A rela¸c˜ ao entre formas canˆ onicas e a classifica¸c˜ ao de Petrov

  (B.22)

e Ψ⁽¹⁾₄ = Ψ4. Logo, se b = b1, Ψ⁽¹⁾₀ = Ψ₁⁽¹⁾= Ψ⁽¹⁾₂ = Ψ⁽¹⁾₃ = 0 e Ψ4 ´e o ´unico escalar n˜ao-zero que resta.

(f) Petrov tipo 0 - Nesse caso, o espa¸co-tempo ´e conformemente plano, tal que todos os escalares de Weyl s˜ao todos zero.

Os seis diferentes tipos da classifica¸c˜ao de Petrov podem ser arranjados em uma pirˆ a-mide hier´arquica (Figura B.1). Nesse diagrama, elaborado por Penrose [38], as setas apontam na dire¸c˜ao do espa¸cos de maior especialidade.

B.3 A rela¸c˜ao entre formas canˆonicas e a classifica¸c˜ao de Petrov

A classifica¸c˜ao para os escalares de Weyl descrita neste apˆendice nada mais ´e que uma subclassifica¸c˜ao das forma canˆonicas do tensor de Riemann discutidos no apˆendice A. Nesta se¸c˜ao ser´a discutida como que estas duas formas de caracterizar o campo gravitacional est˜ao conectadas. Toda a an´alise aqui descrita ´e base em [39].

Ao considerar um espa¸co-tempo sem distribui¸c˜ao de mat´eria e assintoticamente plano, o tensor Riemann e o tensor de Weyl se tornam iguais. Neste caso, a busca por uma forma canˆonica para o tensor de Riemann se reduz a achar as matriz e autobivetores tais que:

˜

C_µνρσP^ρσ = λP_µν, (B.23)

onde ˜Cµνρσ = Cµνρσ+ iC_µνρσ^∗ ´e o tensor de Weyl complexo (2.50). Ao contrair a equa¸c˜ao acima com a quadri-velocidade do observador que mede o campo, pode-se mostrar que ela se reduz a forma Q_µνP^ν = λP_µ, (B.24) onde Pµ= Pµνu^ν (B.25) e Q_µν = ˜C_µρνσu^ρu^σ ≡ E_µν + iB_µν. (B.26) Os tensores E_µν e B_µν s˜ao conhecidos como as partes el´etricas e magn´eticas do campo gra-vitacional [37, 39], respectivamente. A quantidade definida em (B.26) satisfaz as seguintes

propriedades

Q^µ_µ = 0, Q_µν = Q_νµ e Q_µνu^ν = 0, (B.27) podendo ser vista como uma matriz sim´etrica de terceira ordem com tra¸co zero. Al´em disso, ao combin´a-la com a equa¸c˜ao (2.50) se pode extrair uma representa¸c˜ao matricial para Qµν em termos dos escalares de Weyl:

Q_µν =      Ψ₂− 1 2(Ψ₀+ Ψ₄) ¹₂i(Ψ₄− Ψ₀) Ψ₁− Ψ₃ 1 2i(Ψ₄− Ψ₀) Ψ₂+₂¹(Ψ₀+ Ψ₄) i(Ψ₁+ Ψ₃) Ψ₁− Ψ₃ i(Ψ₁+ Ψ₃) −Ψ₂      . (B.28)

Desse modo, analisar o campo gravitacional a partir da equa¸c˜ao de autovalor (B.23) ou (B.24) ´e totalmente equivalente. Por outro lado, tomando como base a equa¸c˜ao (B.24), se pode extrair algumas informa¸c˜oes adicionais a respeito dos autovalores. Por exemplo, uma vez que Q_µν ´e uma matriz de terceira ordem de tra¸co zero, ent˜ao ela deve possuir apenas trˆes autovalores (λ₁, λ₂, λ₃) que obedecem ao seguinte v´ınculo:

3 X

i=1

λ_i = 0. (B.29)

Assim, o espa¸co-tempo ´e dito ser de tipo I na classifica¸c˜ao de Petrov se os trˆes autovalores s˜ao distintos. Se dois dos autovalores da matriz Q_µν s˜ao iguais, ent˜ao o espa¸co-tempo dever´a ser ou do tipo II ou do tipo D. E por ´ultimo, quando os trˆes autovalores s˜ao todos iguais (neste caso, todos devem ser zero por (B.29)), o espa¸co-tempo dever´a ser do tipo III, N ou O.

O crit´erio que define a que classe de campo gravitacional determinado tipo de Petrov pertence provem de obter os autovetores da equa¸c˜ao de autovalor (B.24). Quando todos os autovetores s˜ao distintos (campo gravitacional tipo I) o espa¸co ´e Petrov do tipo I ou tipo D, neste caso, o tipo D ´e degenerado, pois h´a dois autovalores iguais. Para dois autovetores n˜ao-ortogonais (campo gravitacional tipo II) o espa¸co ser´a algebricamente ou do tipo II ou do tipo N degenerado e, para trˆes autovetores n˜ao-ortogonais (campo gravitacional tipo III) o espa¸co-tempo ´e Petrov tipo III. Um resumo dessa an´alise ´e apresentada na tabela B.1.

Desse modo, fica ent˜ao estabelecida a rela¸c˜ao entre os diferentes tipos de campo gra-vitacional e a classifica¸c˜ao alg´ebrica de espa¸cos-tempos de Petrov. O primeiro trabalho que relacionou estas duas classifica¸c˜oes foi publicado em 1960 por Roger Penrose [38]. Uma an´ a-lise similar a que foi apresentada nesta se¸c˜ao pode ser encontrada em trabalhos recentes

como [40]. Al´em disso, apesar do estudo aqui realizada contemplar apenas espa¸cos-tempo assintoticamente planos, a ideia ´e totalmente geral podendo ser estendida para espa¸cos-tempo assintoticamente anti-de Sitter, por exemplo.

Campo Gravitacional Classifica¸c˜ao de Petrov Autovalores Tipo I λ₁ 6= λ₂ 6= λ₃ (n˜ao-degenerado) Tipo I Tipo D λ₁ = λ₂ = −^λ₂, λ₃ = λ (degenerado) Tipo II λ₁ = λ₂ = −^λ₂, λ₃ = λ (n˜ao-degenerado) Tipo II Tipo N λ1 = λ2 = λ3 = 0 (degenerado)

Tipo III Tipo III λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0

(n˜ao-degenerado)

C A interpreta¸c˜ao geom´etrica dos escalares ´oticos

Neste apˆendice o significado geom´etrico dos coeficientes de spin ´e investigado. Os efeitos destes coeficientes surgem, basicamente, quando se estuda o comportamento dos vetores l ou n ao serem transportados ao longo de uma trajet´oria. A primeira se¸c˜ao desse apˆendice se destina ent˜ao, a investigar o significado f´ısico dos coeficientes de spin, bem como, introduzir os conhecidos escalares ´oticos do formalismo de Newman-Penrose cujo significado geom´etrico foi proposto em um teorema por Sachs em 1961 [27]. Na se¸c˜ao seguinte ´e ent˜ao apresentada, a partir de algumas hip´oteses simplificadoras, por´em sem perda de generalidade, uma prova para este teorema.

C.1 Os coeficientes de spin e o teorema de Sachs

Ao investigar a propaga¸c˜ao dos vetores da base nula ao longo de dire¸c˜oes preferenciais ´e poss´ıvel extrair uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para os coeficientes de spin. Em particular, quando ´e analisado a derivada covariante de um vetor qualquer da base nula, e(a), ao longo da dire¸c˜ao do vetor l:

e(a)µ;νl^ν = −γ(a)(b)(1)e(b)

µ. (C.1)

Ao considerar e(a) = e(1) = l, obt´em-se que

l_µ;νl^ν = −γ(1)(b)(1)e(b)

µ= −γ(1)(2)(1)l_µ+ γ(1)(3)(1)m¯_µ+ γ(1)(4)(1)m_µ. (C.2) Utilizando a defini¸c˜ao dos coeficientes de spin (3.50) ´e poss´ıvel escrever a equa¸c˜ao anterior na forma

l_µ;νl^ν = −(ε + ε^∗)l_µ+ κ ¯m_µ+ κ^∗m_µ. (C.3) Considerando ent˜ao os demais vetores da base, tem-se que

n_µ;νl^ν = +(ε + ε^∗)n_µ− π^∗m¯_µ− πm_µ; (C.4) m_µ;νl^ν = −(ε − ε^∗)m_µ− π^∗l_µ+ κn_ν. (C.5)

A partir da equa¸c˜ao (C.3) se conclui que o campo vetorial l representa uma congruˆencia de geod´esicas nulas se, e somente se, κ = 0; e, al´em disso, essas geod´esicas s˜ao afinadamente parametrizadas se, e somente se, ε + ε^∗ = 0. Para κ = 0, pode-se fazer zero a parte real de ε

mediante uma rota¸c˜ao de classe III, a qual n˜ao afeta a dire¸c˜ao l e nem a nulidade de κ. As propriedades da congruˆencia de geod´esicas nulas podem ser investigadas a partir da equa¸c˜ao

l_µ;ν = e(a)

µγ(a)(1)(b)e(b)

ν. (C.6)

Escrevendo esta equa¸c˜ao em termos dos coeficientes de spin e dos vetores da base t´etrada, encontra-se

l_µ;ν = − (ε + ε^∗)l_µn_ν − (γ + γ^∗)l_µl_ν + (α^∗+ β)l_µm¯_ν + (α + β^∗)l_µm_ν + κ ¯m_µn_ν + κ^∗m_µn_ν − σ ¯m_µm¯_ν− σ^∗m_µm_ν + τ ¯m_µl_ν + τ^∗m_µl_ν − ρ ¯m_µm_ν − ρ^∗m_µm¯_ν.

(C.7)

Se l for escolhido como um campo vetorial tangente a uma congruˆencia de geod´esicas nulas afinamente parametrizadas, ent˜ao ε = κ = 0, e a equa¸c˜ao (C.7) se torna igual a

l_µ;ν = − (γ + γ^∗)l_µl_ν + (α^∗+ β)l_µm¯_ν + (α + β^∗)l_µm_ν − σ ¯m_µm¯_ν − σ^∗m_µm_ν+ τ ¯m_µl_ν+ τ^∗m_µl_ν− ρ ¯m_µm_ν− ρ^∗m_µm¯_ν. (C.8) Logo, l_[µ;ν] = (α^∗+ β − τ )l_[µm¯_ν]+ (α + β^∗− τ^∗)l_[µm_ν]− (ρ − ρ^∗) ¯m_[µm_ν] (C.9) e l_[µ;νl_σ] = −(ρ − ρ^∗) ¯m_[µm_νl_σ]. (C.10)

Dessas equa¸c˜oes se conclui que o campo vetorial l representa uma hipersuperf´ıcie-ortogonal, isto ´e, proporcional ao gradiente de uma fun¸c˜ao escalar se, e somente se, ρ = ρ^∗; e adicional-mente, l ´e igual ao gradiente de uma fun¸c˜ao escalar se, e somente se, τ = α^∗+ β.

Al´em disso, a partir da equa¸c˜ao (C.8) se pode extrair os seguintes resultados:

1 2l^µ_;µ = ¹₂(ρ + ρ^∗); (C.11) 1 2l_[µ;ν]l^µ;ν = −¹₄(ρ − ρ^∗)²; (C.12) 1 2l_(µ;ν)l^µ;ν = |σ|²+ ¹₄(ρ + ρ^∗)². (C.13) Usualmente, define-se ¹₂lµ ;µ ≡ θ e 1

2l_[µ;ν]lµ;ν = ω2. Com essa escolha, pode-se combinar as equa¸c˜oes (C.11) e (C.12) e isolar |σ|² na equa¸c˜ao (C.13), obtendo

1+θdv 1 1+(θ+|σ|)dv 1+(θ−|σ|)dv 1/2arg σ dv ω 1 (a) (b) (c) (d)

Figura C.1: Os escalares ´oticos: (a) expans˜ao, (b) rota¸c˜ao, (c) magnitude e (d) fase do cisalhamento. Extra´ıda de Miranda (2003)

As quantidades θ, ω e σ s˜ao conhecidas como escalares ´oticos. A interpreta¸c˜ao geom´etrica desses escalares est´a contida no seguinte teorema proposto por Sachs [27]:

TEOREMA C.1. Se um pequeno objeto em uma congruˆencia de geod´esicas nulas projeta uma sombra sobre um anteparo, todas as por¸c˜oes da sombra acertam o anteparo simultane-amente. A forma, tamanho e orienta¸c˜ao da sombra dependem somente da localiza¸c˜ao do anteparo, n˜ao da velocidade dele. Se o anteparo est´a a uma distˆancia infinitesimal dv do objeto, ent˜ao a sombra ´e expandida por θdv, rodada por ωdv e cisalhada por |σ|dv (Figura C.1).

Uma vez que σ ´e complexo, o significado de sua fase ´e `a seguinte. Ao considerar no experimento acima um objeto circular no plano 1 m − ¯m, ent˜ao o efeito de cisalhamento deforma este c´ırculo, resultando na proje¸c˜ao de uma elipse sobre o anteparo. O ˆangulo formado pelo eixo menor da elipse com a parte real de m ´e igual a metade do argumento de σ (Figura C.1).

Finalmente, a interpreta¸c˜ao geom´etrica dos coeficientes ν, γ, τ , µ e λ s˜ao as mesmas que os coeficientes −κ^∗, −ε^∗, −π^∗, −ρ^∗ e −σ^∗, respectivamente, por´em, deve-se tomar o vetor n como sendo o vetor a ser deslocado paralelamente ao longo de uma determinada dire¸c˜ao nula.