A Falha do Teorema de Beth - Modelos minimais e hierarquia de

2.3 Definibilidade

2.3.1 A Falha do Teorema de Beth

N´os mostraremos a seguir que o Teorema de Beth falha para LFP com prova de nossa autoria5_{. Para tanto, provaremos que existe uma S ∪ {P }-teoria de}

LFP que define P implicitamente mas n˜ao define P explicitamente. Sejam Sar_{, φ}ar _{e φ como no Exemplo 2.1. Seja P um s´ımbolo predicativo un´ario.}

Definimos o conjunto dos termos canˆonicos de Sar _{como sendo o conjunto}

TC := {n = σ . . . σ_{| {z }}

0|n ∈ N }.

Para cada subconjunto T de TC_{, definimos a teoria}

Γ(T ) = {φar _{∧ φ} ∪ {P (t)|t ∈ T } ∪ {¬P (t)|t /}_{∈ T }.}

Obviamente Γ(T ) ´e satisfat´ıvel para qualquer conjunto de termos canˆonicos T . Vejamos o seguinte lema.

Lema 2.5 Γ(T ) define P implicitamente.

4_{Cf. 2.}

5_{Durante todo esse trabalho, citamos diretamente a fonte de todos os resultados que}

não são de nossa autoria. Quando se tratar de resultados de autoria de desconhecida, também resaltaremos esse fato ou indicaremos onde encontrar uma prova para o mesmo. Todos os demais resultados são de nossa autoria. Mesmo se não estiver expl´ıcitamente discriminado com expressões do tipo “esse resultado é de nossa autoria.” Normalmente, escrevemos “mostraremos,” “provaremos,” etc., e não sendo expressamente discriminada outra fonte, o leitor poderá concluir que o resultado é nosso.

CAP´ITULO 2. L ´OGICA DE MENOR PONTO FIXO 30 Prova. Seja A um modelo de φar _{∧ φ. Conforme observado anteriormente,}

A_{é isomórfico ao modelo padrão da aritmética. Segue que A = {t}A

|t ∈ TC_}.

Seja T ⊆ TC _{um conjunto de termos canˆonicos. Seja (A, P) modelo de Γ(T ).}

Se t é um termo canônico, então tA

∈ P se, e somente se, t ∈ T . Sejam P e P′ _{tais que (A, P) |= Γ(T ) e (A, P}′_{) |= Γ(T ). Um termo canˆonico t ∈ T}C

´e tal que tA

∈ P se, e somente se, t ∈ T se, e somente se, tA

∈ P′_{. Logo,}

P = P′.

Observe também que se T e T′ _{são conjuntos de termos canônicos tais que}

T 6= T′ e (A, P) |= Γ(T ) e (A, P′) |= Γ(T′), então P 6= P′. Portanto, se φ(x) e φ′_{(x) são defini¸cões expl´ıcitas de P com rela¸cão a Γ(T ) e Γ(T}′_{), respectiva-}

mente, então φ(x) 6= φ′_{(x), pois caso contrário essas duas fórmulas definiriam}

o mesmo predicado em A. Observe ainda que a quantidade de conjuntos de termos canônicos diferentes é ℵ1. Entretanto, o alfabeto Sar ∪ {P } é finito,

e cada fórmula de LFP é finita. Segue-se então que a cardinalidade do conjunto de defini¸cões expl´ıcitas é ℵ0. Com essas observa¸cões nós provamos o

seguinte teorema.

Teorema 2.6 (Falha do Teorema de Beth) O Teorema de Beth n˜ao va-

le para LFP.

Prova. Suponha the LFP possui a propriedade de Beth. Então para todos conjuntos de termos canônicos T , Γ(T ) |= ∀x(P (x) ↔ φ(x)) para alguma defini¸cão expl´ıcita φ(x) de P . Como a cardinalidade do conjunto das partes do conjunto de termos canônicos é ℵ1 e a cardinalidade do con-

junto de fórmulas é ℵ0, existem dois conjuntos de termos canônicos T e

T′ _{e uma f´ormula φ(x) tais que T 6= T}′ _{e Γ(T ) |= ∀x(P (x) ↔ φ(x)) e}

Γ(T′) |= ∀x(P (x) ↔ φ(x)). Mas, como vimos, isso implicaria em T = T′, chegando a uma contradi¸c˜ao. Logo LFP n˜ao possui a Propriedade de Beth.

No teorema anterior, as teorias Γ(T ) são infinitas. Poder´ıamos nos per- guntar se o Teorema de Beth valeria caso nos restring´ıssemos a teorias finitas. Entretanto, isso não é verdade e podemos utilizar um resultado de Hodkinson em [Hod93] para mostrar isso.

Em [GS96], Gurevich e Shelah introduzem certas estruturas em um de- terminado vocabul´ario Sm _{chamadas mult´ıpedes. Essas estruturas possuem}

as seguintes caracter´ısticas (entre outras—para a defini¸c˜ao dos mult´ıpedes e suas propriedades veja [Hod93, GS96, DHK95]):

1. existe uma fórmula µ em lógica de primeira-ordem cujos modelos finitos são exatamente os mult´ıpedes de cardinalidade ´ımpar;

CAP´ITULO 2. L ´OGICA DE MENOR PONTO FIXO 31 2. todo modelo de µ possui um conjunto de elementos (que chamaremos

de espinha) linearmente ordenado por uma rela¸c˜ao bin´aria <∈ Sm_;

3. todo modelo de µ que possui espinha finita ´e finito.

Gurevich e Shelah mostraram em [GS96] que não existe uma fórmula φ(x, y) na lógica infinitária Lω

ω1ω que defina explicitamente uma ordem linear

em cada mult´ıpede ´ımpar. Assim temos:

Teorema 2.7 (Gurevich e Shelah) N˜ao existe f´ormula φ(x, y) de Lω ω1ω

que define explicitamente uma ordem linear na classe dos mult´ıpedes fini- tos e ´ımpares.

Entretanto, em [DHK95], Dawar et al. mostraram que existe uma senten¸ca λ(≺) no alfabeto Sm _{∪ {≺} em l´ogica de primeira-ordem que define}

implicitamente uma ordem linear ≺ na classe dos mult´ıpedes ´ımpares. Teorema 2.8 (Dawar et al.) Existe uma senten¸ca λ(≺) em l´ogica de pri-

meira-ordem que define implicitamente uma ordem linear ≺ na classe dos mult´ıpedes finitos ´ımpares.

Hodkinson então exibe uma fórmula δ(<) na lógica Lω

ω1ω que afirma

que a ordem < possui tamanho finito. Isso garante que a espinha de cada mult´ıpede modelo de µ é finita e, portanto, o próprio mult´ıpede modelo de µ é finito. Logo, a fórmula µ+ _{= µ ∧ δ(<) possui como modelos exatamente os}

mult´ıpedes ´ımpares (isto ´e, define a classe dos mult´ıpedes ´ımpares). Segue-se ent˜ao que µ+ _{∧ λ(≺) define implicitamente ≺ em L}ω

ω1ω, mas, pelo Teorema

2.7, Lω

ω1ω não possui defini¸cão expl´ıcita para ≺ com rela¸cão a µ

+_{∧λ(≺). Da´ı,}

Hodkinson conclui que a l´ogica infinit´aria Lω

ω1ω n˜ao possui a Propriedade de

Beth.

Aqui, utilizaremos a estratégia de Hodkinson para provar o mesmo teorema para LFP. Para provarmos que LFP também não possui a Propriedade de Beth, mesmo nos restringindo a teorias finitas, mostraremos que δ(<) possui equivalente em LFP. Juntando isso ao fato de que LFP, considerando-se apenas modelos finitos, está contida em Lω

ω1ω (no sentido de que para toda

f´ormula em LFP existe uma em Lω

ω1ω com os mesmos modelos finitos—para

demonstra¸c˜oes desse resultado veja [Hod93, EF95]), concluiremos que LFP n˜ao possui a Propriedade de Beth.

Corol´ario 2.9 A prova de Hodkinson de que o Teorema de Beth falha para Lω

ω1ω pode ser adaptada para mostrar que o mesmo teorema falha para LFP.

Mais ainda: existe uma teoria finita de LFP que define um predicado im- plicitamente mas não existe defini¸cão expl´ıcita para esse predicado em LFP com rela¸cão àquela teoria finita.

CAPÍTULO 2. L ÓGICA DE MENOR PONTO FIXO 32 Prova. Considere a seguinte fórmula no alfabeto Sm_{∪ {P }:}

φ(P, x) := M e(x) ∨ ∃y(P (y) ∧ S(y, x)),

onde as fórmulas M e(x) e S(y, x) são as mesmas do Exemplo 2.2. Seguindo um argumento semelhante ao do Exemplo 2.2, é poss´ıvel mostrar que a fórmula ψ′_{(y) := [lfp}

P,xφ(P, x)](y) define o predicado contendo os elemen-

tos que ocupam posi¸cão α na ordem <, para algum ordinal α < ω, quando < é interpretada como uma ordem linear (não necessariamente sobre todo o dom´ınio) com menor elemento e tal que todo elemento, exceto o menor, tem predecessor e todo elemento, exceto o maior, tem sucessor. Seja

φ′′(<) := ∀x∀y((campo-<(x) ∧ campo-<(y)) → (x < y ∨ y < x)), onde campo-<(x) := ∃y(x < y ∨ y < x). φ′′ _{diz que < ´e total em campo-<}

(o conjunto dos elementos que participam em alguma tupla da rela¸cão <). Seja OL′ igual à senten¸ca OL do Exemplo 2.2 substituindo a subfórmula correspondente ao axioma de totalidade por φ′′_{(<). Seja θ}′ _{igual a θ, do}

mesmo exemplo, substituindo a subf´ormula OL(<) por OL′_{(<). De forma}

an´aloga ao Exemplo 2.2, a senten¸ca

δ′(<) := OL′(<) ∧ ∃w(M a(w) ∧ [lfpP,xφ(P, x)](w))

define exatamente as estruturas em que < é uma ordem linear em campo-< e campo-< é finito (pois o último elemento da ordem pertence ao predicado [lfpP,xφ(P, x)] e, portanto, ocupa posi¸cão α, para algum ordinal α < ω, na

ordem <). Considerando agora a senten¸ca µ′+ := µ ∧ δ′(<), conclu´ımos que os modelos de µ′+ _{s˜ao exatamente os mult´ıpedes ´ımpares cuja espinha ´e finita}

(pois campo-< ´e exatamente a espinha do mult´ıpede), portanto, µ′+ _{≡ µ}+_.

Logo µ′+ define a classe dos mult´ıpedes ´ımpares finitos e, pelo Teorema 2.8 [DHK95], µ′+ _{∧ λ(≺) define ≺ implicitamente (lembre-se que < ´e ordena}

a espinha de um mult´ıpede, enquanto que ≺ ordena todo o dom´ınio do mult´ıpede). Como µ′+ ∧ λ(≺) é uma fórmula de LFP, basta mostrarmos que não existe defini¸cão expl´ıcita em LFP para < com rela¸cão a µ′+_{∧ λ(≺).}

Mas isso decorre imediatamente do fato de que, para toda f´ormula de LFP que somente possui modelos finitos, existe uma equivalente em Lω

ω1ω, junto

com o Teorema 2.7 de Gurevich e Shelah (se existisse uma defini¸c˜ao expl´ıcita ν(x, y) para ≺, nos bastaria tomar a equivalente a ν(x, y), digamos, ν′_{(x, y),}

em Lω

ω1ω para contradizer o Teorema 2.7).

Na verdade, Hodkinson utiliza a senten¸ca µ+_{∧ λ(≺) para mostrar que a}

Propriedade Fraca de Beth tamb´em falha para Lω

CAPÍTULO 2. L ÓGICA DE MENOR PONTO FIXO 33 mesmo para LFP utilizando µ′+ ∧ λ(≺). Vamos primeiramente explicar do que se trata a Propriedade Fraca de Beth. Seja Γ uma S ∪ {P }-teoria de uma lógica L. Seja T hS(Γ) := {φ ∈ L|Γ |=Lφ} o conjunto das consequências

de Γ no alfabeto S. O conceito de defini¸cão impl´ıcita exige que, se (A, P) é modelo de Γ, então P é único, ou, em outras palavras, que todo modelo A _{de T h}_S_{(Γ) possa ser expandido para no máximo uma estrutura (A, P)} que seja modelo de Γ. Ou seja, não se exige que todo modelo de T hS(Γ)

necessariamente se expanda para um modelo de Γ. Uma defini¸c˜ao impl´ıcita

forte é uma defini¸cão impl´ıcita que atende a essa exigência adicional. Nós a

definimos abaixo.

Defini¸c˜ao 2.13 (Defini¸c˜ao Impl´ıcita Forte) Seja L uma l´ogica (ou um

sistema l´ogico). Seja S um alfabeto, P um s´ımbolo relacional e Γ uma S ∪

{P }-teoria de L. Dizemos que Γ ´e uma defini¸c˜ao impl´ıcita forte de P em L

se, todo modelo A de T hS(Γ) expande para exatamente um modelo (A, P) de

Γ.

A Propriedade Fraca de Beth ´e definida assim:

Defini¸c˜ao 2.14 Uma l´ogica L possui a Propriedade Fraca de Beth se, para

toda S ∪ P -teoria Γ de L, se Γ é uma defini¸cão impl´ıcita forte de P então existe uma defini¸cão expl´ıcita de P com rela¸cão a Γ e L. O Teorema Fraco de

Beth para uma l´ogica L ´e o teorema que afirma que L possui a Propriedade

Fraca de Beth.

Hodkinson mostra que µ+_{∧λ(≺) ´e uma defini¸c˜ao forte [Hod93]. Analoga-}

mente, µ′+_{∧ λ(≺) é também uma defini¸cão forte de ≺, pois todo mult´ıpede}

finito ´ımpar M expande para somente uma estrutura (M, ≺M_{) modelo de}

µ′+∧ λ(≺) (o que garante que M |= T hSm(µ′+∧ λ(≺)) para todo mult´ıpede

finito ´ımpar M) e os ´unicos modelos de µ′+ _{s˜ao os mult´ıpedes finitos ´ımpares}

(o que garante que os ´unicos modelos de T hSm(µ′+∧ λ(≺)) s˜ao os mult´ıpedes

finitos ´ımpares). Ou seja, todo modelo de T hSm(µ′+ ∧ λ(≺)) expande para

exatamente um modelo de µ′+_{∧ λ(≺). Logo:}

Corol´ario 2.10 A prova de Hodkinson de que o Teorema Fraco de Beth falha

para Lω

ω1ωpode ser adaptada para mostrar que o mesmo teorema tamb´em falha

para LFP.

Nós vimos resultados negativos acerca da validade do Teorema de Beth e Teorema Fraco de Beth para LFP. Na próxima se¸cão veremos exemplos em que é poss´ıvel obter defini¸cão expl´ıcita a partir de certos tipos de defini¸cão impl´ıcita (que chamaremos de defini¸cões recursivas).

CAP´ITULO 2. L ´OGICA DE MENOR PONTO FIXO 34

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