3.3 Identidades 2-graduadas em ´ Algebras de Jordan
3.3.1 A gradua¸c˜ ao n˜ ao-escalar
Aqui consideramos a ´algebra de Jordan das matrizes sim´etricas 2 × 2 com a gradua¸c˜ao n˜ao-escalar e denotaremos por T = T2(J ) o ideal das identidades graduadas de J . Nesta
se¸c˜ao utilizaremos o s´ımbolo ◦ para representar o produto na ´algebra de Jordan M2(K)(+)
omitido. Lembramos que |u| ´e o Z2-grau de um elemento u, enquanto deg a ´e o grau usual
de um elemento homogˆeneo da ´algebra livre.
Denotaremos por I o ideal das identidades graduadas gerado pelos polinˆomios
x1(x2x3) − x2(x1x3) if |x1| = |x2| (3.1)
(y1y2, z1, z2) − (y1(y2, z1, z2) + y2(y1, z1, z2) − 2z1(z2, y1, y2)) (3.2)
(y1y2, y3, z1) − (y1(y2, y3, z1) + y2(y1, y3, z1)) (3.3)
(z1z2, x1, x2) (3.4)
(y1, y2, z1, x, y3) − (y1, y3, z1, x, y2) (3.5)
Se consideramos o espa¸co vetorial de uma ´algebra de Jordan J com a opera¸c˜ao tern´aria (a, b, c) = (a ◦ b) ◦ c − a ◦ (b ◦ c), a, b, c ∈ J , obtemos uma estrutura alg´ebrica conhecida como sistema triplo de Lie (Lie triple system). Se em uma ´algebra de Jordan consideramos a estrutura de sistema triplo de Lie pode ser demonstrado, veja por exemplo [20, pp. 343, 344], que todo associador ´e uma combina¸c˜ao linear de associadores pr´oprios. A demonstra¸c˜ao ´e parecida com a de que todo comutador na ´algebra livre de Lie ´e uma combina¸c˜ao linear de comutadores regulares (isto ´e, os colchetes agrupados da esquerda para a direita).
Aqui a letra y, com ou sem ´ındice, representa uma vari´avel par; z com ou sem ´ındice representa uma vari´avel ´ımpar, e x representa uma vari´avel qualquer (par ou ´ımpar).
Lema 3.5 As identidades graduadas de (3.1) a (3.5) valem para a ´algebra de Jordan J . Em outras palavras I ⊆ T .
Demonstra¸c˜ao. A prova consiste de uma verifica¸c˜ao simples e ser´a omitida. Lembramos que como estamos considerando ´algebras sobre corpos infinitos toda identi- dade graduada ´e equivalente a um conjunto finito de identidades multihomogˆeneas (podemos tomar o conjunto de suas componentes multihomogˆeneas), veja o Lema 1.38. Desse modo podemos nos restringir ao estudo das identidades multihomogˆeneas. Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e provar que I = T .
Seja L = J (X)/I onde J (X) ´e a ´algebra livre de Jordan graduada. Iremos adiante estudar a ´algebra L; iremos manter a nota¸c˜ao para as imagens das vari´aveis y e z em L. A identidade (3.4) implica que os elementos zizj est˜ao no centro associativo de L. Portanto a
subalgebra de L gerada por todos os zizj ´e associativa.
Como o ideal I ´e homogˆeneo na gradua¸c˜ao conclu´ımos que a ´algebra L ´e graduada, sendo sua gradua¸c˜ao induzida pela gradua¸c˜ao em J (X), assim L = L0⊕ L1.
Demonstra¸c˜ao. A identidade graduada (3.1) implica que (y1, y2, y3) = 0 em L. Portanto
L0 ´e associativa. Agora seja w ∈ [L1], a subalgebra de L gerada por L1. Suponha que w ´e
um monˆomio, deg w = n. Inicialmente mostraremos que w = (u) ˆzi para algum zi e algum
monˆomio u ∈ LC, o centro associativo de L. Aqui o chap´eu sobre a vari´avel zi significa que
ela pode estar faltando. Faremos a demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao em n. Se n = 1 ent˜ao w = z e u = 1. Suponha que n > 1 e al´em disso que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para monˆomios de grau no m´aximo n − 1. Ent˜ao w = (w1) . . . (wk) para algum wi ∈ L1 (aqui pode haver qualquer
arranjo de parˆenteses). Usando a hip´otese de indu¸c˜ao podemos assumir que wi = (ui)czti.
J´a que ui est´a no centro associativo podemos reduzir este caso a w = (u)(w0) onde u ∈ LC
e w0 ´e o produdo de algumas vari´aveis z com alguma distribui¸c˜ao de parˆenteses. Mas pela identidade (3.4) o produto de quaisquer duas vari´aveis z est´a no centro associativo LC, ent˜ao
podemos transfer´ı-la para u. Portanto se o grau de w0 ´e par segue que w ∈ LC e se ´e ´ımpar
ent˜ao w = (u0)z onde u0 ∈ LC.
Sejam wi = (ui)zcti, i = 1, 2, 3, trˆes elementos de [L1]. Temos ent˜ao que (w1, w2, w3) =
(u1u2u3)(zct1,czt2,zct3) = 0 em L j´a que pela identidade (3.1) segue que (z1, z2, z3) = 0. Se
alguma das vari´aveiszcti n˜ao aparece ent˜ao em seu lugar aparece 1, e neste caso o associador
se anula.
Seja Ω ⊆ L o menor subconjunto de L com a propriedade que se f1, f2, f3 ∈ Ω ∪ X ent˜ao
(f1, f2, f3) ∈ Ω. Os elementos de Ω s˜ao chamados associadores.
Denote por J (X)(n1,...,nk) a componente multihomogˆenea de J (X) que consiste dos po-
linˆomios homogˆeneos de grau ni na vari´avel xi, 1 ≤ i ≤ k, e grau 0 nas demais vari´aveis.
De modo an´alogo definimos L(n1,...,nk). Escolhemos o subconjunto Ω
0 de Ω como descrito a
seguir. Se Ω ∩ L(n1,...,nk) 6= 0 ent˜ao escolhemos um elemento arbitr´ario (mas n˜ao nulo) de
Ω0∩ L(n1,...,nk), e n˜ao existem outros elementos em Ω0.
Agora defina o conjunto A ⊆ L que consiste dos elementos dos quatro tipos a seguir. (i) (yi1. . . yik)(zj1. . . zjt); (ii) (yi1. . . yik)u 1; (iii) (yi1. . . yik)(zj1u 1); (iv) (yi1. . . yik)u 0. Aqui k, t ≥ 0, e ui ∈ Ω
0 ´e um associador, |ui| = i, i = 0, 1. Exigimos ainda que deg ui ≥ 3,
isto ´e que os ui sejam associadores mas n˜ao sejam vari´aveis. A proposi¸c˜ao 3.6 nos permite
omitir os parˆenteses nas express˜oes acima.
Seja S = sp (A) o subespa¸co de L gerado por A. Iremos mostrar que L = S. Para isto mostraremos primeiro que todo elemento de Ω ´e igual, a menos de sinal, a um elemento de Ω0. Para demonstrar essas duas afirma¸c˜oes utilizaremos os lemas a seguir.
Lema 3.7 As identidades a seguir est˜ao em I.
(a) (x1, x2, x3), |x1| = |x3|;
(b) (y1z1, y2, y3) − y1(z1, y2, y3);
(c) (z1, y1, . . . , y2k) − (z1, yσ(1), . . . , yσ(2k)) para qualquer permuta¸c˜ao σ no grupo sim´etrico
S2k;
(d) (z1, y1, . . . , y2k, z2, y2k+1) − (zτ (1), yσ(1), . . . , yσ(2k), zτ (2), yσ(2k+1)) para todo σ ∈ S2k+1 e
τ ∈ S2.
Demonstra¸c˜ao. Como (x1, x2, x3) = (x1x2)x3− x1(x2x3) = (x3x2)x1− x1(x2x3) = 0 em
L, segue de (3.1) que vale (a). Analogamente segue de (3.1) que ((y1z1)y2)y3 = ((y2z1)y3)y1
and (y1z1)(y2y3) = ((y2y3)z1)y1. Portanto
(y1z1, y2, y3) = ((y1z1)y2)y3− (y1z1)(y2y3)
= ((y2z1)y3)y1− ((y2y3)z1)y1 = y1(z1, y2, y3)
e assim provamos (b). ´E claro que (c) segue da identidade (3.5).
Para provar (d) ´e suficiente considerar o caso σ = 1, a permuta¸c˜ao identidade, e ent˜ao utilizamos a identidade (3.5). Suponhamos inicialmente que k = 1. Segue de (3.1) que ((y1y2)z1)z2 = ((y1y2)z2)z1 e que
(y1(y2z1))z2 = (y1z2)(y2z1) = (y2(y1z2))z1 = (y1(y2z2))z1.
Portanto obtemos
(y1, y2, z1)z2 = (y1, y2, z2)z1 (3.6)
Segue desta ´ultima identitade, juntamente com (b) e (a), que
(y1, y2, z1)(z2y3) = (y1, y2, z2y3)z1 = (y3(y1, y2, z2))z1 = (y1, y2, z2)(y3z1) (3.7)
Agora observamos que (z1, y1, y2, z2, y3) = ((z1, y1, y2)z2)y3− (z1, y1, y2)(z2y3). Assim utili-
zando a identidade (3.6) transpomos z1 e z2 na primeira parcela do lado direito da igualdade.
Al´em disso, como consequˆencia de (3.7) podemos fazer o mesmo na segunda parcela, assim provamos o caso k = 1.
Seja k > 1, e suponha que para todo inteiro ≤ k − 1 o polinˆomio em (d) pertence a I. Para demonstrar este caso ´e suficiente mostrar que as igualdades a seguir valem em L.
Para provar que a primeira igualdade ´e uma identidade graduada em L observamos que por (3.6)
(z1, y1, . . . , y2k)z2 = (z2, y2k−1, y2k)(z1, y1, . . . , y2k−2).
Agora novamente usamos indu¸c˜ao em k, supondo que
(z1, y1, . . . , y2k−2)z2 = (z2, y1, . . . , y2k−2)z1.
Desse modo obtemos
(z2, y2k−1, y2k)(z1, y1, . . . , y2k−2) = z1(z2, y2k−1, y2k, y1, . . . , y2k−2).
Agora aplicamos (c) e encontramos a igualdade desejada. A ´ultima igualdade pode ser demonstrada de modo an´alogo. Segue de (3.7), (b) e (a) (e novamente utilizamos indu¸c˜ao) que
(z1, y1, . . . , y2k)(y2k+1z2) = (z2, y2k−1, y2k)(y2k+1(z1, y1, . . . , y2k−2))
= ((z2, y2k−1, y2k)y2k+1)(z1, y1, . . . , y2k−2)
= (z1y2k+1)(z2, y2k−1, y2k, y1, . . . , y2k−2).
Agora utilizando (d) obtemos a igualdade desejada.
Assim verificamos que as duas igualdades valem em L e a identidade (d) segue facilmente
delas.
Antes de prosseguir precisamos de mais algumas identidades em L.
Lema 3.8 Os polinˆomios a seguir s˜ao identidades em L.
(i) (y1, z2, (y2z1)) − (y2(y1, z1, z2) + z1(y1, y2, z2));
(ii) z1(z2, z3, y1);
(iii) (z1z2)(z3, x, y1) − (z1, z2, y1, x, z3);
(iv) (y1, z1, z2)(y2, z3, z4) − z1(y1, z2, z3, y2, z4);
(v) (y1, y2, z1)(y3, y4, z2) − z1(z2, y1, y2, y3, y4).
Em outras palavras os polinˆomios acima est˜ao em I.
Demonstra¸c˜ao. Para provar (i) observe que (y1, z2, (y2z1)) = (y1z2)(y2z1) − y1(z2(y2z1)),
e que
Al´em disso vale a igualdade a seguir em L
(y1z2)(y2z1) = z1(y2(y1z2)) = z1((y1y2)z2− (y2, y1, z2))
= (y1y2)(z1z2) + (y1y2, z2, z1) − z1(y1, y2, z2).
Subtraindo as duas ´ultimas identidades e aplicando a identidade (3.2) obtemos (i). De modo an´alogo (ii) segue de (3.1) e de (3.4) j´a que
z1((z2z3)y1) = (z2z3)(z1y1) = ((z2z3)z1)y1 = ((z1z2)z3)y1
e al´em disso z1(z2(z3y1)) = (z1z2)(z3y1) = ((z1z2)z3)y1.
A identidade graduada (iii) vale j´a que z1z2 est´a no centro associativo de L e al´em disso,
segue de (3.4) que (z1(z2y1), x, z3) = 0 em L.
Agora mostraremos (iv). Segue das identidades graduadas (3.4) e (3.1) que
((y1z1)z2)(y2, z3, z4) = (y2, z3((y1z1)z2), z4) = (y2, (z1z2)(y1z3), z4)
= (z1z2)(y2, (y1z3), z4).
Por outro lado ((y1z1)z2)(y2, z3, z4) = (z1z2)(y1(y2, z3, z4) + z3(y2, y1, z4)) por (i). Como z1z2
est´a no centro associativo temos
((y1z1)z2)(y2, z3, z4) = ((z1z2)y1)(y2, z3, z4) + ((z1z2)z3)(y2, y1, z4).
Portanto (y1, z1, z2)(y2, z3, z4) = ((z1z2)z3)(y2, y1, z4). Segue de (3.4) que z1z2 e (y1z2)z3 est˜ao
no centro associativo. Portanto z1(y1, z2, z3, y2, z4) = (z1(z2z3))(y1, y2, z4). Como z1(z2z3) =
(z1z2)z3 conclu´ımos que (y1, z1, z2)(y2, z3, z4) = z1(y1, z2, z3, y2, z4).
Resta provar (v). Na demonstra¸c˜ao da identidade (d) do Lema 3.7 mostramos que ((y1y2)z1)z2 = ((y1y2)z2)z1. Portanto, utilizando (3.1) obtemos a igualdade
(y1, y2, z1)(y3, y4, z2) = (y1, y2, (y3, y4, z2))z1 = −(y3, y4, z2, y1, y2)z1
= (z2, y3, y4, y1, y2)z1.
Agora aplicamos a identidade graduada (c) do Lema 3.7 e assim podemos ordenar as
vari´aveis y no ´ultimo associador.
A proposi¸c˜ao a seguir mostra que a escolha dos elementos de Ω0 pode realmente ser
arbitr´aria.
Proposi¸c˜ao 3.9 Sejam u1 e u2 dois associadores n˜ao nulos em L do mesmo multigrau.
Demonstra¸c˜ao. Seja u ∈ Ω. Recordamos que as matrizes a e b foram escolhidas como sendo a = e11− e22 e b = e12+ e21. Se substitu´ımos toda vari´avel par de u pela matriz a, e
toda vari´avel ´ımpar pela matriz b ent˜ao o resultado desta substitui¸c˜ao ´e a matriz ±a sempre que |u| = 0, e ±b sempre que |u| = 1. Esta observa¸c˜ao pode ser demonstrada de maneira simples por indu¸c˜ao em deg u. Se deg u = 3 ent˜ao podemos ter (a, a, b) − (b, a, a) = b e (b, b, a) = −(a, b, b) = a. Se u = (u1, u2, u3) ent˜ao os ui s˜ao associadores de grau menor que
o de u, e podemos aplicar a indu¸c˜ao.
Como observamos antes, todo associador em u ∈ Ω ´e uma combina¸c˜ao linear de associado- res pr´oprios. N´os provaremos inicialmente a proposi¸c˜ao para associadores pr´oprios. Primeiro mostraremos que todo associador pr´oprio u pode ser escrito como u = (zi1. . . zi2m)ut onde
t = 0, 1, e u0 = (zi2m+1, yj1, . . . , yj2k), enquanto u1 = (zi2m+1, yj1, . . . , yj2k, zi2m+2, yj2k+1). Aqui
m ≥ 0.
Faremos indu¸c˜ao no grau total n de u, nas vari´aveis z, e al´em disso em ` que ´e definido por deg u = 2`+1. Se n = 0 n˜ao existem tais associadores n˜ao nulos. Suponha que n = 1. Se u = (x1, x2, x3, . . .) ent˜ao exatamente uma das vari´aveis x1 e x3 ´e ´ımpar, portanto podemos
assumir que (a menos de um sinal) essa vari´avel ´e x1. Ent˜ao aplicamos o Lema 3.7 (c), e
assim o resultado vale para todo `.
Suponha que n = 2. Se ` = 1 ent˜ao deg u = 3, e u = (z1, z2, y1) = (z2, z1, y1).
Tome ` ≥ 2. N˜ao pode acontecer que u = (z1, z2, y1, . . .) j´a que no lugar dos pontos
apareceriam apenas vari´aveis pares (pelo menos duas), e ter´ıamos u = 0. Assim temos u = (z1, y1, . . . , yp, z2, yp+1, . . .) com p ≥ 1. (Os ´ındices nas vari´aveis podem ser permutados
mas usamos essa nota¸c˜ao mais simples.) Observe que o inteiro p ´e par pois caso contr´ario ter´ıamos u = 0. Al´em disso os pontos mais a direita representam vari´aveis pares. Como o associador (z1, y1, . . . , yp, z2) ´e par (na gradua¸c˜ao) e temos n = 2 vari´aveis ´ımpares, os pontos
mais a direita na verdade n˜ao aparecem. Assim conclu´ımos que u = (z1, y1, . . . , yp, z2, yp+1),
onde p ´e par, e assim terminamos com esse caso para todo ` utilizando Lema 3.7 (d). Suponha agora que n ≥ 3. Devemos provar que neste caso u = (zi1. . . zi2m)u
0 onde u0 tem
1 ou 2 vari´aveis ´ımpares. Escreva u = (A1, x1, x2) onde A1 ´e um associador. Se A1 cont´em
pelo menos 3 vari´aveis ´ımpares ent˜ao pela indu¸c˜ao (deg A1 = deg u−2) temos A1 = (zi1zi2)A2.
Aqui A2 ´e algum associador pr´oprio (ou uma combina¸c˜ao linear de associadores pr´oprios).
Por outro lado z1z2 est´a no centro associativo e portanto u = (zi1zi2)(A2, x1, x2). Assim
podemos aplicar a indu¸c˜ao para (A2, x1, x2).
Se, por outro lado, A1 tem apenas uma vari´avel ´ımpar ent˜ao |A1| = 1 e |x2| = 0 j´a
que u 6= 0. Assim temos n = 1 ou 2, mas isto n˜ao ´e poss´ıvel j´a que n ≥ 3. Desse modo temos que analisar o caso em que A1 tem exatamente duas vari´aveis ´ımpares. Novamente
por indu¸c˜ao (n = 2) podemos assumir que A1 = (z1, y1, . . . , y2k−2, z2, y2k−1) a menos de uma
e portanto x2 deve ser algum z, e como n = 3, x1 ´e algum y. Para simplificar a nota¸c˜ao
escrevemos u = (A1, y, z) e A1 = (A2, z0, y0) onde A2 ´e um associador, |A2| = 1 e A2 cont´em
exatamente uma vari´avel ´ımpar. Portanto u = (A2, z0, y0, y, z). Agora aplicamos a identidade
(iii) do Lema 3.8 e em seguida utilizamos o fato que a ´algebra gerada por L1 ´e associativa
(e comutativa) para obter
u = ±(A2z0)(y0, y, z) = ±(A2z0)(z, y0, y)
= ±((A2z0)z, y0, y) = ±((z0z)A2, y0, y) = ±(z0z)(A2, y0, y).
Fica claro pelo ´ultimo argumento que podemos permutar as vari´aveis z sem restri¸c˜oes; no caso das vari´aveis y isto segue do Lema 3.7.
Sejam u e w dois associadores (n˜ao necessariamente pr´oprios), do mesmo grau multiho- mogˆeneo. Escrevemos cada um deles como uma combina¸c˜ao linear de associadores pr´oprios, e em seguida aplicamos os resultados provados acima para associadores pr´oprios. Desse modo conclu´ımos que u e w diferem apenas por um m´ultiplo escalar. Mas este deve ser 1 ou −1 por causa da observa¸c˜ao feita no in´ıcio da demonstra¸c˜ao. Uma outra consequˆencia do Lema 3.8 e da demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.9 ´e a seguinte.
Corol´ario 3.10 Seja u ∈ A. Se substitu´ımos qualquer vari´avel x de u por um associador w tal que |x| = |w| ent˜ao obtemos uma combina¸c˜ao linear de elementos de A.
Demonstra¸c˜ao. A ´algebra L0´e associativa e comutativa, e o mesmo vale para a sub´algebra
de L gerada por L1. Se, em alguma substitui¸c˜ao, aparece um elemento do tipo zizj ele pode
ser ”absorvido” pelo associador (ou pelo elemento zj1. . . zjt no caso de elementos do tipo (i))
na defini¸c˜ao de A. Para terminar a demonstra¸c˜ao do corol´ario ´e preciso fazer uma an´alise de casos das poss´ıveis substitui¸c˜oes de vari´aveis de elementos de A por associadores. Esses casos n˜ao s˜ao dif´ıceis de analisar; ´e necess´ario utilisar as identidades graduadas do Lema 3.8. Por exemplo, se substitu´ımos a vari´avel y por (y2, z3, z4) em (y1, z1, z2)y, segue do Lema 3.8
que obtemos z1(y1, z2, z3, y2, z4).
Lembranos que S denota o espa¸co vetorial gerado pelo conjunto A (definido logo antes do Lema 3.7). Os Lemas a seguir garantem que certos elementos pertencem a S.
Lema 3.11 O polinˆomio N = ((y1. . . yk), y, z) pertence ao subespa¸co de S gerado por ele-
mentos do tipo (ii).
Demonstra¸c˜ao. Seja S00 um conjunto de elementos do tipo (ii) do mesmo multigrau que N . Devemos mostrar que N pertence ao subespa¸co V de S gerado por S00. Faremos isso
por indu¸c˜ao em k. Se k = 1 n˜ao h´a o que demonstrar. Ent˜ao podemos escrever, usando a identidade (3.3),
N = (y1. . . yk−1)(yk, y, z) + yk((y1. . . yk−1), y, z).
O elemento (y1. . . yk−1)(yk, y, z) ´e do tipo (ii). Para provar que yk((y1. . . yk−1), y, z) ∈ V
devemos aplicar a hip´otese de indu¸c˜ao ao elemento ((y1. . . yk−1), y, z). Portanto ´e suficiente
mostrar que todos os elementos da forma
y((y1. . . yp)(z, yp+1, . . . , yq)), p < k, q − p ≡ 0 (mod 2)
s˜ao combina¸c˜oes lineares de elementos do tipo (ii). Mas este ´ultimo elemento ´e igual a
(y(y1. . . yp))(z, yp+1, . . . , yq) − (y, (y1. . . yp), (z, yp+1, . . . , yq)).
O primeiro termo da soma ´e do tipo (ii). E o segundo termo da soma ´e igual, a menos de sinal, a ((y1. . . yp), y, (z, yp+1, . . . , yq)). Primeiro consideramos o elemento ((y1. . . yp), y, z).
Aplicando a este a identidade (3.3) v´arias vezes obtemos uma combina¸c˜ao linear de elemen- tos do tipo (ii) do conjunto A. Mas de acordo com o Corol´ario 3.10, se substitu´ımos um associador por uma vari´avel em um elemento de A, obtemos novamente elementos de A desde que o Z2-grau seja preservado. Com isso terminamos a demonstra¸c˜ao.
Lema 3.12 O polinˆomio N = ((y1. . . yk), z1, z2) pertence a S.
Demonstra¸c˜ao. Como no lema anterior faremos indu¸c˜ao em k. Devemos mostrar que N est´a no espa¸co V gerado pelos elementos dos tipos (iii) e (iv). A base de indu¸c˜ao k = 1 ´e claramente verdade. Segue da identidade (3.4) que
N = (y1. . . yk−1)(yk, z1, z2) + yk((y1. . . yk−1), z1, z2) − 2z1(z2, (y1. . . yk−1), yk).
A primeira parcela a partir da esquerda ´e um elemento de S (do tipo (iv)). Por indu¸c˜ao podemos assumir que ((y1. . . yk−1), z1, z2) ∈ V ´e uma combina¸c˜ao linear de elementos dos
tipos (iii) e (iv). Al´em disso os elementos dos tipos (iii) e (iv) s˜ao produtos dos elemen- tos pares; portanto est˜ao na ´algebra associativa L0. Assim multiplicando estes por yk re-
sulta em elementos do mesmo tipo. Resta mostrar que a ´ultima parcela ´e elemento de V . Aplicando o Lema 3.11 a (z2, (y1. . . yk−1), yk) podemos escrever este como uma com-
bina¸c˜ao linear de elementos do tipo (ii). Portanto ´e suficiente provar que elementos da forma M = z1((y1. . . yn)(z2, yn+1, . . . , ym)), n < k, m − n par, est˜ao em V . Mas temos que
M = (y1. . . yn)(z1(z2, yn+1, . . . , ym)) − (z1, (z2, yn+1, . . . , ym), (y1, . . . , yn)).
Aqui a primeira parcela a direita ´e do tipo (iv). E o segundo tamb´em ´e elemento de V devido a nossa hip´otese de indu¸c˜ao juntamente com o Corol´ario 3.10.
Lema 3.13 Se s ∈ S ent˜ao sz ∈ S.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro notamos que os elementos de A dos tipos (ii), (iii), (iv) po- dem ser obtidos de elementos do tipo (i) substituindo uma vari´avel x por um associador u tal que |u| = |x|. Ent˜ao o lema ser´a consequˆencia do Corol´ario 3.10 se provarmos que ((y1. . . yk)(z1. . . zp))z ∈ S. Se o n´umero p ´e par ent˜ao z1. . . zp est´a no centro associativo
de L e assim ”absorve” a vari´avel z e desse modo obtemos um elemento do tipo (i). Ent˜ao suponha que p ´e ´ımpar. Neste caso o elemento z2. . . zp est´a no centro e basta mostrar que
o elemento R = ((y1. . . yk)z1)z ∈ S. Podemos ver facilmente que
R = ((y1. . . yk), z1, z) + (y1. . . yk)(z1z).
Mas devido ao Lema 3.12 a primeira parcela a direita est´a em S enquanto o segundo j´a ´e
do tipo (i).
Lema 3.14 O elemento N = ((y1. . . yk), (yk+1. . . yn), z) ∈ S.
Demonstra¸c˜ao. Fazemos indu¸c˜ao em n−k. Se n−k = 1 temos o Lema 3.11. Suponha que n − k > 1. O lema segue da afirma¸c˜ao a seguir. Se substitu´ımos em (y1. . . yr)(z, yr+1, . . . , ys)
uma vari´avel y pelo produto de n − k vari´aveis y a express˜ao resultante est´a em S. A afirma¸c˜ao claramente vale (para produtos de qualquer comprimento) se substitu´ımos algumas das vari´aveis y1 at´e yr. Se substitu´ımos algumas das vari´aveis yr+1, . . . , ys, ent˜ao primeiro
precisamos aplicar o Lema 3.11, e em seguida usamos indu¸c˜ao.
Lema 3.15 O elemento R = (y1. . . yk)((yk+1. . . yn)z) pertence a S.
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao segue do Lema 3.14 usando um argumento an´alogo ao
da demonstra¸c˜ao do Lema 3.13.
Proposi¸c˜ao 3.16 O conjunto A gera a ´algebra relativamente livre L.
Demonstra¸c˜ao. Afirmamos que os elementos R = ((y1. . . yp)z1)((yp+1. . . yq)z2) ∈ S.
De fato como (z1, y, z2) ´e uma identidade graduada temos que R pode ser escrito como
R = z1((y1. . . yp)(yp+1. . . yq)z2). Assim nossa afirma¸c˜ao segue do Lema 3.13 e do Lema 3.15.
Al´em disso o produto de um n´umero par de elementos de L1 pertence ao centro associativo
de L. Portanto o fato que R ∈ S, juntamente com o Corol´ario 3.10 implica que o prosuto de dois elementos de A pertence a S = sp (A). Logo S ´e uma sub´algebra de L. Como X ⊆ S por defini¸c˜ao, e X gera L como ´algebra conclu´ımos que S = L.
Sejam u1, u2 ∈ A. Diremos que u1 e u2 s˜ao semelhantes se
Aqui os ai, i = 1, 2, s˜ao da forma (zj1. . . zjp)wi, p ≥ 0, e os wis˜ao associadores. Note que n˜ao
exigimos que a1 = a2. Em outras palavras u1 e u2 s˜ao semelhantes se as vari´aveis pares que
aparecem neles fora dos associadores s˜ao as mesmas (contando os graus multihomogˆeneos). Agora j´a temos os resultados necess´arios para o principal resultado desta se¸c˜ao.
Teorema 3.17 Seja K um corpo infinito com char K 6= 2. Ent˜ao o ideal T das identidades graduadas da ´algebra de Jordan J das matrizes sim´etricas 2 × 2 ´e gerado (como um T-ideal graduado) pelas identidades de (3.1) a (3.5). Em outras palavras T = I.
Demonstra¸c˜ao. A prova ´e dividida em trˆes passos.
Sejam u1, . . . , un elementos de A de mesmo multigrau. Suponha que n˜ao h´a dois seme-
lhantes entre eles e que P αiui ∈ T ´e uma identidade graduada para J onde αi ∈ K s˜ao
escalares. Ent˜ao para todo i temos αi = 0.
Seja ui = ciai onde os ai s˜ao como na defini¸c˜ao de semelhan¸ca, e os ci s˜ao produtos de
vari´aveis pares. Neste caso ci 6= cj se i 6= j. Como L0 ´e associativa e comutativa podemos
assumir que as vari´aveis y em cada ci est˜ao escritas em ordem crescente.
SejaP αiui = f (y1, . . . , yp, z1, . . . , zq). Suponha ainda que f 6= 0. Defina
g(y1, . . . , yp, z1, . . . , zq) = f (y1+ 1, . . . , yp, z1, . . . , zq).
O polinˆomio g ´e uma identidade graduada para a ´algebra de Jordan J . Chamamos a aten¸c˜ao para o fato que g n˜ao ´e multihomogˆeneo. Como o corpo base ´e infinito todas suas componen- tes multihomogˆeneas tamb´em s˜ao identidades graduadas para J . Uma das suas componentes multihomogˆeneas ´e exatamente f . Seja h a componente homogˆenea de g n˜ao nula de menor grau em y1. (Isto ´e tomamos como h o polinˆomio n˜ao nulo obtido de f depois de substituir-
mos o maior n´umero poss´ıvel de vari´aveis y1 por 1.) O polinˆomio h ´e obtido de f atrav´es
do seguinte procedimento. Primeiro consideramos a soma de todos os αiciui onde o grau
de y1 em ci ´e o maior poss´ıvel, e discartamos as parcelas restantes. Ent˜ao substitu´ımos
nestas parcelas todas as entradas y1 em ci por 1 (e mantemos as vari´aveis y1 que aparecem
em associadores). Desse modo obtemos exatamente h j´a que sempre que 1 aparece em um associador o mesmo se anula. O polinˆomio h n˜ao tem vari´aveis y1 que aparecem fora de asso-
ciadores. Repetindo o argumento acima para h(y1, y2+ 1, y3, . . . , yp, z1, . . . , zq) obtemos um
polinˆomio n˜ao nulo que n˜ao cont´em y2 fora de associadores, e assim por diante. Finalmente
obtemos um polinˆomio n˜ao nulo f1que n˜ao cont´em nenhuma vari´avel yi fora de associadores.
Claramente f1 ∈ T j´a que f ∈ T . Mas f1 ´e obtido de f removendo algumas das parcelas e
descartando os ci que s˜ao parte das parcelas restantes. Como os c1, . . . , cn s˜ao dois a dois
distintos conclu´ımos que existe apenas um ai em f1. Isto ´e f1 = αiai para algum i. Por
´
e poss´ıvel se αi = 0 e neste caso f1 = 0, e αiciai n˜ao aparece em f . Em seguida repetimos o
procedimento acima para f (j´a tendo descartado o termo αiciai) e continuamos por indu¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 2. O conjunto A ´e linearmente independente m´odulo o ideal T .
Segue da Afirma¸c˜ao 1 que ´e suficiente considerar somente os elementos de A onde todas as vari´aveis y aparecem em associadores apenas. Neste caso devemos mostrar que os elementos zj1. . . zjt, u
1, z j1u
1, u0, s˜ao linearmente independentes. Note que os ui s˜ao associadores e
n˜ao vari´aveis. Ent˜ao esses elementos tˆem multigraus dois a dois distintos e n˜ao podem ser linearmente dependentes. Mossa afirma¸c˜ao fica ent˜ao provada.
Afirma¸c˜ao 3. A inclus˜ao T ⊆ I vale.
Seja f ∈ T um polinˆomio multihomogˆeneo. Como I ⊆ T , segue da Proposi¸c˜ao 3.16 que f ≡ P αiui (mod I). Aqui αi ∈ K e ui ∈ A. Mas das Afirma¸c˜oes 1 e 2 conclu´ımos que
todos os αi = 0, e f ∈ I. A afirma¸c˜ao est´a provada.
Para terminar a demonstra¸c˜ao do teorema ´e suficiente lembrar que T ⊆ I e que I ⊆ T .