньо показати, що SO є висотою піраміди (тоді SO⊥ квадрат ABCD, отже SO⊥AO). Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°, а бічної сторони — якщо бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°. . , а сторона його основи дорівнює a.

Referências

Descarregar agora ( PDF - 304 páginas - 5.09 MB )

Outline

Розв’яжіть рівняння Основна властивість первісних П ерестановки ГЕОМЕТРІЯ Метод слідів Поясніть зміст методу слідів побудови перерізу многогранника Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему

Documentos relacionados

Observe que,∀x∈R cos4x3−2x+ 5 x2−25 ≤1 e lim x→5(x2−25

[r]