Identidades graduadas em álgebras não-associativas

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Universidade Estadual de Campinas

INSTITUTO DE MATEM ÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇ ÃO CIENTÍFICA

Departamento de Matem´

atica

Tese de Doutorado

Identidades Graduadas em ´

Algebras

n˜

ao-Associativas

por

Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva

Doutorado em Matem´atica - Campinas - SP

Orientador:

Prof. Dr. Plamen Kochloukov

†

Este trabalho contou com apoio financeiro da FAPESP.

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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Bibliotecária: Maria Fabiana Bezerra Müller – CRB8 / 6162

Silva, Diogo Diniz Pereira da Silva e

Si38i Identidades graduadas em álgebras não associativas/Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva-- Campinas, [S.P. : s.n.], 2010.

Orientador : Plamen Kochloukov

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1.Álgebra não-comutativa. 2.PI-álgebras. 3.Polinômios. 4.Jordan, Álgebra de. 5.Lie, Álgebra de. I. Kochloukov, Plamen Emilov. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Título em inglês: Graded identities in non associative algebras

Palavras-chave em inglês (Keywords): 1. Noncommutative algebras. 2.PI-algebras. 3. Polynomials. 4. Jordan algebras. 5. Lie algebras.

Área de concentração: Álgebra Não-Comutativa Titulação: Doutor em Matemática

Banca examinadora: Prof. Dr. Plamen Kochloukov (IMECC – UNICAMP) Prof. Dr. Antônio José Engler (IMECC – UNICAMP) Prof. Dr. Ivan Chestakov (IME – USP)

Profa. Dra. Irina Kashuba (IME – USP)

Prof. Dr. Victor Petrogradskiy (Ulyanovsk State University) Data da defesa: 13/12/2010

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Agradecimentos

O conjunto de pessoas a quem devo meus agradecimentos e enumerável, mas muito dif´ıcil de enumerar, sendo assim agrade¸co a todos aqueles que de alguma maneira, diretamente por meio de sugestões e discussões, ou indiretamente por meio de algum gesto de incentivo, me ajudaram na dif´ıcil tarefa de concluir essa tese. Para vocês meus mais sinceros agradecimen-tos, pois este trabalho não ser´ıa poss´ıvel sem essa ajuda.

Alguns nomes devem ser mencionados explicitamente, agrade¸co: `

A minha familia por me ajudar em tudo o que lhes foi possivel. `

A minha esposa, pela paciˆencia e principalmente por acreditar em mim quando eu mesmo duvidei.

Aos colegas da UAME por me criarem um ambiente de trabalho que nos incentiva a buscar sempre crescer, melhorar e buscar ”dar o m´aximo de si”.

Ao meu orientador Plamen Kochloukov pela excelente orienta¸cão, pelas sugestões de problemas, pelas discussões que sempre foram muito proveitosas, pelas várias corre¸cões no texto, tudo isso foi essencial para a elabora¸cão desta tese.

Aos funcion´arios do IMECC/Unicamp pelo excelente ambiente de estudo. `

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Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo sobre identidades polinomiais graduadas em ´

algebras não associativas. Mais precisamente estudamos as identidades polinomiais gradu-adas da álgebra de Lie das matrizes de ordem 2 com tra¸co zero com as três gradua¸cões naturais, a Z2-gradua¸cão, a Z2 × Z2-gradua¸cão e a Z-gradua¸cão, neste caso conseguimos

uma nova demonstra¸cão baseada em métodos elementares dos resultados de [27] que não se baseia em resultados da Teoria de Invariantes, estes resultados foram publicados em [30]. Estudamos também as identidades graduadas da álgebra de Jordan das matrizes simétricas de ordem 2, neste caso obtivemos bases para as identidades graduadas dessa álgebra de Jor-dan em todas as poss´ıveis gradua¸cões, obtivemos também bases para as identidades fracas para os pares (Bn, Jn) e (B, J ), onde Bn e B denotam as álgebras de Jordan de uma forma

bilinear sim´etrica n˜ao degenerada nos espa¸cos vetoriais Vn e V respectivamente, onde Vn

tem dimensão n e V tem dimensão ∞, esses resultados estão no artigo [29], aceito para publica¸cão.

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Abstract

In this thesis we study graded identities in nonassociative algebras. Namely we study graded polynomial identities for the Lie algebra of the 2×2 matrices with trace zero with it´s three natural gradings, the Z2-grading, the Z2×Z2-grading and the Z-grading, in this case we

obtained a new proof of the results of [27] that doesn´t involve use of Invariant Theory, this results were published in [30]. We also studied the graded identities of the Jordan algebra of the symmetric matrices of order two, we obtained basis for the graded identities of this Jordan algebra in all possible gradings, we also obtained basis for the weak identities of the pairs (Bn, Jn) and (B, J ), where Bn and B are the Jordan algebras of a symmetric bilinear

form in a the vector spaces Vn and V respectively, where Vn has dimension n and V has

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1 1 Conceitos B´asicos 5 1.1 Algebras . . . .´ 5 1.2 Algebras Graduadas´ . . . 8 1.3 Algebras Livres . . . .´ 11

1.4 Identidades Polinomiais. Variedades. ´Algebras Relativamente Livres . . . 13

1.5 Identidades Graduadas . . . 14

1.6 Invariantes . . . 16

1.7 Identidades Fracas . . . 17

2 Identidades Graduadas em ´Algebras de Lie 20 2.1 As identidades graduadas de sl2(K), char K 6= 0 . . . 21

2.2 As identidades graduadas de sl2(K), char K = 0 . . . 26

2.2.1 _{As identidades Z}2-graduadas de sl2 . . . 27

2.2.2 _{As identidades Z-graduadas de sl}2 . . . 30

2.2.3 _{As identidades Z}2× Z2-graduadas de sl2 . . . 35

3 Identidades Graduadas em Álgebras de Jordan 36 3.1 Gradua¸cões em Álgebras de Jordan . . . 37

3.2 Gradua¸cões na álgebra de Jordan das matrizes simétricas 2 × 2 . . . 38

3.3 Identidades 2-graduadas em ´Algebras de Jordan . . . 40

3.3.1 A gradua¸c˜ao n˜ao-escalar . . . 40

3.3.2 As ´algebras de Jordan de uma forma bilinear sim´etrica: Identidades fracas e Identidades 2-graduadas . . . 51

3.4 As identidades graduadas da ´algebra de Jordan das matrizes sim´etricas 2 × 2 54 3.4.1 As identidades A-graduadas de J . . . 54

3.4.2 As identidades B-graduadas de J . . . 56

3.4.3 As identidades C-graduadas de J . . . 58

3.4.4 As identidades D-graduadas da ´algebra de J . . . 59

(9)

Introdu¸

c˜

ao

A teoria das álgebras que satisfazem identidades polinomiais, chamadas também PI álgebras, ´

e uma parte importante da teoria de anéis e álgebras. Os primeiros estudos sobre PI álgebras aparaceram, embora de forma impl´ıcita, na década de 1920-1930, nas pesquisas de Wagner e Dehn. (Entrando em detalhes de caracter histórico, ainda no século 19, Sylvester estudou tópicos que hoje em dia são tradicionalmente considerados parte da PI teoria; ele publicou, em 1852 e 1853 trabalhos dedicados aos invariantes de matrizes de ordem 2. Por outro lado, consideramos que aqui não é o lugar mais adequado para tais excursões históricas, e que não somos especialistas quando o assunto é história da Álgebra.) O desenvolvimento próprio da PI teoria iniciou-se com trabalhos de N. Jacobson e I. Kaplansky há aproximadamente 65 anos. Atualmente esta teoria é uma área da álgebra bem desenvolvida e em expansão rápida. São três as principais linhas de pesquisa sobre PI álgebras. A primeira (e a mais clássica) estuda as propriedades de uma álgebra (ou um anel) sabendo-se que ela satisfaz alguma identidade polinomial. Em outras palavras, se A é uma álgebra que satisfaz al-guma identidade polinomial, o que podemos dizer sobre a estrutura de A. A segunda linha representa-se por pesquisas sobre as classes de álgebras que satisfazem um dado sistema de identidades polinomiais (essas classes são chamadas de variedades de álgebras). A terceira estuda as identidades polinomiais satisfeitas por uma álgebra interessante. Gostar´ıamos de deixar claro que tal divisão não é definitiva nem exata e que os problemas na PI teoria, na maioria das vezes, estão interligados. Ainda mais, pesquisas em PI teoria utilizam métodos e técnicas provenientes de outras áreas da Álgebra (estrutura de anéis, representa¸cões de ´

algebras, álgebras graduadas, álgebra comutativa, a¸cões de grupos, para citar algumas), da Combinatória, da Teoria de representa¸cões de grupos (especialmente dos grupos simétrico e geral linear), da Álgebra linear, da Teoria de grupos, e outras áreas da Matemática. Uma discussão mais detalhada sobre o desenvolvimento da PI teoria pode ser encontrada, por exemplo, na monografia [12], ou nas [18, 21].

Durante os últimos 20 anos observa-se uma tendência de maior concentra¸cão de pesquisa sobre identidades graduadas. As identidades graduadas, em álgebras associativas, apare-cem com for¸ca total na fundamental e celebrada pesquisa desenvolvida por A. Kemer. Essa

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pesquisa permitiu que Kemer desse uma resposta positiva ao famoso problema de Specht e desenvolvesse a estrutura dos ideais de identidades polinomiais em caracter´ıstica 0. Os principais resultados e métodos da teoria de Kemer podem ser encontrados nas monogra-fias [22, 18, 21]. A teoria de Kemer revelou de maneira clara que as álgebras associativas com identidades polinomiais têm semelhan¸cas profundas com as álgebras comutativas e fi-nitamente geradas. Logo após os trabalhos de Kemer, por volta de 1987, as identidades graduadas tornaram-se objeto de pesquisas independentes e muito ativas.

Sem dúvida alguma as álgebras matriciais e relacionadas a elas são de grande importância para a álgebra e as aplica¸cões. Mas enquanto a estrutura dessas álgebras é bem conhecida, pouco se sabe sobre as identidades por elas satisfeitas. As identidades das álgebras Mn(K)

são conhecidas somente quando n = 1 (trivialmente), e n = 2, ver [33] para char K = 0, e [26] e [10] para char K = p > 2. Não se sabe quase nada sobre as identidades da álgebra M2(K)

quando char K = 2, nem sobre as de M3(K), nem mesmo em caracter´ıstica 0. As ´algebras

Mn(K) admitem uma gradua¸c˜ao natural com o grupo Zn, nos referimos a essa gradua¸c˜ao

como sendo a n-gradua¸c˜ao de Mn(K). Se eij s˜ao as matrizes elementares: com entrada 1

na posi¸cão (i, j) e 0 nas demais, então Mn(K) = ⊕At onde t ∈ Zn e At é o espa¸co gerado

pelas eij com j − i ≡ t (mod n). As identidades 2-graduadas de M2(K) foram descritas

em [17] quando char K = 0, e em [28] quando char K = p > 2, e |K| = ∞. Mais tarde em [39] foi descrita uma base das identidades n-graduadas em Mn(K), char K = 0, e em [2],

o mesmo resultado foi obtido para |K| = ∞. Ressaltamos que as identidades Z-graduadas de Mn(K) foram descritas em [41] (char K = 0), e em [2] (|K| = ∞). Considerando-se

´

algebras associativas, sabe-se bastante sobre as identidades graduadas das ´algebras T-pri-mas, que desempenham um papel muito importante na teoria de Kemer, ver por exemplo [3, 4] e as bibliografias desses dois artigos. Ressaltamos que as identidades graduadas dessas ´

algebras foram estudadas em caracter´ıstica 0, bem como em caracter´ıstica positiva. As informa¸c˜oes assim obtidas foram utilizadas no estudo do comportamento dos respectivos T-ideais conforme a caracter´ıstica do corpo. As poss´ıveis gradua¸c˜oes de Mn(K), char K = 0

e K algebricamente fechado, foram descritas em [7], assumindo-se o grupo da gradua¸c˜ao abeliano e finito.

Podemos observar que descri¸cões das identidades polinomiais satisfeitas por álgebras de importância são conhecidas em poucos casos. Já foi comentado que as identidades de álgebras (associativas) simples são conhecidas somente para as matrizes de ordem 2 (e ainda com res-tri¸cões sobre a caracter´ıstica do corpo). Portanto estudam-se outros tipos de identidades polinomiais. Assim, as identidades com tra¸co nas álgebras matriciais foram estudadas e des-critas independentemente por Procesi (veja [32]) e por Razmyslov (veja por exemplo [33]) Esses estudos foram marcantes pois os métodos desenvolvidos por Procesi e por Razmyslov nas duas abordagens ao problema, são de grande importância na Teoria de anéis. Assim,

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Pro-cesi come¸cou o uso sistemático da Teoria de invariantes em PI álgebras, enquanto Razmyslov utilizou o conceito de identidades fracas, bem como aprofundou as várias aplica¸cões das re-presenta¸cões do grupo simétrico. Nesta tese trataremos, entre outras coisas, de invariantes, bem como de identidades fracas.

As identidades fracas são de interesse para o nosso trabalho pois são uma ferramenta poderosa para o estudo de identidades em álgebras de Lie e de Jordan. As identidades fracas foram introduzidas em 1973 por Razmyslov ([34]) e foram cruciais na descri¸cão das identidades da álgebra matricial M2(K). Ressaltamos que no mesmo trabalho Razmyslov

determinou bases finitas para a ´algebra de Lie sl2(K) das matrizes de ordem 2 de tra¸co 0,

bem como das identidades fracas do par (M2(K), sl2(K)) (tudo isso em caracter´ıstica 0). As

identidades fracas em álgebras matriciais foram importantes para a constru¸cão de polinômios centrais nessas álgebras, veja [33].

Mais tarde, identidades fracas foram empregadas no estudo das identidades em ´algebras n˜ao associativas. Em 1985, Iltyakov em [19] estabeleceu a propriedade de base finita para a ´

algebra de Jordan de uma forma bilinear não degenerada simétrica num espa¸co vetorial de dimensão finita (em caracter´ıstica 0). Em 1989 Vasilovsky [37] determinou uma base para as identidades de sl2(K) no caso em que K é qualquer corpo infinito de caracter´ıstica diferente

de 2, e em 1991, de novo Vasilovsky [38] determinou bases expl´ıcitas para as identidades da ´

algebra de Jordan de uma forma bilinear, simétrica e não degenerada, num espa¸co vetorial qualquer (com algumas restri¸cões sobre a caracter´ıstica do corpo). Em 1987–1991 Koshlukov e Drensky [14, 15] e Koshlukov [23] estudaram a álgebra relativamente livre dessa álgebra de Jordan. Todos esses trabalhos fizeram uso sistemático de identidades fracas. Nos trabalhos de Vasilovsky foi utilizada a Teoria de invariantes do grupo ortogonal. Mais tarde essas idéias foram desenvolvidas para a descri¸cão de uma base finita das identidades de M2(K)

para K qualquer corpo infinito de caracter´ıstica diferente de 2, [26].

Surpreendentemente, identidades graduadas em álgebras não associativas não têm sido estudadas detalhadamente. Em [36] Repin descreveu as gradua¸cões em sl2(K), por um grupo

abeliano finito, e em cada um dos casos, descreveu a respectiva álgebra relativamente livre na linguagem das representa¸cões do grupo simétrico (em caracter´ıstica 0). Em [27] foram descritas bases das identidades graduadas em sl2(K) sobre qualquer corpo infinito K de

caracter´ıstica diferente de 2. Ressaltamos que em [40] Vasilovsky descreveu as identidades 2-graduadas da super-álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica e não degenerada (em caracter´ıstica 0). Por outro lado, nos trabalhos [6, 7] foram descritas as gradua¸cões em ´

algebras de Lie simples, bem como em ´algebras de Jordan simples.

Neste trabalho estudamos as gradua¸cões nas álgebras matriciais, nas álgebras das matri-zes triangulares superiores e outras álgebras importantes. Estudamos também as respectivas

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A tese est´a organizada na seguinte maneira.

O primeiro cap´ıtulo contém uma parte dos pré-requisitos para a leitura dos cap´ıtulos posteriores. Recordamos as defini¸cões e as propriedades básicas de anel, álgebra etc., de identidade polinomial, T-ideal. Oferecemos vários exemplos, na sua maioria utilizados mais adiante na disserta¸cão. Definimos também os conceitos de álgebra relativamente livre, varie-dade de álgebras e discutimos brevemente as propriedades mais importantes desses conceitos. Em seguida introduzimos álgebras graduadas, identidades graduadas e todos os conceitos relacionados com elas que serão necessários no decorrer da tese. Ressaltamos que nesse cap´ıtulo, como regra geral, as afirma¸cões estão sem as devidas demonstra¸cões, mas com cita¸cões para que o leitor interessado possa encontrá-las.

No segundo cap´ıtulo estudamos as identidades graduadas da álgebra de Lie das matri-zes de ordem 2 com tra¸co zero, essas identidades foram descritas em [27], mas para obter esses resultados foram necessários resultados de teoria de Invariantes. Apresentamos esses resultados brevemente na primeira se¸cão deste cap´ıtulo e na segunda se¸cão damos uma nova demonstra¸cão desses resultados baseada em métodos elementares.

No terceiro cap´ıtulo estudamos as gradua¸cões e as identidades graduadas da álgebra de Jordan das matrizes simétricas de ordem 2, B2. As gradua¸cões das álgebras de Jordan de

uma forma bilinear simétrica não degenerada foram descritas em [6] e como corolário desta descri¸cão não é dif´ıcil descrever as gradua¸cões da álgebra de Jordan das matrizes simétricas de ordem 2. Em seguida obtemos bases para as identidades graduadas de B2 com essas

gradua¸cões. Em uma das gradua¸cões, a gradua¸cão escalar, utilizamos resultados da Teoria de Invariantes e os métodos utilizados permitiram obter um resultado mais geral, foram descritas as identidades 2-graduadas das álgebras Bn e B, as álgebras de Jordan de uma

forma bilinear simétrica e não degenerada dos espa¸cos vetoriais Vn (de dimensão n) e V (de

dimens˜ao ∞) respectivamente e as identidades fracas para os pares (Bn, Vn) e (B, V ).

Os principais resultados desta tese podem ser encontrados nos artigos [30] e [29] (o primeiro já publicado, e o segundo foi aceito para publica¸cão). Esses resultados estão no cap´ıtulo 2 e no cap´ıtulo 3 respectivamente.

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Cap´ıtulo 1

Conceitos B´

asicos

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar os conceitos e resultados básicos necessários para o desenvolvimento deste trabalho, em especial o conceito de álgebras com identidades polino-miais que é o nosso objeto principal de estudo. Ao longo deste trabalho K denota um corpo e, a menos de alguma men¸cão em contrário, todas as álgebras e espa¸cos vetoriais serão sobre K.

1.1 Algebras

´

Defini¸cão 1.1 Uma K-álgebra é um par (A, ∗), onde A é um espa¸co vetorial e ∗ é uma opera¸cão em A que é uma aplica¸cão bilinear, ou seja, ∗ : A × A −→ A satisfaz

• a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) • (a + b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c) • (λa) ∗ b = a ∗ (λb) = λ(a ∗ b) para quaisquer a, b, c ∈ A e λ ∈ K.

Na defini¸cão acima, ∗ é chamada de produto ou multiplica¸cão. Em geral omitimos o s´ımbolo ∗ e denotamos a ∗ b, com a, b ∈ A, simplesmente por ab. Também por simplicidade, vamos usar a expressão álgebra em vez de K-álgebra.

Uma ´algebra A ´e dita:

• associativa se (ab)c = a(bc) para quaisquer a, b, c ∈ A. • comutativa se ab = ba para quaisquer a, b ∈ A.

• unit´aria (ou com unidade) se o produto possui elemento neutro, ou seja, se existe 1 ∈ A tal que 1a = a1 = a para todo a ∈ A.

• ´algebra de Lie se a2 _{= aa = 0 e (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0 (identidade de Jacobi) para}

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Defini¸c˜ao 1.2 Seja A uma ´algebra e sejam x, y, z ∈ A, denotamos por (x, y, z) = (xy)z − x(yz) o associador dos elementos x, y, z. Denotamos por [x, y] = xy − yx o comutador dos elementos x, y. Definimos indutivamente (x1, x2, . . . , x2n+1) e [x1, . . . , xn] por meio das

igual-dades (x1, x2, . . . , x2n+1) = ((x1, x2, . . . , x2n−1), x2n, x2n+1) e [x1, . . . , xn] = [[x1, . . . , xn−1], xn]

respectivamente. Iremos nos referir aos associadores do tipo (x1, x2, . . . , x2n+1) como

asso-ciadores pr´oprios e aos comutadores do tipo [x1, . . . , xn] como comutadores regulares.

Exemplo 1.3 Para n ∈ N, o espa¸co vetorial Mn(K) de todas as matrizes n×n com entradas

em K, munido do produto usual de matrizes, é uma álgebra associativa com unidade, de dimensão n2. Nesta álgebra é importante destacar as matrizes unitárias Eij, para 1 ≤ i, j ≤

n, onde Eij é a matriz cuja única entrada não nula é 1 na i-ésima linha e j-ésima coluna. É

f´acil ver que elas formam uma base para Mn(K).

Mais geralmente, se A ´e uma ´algebra, consideremos o espa¸co vetorial Mn(A) de todas as

matrizes n × n com entradas em A. O produto de matrizes em Mn(A) ´e an´alogo ao produto

de matrizes com entradas em K. Temos ent˜ao uma estrutura de ´algebra em Mn(A).

Exemplo 1.4 Seja V um espa¸co vetorial com base {e1, e2, e3, . . .}. Definimos a ´algebra de

Grassmann (ou álgebra exterior) de V , denotada por E(V ) (ou simplesmente por E), como sendo a álgebra com base {1, ei1ei2. . . eik | i1 < i2 < . . . < ik, k ≥ 1} e cujo produto é

definido pelas rela¸c˜oes e2

i = 0 e eiej = −ejei para quaisquer i, j ∈ N. Destacamos em E

os subespa¸cos vetoriais E0, gerado pelo conjunto {1, ei1ei2. . . eim | m par}, e E1, gerado

pelo conjunto { ei1ei2. . . eik | k ´ımpar}. Claramente, E = E0⊕ E1 como espa¸co vetorial. De

eiej = −ejei segue que (ei1. . . eim)(ej1. . . ejk) = (−1)

mk_(e

j1. . . ejk)(ei1. . . eim) para quaisquer

m, k ∈ N, e assim podemos concluir que ax = xa para quaisquer a ∈ E0 e x ∈ E, e bc = −cb

para quaisquer b, c ∈ E1. Observamos facilmente que se char K = 2, então E é uma álgebra

comutativa.

Tomando agora E0 como sendo a ´algebra com base {ei1ei2. . . eik | i1 < i2 < . . . < ik,

k ≥ 1}, temos que E0 não tem unidade e é chamada de álgebra exterior sem unidade.

Defini¸cão 1.5 Seja A uma álgebra. Dizemos que um subespa¸co vetorial B de A é uma subálgebra de A se BB ⊆ B e 1 ∈ B (quando a álgebra A tem unidade 1). Dizemos que um subespa¸co vetorial I de A é um ideal de A se AI ⊆ I e IA ⊆ I.

Exemplo 1.6 Considere a ´_{algebra exterior E (Exemplo 1.4). Dado n ∈ N, tomemos o} subespa¸co En de E gerado pelo conjunto {1, ei1ei2. . . eik | i1 < i2 < . . . < ik ≤ n}. Temos

que Ené uma subálgebra de E de dimensão 2n e é a álgebra exterior do espa¸co vetorial com

(15)

Exemplo 1.7 Subálgebra gerada. Sejam A uma álgebra e S ⊆ A. Consideremos o subespa¸co BS de A gerado pelo conjunto {1, s1s2. . . sk | k ∈ N, si ∈ S}. Temos que BS é

multiplicativamente fechado e que 1 ∈ BS. Logo, BS ´e uma sub´algebra de A, chamada de

subálgebra gerada por S. Observe que toda subálgebra de A que contém S deve conter BS e

assim BS ´e a menor sub´algebra de A contendo S.

Exemplo 1.8 Se A é uma álgebra associativa a álgebra A(−) _{que consiste dos elementos}

de A com a multiplica¸cão [a, b] = ab − ba é uma álgebra de Lie. Se a álgebra de Lie G ´

e isomorfa a uma subalgebra de A(−) _{diremos que A ´}_{e uma ´}_{algebra envolvente de G. A}

´

algebra associativa U = U (G) é a álgebra envolvente universal da álgebra de Lie G se G é uma subalgebra de U(−) _{e U satisfaz a seguinte propriedade universal: Para qualquer ´}_algebra

associativa B e qualquer homomorfismo de ´algebras de Lie ϕ : G → B(−) _{existe um ´}_unico

homomorfismo de ´algebras associativas ψ : U → B que ψ|G = ϕ.

Teorema 1.9 Teorema de Poincar´e-Birkhoff-Witt. Toda ´algebra de Lie G possui uma ´

unica (a menos de isomorfismo) ´algebra universal envolvente U (G). Se G tem base {ei|i ∈ I},

e o conjunto de ´ındices ´e ordenado, ent˜ao U (G) tem uma base

ei1. . . eip, i1 ≤ . . . ≤ ip, ik ∈ I, p = 0, 1, 2, . . . .

Demonstra¸c˜ao. [12], pg. 11.

Exemplo 1.10 A ´algebra sln(K) que consiste das matrizes m ∈ Mn(K) com tra¸co zero e

com produto [a, b] = ab − ba ´e uma subalgebra de Lie de Mn(K)(−).

Exemplo 1.11 Se A ´e uma ´algebra associativa e K tem caracter´ıstica diferente de 2 a ´

algebra A(+) _{que consiste dos elementos de A e com multiplica¸}_c˜_{ao a ◦ b =} 1

2(ab + ba) ´e

uma ´algebra de Jordan. Se J ´e uma subalgebra de A(+) _{diremos que J ´}_{e uma ´}_{algebra de}

Jordan especial e diremos que a subalgebra A0 de A gerada por J ´e uma ´algebra associativa

envolvente para J . Álgebras de Jordan que não são especiais são chamadas excepcionais.

Observa¸cão 1.12 Ao contrário de álgebras de Lie existem álgebras de Jordan que não pos-suem álgebras envolventes associativas, as álgebras excepcionais. Um exemplo pode ser en-contrado em [44], pg. 54, Teoremas 1 e 2.

Exemplo 1.13 Seja V um espa¸co vetorial com uma forma bilinear simétrica não degenerada f = f (x, y) definida em V . Consideramos a soma direta B = K · 1 ⊕ V do espa¸co vetorial V com o espa¸co vetorial de dimensão um K · 1 de base 1 e definimos a multiplica¸cão

(16)

onde α, β ∈ K e x, y ∈ V . Essa álgebra é uma álgebra de Jordan e é chamada a álgebra de Jordan da forma simétrica bilinear f . Essa álgebra é especial e a álgebra de Clifford C(f ) da forma bilinear f é uma álgebra associativa envolvente para B.

Exemplo 1.14 Se o corpo K tem caracter´ıstica diferente de 2 ent˜ao o subespa¸co de Mn(K)

das matrizes sim´etricas ´e uma subalgebra de Jordan de Mn(K)(+) que denotaremos por Jn.

Defini¸cão 1.15 Sejam A e B duas álgebras. Uma transforma¸cão linear ϕ : A −→ B é um homomorfismo de álgebras se ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para quaisquer x, y ∈ A, e ϕ(1A) = 1B

(quando as álgebras sâo unitárias).

Se ϕ é um homomorfismo de álgebras, dizemos que é um monomorfismo se é injetivo, e que é um isomorfismo se é bijetivo. Um endomorfismo de uma álgebra A é um homomorfismo de A em A e um automorfismo é um endomorfismo bijetivo (endomorfismo e isomorfismo ao mesmo tempo). Quando existe um isomorfismo ϕ : A −→ B, dizemos que as álgebras A e B são isomorfas. Como exemplo, observamos que as álgebras E e K ⊕ E0 (Exemplo 1.4) são isomorfas, sendo ψ : K ⊕ E0 −→ E, definida por ψ(λ, x) = λ + x, um isomorfismo.

Se ϕ : A −→ B é um homomorfismo de álgebras, o conjunto ker ϕ = {a ∈ A | ϕ(a) = 0}, núcleo de ϕ, é um ideal de A, e o conjunto Imϕ = {ϕ(a) | a ∈ A}, imagem de ϕ, é uma subálgebra de B.

Sendo A uma álgebra e I um ideal de A, consideremos no espa¸co vetorial quociente A/I o produto (a+I)(b+I) = ab+I para a, b ∈ A. Este produto está bem definido (não depende da escolha dos representantes das classes laterais) e faz de A/I uma álgebra, chamada de ´

algebra quociente de A por I. Vamos denotar a + I por a. A aplica¸cão π : A −→ A/I, definida por π(a) = a, é um homomorfismo chamado de proje¸cão canônica.

´

E um fato bem conhecido que se ϕ : A −→ B é um homomorfismo de álgebras, então A/ ker ϕ ' Imϕ.

Exemplo 1.16 Uma base de J2 ´e o conjunto {I, a, b}, onde I = e11+ e22 ´e a matriz

iden-tidade, a = e11 − e22 e b = e12 + e21. Se {x, y} ´e uma base ortonormal de V ent˜ao a

transforma¸c˜ao linear ϕ : J2 → B2 determinada por ϕ(I) = 1, ϕ(a) = x, ϕ(b) = y ´e um

isomorfismo de ´algebras de Jordan.

1.2 Algebras Graduadas

´

Nesta se¸cão apresentaremos os conceitos de álgebras e identidades graduadas que serão o objeto central de estudo no restante do texto.

(17)

Defini¸cão 1.17 Seja G um grupo. Uma álgebra A é dita ser G-graduada, se A = ⊕g∈GAg

onde Ag ´e subespa¸co de A para todo g ∈ G e AgAh ⊆ Agh para todos g, h ∈ G. Um elemento

a ∈ ∪g∈GAg é chamado homogêneo. Se a ∈ Ag dizemos que a é homogêneo de grau

g e denotamos |a| = g. Se a = P

ag∈Agag, chamamos ag de componente homogˆenea

de grau g em a e dizemos que P

ag∈Ag ag ´e a decomposi¸c˜ao de a como soma de

elementos homogêneos. Dizemos que uma subálgebra B de A é homogênea na G-gradua¸cão de A, se

B =X

g∈G

Bg onde Bg = B ∩ Ag,

neste caso os subespa¸cos B ∩ Ag ser˜ao denominados de subespa¸cos homogˆeneos. Se um

ideal I de A é uma subálgebra G-graduada dizemos que I é um ideal homogêneo de A.

Exemplo 1.18 Seja A uma álgebra. Então é fácil ver que a decomposi¸cão

A = ⊕g∈GAg,

onde Ag = {0} se g 6= ε e Aε = A é uma G-gradua¸cão em A. Esta gradua¸cão é chamada de

trivial.

Exemplo 1.19 A ´_{algebra de Grassmann E possui uma Z}2-gradua¸c˜ao natural E = E0⊕ E1,

onde E0 e E1 s˜ao os subespa¸cos definidos no Exemplo 1.4.

Exemplo 1.20 Seja a ´algebra Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n sobre um corpo

K. Para cada γ ∈ Zn, definimos o subespa¸co Mγ = hEij | j − i = γi e para cada k ∈ Z,

definimos Mk= ( {0} , se |k| ≥ n, hEij | j − i = ki , se |k| < n. ´

E f´acil ver que

M = ⊕_γ∈Z_nMγ e M = ⊕k∈ZMk

Agora, para ver que estas decomposi¸c˜_{oes definem uma Z}n-gradua¸c˜ao e uma Z-gradua¸c˜ao,

respectivamente, em Mn(K), basta observar que

EijEkl= δklEil,

donde segue que Mγ1Mγ2 ⊆ Mγ1+γ2 para γ1, γ2 ∈ Zn, e Mk1Mk2 ⊆ Mk1+k2 para k1, k2 ∈ Z.

Exemplo 1.21 Se A é uma álgebra associativa G-graduada, onde G é um grupo abeliano, as álgebras A(−) _{e A}(+) _tamb´_{em s˜}_{ao G-graduadas de maneira natural.}

(18)

Exemplo 1.22 Se Mn(K) tem a Zn-gradua¸cão do exemplo 1.20 a álgebra sln(K) é uma

sub´algebra graduada de Mn(K)(−).

Observa¸c˜ao 1.23 Se V ´e um espa¸co vetorial denotaremos por sp (v1. . . , vk) o subespa¸co de

V gerado pelos vetores v1, . . . , vn.

Exemplo 1.24 As decomposi¸c˜oes J = J0 ⊕ J1, onde J0 = sp (I, a), J1 = sp (b), ou J0 =

sp (I), J1 = sp (a, b), onde I = e11+ e22 ´e a matriz identidade, a = e11− e22 e b = e12+ e21

s˜_{ao Z}2-gradua¸cões para J2. A primeira é chamada gradua¸cão escalar e a segunda gradua¸cão

n˜ao-escalar.

A seguir damos uma caracteriza¸cão elementar, mas bastante útil das subálgebras G-graduadas de uma álgebra G-graduada.

Lema 1.25 Sejam A uma álgebra G-graduada e B uma subálgebra de A. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(1) B ´e sub´algebra G-graduada de A;

(2) B ´e ´algebra G-graduada tal que Bg ⊆ Ag para todo g ∈ G;

(3) As componentes homogˆeneas de cada elemento de B pertencem a B;

(4) B ´e gerada por elementos homogˆeneos.

Demonstra¸cão. Se vale (1) então a decomposi¸cão B = ⊕g∈GBg, onde Bg = Ag ∩ B, é

uma G-gradua¸c˜ao em B tal que Bg ⊆ Ag e portanto vale (2).

Suponhamos ent˜ao que vale (2). Seja b ∈ Bg e b =

P

g∈Gbg, onde bg ∈ Bg, a decomposi¸c˜ao

de b como soma de elementos homogêneos, em rela¸cão a G-gradua¸cão de B. Como Bg ⊂ Ag

cada bg também é homogêneo em rela¸cão à G-gradua¸cão de A e (3) está provada.

Se vale (3) ent˜ao o conjunto B ∩ (∪g∈GAg) gera B, e segue (4). De fato, seja b ∈ B e

b =P

g∈Gbg, onde bg ∈ Ag, a decomposi¸c˜ao de b como soma de elementos homogˆeneos, em

rela¸c˜ao a G-gradua¸c˜ao de A. Segue de (3) que bg ∈ B, ou seja bg ∈ B ∩ (∪g∈GAg).

Suponha que vale (4). Seja C uma base de B, C ⊂ (∪g∈GAg) composta de elementos

homogˆeneos e seja Bg = B ∩ Ag. O elemento b =

Pn

i=1ci, onde ci ∈ C, ´e homogˆeneo de

grau g se, e somente se, |ci| = g, 1 ≤ i ≤ n. Assim Cg = C ∩ Ag ´e uma base para Bg e como

C = ∪g∈GCg segue que B = ⊕g∈GBg e o lema est´a provado.

Exemplo 1.26 Se consideramos Mn(K) com qualquer uma das gradua¸c˜oes definidas no

Exemplo 1.20 então é fácil ver que a álgebra Un(K) das matrizes triangulares superiores é

(19)

Defini¸cão 1.27 Uma aplica¸cão Φ : A → B entre álgebras G-graduadas é chamada homo-morfismo G-graduado, se Φ é um homomorfismo que satisfaz Φ(Ag) ⊆ Bg para todo

g ∈ G. De modo an´alogo, definimos isomorfismo, endomorfismo e automorfismo G-graduado.

Proposi¸cão 1.28 Se I é um ideal G-graduado de uma álgebra G-graduada A então A/I é uma álgebra G-graduada considerando (A/I)g = {a + I|a ∈ Ag}.

Demonstra¸c˜ao. ´E claro que A/I = P

g∈G(A/I)g, e que (A/I)g(A/I)h ⊂ (A/I)gh. Para

concluir resta mostrar que a soma ´e direta. Suponhamos que (P

g∈G(ag+ I)) = 0. Neste caso

(P

g∈Gag) ∈ I e como I ´e G-graduado segue do Lema 1.25 que ag ∈ I, ou seja (ag+ I) = 0,

assim A/I = ⊕g∈G(A/I)g e o lema est´a provado.

Proposi¸cão 1.29 Teorema dos Isomorfismos Sejam A e B álgebras G-graduadas e Φ : A → B um homomorfismo G-graduado. Então, o ker(Φ) é um ideal G-graduado de A e a álgebra quociente A/ ker Φ é isomorfa (como álgebra graduada) à ImΦ = Φ(A).

Demonstra¸cão. É fácil ver que ker(Φ) é um ideal de A, vamos mostrar que ele é G-graduado. Seja a ∈ ker(Φ) e a = P

g∈Gag, onde ag ∈ Ag ´e a sua decomposi¸c˜ao como soma

de elementos homogˆeneos. Como Φ ´e homomorfismo graduado temos que 0 =P

g∈G(Φ(ag))

e Φ(ag) ∈ Bg, portanto Φ(ag) ∈ ker(Φ).

A aplica¸cão Ψ : A/ ker Φ → B dada por Ψ(a + ker(Φ)) = Φ(a) está bem definida pois se a, b ∈ A são tais que a + ker(Φ) = b + ker(Φ), então a − b ∈ ker(Φ) e Φ(a) = Φ(b), ou seja Ψ(a + ker(Φ)) = Ψ(b + ker(Φ)). É fácil ver que Ψ é um homomorfismo graduado, assim resta apenas mostrar que Ψ é injetor. Se Ψ(a + ker(Φ)) = 0 então Φ(a) = 0 e a ∈ ker(Φ), logo a + ker(Φ) = 0 e o lema está provado.

1.3 Algebras Livres

´

Seja X = {xα} um conjunto arbitr´ario, adicionamos a este conjunto mais dois s´ımbolos

de parenteses ”(”e ”)”e obtemos o conjunto X∗ = X ∪ {(, )}. Definimos indutivamente o conjunto V [X] das sequências finitas de X∗ que chamaremos de palavras não associativas de elementos do conjunto X. Primeiro, todos os elementos do conjunto X pertencem a V [X]. Segundo, se x1, x2 ∈ X e u, v ∈ V [X] \ X, então as sequências x1x2,x1(u),(v)x2 e

(u)(v) também pertencem a V [X]. Nenhuma outra sequência pertence a V [X]. O número de elementos do conjunto X que aparece em uma palavra v é chamado comprimento da palavra não-associativa v, e será denotado por deg(v).

(20)

Proposi¸cão 1.30 Seja v uma palavra não associativa de elementos de algum conjunto. Então

(1) o número de s´ımbolos ”(”que aparece em v é igual ao número de s´ımbolos ”)”;

(2) em qualquer subsequência inicial de v o número de s´ımbolos ”(”que aparece não é menor que o número de s´ımbolos ”)”.

Demonstra¸cão. [44], pg. 2, Proposi¸cão 1. Definimos no conjunto V [X] uma opera¸cão binária, denotada por ·, de acordo com as regras a seguir. Sejam x1,x2 ∈ X e u, v ∈ V [X] X. Definimos

x1· x2 = x1x2;

x1· u = x1(u);

v · x2 = (v)x2;

u · v = (u)(v).

Proposi¸cão 1.31 Toda palavra não-associativa v com deg(v) ≥ 2 tem uma única repre-senta¸cão como produto de duas palavras não associativas de comprimento menor.

Demonstra¸cão. [44], pg. 2, Proposition 2. Consideramos agora o espa¸co vetorial K{X} com base o conjunto V [X], extendemos a multiplica¸cão em V [X] para elementos de K{X} através da regra

(X i αiui) · ( X j βjvj) = X i,j αiβj(ui· vj),

onde αi, βj ∈ K e ui, vj ∈ V [X]. Com essa multiplica¸cão K{X} é uma álgebra, chamada

´

algebra livre com conjunto de geradores X. Duas álgebras livres K{X} e K{Y } são isomorfas se, e somente se, |X| = |Y |, isto é, se os conjuntos X e Y têm a mesma cardinalidade, ver [12], pg. 10. Álgebras livres satisfazem a seguinte propriedade universal.

Teorema 1.32 Seja A uma álgebra e Θ uma aplica¸cão de X em A. Existe um único ho-momorfismo da álgebra K{X} na álgebra A que estende Θ.

Demonstra¸cão. [44], pg. 3, Teorema 1. Os elementos da álgebra K{X} são chamados polinômios não associativos. Um polinômio não associativo da forma αv, α ∈ K, v ∈ V [X], é chamado monômio não associativo. O

(21)

comprimento de v é chamado de grau do monômio. O maior grau dos monômios cuja soma constitui um polinômio é chamado grau do polinômio.

Seja G um grupo e seja Xg, g ∈ G uma cole¸c˜ao de conjuntos infinitos disjuntos. A

´

algebra livre K{X}, onde X = ∪g∈GXg, possui uma G gradua¸c˜ao natural. Definimos o grau

da vari´avel x ∈ X como sendo g, se x ∈ Xg. E o grau do monˆomio α(u)(v), α ∈ K, u,

v ∈ V [X], como sendo |u||v|, onde |u| é o grau do monômio u. Segue da Proposi¸cão 1.31 que o grau de qualquer monômio está bem definido. Não é dif´ıcil ver que

K{X} =M

g∈G

K{X}g,

onde K{X}gé o subespa¸co de K{X} gerado pelos monômios de grau g, é uma G-gradua¸cão

para K{X}. Com essa gradua¸cão K{X} é chamada álgebra G-graduada livre.

1.4 Identidades Polinomiais.

Variedades.

Algebras

´

Relativamente Livres

Seja X = {x1, x2, . . .} um conjunto enumer´avel. Seja f ∈ K{X}, escreveremos f =

f (x1, x2, . . . , xn) para indicar que x1, x2, . . . , xn s˜ao os elementos de X que aparecem em

f . Seja A uma ´algebra e θ : K{X} → A o homomorfismo tal que θ(xi) = ai, i = 1, 2, . . . , n

e θ(x) = 0 se x ∈ X {x1, . . . , xn}. Denotamos a imagem de f por este homomorfismo por

f (a1, . . . , an) e diremos que o elemento f (a1, . . . , an) ´e obtido pela substitui¸c˜ao dos elementos

a1, a2, . . . , an no polinˆomio n˜ao associativo f (x1, x2, . . . , xn).

Um polinômio não associativo f ∈ K{X} é uma identidade polinomial da álgebra A se f (a1, . . . , an) = 0 para quaisquer a1, a2, . . . an ∈ A. O conjunto de todas as identidades de

uma álgebra é um ideal da álgebra k{X} chamado T-ideal de A e é denotado por T (A). O conjunto das identidades satisfeitas por todas as álgebras de uma classe de álgebras M também é um ideal de K{X} chamado T-ideal da classe M e é denotado por T (M). Não é dif´ıcil ver que os T -ideais definidos acima são invariantes por endomorfismos de K{X}.

Seja I ⊂ K{X}. A classe de todas as álgebras que satisfazem cada uma das identidades em I é chamada variedade de álgebras definida pelo conjunto de identidades I. Por exemplo:

• O conjunto I = {(x1, x2, x3)} define a variedade das ´algebras associativas.

(Recorda-mos que (x1, x2, x3) = (x1x2)x3− x1(x2x3) ´e o associador dos elementos x1, x2, x3.)

• O conjunto I = {f1 = x21, f2 = (x1x2)x3+ (x2x3)x1+ (x3x1)x2} define a variedade das

´

(22)

• O conjunto I = {f1 = x1x2− x2x1, f2 = (x21, x2, x1)} define a variedade das ´algebras

de Jordan.

A variedade determinada por I = K{X} consiste da álgebra zero e é chamada trivial. Seja M uma variedade não trivial e F uma álgebra desta variedade com conjunto de geradores Y . Esta álgebra é chamada álgebra relativamente livre na variedade M com conjunto de geradores livres Y se toda aplica¸cão do conjunto Y em alguma álgebra A da variedade M pode ser estendida unicamente a um homomorfismo da álgebra F na álgebra A.

Se I ⊂ K{X} denotamos por I(A) o ideal da ´algebra A gerado por todos os elementos da forma f (a1, . . . , an), onde f ∈ I e a1, . . . , an ∈ A.

Teorema 1.33 Seja M uma variedade não trivial de álgebras determinada pelo conjunto I ⊂ K{X}. Então para qualquer conjunto Y a restri¸cão a Y do homomorfismo canônico σ : K{Y } → K{Y }/I(K{Y }) é injetivo e a álgebra K{Y }/I(K{Y }) é livre na variedade M com conjunto de geradores σ(Y ). Quaisquer duas álgebras em M com conjuntos de geradores livres e da mesma cardinalidade, são isomorfas.

Demonstra¸cão. [44], pg. 4, Teorema 2. Denotaremos por KhXi a álgebra relativamente livre da variedade das álgebras associ-ativas com conjunto de geradores X, por LhXi a álgebra relativamente livre da variedade das álgebras de Lie e por J (X) a álgebra relativamente livre da variedade das álgebras de Jordan e por SJ [X] a subálgebra de Jordan de K{X}(+) gerada por X.

Corolário 1.34 Se a variedade M é determinada pelo conjunto I, então T (M) = I(K{X}).

Demonstra¸c˜ao. [44], pg. 6.

Ao estudar álgebras em uma variedade M iremos chamar um elemento f da álgebra relativamente livre desta variedade de identidade para a álgebra A, desta variedade, se alguma imagem inversa de f pelo homomorfismo canônico e consequentemente todas as imagens inversas de f em K{X} forem identidade para A.

1.5 Identidades Graduadas

Come¸camos com a defini¸cão de identidade polinomial graduada. Nesta se¸cão K{X} é a ´

algebra livre G-graduada.

Defini¸cão 1.35 Seja A = ⊕g∈GAg uma álgebra G-graduada. Dizemos que um polinômio

f (x1, . . . , xn) ∈ K{X} ´e uma identidade G-graduada de A se f (a1, . . . , an) = 0 para

(23)

Se A ´e uma ´algebra G-graduada, denotaremos por TG(A) ⊂ K{X} o conjunto das

identidades graduadas satisfeitas pela álgebra A, não é dif´ıcil ver que tal subconjunto é um ideal de K{X} invariante por endomorfismos graduados.

Proposi¸cão 1.36 Sejam A e B duas álgebras. Se A e B possuem G-gradua¸cões tais que TG(A) ⊆ TG(B), então T (A) ⊆ T (B). Além disso, se TG(A) = TG(B), então T (A) = T (B).

Demonstra¸c˜ao. Consideremos a ´algebra associativa livre K{Y }, onde Y = {y1, y2, . . .} e

seja f (y1, y2, . . . , yn) ∈ T (A). Para cada i = 1, 2, . . . , n, escolhemos xig ∈ Xg e definimos o

polinˆomio f1 = f (

P

g∈Gx1g, . . . ,

P

g∈Gxng) ∈ K{X}.

Como f ∈ T (A), ´e f´acil ver que f1 ∈ TG(A) e da´ı f1 ∈ TG(B). Dados b1, b2, . . . , bn ∈ B,

tomemos big ∈ Bg, para i = 1, . . . , n e g ∈ G, tais que bi =

P

g∈Gbig. Fazendo ent˜ao as

substitui¸c˜oes xig = big, para i = 1, . . . , n e g ∈ G, temos

f (b1, b2, . . . , bn) = f X g∈G b1g, X g∈G b2g, . . . , X g∈G bng ! = 0 e assim f ∈ T (B).

Se TG(A) = TG(B), ent˜ao TG(A) ⊆ TG(B) e TG(B) ⊆ TG(A), donde temos a ´ultima

afirma¸c˜ao.

Observa¸cão 1.37 É importante observar que a rec´ıproca do resultado acima é falsa. As ´

algebras Z2-graduadas E = E0+ E1 e E = E + 0 (gradua¸c˜ao trivial), satisfazem identidades

Z2-graduadas diferentes.

Lema 1.38 Seja f (x1, . . . , xm) =

Pn

i=0fi(x1, . . . , xm) ∈ K{X} onde fi ´e a componente

homogˆenea de f com grau i em xi.

(i) Se o corpo K cont´em mais que n elementos ent˜ao fi(x1, x2, . . . , xm) ∈ hf iTG;

(ii) Se a caracter´ıstica do corpo ´e zero ou maior que o grau de f ent˜ao hf iTG _{admite uma}

base composta por uma fam´ılia finita de polinˆomios multilineares.

Demonstra¸c˜ao. (i) Seja I = hf iTG _{o T -ideal de K{X} gerado por f . Escolhemos n + 1}

elementos distintos α0, . . . , αn de K. Como I ´e um TG-ideal, obtemos que

f (αjx1, x2, . . . , xm) = n

X

i=0

(24)

Consideramos estas equa¸c˜oes como um sistema linear com inc´ognitas fi para i = 0, 1, . . . , n. Sendo o determinante 1 α0 · · · αn0 1 α1 · · · αn1 .. . ... . .. ... 1 αn · · · αnn =Y i<j (αj− αi)

o determinante de Vandermonde que ´e diferente de 0, temos que cada fi(x1, x2, . . . , xm) ∈ I.

(ii) Por (i), podemos assumir que fi(x1, x2, . . . , xm) ´e multihomogˆeneo. Seja k = degx1f .

Escrevemos fi(y1 + y2, x2, . . . , xm) ∈ I (aqui y1, y2, ∈ X|x1| ) sob a forma

f (y1+ y2, x2, . . . , xm) = k

X

i=0

fi(y1, y2, x2, . . . , xm)

onde fi ´e a componente homogˆenea de grau i em y1. Logo, fi ∈ I para i = 0, 1, . . . , k.

Como deg_y_jfi < k; i = 1, 2, . . . , k − 1; j = 1, 2, podemos aplicar argumentos indutivos e

obtemos um conjunto de conseqüências multilineares de f . Para ver que estas identidades multilineares são uma base para hf iTG _´_{e suficiente observarmos que}

fi(y1, y1, x2, . . . , xm) =

k i

f (y1, x2, . . . , xm)

e que o coeficiente binomial ´e diferente de 0, pois temos por hip´otese que char (K) = 0 ou

char K ≥ deg(f ).

Corolário 1.39 Seja A uma álgebra. Então,

(i) Se o corpo K ´e infinito todas identidades polinomiais graduadas de A seguem de suas identidades graduadas multihomogˆeneas;

(ii) Se o corpo K tem caracter´ıstica zero todas as identidades polinomiais graduadas de A seguem de suas identidades multilineares graduadas.

1.6 Invariantes

Nesta se¸cão apresentamos alguns resultados sobre invariantes do grupo ortogonal que serão utilizados nos cap´ıtulos a seguir, os resultados e nota¸cões desta se¸cão são de [16]. Sejam xij, i = 1, 2, . . ., j = 1, 2, . . . , n variáveis comutativas, e seja xj = (xj1, . . . , xjn). O espa¸co

vetorial V gerado pelos vetores vi tem uma forma bilinear sim´etrica n˜ao-degenerada definida

(25)

cap´ıtulos seguintes é a descri¸cão de uma base para a álgebra R = K[xi◦ xj] que foi dada em

[16]. Esta descri¸cão é dada em termos de tabelas duplas. Uma tabela dupla é um arranjo

T =         p11 p12 . . . p1m1 q11 q12 . . . q1m1 p21 p22 . . . p2m2 q21 q22 . . . q2m2 . . . . pk1 pk2 . . . pkmk qk1 qk2 . . . qkmk         , (1.1) m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ 0 e os pij e qij s˜ao inteiros.

Associamos `a tabela dupla T = (p1, . . . , pm|q1. . . qm) o polinˆomio

ϕ(T ) =X(−1)σ(tp1 ◦ tqσ(1))(tp2 ◦ tqσ(2)) . . . (tpm◦ tqσ(m)),

onde σ percorre o grupo sim´etrico Sm e (−1)σ denota o sinal de σ. De modo geral se

T(1), T(2), . . . , T(k) s˜ao as linhas da tabela dupla T associamos a esta tabela o polinˆomio ϕ(T ) = ϕ(T(1))ϕ(T(2)) . . . ϕ(T(k)).

A tabela dupla T ´e duplamente standard se as desigualdades pi1< pi2< . . . < pimi,

qi1< qi2< . . . < qimi, pij ≤ qij,

qij ≤ pi+1,j,

valem para quaisquer i e j.

Um dos resultados principais de [16] ´e o seguinte.

Teorema 1.40 ([16], Theorem 5.1) Os polinˆomios {ϕ(T )} onde T percorre todas as ta-_e belas duplamente standard cujas entradas s˜ao inteiros positivos, tais que m1 ≤ n, formam

uma base para o espa¸co vetorial R sobre K.

1.7 Identidades Fracas

Apresentamos aqui o conceito de identidades fracas, tal conceito foi introduzido por Razmys-lov em [34] no seu estudo das identidades da ´algebra das matrizes 2 × 2. Nesta exposi¸c˜ao seguimos [15].

Defini¸c˜ao 1.41 Seja A uma ´algebra associativa e S um subespa¸co de A que gera A como ´

algebra. Um polinˆomio f (x1, . . . , xn) ∈ KhXi ´e uma identidade fraca para o par (A, S) se

(26)

Não é dif´ıcil ver que o conjunto T (A, S) definido acima é um ideal de KhXi, entretanto em geral este ideal não é invariante por endomorfismos de KhXi, isto é, não é um T -ideal. No caso trivial em que S = A uma identidade fraca é simplesmente uma identidade polinomial e T (A, A) é o conjunto das identidades polinomiais de A.

Exemplo 1.42 Em [24] é demonstrado que o polinômio [x1◦ x2, x3] é uma identidade fraca

para o par (M2, sl2), entretanto [x31, x3] = [x21 ◦ x1, x3] n˜ao ´e uma identidade fraca para este

par.

No caso de identidades ordinárias dizemos que g ∈ KhXi é consequência de f ∈ KhXi se g ∈ hf iT, isto é, se g está no T -ideal gerado por f . No caso das identidades fracas existem

várias maneiras de se definir a no¸cão de consequências de identidades fracas dependendo das propriedades de A e S.

Defini¸cão 1.43 Seja (A, S) um par e seja Ω ⊂ KhXi um conjunto de polinômios tal que w(s1, . . . , sn) ∈ S para qualquer polinômio w(x1, . . . , xn) ∈ Ω e para quaisquer elementos

s1, s2, . . . , sn ∈ S. A identidade fraca f2(x1, . . . , xn) ∈ T (A, S) ´e uma Ω-consequˆencia

de f1(x1, . . . , xp) ∈ T (A, S) se f2(x1, . . . , xn) pertence ao ideal de A gerado pelo conjunto

{f1(w1, . . . , wn)|wi ∈ Ω}.

No caso particular em que S = A e Ω = KhXi obtemos a no¸c˜ao usual para consequˆencias de identidades polinomiais.

Exemplo 1.44 Seja H é uma álgebra de Jordan especial com álgebra associativa envolvente R e seja Ω = SJ ⊂ KhXi. Desse modo obtemos as identidades fracas de Jordan (veja por exemplo [19]).

Exemplo 1.45 Se A é associativa e (A, S) é um par tal que [S, S] ⊂ S e escolhemos Ω = LhXi ⊂ KhXi então obtemos as identidades fracas de Lie para o par (A, S) (veja, por exemplo, [33], Chap. 1).

Defini¸cão 1.46 Seja (A, S) um par ” Álgebra associativa - Subespa¸co”. Definimos a va-riedade U = var(A, S) gerada pelo par (A, S) como sendo a classe de pares (A0, S0) que satisfazem todas as identidades fracas do ideal T (A, S). A álgebra relativamente livre de (U ) ´

e a álgebra quociente F (U) = KhXi/T (A, S). Se sp(X) denota o espa¸co vetorial gerado por X e sp(X) denota a imagem de sp(X) pelo homomorfismo canônico KhXi → KhXi/T (A, S) então o par (F (U), sp(X)) é o par relativamente livre na variedade de pares gerada por (A, S). No caso em que S é uma álgebra de Jordan e consideramos U como uma variedade de pares (álgebra associativa, álgebra de Jordan) então o par relativamente livre é (F (U), F J (varH)),

(27)

onde F J (varH) denota a álgebra relativamente livre da variedade das álgebras de Jordan de-terminada por H. E quando S é uma álgebra de Lie o par relativamente livre é (F (U), LhXi), onde LhXi é a imagem de LhXi pelo homomorfismo canônico KhXi → KhXi/T (A, S).

Quando o corpo K é infinito cada identidade fraca é equivalente ao conjunto de identi-dades fracas que consiste do seu conjunto de componentes multihomogêneas, [44] Corolário 1.3.2.

(28)

Cap´ıtulo 2

Identidades Graduadas em ´

Algebras

de Lie

Neste cap´ıtulo iremos discutir alguns resultados recentes sobre identidades graduadas na ´

algebra de Lie das matrizes 2 × 2 de tra¸co zero. Bases finitas para as identidades de sl2(K) e

M2(K) foram encontradas por Razmyslov e bases minimais foram encontradas por Drensky

em [33] quando o corpo ´e de caracter´ıstica zero. O mesmo resultado para sl2(K) foi obtido

por Vasilovsky em [37] quando o corpo tem caracter´ıstica p > 2.

As dificuldades para obter resultados an´alogos para Mn(K) e sln(K), n > 2 s˜ao enormes

e nenhum progresso significativo foi feito nestes problemas. Em [35] Repin estuda as ´algebras graduadas de Lie relativamente livres para trˆes gradua¸c˜_{oes concretas (a Z}2, a Z e a Z2× Z2

-gradua¸cão) em L = sl2(K), char K = 0, e descreve a estrutura de módulo para essas álgebras

como módulos sobre o grupo simétrico (ou sobre o grupo geral linear). Em [36] Repin mostrou que se K é algebricamente fechado e char K = 0 então, a menos de equivalência, essas são todas as gradua¸cões não triviais em sl2(K) por grupos abelianos finitos. Bases finitas para as

identidades Z2-graduadas de sl2 sobre qualquer corpo infinito K, char K 6= 2 (em particular

char K = 0), foram obtidas em [27], aqui resultados de Teoria de invariantes se provaram um ingrediente fundamental. Neste mesmo artigo o autor encontrou bases para as identidades Z e Z2× Z2-graduadas de sl2(K) quando K ´e infinito e char K 6= 2, este resultado n˜ao havia

sido estabelecido antes mesmo em caracter´ıstica zero.

No que segue iremos discutir em mais detalhes alguns dos resultados do artigo [27]. Iremos dar uma nova demonstra¸cão, baseada em métodos elementares dos resultados principais de [27] quando o corpo tem caracter´ıstica zero. Os resultados da Se¸cão 2.2 foram publicados em [30].

No que segue iremos trabalhar principalmente com Z2-gradua¸c˜oes e identidades

(29)

graduadas. N´os assumimos que o corpo base K ´e fixo e infinito.

2.1 As identidades graduadas de sl

₂

(K), char K 6= 0

Nesta se¸c˜ao apresentaremos as ideias principais de [27], onde s˜ao estudadas as identidades graduadas de sl2(K). Neste artigo, foram usados resultados de Teoria de invariantes, por

exemplo a f´ormula de Straightening em [16], para encontrar uma base para as identidades 2-graduadas de sl2(K), onde K ´e um corpo infinito de caracter´ıstica diferente de 2. Esta

base consiste de um polinômio de grau 2 que expressa o fato que duas matrizes diagonais comutam. Como corol´_{ario de tais resultados foram obtidas bases para as identidades Z} e Z2 × Z2-graduadas de sl2(K), como já mencionamos esses resultados não haviam sido

previamente estabelecidos nem mesmo para corpos de caracter´ıstica zero.

Sejam X e Y conjuntos disjuntos, infinitos e enumer´aveis, X = {x1, x2, . . .}, Y =

{y1, y2, . . .}, e seja Z = X ∪ Y . Sejam KhZi e LhZi a ´algebra associativa livre e a ´algebra

li-vre de Lie respectivamente. Essas duas álgebras têm uma 2-gradua¸cão natural se assumimos que as variáveis xi têm grau 0 e as variáveis yi têm grau 1. Como KhZi é a álgebra universal

envolvente de LhZi e esta ´e a sub´algebra de Lie de (KhZi)(−) _{gerada por Z assumimos que}

LhZi ⊂ KhZi.

A ´algebra de Lie sl2(K) tem uma 2-gradua¸c˜ao natural

sl2 = (sl2)0⊕ (sl2)1,

onde (sl2)0 ´e o subespa¸co gerado pela matriz (e11− e22) e (sl2)1 ´e o subespa¸co gerado pelas

matrizes e12 e e21. O próximo resultado será útil tanto nesta se¸cão quanto na próxima.

Lema 2.1 O polinˆomio

[x1, x2] (2.1)

´

e uma identidade graduada para sl2.

Demonstra¸c˜ao. Basta ver que duas matrizes diagonais comutam. Denotaremos por I o T2-ideal em LhZi gerado pelo polinˆomio (2.1). Utilizando a

iden-tidade de Jacobi n˜ao ´e dif´ıcil ver que as identidades

[y1, x1, y2] − [y2, x1, y1] e [x1, y1, x2] − [x2, y1, x1] (2.2)

pertencem a I. ´E poss´ıvel mostrar por indu¸c˜ao que

(30)

Seja L uma ´algebra de Lie e sejam w1, w2, a, b ∈ L. Denotamos por [w1, w2]L(a, b) a

express˜ao

1

8([w1, a, b, w2] + [w1, b, a, w2] − [w2, a, w1, b] − [w2, b, w1, a]),

se denotamos a ◦ b = 1₂(ab + ba), n˜ao ´e dif´ıcil ver que em sl2 vale [w1, w2]L(a, b) = [w1, w2] ◦

(a ◦ b). No que segue F = LhZi/I, as mesmas letras s˜ao usadas para denotar os elementos de Z e suas imagens em F pelo homomorfismo canˆonico LhZi → LhZi/I.

Como foi demonstrado em [27], Corolário 9 essas transforma¸cões L são operadores lineares bem definidos em F0 = [LhZi/I, LhZi] que comutam dois a dois. Conforme veremos a seguir esses operadores assumem um papel importante na demonstra¸cão que I = T2(sl2).

Os três lemas a seguir, bem como algumas identidades que aparecem nas suas demons-tra¸cões, também são utilizados na próxima se¸cão - esses resultados correspondem ao Lemma 4, Lemma 5 e Lemma 6 do artigo citado - por isso apresentaremos as demonstra¸cões que aparecem em [27] aqui.

Lema 2.2 O polinˆomio [x, y1, y2, y3, y4] − [x, y3, y4, y1, y2] ∈ I.

Demonstra¸c˜ao. Em F temos a igualdade [x, y1, y2] = [x, y2, y1], assim

[x, y1, y2, y3, y4] = [x, y1, [y2, y4], y3] + [x, y4, y1, y2, y3]

= [x, y1, [y2, y4, y3]] + [x, y4, y1, y2, y3]

= −[y1, x, [y2, y4, y3]] + [x, y4, y1, y2, y3]

= [x, y4, y1, y2, y3] − [y2, y4, y3, x, y1]

= [x, y4, y1, y3, y2] − [y2, y4, y3, x, y1],

onde os termos do tipo [x, [y1, y2]] s˜ao omitidos. Assim obtemos

[x, y1, y2, y3, y4] = [x, y4, [y1, y3], y2] + [x, y3, y4, y1, y2] − [y2, y4, y3, x, y1]

= [x, y3, y4, y1, y2] + [y1, y3, y4, x, y2] − [y2, y4, y3, x, y1].

Analogamente temos

[x, y2, y1, y3, y4] = [x, y3, y4, y2, y1] + [y2, y3, y4, x, y1] − [y1, y4, y3, x, y2].

Mas [x, y1, y2, y3, y4] = [x, y2, y1, y3, y4] e somando as duas ´ultimas igualdades obtemos

2([x, y1, y2, y3, y4] − [x, y3, y4, y1, y2] = [y2, [y3, y4], x, y1] + [y1, [y3, y4], x, y2]).

O lado direito da igualdade ´e zero por causa da identidade (2.3).

(31)

Lema 2.3 O polinˆomio [y1, y2, y3, x1, x2] − [y1, x1, x2, y2, y3] ∈ I.

Demonstra¸c˜ao. Segue da segunda identidade de (2.2) que

[[y1, y2], y3, x1, x2] = [x1, y3, [y1, y2], x2] = −[y3, x1, x2, [y1, y2]]

= −[y3, x1, x2, y1, y2] + [y3, x1, x2, y2, y1].

E por (2.3) [y2, x1, x2, y3] = −[y3, x1, x2, y2]. Logo

[y1, y2, y3, x1, x2] = −[y2, x1, x2, y3, y1] − [y3, x1, x2, y1, y2],

[y2, y3, y1, x1, x2] = −[y3, x1, x2, y1, y2] − [y1, x1, x2, y2, y3],

[y3, y1, y2, x1, x2] = −[y1, x1, x2, y2, y3] − [y3, x1, x2, y1, y2].

Somando as trˆes igualdades acima e observando que o lado esquerdo da igualdade ´e zero por causa da identidade de Jacobi temos

2([y1, x1, x2, y2, y3] + [y2, x1, x2, y3, y1] + [y3, x1, x2, y1, y2]) = 2S = 0 (2.4)

modulo a identidade [x1, x2] = 0. Aqui denotamos por S a express˜ao entre parˆenteses.

Portanto

[y1, y2, y3, x1, x2] − [y1, x1, x2, y2, y3] = −S = 0

e o lema est´a provado.

Lema 2.4 A identidade graduada [x1, y1, y2, y3, x2] = [x2, y1, y2, y3, x1] ´e uma consequˆencia

de (2.1).

Demonstra¸c˜ao. Como [[x1, y1, y2], y3, x2] = [x2, y3, [x1, y1, y2]] temos

[x1, y1, y2, y3, x2] = [x2, y3, x1, y1, y2] + [x2, y2, y3, y1, x1]

= [x2, y3, x1, y1, y2] + [x1, y3, y1, y2, x2] + [x2, y1, x1, y2, y3]

= [x2, y1, y2, y3, x1]

+ [x2, y3, x1, y1, y2] + [x2, y1, x1, y2, y3] + [x2, y2, x1, y3, y1].

Mas a expressão na última linha pertence a I por causa de (2.4). Para mostrar que I é o ideal das identidades 2-graduadas de sl2 será preciso encontrar

uma base para F0como espa¸co vetorial, para isto s˜ao utilizados resultados sobre os invariantes do grupo ortogonal descritos em [16]. Seja

T =         p11 p12 . . . p1m1 q11 q12 . . . q1m1 p21 p22 . . . p2m2 q21 q22 . . . q2m2 . . . .         (2.5)

(32)

uma tabela dupla onde m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mke todas as entradas pij, qij s˜ao inteiros. Quando

todas as entradas de T s˜ao inteiros positivos e m1 ≥ 2 diremos que T ´e uma 0-tabela. Se

p11= 0, todas as outras entradas de T s˜ao inteiros positivos e m1 ≥ 2 diremos que T ´e uma

1-tabela. Quando m1 ≥ 2, p11= −1, p12= 0 enquanto todas as outras entradas s˜ao inteiros

positivos dizemos que T ´e uma 2-tabela. Associamos a tabela dupla acima T o elemento ϕ(T ) do modo descrito a seguir.

Seja T = (p11, p12, . . . , p1m|q11, q12, . . . , q1m) uma tabela dupla com apenas uma linha.

1 Se T ´e uma 0-tabela ent˜ao

ϕ(T ) = X

σ∈Sn

(−1)σL(zp1, zσ(q1))L(zp2, zσ(q2)) . . . L(zpm, zσ(qm))

ϕ(0, p12|q12q12) = [zq12, zq12, zp12]

ϕ(−1, 0|q11, q12) = [zq11, zq12]

e se T é uma 1 ou 2-tabela do tipo (2.5) associamos a esta tabela o polinômio ϕ(T ) = ϕ(T1)ϕ(T2) . . . ϕ(Tk) ∈ F . Aqui T1, . . . , Tk são as linhas duplas de T , note que todas as

linhas Ti, i > 1 são 0-tabelas. Observe que se T é uma 0-tabela então ϕ(T ) está na álgebra

comutativa (e associativa) de todos os operadores lineares L(a, b) em F0 e se T ´e uma 1 ou 2-tabela ent˜ao ϕ(T ) ∈ F0.

Os três resultados a seguir permitem concluir que F0 é gerado como espa¸co vetorial pelos polinômios ϕ(T ), onde T é uma 1-tabela ou uma 2-tabela.

Lema 2.5 As igualdades

(1) [y1, y2, y3, y4] = 4[y1, y2]L(y3, y4)

(2) [x1, y3, y4, y2] = 4[x1, y2]L(y3, y4)

(3) [y1, x3, x4, y2] = 4[x1, y2]L(y3, yy)

(4) [x1, y2, x3, x4] = 4[x1, y2]L(x3, x4)

valem na ´algebra de Lie F .

(33)

Lema 2.6 A igualdade [z1, z2]L(x, y) = 0 ´e verificada em F .

Demonstra¸c˜ao. [27] Lema 3.

Proposi¸c˜ao 2.7 A igualdade [[z1, z2], z3]L(z4, z5) = [[z1, z2]L(z4, z5), z3] vale em F .

Demonstra¸cão. [27] Proposi¸cão 7. Segue desses resultados que a álgebra de Lie F0 é gerada como espa¸co vetorial pelos polinômios ϕ(T ), onde T representa uma 1 ou 2-tabela, ver [27] Observa¸cão 11. Os resultados a seguir permitem obter desse conjunto gerador uma base para F0, para isto são nessecários os resultados enunciados a seguir, juntamente com resultados da teoria de invariantes para o grupo ortogonal obtidos em [16], lembramos que esses resultados são para corpos de qualquer caracter´ıstica.

Proposi¸c˜ao 2.8 Seja f ∈ F0 um polinˆomio, f = f (x1, x2, . . . , y1, y2, . . .).

1 Se g = f (x1, x2, . . .) = f (x2, x1, . . .) ent˜ao g = 0

2 Se h = P(−1)σ_{f (x}

1, x2, . . . , yσ(1), yσ(2), yσ(3), . . .) ent˜ao h = 0. Aqui σ percorre os

elementos do grupo S3 e (−1)σ ´e o sinal de σ.

Demonstra¸cão. [27],Proposi¸cão 12. Seguem desta proposi¸cão os seguintes corolários.

Corol´ario 2.9 Seja T uma 1 ou 2-tabela dupla (2.5). Se mi ≥ 3 para algum i ≥ 2 ent˜ao

ϕ(T ) = 0.

Demonstra¸c˜ao. [27] Corol´ario 13.

Corolário 2.10 Todo polinômio ϕ(T ) pode ser representado como uma combina¸cão linear de ϕ(Q) onde Q são 1 ou 2-tabelas duplamente standard.

Demonstra¸c˜ao. [27] Corol´ario 14. A seguir o teorema principal de [27].

Teorema 2.11 Seja K um corpo de caracter´ıstica 0, ou um corpo infinito de caracter´ıstica p 6= 2. As identidades Z2-graduadas da ´algebra de Lie sl2(K) seguem da identidade (2.1).

(34)

Demonstra¸cão. A prova segue imediatamente da proposi¸cão acima e dos dois corolários

anteriores.

A álgebra sl2admite mais duas G-gradua¸cões naturais, quando G = Z temos a gradua¸cão

sl2 =

M

i∈Z

(sl2)i,

onde a componente (sl2)i consiste das matrizes diagonais, se i = 0, das matrizes estritamente

triangulares inferiores e superiores se i = −1 ou i = 1, respectivamente e (sl2)i = 0, se |i| > 1.

A outra gradua¸c˜ao natural ´_{e quando G = Z}2× Z2, neste caso

sl2 = M (i,j)∈Z2×Z2 (sl2)(i,j), onde (sl2)(0,0) = 0 (sl2)(1,0) = K(e11− e22) (sl2)(0,1) = K(e12+ e21) (sl2)(1,1) = K(e12− e21).

Os mesmos argumentos apresentados aqui, com algumas modifica¸c˜oes, foram utilizados para encontrar bases para as identidades Z-graduadas e Z2× Z2-graduadas de sl2(K).

Teorema 2.12 Seja K um corpo infinito de caracter´ıstica 6= 2. As identidades Z-graduadas de sl2(K) seguem de (2.1) juntamente com as identidades z = 0, se | deg Z| ≥ 2.

Teorema 2.13 Seja K um corpo infinito de caracter´ıstica 6= 2. Ent˜_{ao as identidades Z}2×

Z2-graduadas de sl2(K) seguem de t = 0, com |t| = (0, 0).

2.2 As identidades graduadas de sl

2

(K), char K = 0

Nesta se¸cão iremos dar uma nova demonstra¸cão, baseada em métodos elementares, para o Teorema 16 de [27], apresentado na se¸cão anterior para o caso em que o corpo K tem caracter´ıstica zero. Encontraremos bases tamb´_{em para as identidades Z-graduadas e para} as identidades Z2× Z2-graduadas. Os resultados desta se¸cão foram publicados em [30].

(35)

2.2.1 _{As identidades Z}

2

-graduadas de sl

2

Sejam I = T2(sl2(K)) e J o ideal das identidades 2-graduadas gerado pelo polinˆomio (2.1).

Se M ∈ LhXi é um elemento homogêneo na 2-gradua¸cão denotamos por d(M ) seu grau homogêneo.

Defini¸c˜ao 2.14 Seja f (zi1, . . . , zin) ∈ LhZi. A n-upla S = (m1, . . . , mn) tal que mi ∈

{e11 − e22, e12, e21} e d(mi) = d(zi) ´e chamada substitui¸c˜ao elementar para f e fS ∈ sl2

denota o resultado de substituir (zi1, . . . , zin) pelas matrizes (m1, . . . , mn).

Seja M ∈ LhXi um comutador multilinear, M /∈ I. Então a menos de sinal podemos admitir que a primeira variável de M tem grau 1, isto é que M come¸ca com alguma variável yi. Então M é do tipo

(1) M = [y1, ˆx1, . . . ˆxa, y2, y3, ˆxa+1, . . . ˆxb, y4, y5, . . . , y2k, ˆy2k+1xˆc, . . . ˆxd],

onde o chapéu sobre a variável significa que ela pode não aparecer, e y2k+1 aparece

depen-dendo de o grau de M ser 0 ou 1.

Denotamos por vj o conjunto {y2j−1, y2j}, 1 ≤ j ≤ k, e por nj o n´umero de vari´aveis

de grau 0 que aparece entre y2j−1 e y2j, 1 ≤ j ≤ k. Se d(M ) = 1 ent˜ao aparece y2k+1,

denotamos por nk+1 o n´umero de vari´aveis de grau 0 que aparece a direita de y2k+1. Note

que se d(M ) = 0 então a variável mais a direita não pode ter grau zero 0 (caso contrário ter´ıamos M ∈ I). Se ˜M é um monômio do mesmo multigrau que M denotaremos por ˜xi e

por ˜yj suas variáveis. Além disso definimos ˜vj, e ñj de modo análogo.

Como [e11− e22, e12] = 2e12, [e11− e22, e21] = −2e21 e [e12, e21] = e11− e22 temos o

Lema 2.15 Se M é como em (1) e S é uma substitui¸cão elementar para M então MS 6= 0

se, e somente se, (vi)S = {e12, e21}.

Lema 2.16 Suponha que M e ˜M são dois monômios de mesmo multigrau e do tipo (1). Se M + λ ˜M ∈ I, λ 6= 0 então existe uma permuta¸cão α ∈ Sk tal que ˜vα(j) = vj e se

d(M ) = d( ˜M ) = 1 ent˜ao y2k+1 = ˜y2k+1. Al´em disso ni − δ(i, 1) ≡2 n˜α(i) − δ(α(i), 1),

1 ≤ i ≤ k, e se d(M ) = d( ˜M ) = 1 tamb´em segue que nk+1 ≡2 n˜k+1.

Demonstra¸cão. Suponha que não existe tal permuta¸cão α ∈ Sk. Então y2j0−1 ∈ ˜va e

y2j0 ∈ ˜vb para algum j0, a 6= b. Portanto existe uma substitui¸c˜ao S tal que y2j0−1 e y2j0 s˜ao

substitu´ıdos por e12, e ( ˜vi)S = {e12, e21}, i = 1, . . . , k. Segue do Lema 2.15 que MS = 0,

mas ˜MS 6= 0, o que ´e um absurdo j´a que M + λ ˜M ∈ I e λ 6= 0. Isto prova a primeira parte

(36)

Agora iremos provar a segunda parte. Para isso precisaremos das identidades (2.3) da se¸c˜ao anterior. Fixe i ∈ {1, 2, . . . , k} e considere uma substitui¸c˜ao elementar S1 tal que as

variáveis y2j−1 são substitu´ıdas por e12e as variáveis y2j por e21. A substitui¸cão elementar S2

´

e obtida de S1 substituindo as vari´aveis y2i−1 e y2i, por e21 e e12 respectivamente, enquanto

as vari´aveis restantes s˜ao substitu´ıdas como em S1. Pelo Lema 2.15, MSi 6= 0, i = 1, 2.

Usando (2.3) vemos que MS1 = (−1)

ni−δ(i,1)_M

S2 6= 0 e que ˜MS1 = (−1)

˜

nα(i)−δ(α(i),1)_M˜

S2.

Como M + λ ˜M ∈ I, a mudan¸ca de sinal que ocorre de MS1 para MS2 ´e a mesma que ocorre

de ˜MS1 para ˜MS2. Segue que ni−δ(i, 1) ≡2 n˜α(i)−δ(α(i), 1), 1 ≤ i ≤ k. Se d(M ) = d( ˜M ) = 1

somamos as congruˆencias acima e obtemos Pk

i=1n˜i ≡2

Pk

i=1ni. Como os monˆomios tˆem o

mesmo multigrau obtemos Pk+1 i=1 ˜ni =

Pk+1

i=1 ni, e portanto nk+1 ≡2 n˜k+1.

A seguir listamos alguns polinˆomios graduados que est˜ao em J . Alguns deles foram obtidos em [27, Lemmas 4, 5, 6] e os demais podem ser obtidos facilmente dos que aparecem em [27].

Lema 2.17 Os polinˆomios a seguir est˜ao em J .

(1) [y1, y2, y3, x1, x2] − [y1, x1, x2, y2, y3]; (2) [z1. . . za, xb, xc, . . . zd] − [z1. . . za, xc, xb, . . . zd]; (3) [x1, y1, x2, . . . , xn] − [x1[y1, x2, . . . , xt]xt+1, . . . , xn]; (4) [y1, y2, y3, x1, y4] − [y3, y4, y1, x1, y2]; (5) [x1, y1, y2, y3, y4] − [x1, y3, y4, y1, y2]; (6) [y1, x1, y2, y3, x2] − [y1, x2, y2, y3, x1].

Lema 2.18 Se M + λ ˜M ∈ I onde M e ˜M s˜ao do tipo (1) ent˜ao M + λ ˜M ∈ J .

Demonstra¸cão. Usando (3), (4), (5) do lema anterior podemos assumir que, módulo J , temos α = id. Além disso ni = ñi pelo Lema 2.16, e por (1) e (3). Além disso utilizando

(2) e (6) colocamos as variáveis de grau 0 na ordem correta. Com (2.3) e com Lema 2.16, podemos ordenar as variáveis de grau 1, multiplicando por −1 se necessário. Desse modo M + λ ˜M ≡ (1 ± λ)M (mod J ), portanto λ = ∓1 e M + λ ˜M ∈ J .

Lema 2.19 Se M + λ ˜M ∈ I onde M = [z1, . . . , zn] e ˜M = [ ˜z1, . . . , ˜zn] tˆem o mesmo

(37)

Demonstra¸c˜ao. Se [z1, . . . zn] ∈ I tomamos o maior m tal que [z1, . . . , zm] /∈ I. Ent˜ao

[z1, . . . , zm, zm+1] ∈ I. Se d(z0) = d([z1, . . . , zm]) ent˜ao [z0, zm+1] ∈ I e [z1, . . . zn] ´e

con-sequˆencia desse polinˆomio. Mas [z0, zm+1] ∈ I implica que d(z0) = d(zm+1) = 0 e como

[z0, zm+1] ∈ J , segue que [z1, . . . zn] ∈ J . No caso que M /∈ I e ˜M /∈ I, aplicamos o

Lema 2.18.

Seja Ω = K[A ∪ B] o anel de polinˆomios nas vari´aveis comutativas A = {a1, a2. . .} e

B = {b1

1, b21, b12, b22, . . .}. Denote por G a sub´algebra de Lie de M2(Ω)− gerada pelas matrizes

Ai = ai(e11− e22) e Bi = (bi1e12+ b2ie21) equipada com sua Z2 gradua¸c˜ao natural. Ent˜ao o

homomorfismo φ: LhZi → G determinado por φ(xi) = Ai e φ(yi) = Bi induz um isomorfismo

de álgebras LhZi/I e G. A demonstra¸cão deste fato é a mesma que a correspondente para matrizes genéricas.

Lema 2.20 Se M1 e M2 s˜ao dois comutadores pr´oprios, d(M1) = d(M2), e a primeira linha

da matriz φ(M1− λM2) ´e igual a zero ent˜ao M1− λM2 ∈ J.

Demonstra¸cão. Se d(M1) = d(M2) = 0 então φ(M1 − λM2) = 0 já que esta é uma

matriz diagonal de tra¸co zero. Suponha que a segunda linha é não nula. Então M1 −

λM2 ∈ I e (M/ 1)S − λ(M2)S ∈ he21i, para qualquer substitui¸c˜ao S (n˜ao necessariamente

com matrizes elementares). Mas ρ: sl2 → sl2, ρ(m) = −mT, ´e um automorfismo de sl2 tal

que ρ(he21i) = he12i. Se S = (m1, . . . , mk) onde mi ∈ sl2, ´e tal que (M1)S − λ(M2)S 6= 0

ent˜ao 0 6= (M1)S0 − λ(M₂)_S0 = ρ((M₁)_S− λ(M₂)_S) ∈ he₁₂i onde S0 = (ρ(m₁), . . . , ρ(m_k)).

Uma contradi¸c˜ao. Portanto φ(M1 − λM2) = 0 e M1 − λM2 ∈ I. Segue do Lema 2.19 que

M1− λM2 ∈ J.

Temos [Bi, Bj] = (b1ibj2 − b2ib1j)(e11 − e22) e [Ai, Bj] = 2(aib1je12 − aib2je21) portanto

[B1, A1, . . . , An, B2] = (−2)na1. . . an[B1, B2]. A entrada n˜ao nula na primeira linha de

[Bi, Bj] ´e igual ao determinante da matriz Mi,j = b1ie11+ bi2e12+ b1je21+ b2je22. Al´em disso

a entrada n˜ao nula na primeira linha de [B1, B2, . . . , B2k−1, B2k] ´e igual ao produto dos

determinantes de M12, M23, . . . , M(2k−1)(2k).

Lema 2.21 Sejam M1, . . . , Mk monˆomios multilineares tais que Pk_i=1λiMi ∈ I, ent˜ao

existe j ∈ {2, . . . , k} tal que a primeira linha de φ(M1− (λj/λ1)Mj) se anula.

Demonstra¸cão. É suficiente mostrar que os polinômios que são produtos de determinantes de matrizes da forma Mij são linearmente independentes em Ω. Denote o conjunto destes

polinômios por D. Como o corpo base é infinito é suficiente provar a independência linear para subconjuntos de D que consistem de polinômios multihomogêneos do mesmo multigrau. Provamos isto por indu¸cão no número n de variáveis que aparece nos polinômios. Se n ≤ 2