A Mecˆ anica dos Fluidos Computacional

Cap´ıtulo

1.2 A Mecˆ anica dos Fluidos Computacional

A mecˆanica dos fluidos computacional ´e definida como o conjunto de metodologias que permitem simular computacionalmente o escoamento de fluidos [Hirsch, 2007].

Pode-se classificar o estudo de CFD de duas formas: os métodos experimentais e os métodos teóricos. Em ambos, busca-se representar, através de um modelo ma-temático, um fenômeno f´ısico o mais próximo da realidade e assim estudá-lo e conhe-cer suas caracter´ısticas e variáveis que mais o influenciam. Desta forma, a mecânica dos fluidos pode ser utilizada em vários fenômenos da natureza, nos quais pode-se citar o estudo de escoamentos fundamentais como camada limite, escoamentos cisa-lhantes como jatos, esteiras, ou mesmo escoamentos complexos, que são utilizados na indústria como parte de projetos de aeronaves, ve´ıculos, máquinas térmicas, bombas, edifica¸cões, dentre outros.

Grande parte da necessidade de simula¸cão numérica em CFD se deve ao fato de que as equa¸cões de Navier-Stokes raramente têm uma solu¸cão exata conhecida, a menos de casos extremamente simplificados. Em aplica¸cões de mecânica dos fluidos pretende-se, invariavelmente, reproduzir virtualmente o escoamento de um ou mais fluidos em um meio, que pode ser finito ou infinito, conter obstáculos, envolver altas velocidades e portanto grandes gradientes próximos a esses obstáculos, ser confinado ou ainda apresentar superf´ıcies livres, entre uma infinidade de caracter´ısticas próprias de cada escoamento.

Uma grande potencialidade da CFD é a possibilidade de simular determinadas opera¸cões nas quais seriam necessárias constru¸cões de unidades, riscos de acidentes, tempo e recursos financeiros consideráveis. Um exemplo disso é a utiliza¸cão de túneis de vento no estudo aerodinâmico de automóveis e aviões, onde tal estudo pode ser feito inicialmente em simuladores, como ferramentas complementares, utilizando recursos financeiros bem mais reduzidos de forma segura e intervalos de tempos inferiores. Essa

area ganhou muitos adeptos, tanto que atualmente essas simula¸c˜oes s˜ao muito

utili-zadas por engenheiros, pesquisadores e projetistas para a previsão do comportamento de um determinado produto de engenharia, ou uma situa¸cão f´ısica sendo imposta as devidas condi¸cões de contorno. Outros exemplos em que também se utiliza a CFD são: o cálculo de sustenta¸cão e arrasto em foguetes; escoamentos em torno de m´ısseis;

escoamento de ar no interior de motores de combustão interna; escoamento de ar de resfriamento dentro de equipamentos eletrônicos e dispersão de poluentes dentro de rios, oceanos e no ar atmosférico.

A mecânica dos fluidos estuda e utiliza métodos numéricos e computacionais para a solu¸cão das equa¸cões diferenciais parciais (EDPs) associadas aos modelos ma-temáticos. Sistemas formados por equa¸cões diferencias parciais podem ser classificados como: parabólicos, hiperbólicos ou el´ıpticos. Esta classifica¸cão revela caracter´ısticas espec´ıficas do problema que refletem nos métodos numéricos apropriados para sua resolu¸cão.

As equa¸cões de Navier-Stokes apresentam uma classifica¸cão mista, dependendo das condi¸cões do problema pode ser hiperbólica, parabólica ou el´ıptica. As EDPs resolvidas são normalmente as equa¸cões de quantidade de movimento, massa, energia.

No presente trabalho as equa¸cões estudadas são as equa¸cões de Euler. Existem várias formas de resolver essas equa¸cões, dentre elas pode-se citar os métodos das diferen¸cas finitas, elementos finitos, volumes finitos, entre outros.

O método de diferen¸cas finitas (MDF) consiste em aproximar as derivadas das equa¸cões governantes por meio de diferen¸cas finitas, que são obtidas através de expansões em séries de Taylor, truncadas no n´ıvel da ordem do erro desejada [Fortuna, 2000], [Ferziger and Peric, 1997]. Esse método pode alcan¸car uma alta or-dem de convergência utilizando fórmulas de alta ordem, sua utiliza¸cão é mais comum a malhas estruturadas em geometrias simples.

O método de elementos finitos (MEF) surgiu para análise de comportamento es-trutural e desde então é usado para resolver equa¸cões diferenciais parciais que apare-cem nas áreas de mecânica dos sólidos, elasticidade e na dinâmica dos fluidos. Sua

1.2 A Mecânica dos Fluidos Computacional 7 aplica¸cão tem como base subdividir o dom´ınio do problema em pequenas regiões (ele-mentos) e em cada um destes subintervalos a solu¸cão é aproximada através de uma fun¸cão, normalmente um polinômio [Zienkiewicz and Taylor, 2000]. Uma importante vantagem apresentada por este método é sua habilidade de lidar com geometrias com-plexas, uma vez que técnicas para gera¸cão de malhas são bem difundidas.

O método de volumes finitos (MVF) consiste em uma integra¸cão das equa¸cões governantes do escoamento de fluido sobre todos os volumes de controle finitos que compõem o dom´ınio de interesse. A discretiza¸cão requer a substitui¸cão dos termos da equa¸cão integrada por uma variedade de aproxima¸cões do tipo das diferen¸cas finitas. Isto converte as equa¸cões integradas em sistemas de equa¸cões algébricas [Patankar, 1980], [Maliska, 1995]. O método de volumes finitos pode ser aplicado a qualquer tipo de malha, por isso adapta-se a geometrias complexas.

Este trabalho utiliza as equa¸cões de Euler discretizadas pelo método de volumes finitos. No caso compress´ıvel, essas equa¸cões são hiperbólicas, apresentando termos convectivos. Estes termos podem ser discretizados por técnicas centradas ou des-centradas (upwind). A discretiza¸cão utilizando técnicas centradas apresentam ter-mos instáveis, sendo necessária a utiliza¸cão de dissipa¸cão artificial para estabilizar o método. Já as técnicas upwind apresentam na própria discretiza¸cão, termos estabili-zantes, não necessitando de dissipa¸cão adicional.

Os métodos ou esquemas centrados utilizam uma discretiza¸cão espacial centrada no ponto ou célula em questão. Desta forma, o estêncil da aproxima¸cão utiliza in-forma¸cão de todos os vizinhos à célula em questão de forma similar. Dentre esses esquemas, alguns foram desenvolvidos por Lax e Wendroff [Lax and Wendroff, 1960], porém seus métodos são de primeira ordem de precisão. Mais adiante Briley [Briley and McDonald, 1975] aplicou a segunda ordem de precisão para esquemas centrados. Beam e Warming [Beam and Warming, 1976] desenvolveram esquemas centrados impl´ıcitos no tempo e Jamesonet al. [Jameson et al., 1981] desenvolveram um esquema centrado expl´ıcito no tempo utilizando o método de Runge-Kutta de

cinco est´agios para a integra¸c˜ao temporal.

Dentre os m´etodos upwind, pode-se citar o trabalho de Courant et al.

[Courant et al., 1952] como um dos pioneiros nesta área. No desenvolvimento de métodos upwind, Godunov [Godunov, 1959] propôs a utiliza¸cão do problema de Rie-mann exato para modelar o fluxo entrando ou saindo através de uma interface para o caso unidimensional das equa¸cões de Euler.

Van Leer [van Leer, 1977] desenvolveu um método upwind de primeira ordem de precisão, a partir dos trabalhos de Godunov. Van Leer [van Leer, 1979] discute sobre a obten¸cão de altas ordens de precisão para esses métodos. Seguindo o mesmo assunto, Roe [Roe, 1981] desenvolveu o método upwind tipo Godunov, propondo a solu¸cão de um problema de Riemman aproximado, sendo um método do tipo separa¸cão de diferen¸ca de fluxo (Flux-Difference Splitting).

No documento Estruturas de dados topológicas aplicadas em simulações de escoamentos compressíveis utilizando volumes finitos e métodos de alta ordem (páginas 28-31)