A aprendizagem da Geometria centrada nos padrões

A Matemática é uma das ciências mais antigas e é igualmente um dos ramos do conhecimento que há mais tempo é objeto de ensino e, enquanto tal, uma das disciplinas escolares que, ao longo do tempo, tem ocupado um lugar de relevo no currículo. É indubitável a importância da Matemática como parte integrante nos currículos do sistema educativo obrigatório de qualquer país. No caso de Portugal, é a disciplina que, concomitantemente com Língua Portuguesa, tem na escola uma maior carga horária e sobre a qual incidem exames nacionais no final da escolaridade obrigatória. Presentemente, como já tivemos oportunidade de referir, é alvo do denominado Plano de Matemática II, que convoca e responsabiliza a grande maioria das escolas portuguesas do Ensino Básico para o combate ao insucesso nesta disciplina.

A Matemática enquanto disciplina é tida como um bem essencial, na medida que o próprio sistema oficial a valoriza no conjunto das disciplinas escolares. É vista como central no currículo numa sociedade cada vez mais tecnológica. Sobre a sua importância, Carneiro (2000) considera que “a matemática ocupa tradicionalmente lugar destacado nas redes de saber/poder sociais” (27). Goza também de um estatuto próprio entre os alunos, pais e comunidades em geral, como bem o evidenciam e amplificam os órgãos de comunicação social nas reportagens e textos de opinião dedicados à educação. Além de ser encarada como um saber geral, um modo de pensar, a Matemática não se reduz à sua evidente utilidade de cariz prático. Sobre o seu ensino existem as mais variadas opiniões que, nos últimos anos em Portugal, têm emergindo de forma acesa e nitidamente ideológica. Sendo uma disciplina primordial na educação, o problema do insucesso tem uma forte atenção social, académica e política. Na comunidade científica, a sua importância reflete-se também no número de publicações e congressos que têm surgido dedicados à Educação Matemática. Congruentemente, existe ainda uma preocupação mundial em controlar o nível de desempenho dos alunos dos diversos países. Disso são exemplo os estudos nacionais e internacionais (TIMSS, 1996; PISA, 2006, 2009; GAVE, 2007, 2010) que visam monitorizar, de uma forma regular, o sistema educativo.

Sendo a Matemática usada de uma forma crescente e extensiva em praticamente todos os sectores da sociedade, a escola não pode contornar o dever de a abordar

condignamente, de uma forma séria mas aprazível, uma vez que a sua apropriação é um direito de todos.

Dentro da Matemática, a Geometria tem vindo a ganhar um lugar de destaque. Vários são os autores que, tanto a nível nacional como internacional, reconhecem a importância da Geometria como área da Matemática fundamental para o dia a dia dos cidadãos. Recorre-se frequentemente a ela para descrever, analisar e compreender melhor o mundo que nos rodeia.

Ao confrontar os alunos com fenómenos geométricos, estes aprendem a resolver problemas geométricos ficando, deste modo, melhor preparados para todas as tarefas escolares quando adquirem instrumentos de pensamento e competências geométricas.

São vários os autores que reconhecem que:

“A geometria contribui com um vocabulário geométrico que se vai adquirindo, mas, a par disso, espera-se que os alunos desenvolvam a sua capacidade de compreensão dos conceitos e suas relações, da análise da informação, de resolução de problemas, de comunicação, mas também de abstração e generalização e de compreender e elaborar argumentações.” (Breda et al., 2011:15)

No entanto, a que a escola não tem dado a devida relevância a esta área (Abrantes, 1999; APM, 2001; Breda et al., 2011; Cabrita et al., 2008, 2009; NCTM, 2007).

Mas, acompanhando o desenvolvimento dos currículos que tem vindo a acontecer internacionalmente, o Programa reajustado (Ponte et al., 2007) reconhece a importância da Geometria e dedica-lhe um lugar central no currículo de Matemática. Os autores, contrariando as constatações de Breda et al. (2011) que referem que a Geometria tem sido normalmente relegada para segundo plano e “tratada a partir de definições, dando pouco espaço à ação dos alunos na compreensão dos conceitos geométricos” (87), procuraram inverter esta situação propondo como ideia central, em Geometria, o desenvolvimento do sentido espacial. Para tal, assume particular importância o estudo, logo desde do 1.º Ciclo, das transformações geométricas isométricas no plano euclidiano, primeiro de forma intuitiva e depois com progressiva formalização até ao 3.º Ciclo. Note-se que este tópico sofreu importantes alterações, não só a nível de designações mas mesmo a nível conceptual.

O presente estudo desenvolve as orientações metodológicas respeitantes ao tema Geometria e discute aspetos essenciais trabalhados no Programa de Matemática do Ensino Básico, merecendo especial atenção as transformações geométricas. Tratando-se de um

trabalho de investigação-ação, procurou-se abordar assuntos de certa forma „novos‟ que necessitassem de um maior aprofundamento tais como o de simetria e, principalmente, as rosáceas e os frisos.

A Geometria é, por excelência, o tema matemático que permite estabelecer conexões entre diferentes áreas da Matemática. E os ”Padrões” têm vindo a ganhar terreno como um contexto favorável e inovador para que os alunos se envolvam em atividade matemática e desenvolvam a comunicação matemática. Não obstante, existem poucos estudos realizados que se situem na confluência destas dimensões.

2. 1 Análise comparativa das orientações curriculares

Em Portugal, a Geometria foi, durante as décadas de setenta e oitenta, vista como um parente pobre da álgebra linear, com pouco interesse para a prossecução de estudos (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999: 67). De acordo com Veloso (1998), Hans Freudenthal (1905-1990) foi a personalidade que maior influência desempenhou na valorização da Geometria como tema fundamental da Matemática. Freudenthal apresenta, através de múltiplos exemplos e comentários, algumas das principais orientações para a renovação do ensino da Geometria. Concomitantemente, a publicação, em 1989, das Normas para o Currículo do NCTM, segundo Veloso (1998: 28), constituiu um marco importante no regresso da Geometria como tema proeminente da matemática escolar. As recomendações subjacentes significaram uma mudança profunda e o movimento de regresso da Geometria tem vindo a acentuar-se, através da publicação de livros, materiais e

software para o ensino da Geometria, entre outras propostas e iniciativas.

Não obstante a importância que a Geometria tem tido nos currículos de Matemática nos últimos anos, os professores do 3.º Ciclo não estão muito motivados e preparados para a ensinar de forma adequada o que os leva a considerar que os tópicos de Geometria deveriam ser simplificados, ou até, em alguns casos, excluídos do programa (APM, 2001). Assim, não têm investido muito na sua abordagem o que acarreta que a aprendizagem dos alunos a este respeito deixe muito a desejar quer em termos de conhecimentos construídos quer mesmo ao nível da atitude perante esta temática.

Esta situação tem que ser urgentemente invertida e, nesta perspetiva, equacionou-se que a abordagem das rotações centrada nos padrões, com recurso a A(D)GD poderá

constituir-se uma forma poderosa e inovadora de ultrapassar esta visão pessimista e a deficiente apropriação a que a Geometria tem sido votada.

Atualmente, a Geometria tem sido considerada como um conteúdo do currículo cujo estudo permite aos alunos aprenderem a raciocinar e a compreenderem a estrutura axiomática da Matemática (NCTM, 2007). Há um forte consenso de que esta área é uma fonte de problemas não rotineiros, cuja resolução pode proporcionar o desenvolvimento, entre outras, das capacidades de visualização, de raciocínio e de argumentação, identificadas como fundamentais para os cidadãos do séc. XXI. A Geometria sendo uma boa fonte de problemas de Matemática, pode contribuir, ainda, para melhorar a capacidade de resolução de problemas, constituindo-se um campo propício para fazer conjeturas e valida-las.

Se se fizer uma breve análise dos currículos, percebe-se que o estudo da Geometria atravessa todos os programas de Matemática desde pré-escolar, passando pelo Ensino Básico, até ao Secundário. No entanto, atendendo aos propósitos que esta investigação persegue, far-se-á alusão apenas ao currículo da Geometria nos 2.º e 3.º Ciclos, ressaltando a articulação e organização em espiral para estes dois ciclos de ensino e a símile com o que é definido a nível internacional e no Programa aprovado em 2007.

No que respeita à organização curricular dos programas do Ensino Básico, 2.º e 3.º Ciclos, agora depostos, que datam de 1991, estes espelham, de alguma forma, as orientações da época, projetando um lugar de destaque para a Geometria, ocupando grande parte do currículo em cada ano.

Atendendo às recomendações curriculares vigentes no programa do 2.º Ciclo, é referido que o estudo da Geometria deve assentar em propostas de trabalho que permitam “manipular, comparar, descobrir, construir, traçar, passando do espaço ao plano e do plano ao espaço” (ME-DGEBS, 1991a: 155), num processo que leve o aluno a ter oportunidade de ensaiar, errar e corrigir os seus erros, estimulando a comunicação oral e/ou verbal dos seus raciocínios, analisando-os, explicando-os e discutindo-os. Pretende-se, ainda, “numa perspectiva unificadora da Matemática que situações do âmbito da Geometria possam servir de suporte a actividades numéricas” (ME-DGEBS, 1991c: 13), pressupondo o estabelecimento de conexões. Porém, a exaustiva listagem de temas a abordar, deixa pouco lugar para a operacionalização das propostas de trabalho sugeridas no documento. Concomitantemente, a organização em espiral proposta no roteiro parece não estar bem

conseguida, relativamente a um trabalho que se pretende globalizante das relações e propriedades das figuras geométricas. Assim, o plano de organização da Geometria aparece compartimentado pelos dois anos (e.g. no 5.º ano é proposto a classificação de triângulos e no 6.º ano a sua construção) e em cada ano (e.g. no 6.º ano a Geometria é tratada no primeiro, terceiro e sétimo tema, na proposta indicada), inibindo, deste modo, a conexão entre as várias áreas da Matemática, o que leva a que a Geometria não seja tratada como um tema proeminente, sendo muitas vezes “relegada” para segundo plano e, congruentemente, desinteressante para os alunos.

Estreitamente relacionada com o ensino deste tema encontra-se a utilização de tecnologia no programa do 2.º Ciclo. Embora não seja dada o relativo enfoque ao computador nas orientações curriculares da década de noventa, este é apontado pelas suas potencialidades de representação gráfica e de simulação. No entanto, e ainda no caso da Geometria é referenciada a utilização apenas quando possível, não sendo estimulada positivamente a sua utilização sistemática.

Em relação ao proposto para o 2.º Ciclo, no atual Programa de Matemática para Ensino Básico (Ponte et al., 2007), pretende-se que os alunos desenvolvam o sentido espacial, aprofundando o estudo de figuras uni e bidimensionais e modelos de sólidos, dando-se ênfase à visualização, ao raciocínio geométrico e ao pensamento numérico, como capacidades a incrementar na resolução de problemas. Com especial enfoque, aparece o conceito de simetria, que surge associado às transformações geométricas e que, conjuntamente com a noção de amplitude de ângulo, têm, neste Ciclo, um papel preponderante no trabalho com as figuras geométricas no plano. Sublinhe-se que, pela primeira vez, aparece dilatado o conceito de simetria no programa. Estes aspetos constituem uma mudança de relevo introduzida no Programa reajustado de 2007.

Relativamente às indicações metodológicas para este Ciclo e numa análise comparativa com o Programa anterior, é proposto “tomar-se como ponto de partida situações do quotidiano dos alunos” (ibidem), bem como a exploração de aspetos históricos que permitem considerar a Matemática como uma atividade de cariz prático e também predominantemente intelectual.

As tarefas a propor aos alunos que merecem especial destaque neste Ciclo no estudo da Geometria envolvem, sobretudo, as que dizem respeito ao conceito de congruência e à aceção de um outro conceito intimamente relacionado com este que é o de

isometrias do plano. O estudo de reflexões, rotações, translações e reflexões deslizantes assume uma grande importância neste tema, particularmente na exploração, construção e classificação de frisos e rosáceas, por permitirem a aprendizagem de conceitos geométricos e o aprofundamento da sua compreensão (ibidem). Nesse âmbito, é fundamental que as diversas transformações geométricas sejam estudadas logo desde o 1.º Ciclo, inicialmente de forma intuitiva e depois com crescente formalização. Esta componente constitui mais uma alteração significativa ao programa anterior, tendo sido o tópico que mais alterações sofreu desde os Programas de 1991 até ao presente.

Os instrumentos de desenho e de medida, bem como a utilização de materiais manipuláveis assumem-se como recursos fundamentais de apoio para a aprendizagem da Geometria, neste Programa. A par, surge o uso dos programas computacionais de Geometria Dinâmica e dos applets, que oferecem aos alunos amplas possibilidades para o desenvolvimento da compreensão dos conceitos e relações geométricas (ibidem).

No anterior programa do 3.º Ciclo, refere-se que o estudo da Geometria deve assentar em propostas de trabalho que impliquem “medições, construções, comparação e transformação de figuras, identificação dos seus elementos, reconhecimento de propriedades, resolução de puzzles geométricos, etc.” (ME-DGEBS, 1991b: 179 e 180). O programa salienta também a importância da observação e intuição, como condição necessária para o desenvolvimento gradual de raciocínios indutivos e dedutivos, a par da realização de experiências, da resolução de problemas por construção; a justificação de processos, raciocínios, conjeturas e conclusões. Privilegia igualmente o desenvolvimento do conhecimento do espaço, tendo sempre como padrão de referência a análise de figuras. (ME-DGEBS, 1991d).

Comparando o Programa anterior do 3.º Ciclo com as normas curriculares do NCTM (1991) verifica-se que as metodologias que apresenta são uma adoção das recomendações do documento internacional, ao nível da resolução de problemas, raciocínio, comunicação, história da Matemática, papel do professor, recursos e avaliação, apesar de não serem integradas diretamente no Programa e correrem o risco de serem esquecidas.

Analisando o roteiro do 3.º Ciclo, verifica-se também, tal como no do 2.º Ciclo, uma exaustiva listagem de temas a tratar, inibindo uma abordagem globalizante e integradora centrada no estabelecimento de conexões entre os conteúdos. A organização,

também em espiral, do currículo peca ao fracionar excessivamente os temas de Geometria pelos vários anos (e.g. as transformações geométricas distribuídas pelos três anos - semelhanças no 7.º, translações no 8.º e rotações no 9.º ano de escolaridade) (ME-DGEBS, 1991d), restringindo naturalmente a compreensão dos temas e levando necessariamente a um tratamento desinteressante da Geometria. Este aspeto também foi corrigido neste Programa reajustado, salientando-se uma melhor articulação entre os anos de escolaridade.

Apontam-se ainda similitudes quanto às referências à utilização do computador, ao nível do 3.º Ciclo, para o ensino da Geometria. Estas continuam vagas, todavia mais frequentes do que no ciclo anterior e limitam-se à utilização da calculadora e dos meios informáticos no tema Estatística do 7.º ano, no sentido de auxiliar a representação da informação e de evitar cálculos fastidiosos. Com sugestão pouco concreta, aparecem também no programa referências à utilização do computador no estudo das Translações, do 8.º ano de escolaridade.

Acrescente-se que, na altura em que os programas foram elaborados, o software dinâmico de Geometria, que hoje se conhece ainda tinha pouco tempo de existência e só foi comercializado no ano em que foram editados os programas.

No documento Currículo Nacional do Ensino Básico: “Competência essenciais” (ME-DEB, 2001) no que respeita à Geometria (para os três Ciclos) é feita referência ao desenvolvimento de competências como:

 “aptidão para realizar construções geométricas e para reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico;

 a aptidão para utilizar a visualização e o raciocínio espacial na análise de situações e na resolução de problemas em Geometria e em outras áreas da matemática;

 a compreensão dos conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e amplitude, assim como a aptidão para utilizar conhecimentos sobre estes conceitos na resolução e formulação de problemas;

 a aptidão para efetuar medições e estimativas em situações diversas, bem como a compreensão do sistema internacional de unidades;

 a predisposição para procurar e explorar padrões geométricos e o gosto por investigar propriedades e relações geométricas;

 a aptidão para formular argumentos válidas recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, explicitando-os em linguagem corrente;

 a sensibilidade para apreciar a Geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilização de ideias geométricas em diversas situações, nomeadamente na comunicação” (62).

Ao nível do 3.º Ciclo e nesta ótica comparativa com o programa anterior, enfatiza- se, agora, a “inter-relação plano-espaço, aprofunda-se o estudo de alguns sólidos geométricos e de figuras no plano”, partindo do que já foi realizado no 2.º Ciclo (Ponte et

al., 2007: 51). Dando continuidade ao trabalho iniciado no 1.º Ciclo, este domínio temático

tem como propósito central o desenvolvimento do sentido espacial, com especial enfoque na “visualização e na compreensão de propriedades de figuras geométricas” (id: ib), quer no plano quer no espaço, “a compreensão das transformações geométricas e da noção de demonstração” (id: ib), numa lógica de resolução de problemas em contextos diversos. Como indicações metodológicas para este tema é referenciado que, tanto na resolução de problemas, como nas tarefas exploratórias e de investigação, é importante que os alunos tenham oportunidade para realizar experiências, com um tempo apropriado, elaborar estratégias, formular conjeturas, descrever processos e os justificar com rigor progressivo (ibidem).

Os Objetivos Gerais de Aprendizagem indicados no Programa reajustado (Ponte et

al., 2007), no âmbito deste tema, são os seguintes:

 “desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capazes de os usar;

 compreender e ser capazes de utilizar propriedades e relações relativas a figuras geométricas no plano e no espaço;

 compreender e ser capazes de usar as relações de congruência e semelhança de triângulos;

 desenvolver a compreensão das isometrias e semelhanças;

 compreender a noção de demonstração e ser capazes de fazer raciocínios dedutivos;

 ser capazes de resolver problemas, comunicar e raciocinar matematicamente em contextos geométricos e trigonométricos” (51).

Entre os recursos, aparece o software de Geometria Dinâmica e os materiais manipuláveis, como abordagem complementar ao estudo dinâmico do ensino da Geometria. Tantos os recursos computacionais como os modelos geométricos possibilitam o desenvolvimento da intuição geométrica, da capacidade de visualização e uma relação mais afetiva com a Matemática (ibidem). Advoga-se, ainda, o uso de instrumentos de medida e de desenho: régua, esquadro e transferidor.

Comparando ainda com o documento NCTM (2007), verifica-se uma congruência de princípios de ensino e de metodologias com os propostos no documento internacional para o ensino e aprendizagem da Geometria.

Dissecando os percursos temáticos propostos no Programa para a Geometria, verifica-se, tanto no 2.º como 3.º Ciclos, uma preocupação em melhorar a articulação entre eles, possibilitando, a nosso ver, uma abordagem globalizante e integradora centrada no estabelecimento de conexões entre os conteúdos. A organização novamente em espiral do currículo visa que os temas sejam abordados de modo interligado e progressivamente de forma mais aprofundada pelos vários anos (e.g. transformações geométricas, facilitando a compreensão deste tema). Uma questão que condiciona o desenvolvimento do currículo, devido às alterações que surgem no atual Programa ao nível dos 1.º e 2.º Ciclos, no que respeita às transformações geométricas, e a interação que se possa fazer com o estudo de padrões geométricos é provavelmente, a parca e adequada preparação dos professores nesta área e para estes Ciclos.

2. 2 Ambientes (Dinâmicos) de Geometria Dinâmica

No tocante à renovação do currículo, as preocupações também se fizeram sentir ao nível da importância dos chamados ambientes Dinâmicos de Geometria Dinâmica. São muitos os autores e os documentos com orientações curriculares que salientam a importância e reconhecem a vantagens do uso destas ferramentas computacionais no ensino da Matemática e, em particular, no tema Geometria (Ponte & Canavarro, 1997; APM, 1998; Candeias, 2005; Ribeiro, 2005; Ponte et al., 2007; NCTM, 2007; Breda et al., 2011).

Segundo o NCTM (2007: 27), a tecnologia enriquece a extensão e a qualidade das investigações, ao permitir visualizar noções matemáticas sob diversas perspetivas. Os

ambientes gráficos mais recentes permitem realizar construções geométricas, no ecrã do computador, utilizando explicitamente as propriedades das figuras, e possibilitam a manipulação direta dessas construções mantendo invariantes as propriedades utilizadas. O poder gráfico do uso destas ferramentas possibilita o acesso a modelos visuais que são poderosos, muito embora os alunos possam não ser capazes de os realizar de forma autónoma.

Efetivamente, estas ferramentas computacionais podem tornar-se muito úteis em atividades de natureza exploratória e investigativa porque dão ao aluno a possibilidade de fazer construções no ecrã e de manipular essas construções, tendo em conta as propriedades das figuras geométricas. Atualmente, estes programas informáticos, designados ADGDs (Cabri-Géomètre, Geometer´s Sketchpad, Geogebra, …), são geradores de uma nova abordagem da Geometria, porque permitem que os alunos trabalhem com modelos e que tenham uma experiência interativa com um vasto leque de