Uma análise da interpretação matemática pelo olhar da psicologia

A interpretação matemática, na atualidade, adota a ideia da convergência da série geométrica infinita apresentada, na abordagem anterior. Mas o psicólogo da corrente Gestalt Max Wertheimer (1945) critica o modelo de prova atual da convergência da série que busca descrever matematicamente esse movimento.

Este modelo, que, para muitos, soluciona o paradoxo de Zenão, surge quando se realiza a operação de multiplicação da série geométrica infinita por 𝑎 e efetua-se uma subtração em seguida. Se o conjunto é a representação da série, então, 𝑆 − 𝑎𝑆 = 1 𝑜𝑢 𝑆 = ¹

1−𝑎.

Wertheimer (apud OTTE, p.297) esclarece que a multiplicação da série ) por 𝑎 sendo subtraída da série inicial fornece resultados, mas afirma que uma compreensão real seria concreta, se fosse possivel considerar o que ocorre com o crescimento da série. Assim como, também, o que se pode derivar da lei desse crescimento, tendendo ao seu limite. Dessa forma, o problema seria conduzido a esta outra importante noção, o limite. Porém, ele concorda que muitos se sentem satisfeitos, apenas por chegarem a um resultado utilizando essa fórmula.

Observamos que Wertheimer analisa o fato da necessidade da introdução do novo conceito, que surgiu na elaboração dessa solução, o de limite, para que não fiquemos presos a uma expressão que sugere uma soma, simplesmente. De certa forma, o que ele parece propor é a redução do conceito de "série" ao conceito de "fração", que é considerado por ele o significado básico e essencial.

Compreendemos que se trata de uma perda, que ocorre diante da escolha de qualquer modelo, quando deslocado de uma perspectiva para outra.

55 3.3. Paradoxo de Zenão interpretado como uma relação.

Para Otte (1990), o problema de Aquiles é o exemplo clássico que demonstra a complementaridade entre aritmética e geometria, ou, do sentido do discreto e do contínuo. Para esse argumento, ele apresenta a descrição feita por Max Black⁵³ (1909-1988), sobre o problema, que é da seguinte forma: suponhamos que Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá cem metros à frente antes de iniciar uma corrida. A fim de ganhar, Aquiles deve primeiro compensar o seu espaço inicial, ou seja, a vantagem de cem metros dada à tartaruga, mas quando ele faz isso e chega ao ponto onde a tartaruga começou, o animal teve tempo para avançar dez metros, enquanto Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga avança um metro adiante, Aquiles ao ultrapassa esse espaço a tartaruga avança um décimo à frente, e assim por diante, sem fim. Aquiles nunca alcançará a tartaruga, porque a tartaruga sempre tem uma vantagem, ainda que pequena. O problema de Zenão é um paradoxo do movimento.

Em física, os movimentos são entendidos como funções contínuas de tempo em espaço tridimensional, como, G(t)= (x(t), y(t), z(t)), com t como um parâmetro de tempo. Falamos de um movimento quando os espaços coordenados do corpo mudam ao longo do tempo, indica o livro de física selecionado aleatoriamente. A função contínua como um modelo de movimento realmente reflete muito claramente o duplo caráter desse conceito. Por um lado, ele contém aspectos discretos, tais que permitem calcular valores individuais quando é escrito como uma fórmula. Por outro lado, sublinha aspectos contínuos, por exemplo, a ilustração do gráfico funcional que nos permite uma ideia qualitativa global da função (que é igual a movimento). A função é simultaneamente qualitativa e quantitativa, conceptual e construtiva. É do conhecimento (a ideia geral) e ferramenta (a fórmula de cálculo). (OTTE, 1990, p. 55. tradução nossa)⁵⁴

Ao aceitarmos uma abordagem unicamente discreta, concordamos que Aquiles deve primeiro atingir todos os pontos que a tartaruga já chegou (porque a tartaruga estará sempre um pouco mais à frente). Então o que estaremos dizendo é que Aquiles pode chegar a apenas estes pontos, e que são apenas estas as posições que ele poderá alcançar, ou pelo menos as únicas que determinam sua posição. Nós acorrentamos o movimento de Aquiles no movimento da tartaruga.

53 Max Black (1909-1988)

54 Capítulo completo no ANEXO D

56 Temos que simetrizar nossa perspectiva por adotar um ponto de vista relacional.

Precisamente falando, a tarefa é como se segue: Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga, embora a tartaruga tenha um estádio à frente para começar. Para cada uma das fases, x, (x>0), coberta por Aquiles, a tartaruga tem rastejado a distância f(x)= ^𝑥

10+ 1 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑢𝑚.

Essa função como um modelo do movimento (ou melhor, o movimento da tartaruga relativo à posição “do pé” de Aquiles) agora nos permite reproduzir o paradoxo em um novo nível, por causa de seu duplo caráter.

O aspecto continuo do movimento não contradiz a perspectiva discreta.

(ibid, p.56)

Precisamos da representação do conceito de função. Permanece correto que a tartaruga está em 𝑥_𝑛+1, quando Aquiles atinge 𝑥_𝑛. Focamos o aspecto discreto, (i= 0,1,...), livre do movimento de Aquiles, para ver o movimento como um todo, um contínuo. O movimento de Aquiles relativo ao da tartaruga é uma função afim, e, como ambos os movimentos são uniformes: f(x)= ax+b, isto é, quando Aquiles atinge x, a tartaruga esta em f(x). O problema: “em que ponto Aquiles realmente recupera o atraso com a tartaruga?”, agora é visto como: “qual é o ponto fixo de f(x)?” O ponto fixo pode ser calculado simplesmente como uma função das constantes a e b: x=f(x)=ax+b. Aparentemente resolvemos o problema, assumindo um ponto de vista relacional, meio que, adotando uma “visão de mundo” que fornece objetos, e relações entre objetos, como um estatuto de igualdade ontológica. Essencialmente, isso é o que tem sido chamado de transição do pensamento sobre os objetos para o pensamento relacional.

Esta transição teve lugar no fim do século XVIII. Só que, em que sentido é uma solução? Esta equação não contém um paradoxo na própria equação porque as quantidades e as funções são de tipo lógico diferente (Mehlberg, 1961) falamos como Menger que tem sublinhado repetidamente que: (Menger, 1979, 139) falamos do logarítimo da temperatura, mas não se fala da temperatura do logaritmo. Este problema pode ser resolvido através da adoção de um símbolo permanente “i” para a função identidade, assim reescrita, a equação como i(x)=f(x). Dois diferentes pontos de vista agora são viáveis. (ibid, p.57).

A perspectiva construtivista, que admite que todos os objetos são diferentes, no caso os pontos geométricos, visa construir todos os conceitos inclusive funções, e todo conhecimento, a partir dessa premissa. A identidade de uma função ou a identificação de conceitos, é estabelecida por uma reformulação da equação acima,

57 e, segue-se que: se f(x)=g(x) para todo x, então f=g. Nesse sentido o interesse está contido nos argumentos de Zenão.

A abordagem construtiva visa i=f, ou seja, nenhum movimento é possível.

A abordagem conceitual, ao contrário, tenta estabelecer a diferença de objetos por meio de conceito, no caso, funções, que poderia estar reescrevendo a equação acima na forma f(x)=f(y), para saber em que condições se segue que x=y, [...] A perspectiva construtivista, a partir da diferença e singularidade, pretende argumentar que o movimento é impossível. (mas, i=f pressupõe i(x)=f(x) para todo x), enquanto que a abordagem conceitual mostra a existência de um ponto individual fixo.

Não é, no entanto capaz de identifica-lo sem a ajuda do cálculo construtivo. O paradoxo do movimento leva a uma complementaridade no conceito de “função” (ibid)

A transformação acima mostra a necessidade de ter o conceito da relação funcional, o conceito de função como uma ideia, como um modelo conceitual. Otte faz os seguintes questionamentos: “Como é que essas percepções interagem na promoção do desenvolvimento do conceito de função? Como, por exemplo, é a função identidade, um resumo da entidade definida?” Precisamos dar a propriedade de continuidade ao conceito de determinada função. Mas, o que é função contínua?

“Quantidades com continuidade são, para a intuição, pequenas variações no lado da “entrada”, que resultam em pequenas variações no lado da “saída””. Essa ideia liga o conceito de função ao conceito de lei natural, um fato expresso no princípio da continuidade de Leibniz.

Como não sabemos o que se entende por lei da continuidade, há uma circularidade escondida aqui. É dirigida para a relação funcional ou em direção ao domínio, com respeito ao qual ela está estabelecida? Nada foi de fato mais ambíguo no tempo de Euler do que a expressão função contínua: em 1748, Euler caracterizava como contínuo essas funções que são representadas por uma única expressão algébrica ou analítica. (ibid, pp.57-58).

No final do século XVIII, Cauchy reformula o velho sentido algébrico Euleriano, em termos aritméticos, empregando uma série de técnicas utilizadas por Lagrange, essas, que fôra ponto de vista crucial entre os séculos XVIII e XIX, usada dentro de sua abordagem algébrica-analítico para o cálculo. Por exemplo, as equações numéricas de Lagrange "pela primeira vez apresenta o estudo de aproximações algébricas e as técnicas de desigualdade correspondentes, como um objeto coerente" (Grabiner, 1981, 64, Apud Otte 1990, p.58).

58

A definição de continuidade de Cauchy apresenta o mesmo tipo de circularidade como a expressa pela metafísica de Leibniz. A definição de uma função contínua de Cauchy, por um lado, pressupõe noções muito gerais de correspondência funcional [...]. Por outro lado, fornece essas noções com significado matemático, exprimindo-se em um contexto mais específico de uma versão aritmetizada da noção de continuidade [...] O desenvolvimento da teoria da função e análise desde Cauchy é geralmente mesmo descrito como uma escapada de ambos os elementos da evidência enganosa da intuição espacial e dos grilhões da expressão aritmética ou analítica. Parece apropriado qualificar esses pontos de vista afirmando-se que "escapar" ascendeu, em vez de um aprofundamento das percepções relacionadas pelo emprego de cada uma, para desenvolver a outra de uma forma complementarista (OTTE, 1990, p.58).

Assim, Otte afirma que "A solução complementarista" do paradoxo de Zenão, particularmente, mostra que uma determinada solução para um problema nunca vai se forçar a nós”, mas, precisamos buscar a solução de acordo com um tipo de visão específico de problema, e, para ele, “uma visão ou uma intuição absoluta, não existe”. Ele acrescenta que a busca fenomenologicamente inspirada por uma visão específica, “em vez de uma simples apresentação técnica das questões, que tem estimulado e inspirado interesse nos vários paradoxos do pensamento desde a segunda metade do século XIX” (ibid. 58-59).

3.4. O paradoxo na poesia de Borges⁵⁵

Em diferentes áreas, outros autores apresentam interpretações das ideias fundamentais embutidas no argumento de Zenão, com um foco no pensamento recursivo, ou seja, a repetição ininterrupta de um padrão conhecido, inerente à compreensão do problema, na noção de correspondência entre distâncias e entre conjuntos infinitos.

Para Borges, o paradoxo de Zenão é algo fantástico, revelado em suas incursões pelos processos recursivos, idealizados em situações de uma realidade possível. Borges apresenta uma concordância com Aristóteles, quando afirma que o paradoxo se trata de uma falácia, que se revela quando entendemos que o “para sempre” significa “qualquer intervalo de tempo imaginável”; o argumento é que esse

55 Jorge Luís Borges, poeta e também escritor de ficção, nascido em Buenos Aires em 24 de agosto de 1899, faleceu em 14 de junho de 1986. Professor de literatura inglesa e americana na universidade de Buenos Aires desde 1956, ganhou o prêmio Formentor dos International Publishers em 1961, o primeiro de uma longa série de prêmios.

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“qualquer intevalo de tempo”, não passa, e pode ser dividido por dez, por cem, por mil e, assim, quantas vezes quisermos, mas a “duração total”, não ultrapassa o intervalo de tempo escolhido, que pode ser, apenas, cinco minutos, ou menos, mas o tempo não passa. Para Borges, a cada interpretação no sentido da recursão ao infinito, significa cairmos no abismo, no caso, no abismo do tempo, que, se for dividido infinitamente, fica parado para a eternidade.

Para Borges, Aquiles cai nesse “abismo do tempo” e esses precipícios também ocorrem no espaço. Ele também cita a refutação de Bergson em 1910, no

“Ensayo sobre los datos immediatos de la conciencia”, para comentar sobre o mundo fantástico do paradoxo de Zenão. Nessa refutação ao paradoxo, encontra-se declarado que encontra-se pode dividir um objeto, mas não um ato. Então, do hábito de colocar o ato no espaço, na reta, e da confusão entre movimento e espaço percorrido, surgem os sofismas da escola eleática. Mas, na verdade, cada passo de Aquiles é um simples ato indivisível; e depois de um dado número desses atos, Aquiles se adiantaria à tartaruga. A ilusão dos eleatas é identificar essa série de atos individuais próprios como o de Aquiles e o da tartaruga, que são distintos, como o espaço homogêneo que tomava como apoio. O ato indivisível de Aquiles é diferente do ato indivisível da tartaruga que, por sua vez, é diferente das indivisíveis mônadas que compunham a reta dos antigos pitagóricos.

Acrescenta-se a isso que só o espaço se presta a um modo de composição e decomposição arbitrárias, confundindo-o, assim, com o movimento. (Dados imediatos. Versão espanhola de Barnes, p.89, 90).

Em suas conhecidas obras literárias, como por exemplo, O aleph (BORGES, 2008) O livro de areia (BORGES, 2009), Prólogos, com um prólogo de prólogos, (BORGES, 2010), apresenta apelo ao pensamento recursivo e a compreensão do infinito atual, ou infinito real, para expressar algumas das suas ideias fantásticas, como a do abismo. Em O aleph, Borges se refere a um baú em um porão que contém todo o universo. Nessa exposição, ele faz uma analogia com a correspondência de pontos existentes em um volume finito, com os pontos encontrados em todo espaço infinito. O volume finito que contém todos os pontos do infinito, está representado pelo interior do baú, preenchido por artefatos. Ele menciona o fato de que o universo todo tem pontos correspondentes dentro do baú.

Essa é mais uma de suas analogias fantásticas, que no caso, se trata da alusão ao

60 fato matemático que considera que entre os pontos zero e um da reta numérica que representa os números Reais, encontramos infinitos pontos, correspondentes ao infinito que encontramos em toda reta.

No Livro de areia, Borges cita a possibilidade da existência de um livro com infinitas páginas, idealizando o livro como um sólido composto por infinitos planos.

Nas duas situações, Borges atenta para o fato de que a transferência da ideia matemática para artefatos humanos, degenera para pensamentos considerados incompreensíveis, em alguns estados de lucidez humana, que existem apenas no mundo mágico, sugerindo que a busca das tais impossibilidades podem levar a devaneios, sem uma lógica que acompanhe a intuição humana.

Em Prólogos, com um prólogo de prólogos, o abuso do uso do pensamento recursivo aparece desde o título, quando sugere uma literatura que faz uma alusão a alusões anteriores, num exagero para anunciar prólogos de prólogos selecionados em suas próprias histórias.

Para Borges, todas as refutações são importantes para a argumentação de que Zenão é incontestável, salvo que confessemos a idealização do espaço e do tempo. Aceitemos o idealismo, aceitemos o crescimento concreto do percebido, e evitaremos a população dos abismos do paradoxo.

3.5. Aquiles, a Tartaruga e Lewis Carrol

No diálogo - O que a Tartaruga disse para Aquiles, ao fazer uma análise na perspectiva da lógica pura, Carroll (1905) afirma que mesmo o mais perfeito sistema de axiomas não é suficiente para determinar a verdade de um sistema da lógica, ou seja, para os pensamentos com argumentos no infinito, a quantidade de axiomas, ou premissas, serão sempre insuficientes. Para exemplificar, ele usa a proposição de Euclides e expõe: “considerando (A), (B) e (Z) proposições, dizemos:

(A) coisas que são iguais a mesma coisa são iguais entre si; (B) os dois lados de um triângulo são iguais a uma mesma coisa; (Z) Os dois lados de um triângulo são iguais”. Muitos concordam, ao considerarem a lógica pura, que (Z) segue logicamente de (A) e (B).

Carrol questiona sobre a possibilidade de um leitor, que ainda não aceitou (A) e (B) como verdade, aceitar uma sequência de proposições como validade. E,

61 em uma tentativa de convencer logicamente esse outro tipo de leitor, Aquiles, nesse diálogo construído por Carroll, diria para a tartaruga: - agora eu vou escrever como eu falo: (A) coisas que são iguais a mesma coisa são iguais entre si; (B) os dois lados de um triângulo são iguais a uma mesma coisa; (C) se A e B são verdade Z deve ser verdade. (Z) Os dois lados de um triângulo são iguais. A tartaruga diz: - eu posso aceitar A, B e C como verdade e não aceitar Z, posso não? Você pode, Aquiles admitiu, ainda, que o evento seja possível, mas eu posso acrescentar sempre mais uma proposição, por exemplo, a proposição (D) se A e B e C são verdade, Z deve ser verdade.

Assim, nos deparamos com uma delicada e necessária distinção entre verdade e certeza, no pensamento lógico, e diante dos argumentos apresentados tendemos a entrar em uma regressão infinita e ficarmos presos a uma argumentação como em Zenão. Nenhum sentido é adicionado a uma proposição p apenas pelas palavras é verdade.

Mas cogitar em pensamento recursivo e lógica dedutiva requer pensar na necessidade de infinitas proposições. Lewis Carrol transforma o paradoxo de Zenão em um problema de comunicação.

Acrescentamos que Lewis Carroll demonstrou o mesmo regresso infinito referente à comunicação, isto é, signos se referem a outros objetos, ad infinitum, e o faz em ambas direções, tanto em direção ao objeto, como em direção ao interpretante. Carroll mostra essas duas direções que toma um signo em seu pequeno tratado – What the tortoise Said to Achilles, (CARROLL, 1905).

3.6. Gilbert Ryle e o quebra cabeça filosófico.

Ryle (1993), na sua obra Dilemas, aponta necessárias diferenças a serem consideradas, quando esse raciocínio recursivo é aplicado em diferentes situações, como por exemplo, em um computador, subordinado a um programa que leve a um padrão de repetição, numa corrida como a de Aquiles e a Tartaruga, ou na subdivisão de um bolo com seu volume conhecido.

Ryle argumenta que existem linhas de pensamento que não são soluções antagônicas do mesmo problema. No entanto, a primeira questão que nos ocorre é que precisamos adotar uma delas e isso pode nos comprometer a rejeitar a outra.

62 As questões que pertencem a diferentes domínios do pensamento frequentemente diferem não só quanto aos tipos de assunto a que se referem, mas, também, quanto aos tipos de pensamento que requerem. (ibid, p.15)

Quando tomamos a referência teórica Aristotélica, atribuímos que cada conceito deve ser de certa Categoria. Nos dias de hoje, encontramos pensadores que consideram esse referencial teórico escasso e outros, um referencial pródigo.

Esses últimos afirmam, diante de qualquer conceito, estes serem uma qualidade, e se não for uma qualidade, então, deverá ser uma Relação. (ibid, p.17)

Ele faz uma declaração a respeito da existência de diferenças entre tipos de pensamentos e esclarece que:

O tipo de pensamento que promove a biologia não é o tipo de pensamento que resolve as argumentações e contra-argumentações entre a biologia e a física. Essas questões inter-teóricas não são questões internas a essas teorias. Não são questões biológicas ou físicas. São questões filosóficas.

(RYLE, 1993, p.22)

Para Ryle, o paradoxo de Zenão merece ser apontado como o paradigma de um quebra-cabeça filosófico e não um problema aritmético.

[...] não se deve procurar nenhuma solução recorrendo, com o maior cuidado, a cálculos pelos quais se estabeleça que Aquiles alcançará a tartaruga em, digamos, exatamente seis minutos. Tampouco se encontrará uma solução reconsiderando o argumento que prova que o avanço 1 mais o avanço 2, mais o avanço 3, etc, nunca somará a distância total a ser coberta por Aquiles a fim de alcançar a tartaruga”. (ibid, p.61)

De acordo com o tratamento de Zenão da corrida, o primeiro avanço que Aquiles realiza mais o segundo, mais o terceiro, etc., nunca somam a distância que permitiria alcançar a tartaruga. Teremos tantas partes quantas quisermos, mas, em nenhuma etapa, podemos dizer que reunimos o total delas. Pois em cada etapa há uma parte que fica pendente.

[...] a corrida de Aquiles não é a soma da metade, mais o quarto, mais o oitavo dela, etc, que resolvemos nesta ou naquela etapa deixar de um lado, mas é a soma de todas essas frações mais o remanescente.

Tampouco esse remanescente é uma das dimensões misteriosas ou indefiníveis. Ele tem exatamente as mesmas dimensões que a última fração que separamos antes de decidir parar de cortar fatias. (ibid, p.75)

63 Que essa divisão pode prosseguir ad infinitum é uma frase alarmante, mas significa, apenas, que, após cada corte, é deixado um resto para ser dividido por um corte subsequente. (ibid)

Esse argumento no problema de Zenão torna-se paradigmático, inclusive porque é de aplicação muito geral. Uma corrida envolve a cobertura de uma distância num certo tempo. Parte da confusão foi se deveríamos focar metros ou segundos. Mas a argumentação aplica-se a casos em que não entra em questão a passagem de tempo, como por exemplo, no caso da bissecção de um bolo.

Também se aplica em casos em que não entra em questão o espaço percorrido,

Também se aplica em casos em que não entra em questão o espaço percorrido,