A Geometria no currículo escolar

Desde a antiguidade, a Geometria desenvolveu-se tanto em ‘altura como em envergadura’ (Hansen, Malkevitch & Douady, 1998). Atualmente, existem ramos da Geometria que nem sequer foram concebidos há mais de 95 anos. Este tremendo crescimento da Geometria criou uma tensão para os educadores interessados no assunto. À medida que esses novos ramos foram surgindo, não faltaram tópicos a competir pela atenção na sala de aula. Agora há ainda mais escolhas de

tópicos, novos modos de ensino e novas tecnologias com as quais podem coabitar ideias novas e antigas (Hansen, Malkevitch & Douady, 1998).

Um grande número de desenvolvimentos contemporâneos em Matemática é predominantemente geométrico. Estes desenvolvimentos incluem o trabalho em sistemas dinâmicos (uma importante disciplina estreitamente interligada com todas as principais áreas de matemática), a visualização matemática (a arte de transformar o simbólico em geometria) e a álgebra geométrica (um sistema representacional e computacional para a geometria que é inteiramente distinto de geometria algébrica) (Jones, 2000). A evolução da Geometria é inevitável e engloba a compreensão de diversos fenómenos visuais. Uma definição contemporânea da Geometria é atribuída a Zeeman: “A geometria compreende os ramos da matemática que exploram a intuição visual (o mais dominante dos nossos sentidos) para lembrar teoremas, entender a prova, inspirar conjeturas, perceber a realidade e dar uma visão global” (Jones, 2000, p. 78).

Decidir os objetivos para a formação da Geometria envolve considerar tanto a natureza da Geometria como a variedade das suas aplicações. Assim, deve ser dada consideração ao espaço, ou seja, à visualização, e à prova (Jones, 2000). O relatório promovido pela The Royal Society/Joint Mathematical Council (2001) sugere que os objetivos atuais do ensino de Geometria podem ser resumidos da seguinte forma:

a) desenvolver consciência espacial, intuição geométrica e a capacidade de visualizar; b) fornecer um campo amplo de experiências geométricas em duas e três dimensões; c) desenvolver conhecimento, compreensão e capacidade no uso geométrico de

propriedades e teoremas;

d) incentivar o desenvolvimento e o uso de conjeturas, raciocínio dedutivo e prova;

e) desenvolver competências de aplicação de geometria através de modelação e resolução de problemas em contextos do mundo real;

f) desenvolver competências das tecnologias da informação e comunicação úteis em contextos especificamente geométricos;

g) gerar uma atitude positiva em relação à matemática;

h) desenvolver uma consciência do património histórico e cultural da geometria na sociedade e das suas aplicações contemporâneas.

A amplitude do conhecimento do que é a Geometria contemporânea e a gama de objetivos que devem ser desenvolvidos para fornecer uma experiência completa, são parâmetros indicativos das questões que tornam o desenho de um currículo de Geometria uma tarefa complexa (Jones, 2000).

A Norma da Geometria (NCTM, 2007) privilegia o desenvolvimento de um raciocínio cuidadoso e da demonstração, recorrendo à utilização de definições e factos já conhecidos. A tecnologia pode desempenhar um papel importante no ensino e na aprendizagem da Geometria, através da utilização de programas informáticos de geometria dinâmica. Os alunos podem criar exemplos diversificados que, não constituindo uma demonstração, permitem formular e explorar conjeturas e a visualização e o raciocínio espacial surgem mais claramente. Os programas de ensino do pré-escolar ao 12.º ano deverão habilitar todos os alunos para:

 analisar as características e propriedades de formas geométricas bi e tridimensionais e desenvolver argumentos matemáticos acerca de relações geométricas;

 especificar posições e descrever relações espaciais recorrendo à geometria de coordenadas e a outros sistemas de representação;

 aplicar transformações geométricas e usar a simetria para analisar situações matemáticas;

 usar a visualização, o raciocínio espacial e a modelação geométrica para resolver problemas. (NCTM, p. 44)

Segundo o programa da disciplina de Matemática em vigor, a Geometria é um dos pilares da matemática e a sua aprendizagem começa no ensino básico através do reconhecimento visual de objetos, com as noções de ponto, reta, paralelismo e perpendicularidade. A partir destes, constroem-se conceitos sobre ângulos, polígonos, circunferências ou sólidos. Em seguida, em consequência das operações de medição de comprimentos, surge a noção de fração. Por fim, surge a congruência de ângulos na sequência dos conceitos de igualdade e amplitude de ângulos (Ministério da Educação e Ciência, 2013).

No 10.º ano de escolaridade, o estudo da Geometria Analítica aborda a Geometria no plano e em seguida a Geometria no espaço. Na Geometria no plano é feita uma primeira abordagem aos referenciais cartesianos no plano, às equações cartesianas das retas, das circunferências e elipses e ao cálculo vetorial no plano. Na Geometria no espaço, é introduzida a distância entre dois pontos no espaço, a equação cartesiana da superfície esférica, a esfera e o cálculo vetorial

no espaço. Introduzem-se as coordenadas de um vetor no espaço, estudam-se as operações com vetores no espaço, a multiplicação de um vetor por um escalar e a noção de norma de um vetor no espaço. Em seguida, aborda-se o conceito de vetor diretor de uma reta no espaço, da equação vetorial da reta e do sistema de equações paramétricas da reta no espaço. No 11.º ano de escolaridade, introduz-se a noção geométrica de produto escalar de vetores, deduzindo-se as suas principais propriedades. Fixado um referencial ortonormado, o produto escalar estuda-se também do ponto de vista das coordenadas e completa-se o estudo das equações cartesianas de planos no espaço, iniciado no 10.º ano (Ministério da Educação e Ciência, 2013).

Um currículo adequado da Geometria pode promover o desenvolvimento do pensamento geométrico dos estudantes, aspeto que me debruçarei seguidamente. No currículo escolar, a manipulação de números pode ser concreta, na Aritmética, ou na computação com números, e abstrata, na álgebra, ou na computação com símbolos. No ensino da Geometria, esta separação entre uma forma concreta e uma forma abstrata não é nítida e encontra-se geralmente oculta. Nesta secção procurou-se analisar algumas teorias que se debruçam e estudam o desenvolvimento do pensamento geométrico, nomeadamente a teoria de van Hiele, a teoria da abstração, o conceito de visualização e os tipos de raciocínio em geometria 3D defendidos por Pittalis e Christou (2010).