As identidades Z 2 graduadas de sl 2

Sejam I = T2(sl2(K)) e J o ideal das identidades 2-graduadas gerado pelo polinˆomio (2.1).

Se M ∈ LhXi ´e um elemento homogˆeneo na 2-gradua¸c˜ao denotamos por d(M ) seu grau homogˆeneo.

Defini¸c˜ao 2.14 Seja f (zi1, . . . , zin) ∈ LhZi. A n-upla S = (m1, . . . , mn) tal que mi ∈

{e11 − e22, e12, e21} e d(mi) = d(zi) ´e chamada substitui¸c˜ao elementar para f e fS ∈ sl2

denota o resultado de substituir (zi1, . . . , zin) pelas matrizes (m1, . . . , mn).

Seja M ∈ LhXi um comutador multilinear, M /∈ I. Ent˜ao a menos de sinal podemos admitir que a primeira vari´avel de M tem grau 1, isto ´e que M come¸ca com alguma vari´avel yi. Ent˜ao M ´e do tipo

(1) M = [y1, ˆx1, . . . ˆxa, y2, y3, ˆxa+1, . . . ˆxb, y4, y5, . . . , y2k, ˆy2k+1xˆc, . . . ˆxd],

onde o chap´eu sobre a vari´avel significa que ela pode n˜ao aparecer, e y2k+1 aparece depen-

dendo de o grau de M ser 0 ou 1.

Denotamos por vj o conjunto {y2j−1, y2j}, 1 ≤ j ≤ k, e por nj o n´umero de vari´aveis

de grau 0 que aparece entre y2j−1 e y2j, 1 ≤ j ≤ k. Se d(M ) = 1 ent˜ao aparece y2k+1,

denotamos por nk+1 o n´umero de vari´aveis de grau 0 que aparece a direita de y2k+1. Note

que se d(M ) = 0 ent˜ao a vari´avel mais a direita n˜ao pode ter grau zero 0 (caso contr´ario ter´ıamos M ∈ I). Se ˜M ´e um monˆomio do mesmo multigrau que M denotaremos por ˜xi e

por ˜yj suas vari´aveis. Al´em disso definimos ˜vj, e ˜nj de modo an´alogo.

Como [e11− e22, e12] = 2e12, [e11− e22, e21] = −2e21 e [e12, e21] = e11− e22 temos o

Lema 2.15 Se M ´e como em (1) e S ´e uma substitui¸c˜ao elementar para M ent˜ao MS 6= 0

se, e somente se, (vi)S = {e12, e21}.

Lema 2.16 Suponha que M e ˜M s˜ao dois monˆomios de mesmo multigrau e do tipo (1). Se M + λ ˜M ∈ I, λ 6= 0 ent˜ao existe uma permuta¸c˜ao α ∈ Sk tal que ˜vα(j) = vj e se

d(M ) = d( ˜M ) = 1 ent˜ao y2k+1 = ˜y2k+1. Al´em disso ni − δ(i, 1) ≡2 n˜α(i) − δ(α(i), 1),

1 ≤ i ≤ k, e se d(M ) = d( ˜M ) = 1 tamb´em segue que nk+1 ≡2 n˜k+1.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que n˜ao existe tal permuta¸c˜ao α ∈ Sk. Ent˜ao y2j0−1 ∈ ˜va e

y2j0 ∈ ˜vb para algum j0, a 6= b. Portanto existe uma substitui¸c˜ao S tal que y2j0−1 e y2j0 s˜ao

substitu´ıdos por e12, e ( ˜vi)S = {e12, e21}, i = 1, . . . , k. Segue do Lema 2.15 que MS = 0,

mas ˜MS 6= 0, o que ´e um absurdo j´a que M + λ ˜M ∈ I e λ 6= 0. Isto prova a primeira parte

Agora iremos provar a segunda parte. Para isso precisaremos das identidades (2.3) da se¸c˜ao anterior. Fixe i ∈ {1, 2, . . . , k} e considere uma substitui¸c˜ao elementar S1 tal que as

vari´aveis y2j−1 s˜ao substitu´ıdas por e12e as vari´aveis y2j por e21. A substitui¸c˜ao elementar S2

´

e obtida de S1 substituindo as vari´aveis y2i−1 e y2i, por e21 e e12 respectivamente, enquanto

as vari´aveis restantes s˜ao substitu´ıdas como em S1. Pelo Lema 2.15, MSi 6= 0, i = 1, 2.

Usando (2.3) vemos que MS1 = (−1)

ni−δ(i,1)_M

S2 6= 0 e que ˜MS1 = (−1)

˜

nα(i)−δ(α(i),1)_M˜

S2.

Como M + λ ˜M ∈ I, a mudan¸ca de sinal que ocorre de MS1 para MS2 ´e a mesma que ocorre

de ˜MS1 para ˜MS2. Segue que ni−δ(i, 1) ≡2 n˜α(i)−δ(α(i), 1), 1 ≤ i ≤ k. Se d(M ) = d( ˜M ) = 1

somamos as congruˆencias acima e obtemos Pk

i=1n˜i ≡2

Pk

i=1ni. Como os monˆomios tˆem o

mesmo multigrau obtemos Pk+1 i=1 ˜ni =

Pk+1

i=1 ni, e portanto nk+1 ≡2 n˜k+1. 

A seguir listamos alguns polinˆomios graduados que est˜ao em J . Alguns deles foram obtidos em [27, Lemmas 4, 5, 6] e os demais podem ser obtidos facilmente dos que aparecem em [27].

Lema 2.17 Os polinˆomios a seguir est˜ao em J .

(1) [y1, y2, y3, x1, x2] − [y1, x1, x2, y2, y3]; (2) [z1. . . za, xb, xc, . . . zd] − [z1. . . za, xc, xb, . . . zd]; (3) [x1, y1, x2, . . . , xn] − [x1[y1, x2, . . . , xt]xt+1, . . . , xn]; (4) [y1, y2, y3, x1, y4] − [y3, y4, y1, x1, y2]; (5) [x1, y1, y2, y3, y4] − [x1, y3, y4, y1, y2]; (6) [y1, x1, y2, y3, x2] − [y1, x2, y2, y3, x1].

Lema 2.18 Se M + λ ˜M ∈ I onde M e ˜M s˜ao do tipo (1) ent˜ao M + λ ˜M ∈ J .

Demonstra¸c˜ao. Usando (3), (4), (5) do lema anterior podemos assumir que, m´odulo J , temos α = id. Al´em disso ni = ˜ni pelo Lema 2.16, e por (1) e (3). Al´em disso utilizando

(2) e (6) colocamos as vari´aveis de grau 0 na ordem correta. Com (2.3) e com Lema 2.16, podemos ordenar as vari´aveis de grau 1, multiplicando por −1 se necess´ario. Desse modo M + λ ˜M ≡ (1 ± λ)M (mod J ), portanto λ = ∓1 e M + λ ˜M ∈ J . _

Lema 2.19 Se M + λ ˜M ∈ I onde M = [z1, . . . , zn] e ˜M = [ ˜z1, . . . , ˜zn] tˆem o mesmo

Demonstra¸c˜ao. Se [z1, . . . zn] ∈ I tomamos o maior m tal que [z1, . . . , zm] /∈ I. Ent˜ao

[z1, . . . , zm, zm+1] ∈ I. Se d(z0) = d([z1, . . . , zm]) ent˜ao [z0, zm+1] ∈ I e [z1, . . . zn] ´e con-

sequˆencia desse polinˆomio. Mas [z0, zm+1] ∈ I implica que d(z0) = d(zm+1) = 0 e como

[z0, zm+1] ∈ J , segue que [z1, . . . zn] ∈ J . No caso que M /∈ I e ˜M /∈ I, aplicamos o

Lema 2.18. _

Seja Ω = K[A ∪ B] o anel de polinˆomios nas vari´aveis comutativas A = {a1, a2. . .} e

B = {b1

1, b21, b12, b22, . . .}. Denote por G a sub´algebra de Lie de M2(Ω)− gerada pelas matrizes

Ai = ai(e11− e22) e Bi = (bi1e12+ b2ie21) equipada com sua Z2 gradua¸c˜ao natural. Ent˜ao o

homomorfismo φ: LhZi → G determinado por φ(xi) = Ai e φ(yi) = Bi induz um isomorfismo

de ´algebras LhZi/I e G. A demonstra¸c˜ao deste fato ´e a mesma que a correspondente para matrizes gen´ericas.

Lema 2.20 Se M1 e M2 s˜ao dois comutadores pr´oprios, d(M1) = d(M2), e a primeira linha

da matriz φ(M1− λM2) ´e igual a zero ent˜ao M1− λM2 ∈ J.

Demonstra¸c˜ao. Se d(M1) = d(M2) = 0 ent˜ao φ(M1 − λM2) = 0 j´a que esta ´e uma

matriz diagonal de tra¸co zero. Suponha que a segunda linha ´e n˜ao nula. Ent˜ao M1 −

λM2 ∈ I e (M/ 1)S − λ(M2)S ∈ he21i, para qualquer substitui¸c˜ao S (n˜ao necessariamente

com matrizes elementares). Mas ρ: sl2 → sl2, ρ(m) = −mT, ´e um automorfismo de sl2 tal

que ρ(he21i) = he12i. Se S = (m1, . . . , mk) onde mi ∈ sl2, ´e tal que (M1)S − λ(M2)S 6= 0

ent˜ao 0 6= (M1)S0 − λ(M₂)_S0 = ρ((M₁)_S− λ(M₂)_S) ∈ he₁₂i onde S0 = (ρ(m₁), . . . , ρ(m_k)).

Uma contradi¸c˜ao. Portanto φ(M1 − λM2) = 0 e M1 − λM2 ∈ I. Segue do Lema 2.19 que

M1− λM2 ∈ J. 

Temos [Bi, Bj] = (b1ibj2 − b2ib1j)(e11 − e22) e [Ai, Bj] = 2(aib1je12 − aib2je21) portanto

[B1, A1, . . . , An, B2] = (−2)na1. . . an[B1, B2]. A entrada n˜ao nula na primeira linha de

[Bi, Bj] ´e igual ao determinante da matriz Mi,j = b1ie11+ bi2e12+ b1je21+ b2je22. Al´em disso

a entrada n˜ao nula na primeira linha de [B1, B2, . . . , B2k−1, B2k] ´e igual ao produto dos

determinantes de M12, M23, . . . , M(2k−1)(2k).

Lema 2.21 Sejam M1, . . . , Mk monˆomios multilineares tais que Pk_i=1λiMi ∈ I, ent˜ao

existe j ∈ {2, . . . , k} tal que a primeira linha de φ(M1− (λj/λ1)Mj) se anula.

Demonstra¸c˜ao. ´E suficiente mostrar que os polinˆomios que s˜ao produtos de determinantes de matrizes da forma Mij s˜ao linearmente independentes em Ω. Denote o conjunto destes

polinˆomios por D. Como o corpo base ´e infinito ´e suficiente provar a independˆencia linear para subconjuntos de D que consistem de polinˆomios multihomogˆeneos do mesmo multigrau. Provamos isto por indu¸c˜ao no n´umero n de vari´aveis que aparece nos polinˆomios. Se n ≤ 2

vari´aveis. SejamP ciPi = 0, Pi ∈ D, todos do mesmo multigrau, dependendo de n vari´aveis,

e todos os ci 6= 0. Substitua bl1 por bl1 +

Pk i=2b

l

i, l = 1, 2. Desse modo obtemos uma

combina¸c˜aoP Ph2,...,hk onde Ph2,...,hk ´e uma soma de polinˆomios obtida substitu´ındo h2 vezes

(bl

1) por (bl2) em algum det M1,a que divide Pi, a 6= 2, e ent˜ao h3 vezes (bl1) por (bl3) em algum

det M1,a que divide Pi, a 6= 3 e assim sucessivamente. Se det M12 divide todos os Pi temos

P ciPi/ det M12 = 0 e podemos utilizar a hip´otese de indu¸c˜ao. Ent˜ao temos uma combina¸c˜ao

P ciP˜i = 0, ci 6= 0, tal que pelo menos um dos ˜Pi n˜ao ´e divis´ıvel por det M12. Denote por

Pm o maior polinˆomio Ph2,...,hk na ordem lexicogr´afica de sequˆencias (h2, . . . , hk). Ent˜ao

este ´e uma soma de polinˆomios obtidos substitu´ındo (bl

1) por (bl2) em todos os det M1,a que

dividem Pi, onde Pi n˜ao ´e um m´ultiplo de det M1,2. Assim Pm = 0, e o n´umero de vari´aveis

aparecendo em Pm ´e menor que n, uma contradi¸c˜ao. 

A seguir estabelecemos o resultado principal de [27]. Por simplicidade enunciamos e provamos o resultado quando char K = 0. Observamos que um argumento an´alogo pode ser utilizado para demonstrar o resultado se char K 6= 2.

Teorema 2.22 Seja char K = 0, ent˜ao a identidade graduada [x1, x2] ´e uma base para as

identidades Z2-graduadas de sl2(k).

Demonstra¸c˜ao. Provaremos que I = J . Obviamente temos J ⊂ I. Como char K = 0 trabalharemos com identidades multilineares apenas. Os monˆomios C = {[xα(1), . . . , xα(n)] |

α ∈ Sn, α(1) = 1} formam uma base para o subespa¸co dos monˆomios multilineares em

{x1, . . . , xn}. Assuma que f ∈ I, e tome o menor k tal que f ≡J

Pk

i=1λiMi ∈ I, Mi ∈ C.

Segue que φ(f ) = 0 e portanto se k 6= 0 conclu´ımos que λ1 6= 0 devido a minimalidade de k.

Ent˜ao existe j tal que a primeira linha de φ(M1− (λj/λ1)Mj) ´e nula. Segue do Lema 2.20

que M1− (λj/λ1)Mj ∈ J. Isso contradiz a minimalidade de k, portanto k = 0 e o resultado

est´a provado. _