Nesta se¸c˜ao a interpreta¸c˜ao geom´etrica para os escalares ´oticos ´e investigada. Para isto, ser´a verificado o quanto um vetor Z que conecta duas geod´esicas nulas afinamente parametrizadas varia ao ser transportado. Ao considerar que o vetor tangente as geod´esicas 1Aqui, o plano m − ¯m ´e perpendicular `a proje¸c˜ao espacial das geod´esicas nulas no sistema de repouso do objeto.
nulas ´e l. Neste caso, l pode ser escrito
lµ = dx µ
ds , (C.15)
onde s ´e um parˆametro afim ao longo da curva xµ(s). Neste caso, Z e l s˜ao ortogonais entre si e consequentemente, o comutador [l, Z] ´e nulo. Desta condi¸c˜ao se conclui que:
lνZµ;ν = Zνlµ;ν. (C.16)
Como foi dito antes, estamos interessados em verificar o quanto o vetor Z varia ao ser transportado paralelamente ao longo de xµ(s). No calcular desta varia¸c˜ao, utiliza-se a defini¸c˜ao de derivada covariante direcional, esta defini¸c˜ao segue abaixo
D ds(Z µ) ≡ dx ν ds Z µ ;ν = lνZµ;ν = Zνlµ;ν, (C.17) onde na equa¸c˜ao acima, usou-se as equa¸c˜oes (C.15) e (C.16). A partir da equa¸c˜ao (C.17), pode-se inferir que o vetor Z ap´os um deslocamento infinitesimal ds ao longo da curva, assumir´a `a seguinte forma
Zµ+ D(Zµ) = (δµν + lµ;νds)Zν (C.18) Na equa¸c˜ao (C.18), lµ;ν representa um tensor de segunda ordem. Tensores desta ordem podem ser decompostos nas partes: anti-sim´etrica, sim´etrica sem tra¸co e tra¸co. Em teoria de grupos, estas partes s˜ao conhecidas como partes irredut´ıveis frente a determinado grupo de simetrias. Cada parte irredut´ıvel ´e linearmente independente da outra. Dessa forma, quando um tensor ´e decomposto em suas varias partes irredut´ıveis, ´e poss´ıvel estud´a-las individual-mente simplificado an´alise tensorial. Decompondo lµ;ν em partes irredut´ıveis, obt´em-se
lµ,ν = ωµν+ θPµν+ σµν+ lµ;λnλlν. (C.19) onde, ωµν = 1 2(lµ;λP λ ν− lν;λPλµ), (C.20) e σµν = θµν − θPµν. (C.21)
disso, 2θ = lµ
;µ e θµν ´e sua parte puramente sim´etrica definida por θµν = 1
2(lµ;λP λ
ν + lν;λPλµ). (C.22)
O tensor Pµν ´e o tensor projetor ortogonal ao plano formado pelos vetores nulos (l,n), logo, possui a forma
Pµν = gµν− lµnν − nµlν. (C.23) Obviamente, θ ´e um dos escalares ´oticos. ´E poss´ıvel mostrar que, a partir das equa¸c˜oes (C.20) e (C.21) os escalares ´oticos ω e |σ| s˜ao definido como
ω2 = 1 2ω
µνωµν e |σ|2 = 1 2σ
µνσµν. (C.24)
Finalmente, ao combinar as equa¸c˜oes (C.18) e (C.19) e, por simplicidade, for tomado Z como ortogonal tamb´em a n, conclui-se que
Zµ+ D(Zν) = (δµν + ωµνds + θPµνds + σµνds)Zν. (C.25)
A equa¸c˜ao (C.25) determina o quanto Z varia a medida que o feixe de luz se desloca na dire¸c˜ao de l. Uma vez que esta equa¸c˜ao est´a em termos de quantidades irredut´ıveis ´e poss´ıvel estudar os efeitos que cada uma destas quantidades exercem sobre o vetor posi¸c˜ao individualmente. Segue ent˜ao esta an´alise.
(a) σµ
ν = θ = 0. Nesta situa¸c˜ao, a equa¸c˜ao (C.25) se reduzir a:
Zµ+ D(Zµ) = (δµν + ωµνds)Zν. (C.26)
Em geral, ao considerar Z ortogonal a l e a n significa confin´a-lo ao plano dos vetores tipo-espa¸co (e(2), e(3)). Por´em, para o presente caso, ser´a considero, al´em disso, que Z esta inicialmente ao longo da dire¸c˜ao e(3). Desse modo, as componentes deste vetor ap´os um deslocamento infinitesimais sobre a congruˆencia de geod´esicas nulas s˜ao:
Z2+ D(Z2) = D(Z2) = ω23dsZ3; Z3+ D(Z3) = Z3. (C.27)
A partir deste resultado fica claro que o incremento D(Z) leva a uma rota¸c˜ao do vetor Z sobre o plano (e(2), e(3)). Para uma rota¸c˜ao infinitesimal, ´e poss´ıvel estimar o ˆangulo
de rota¸c˜ao da seguinte maneira:
ξ ≈ tg ξ = D(Z 2)
Z3 = ω23ds. (C.28)
Por outro lado, usando a defini¸c˜ao ω2 ≡ 1
2ωµνωµν, ´e f´acil mostrar que ω = ω2
3e, portanto
ξ = ω ds, (C.29)
ou seja, o escalar ´otico ω gera uma rota¸c˜ao sobre o vetor Z em um ˆangulo ξ = ω ds. (b) σµν = ωµν = 0. Para este caso, `a equa¸c˜ao (C.25) se simplifica a:
Zµ+ D(Zν) = (δµν + θPµνds)Zµ. (C.30)
Escolhendo desta vez o vetor Z, tal que Zµ = (0, 0, Z2, Z3), ent˜ao as componentes deste vetor ap´os um deslocamento infinitesimal s˜ao
Za+ D(Za) = (1 + θds)Za, a = 2, 3. (C.31)
Com base nesta equa¸c˜ao ´e poss´ıvel afirma que θ ds ´e capaz de gerar um efeito de expans˜ao (θ > 0) ou contra¸c˜ao (θ < 0) sobre o vetor posi¸c˜ao.
(c) θ = ωµν = 0. Por esta condi¸c˜ao a (C.25) assume a forma
Zµ+ D(Zν) = (δµν+ σµνds)Zν. (C.32)
Se novamente se escolher Zµ = (0, 0, Z2, Z3), ent˜ao as suas componentes ap´os um des-locamento infinitesimal ao longo de lµ s˜ao
Z2 + D(Z2) = (1 − σ33ds)Z2; Z3+ D(Z3) = (1 + σ3
3ds)Z3,
(C.33)
onde se leva em conta que σµν ´e sim´etrico, mas de tra¸co zero, de modo que σ2
2 = −σ3 3. Ao levar em considera¸c˜ao o fato que |σ|2 = 12σµνσµν, ´e direto mostrar que |σ| = ±σ3
3. Tomando ent˜ao o sinal positivo, obt´em-se que
Z2+ D(Z2) = (1 − |σ|ds)Z2; Z3+ D(Z3) = (1 + |σ|ds)Z3.
Obviamente, se fosse encolhido o outro sinal para |σ| somente haveria uma troca de sinais nos m´odulos de (C.34). Note que, enquanto uma componente deste vetor aumenta ao longo de uma dire¸c˜ao por um fator |σ|ds, a outra dire¸c˜ao sofre uma redu¸c˜ao de intensidade −|σ|ds. Este efeito proveniente do m´odulo do escalar σ caracteriza um efeito de cisalhamento sobre o vetor Z.
Portanto, com base nessa an´alise, foi poss´ıvel apresentar uma prova para o teorema de Sachs sobre o significado geom´etrico dos escalares ´oticos. Resta ainda entender o que significa geometricamente da fase do escalar σ. Para isto, ser´a mantido o regime no qual ωµν e θ s˜ao zero e, adicionalmente, deve-se levar em considera¸c˜ao a taxa com que o vetor l varia ao longo da dire¸c˜ao m. Em termos de componentes esta varia¸c˜ao ´e dada por
lµ;νmν = (α∗+ β)lµ− ρ∗mµ− σ ¯mµ. (C.35)
Ao contrair (C.35) com mµ se obt´em
σ = −lµ;νmµmν. (C.36)
Por outro lado, ao escrever o vetor m explicitamente em termos dos vetores reais e(2) e e(3),
m = √1
2(e(2)+ ie(3)), (C.37)
e, em seguida, o levar at´e a equa¸c˜ao (C.36), obt´em-se que
σ = 1
2(l3;3− l2;2) − i1
2(l2;3+ l3;2). (C.38) Escrevendo σ na forma polar, σ = |σ|eiϕ= |σ| cos ϕ + i|σ|sen ϕ e, logo ap´os, comparando com (C.38), conclui-se que
|σ|sen ϕ = −1
2(l2;3+ l3;2). (C.39)
Al´em disso, para ωµν e θ zeros pela equa¸c˜ao (C.21) σµν = θµν, de modo que, ao escolher µ = 2 e ν = 3, obt´em-se:
σ23= θ23 = 1
2(l2;3+ l3;2), (C.40)
ou melhor,
σ23= −|σ|sen ϕ. (C.41)
sobre os vetores tipo-tempo e(2)0 e e(3)0 que coincidem com os eixos principais de σµ0ν0 (base onde σµν ´e diagonal). Se for realizada uma transforma¸c˜ao de Lorentz sobre esta base, ent˜ao os vetores da nova base s˜ao escritos em termos da anterior da seguinte maneira
e(a)= Λ(b)0
(a) e(b)0, (C.42)
onde Λ(a)0
(b)´e representada na forma matricial por
Λ(a)0 (b)= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos φ sen φ 0 0 −sen φ cos φ . (C.43)
Neste caso, o tensor σµ0ν0 que originalmente estava no sistema e(a)0 poder´a agora ser escrito na base e(a) por interm´edio da transforma¸c˜ao:
σµν = Λµµ0Λνν0σµ0ν0. (C.44)
Tomando mais uma vez as componentes µ = 2 e ν = 3, tem-se que
σ23 = cos φsen φ σ2020 − sen φ cos φ σ3030, (C.45)
e fazendo uso do fato que σ3030 = −σ2020 = |σ|, conclui-se que
σ23 = −|σ|sen (2φ). (C.46)
Finalmente, ao comparar as equa¸c˜oes (C.41) e (C.46), obt´em-se que sen ϕ = sen (2φ). Logo,
φ = 1 2ϕ =
1
2arg(σ). (C.47)
Portanto, a metade da fase de σ dar´a o ˆangulo semi-eixo menos da elipse faz com o eixo e(2)
D C´alculo dos escalares de Weyl via formalismo de
Newman-Penrose
Uma forma alternativa de se obter os escalares de Weyl ou apenas suas perturba¸c˜oes ´e a partir das equa¸c˜oes do formalismo de Newman-Penrose. Neste apˆendice ser´a calculado, como exemplo, as perturba¸c˜oes nos escalares de Weyl para os modos com n´umero de onda zero. Como foi apresentado no capitulo 5, estes modos levar˜ao a escalares puramente reais de modo que a analise aqui ser´a restrita apenas ao setor polar dessas perturba¸c˜oes.
No capitulo 5, mostrou-se que para perturba¸c˜oes polares com k = 0, pode-se extrair uma solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes de Einstein linearizadas do tipo:
ds2 = − r2 `2 − 2M + δM r dt2+ r2 `2 − 2M + δM r −1 dr2+ r2(e2δψdϕ2+ e−2δψdz2) (D.1)
onde δψ em termos de uma fun¸c˜ao Z(+)e−iωt = rδψ, satisfaz uma equa¸c˜ao de onda do tipo d2 dr2 ∗ + ω2 Z(+) = V(+)Z(+), (D.2)
com V(+) dado por
V(+) = 2∆
`2r5(r3+ M `2). (D.3)
Uma base de t´etrada nula constru´ıda a partir da solu¸c˜ao (D.1) pode ser definida como:
lµ=(e−2ν−2δν, 1, 0, 0); mµ= √1 2r(0, 0, e −δψ , ieδψ); nµ=1 2(1, −e 2ν+2δν, 0, 0); m¯µ = √1 2r(0, 0, e −δψ , −ieδψ), (D.4) onde e2ν = r 2 l2 − 2M r e e 2δν = −δM r . (D.5)
Os vetores covariantes associados a esta base s˜ao
lµ =(−1, e−2ν−2δν, 0, 0); mµ = √1 2(0, 0, re δψ, ie−δψ); nµ =1 2(−e 2ν+2δν, −1, 0, 0); m¯µ = √1 2(0, 0, re δψ, −ire−δψ). (D.6)
Nota-se que o vetor l que aparece em (D.4) e (D.6) representa um vetor nulo no espa¸co-tempo f´ısico podendo ser escrito na forma l = l(0)
+ δl, onde l(0)
e δl ´e a perturba¸c˜ao linear. O mesmo vale para os demais vetores da base.
Uma vez que se tem os vetores da base nula, ´e poss´ıvel calcular diretamente deles os coeficientes de spin usando as defini¸c˜oes apresentadas em (3.50). Para espa¸cos-tempos assintoticamente anti-de Sitter se obt´em os seguintes coeficientes de spin:
κ = ν = = π = τ = α = β = 0; ρ = − 1 r, µ = − 1 2 r `2 − 2M + 2δM r2 , γ = 1 2 r `2 + M + δM r2 σ = −(e−2νδψ,t+ δψ,r), λ = 1 2(δψ,t+ δψ,re 2ν). (D.7)
No caso em que δψ e δM s˜ao zero, recupera-se os valores para os coeficientes de spin para o espa¸co-tempo de fundo apresentados em (3.51). Finalmente se pode extrair os escalares de Weyl a partir das seguintes identidades de Ricci
Dσ − δκ = σ(3ε − ε∗+ ρ + ρ∗) + κ(π∗− τ − 3β − α∗) + Ψ0; (a) Dτ − ∆κ = ρ(τ + π∗) + σ(τ∗+ π) + τ (ε − ε∗) − κ(3γ + γ∗) + Ψ1+ Φ01; (b) Dµ − δπ = (ρ∗µ + σλ) + π(π∗ − α∗+ β) − µ(ε + ε∗) − νκ + Ψ2+ 2Π; (c) δλ − δ∗µ = ν(ρ − ρ∗) + π(µ − µ∗) + µ(α + β∗) + λ(α∗− 3β) − Ψ3+ Φ21; (d) ∆λ − δ∗ν = −λ(µ + µ∗+ 3γ − γ∗) + ν(3α + β∗+ π − τ∗) − Ψ4, (e) (D.8)
onde Φ01, Φ21 e Π s˜ao alguns dos escalares de Ricci. Para o problema em quest˜ao o ´unico destes escalares que ´e diferente de zero ´e
Π = − 1 2`2.
m´etricas se obt´em os seguintes resultados Ψ0 =2e−2ν −e2νδψ,rr + ν,r −1 r δψ,t− ν,r+2 r δψ,re2ν− δψ,rt ; Ψ2 = − M + δM r3 ; Ψ4 =e 2ν 2 −e2νδψ,rr − ν,r − 1 r δψ,t− ν,r+ 2 r δψ,re2ν+ δψ,rt ; Ψ1 =Ψ3 = 0. (D.9)
Al´em disso, como no espa¸co-tempo de fundo somente Ψ(0)2 ´e diferente de zero, se pode concluir que em (D.9), ΨN = δΨP
N para todo N 6= 2 e que δΨP
2 = −δM
r3 . (D.10)
A quantidade apresentada em (D.10) ´e igual a apresentada em (4.57) por´em calculada por um caminho alternativo. Os escalares δΨP
0 e δΨP
4, se escritos em termos das quantidades V(+) W(+) e Z(+) apresentadas em (4.54), assumem as seguintes formas:
δΨ0 = −r 3 ∆2[V(+)Z(+)+ (W(+)− 2iω)Λ−Z(+)]e−iωt; δΨ4 = − 1 4r[V (+)Z(+)+ (W(+)+ 2iω)Λ+Z(+)]e−iωt. (D.11)
Que reproduz os resultados apresentados na equa¸c˜ao (4.52), por´em usando o formalismo de Newman-Penrose.
Portanto, mostrou-se neste apˆendice que as perturba¸c˜oes nos escalares de Weyl tamb´em podem ser extra´ıdos diretamente das equa¸c˜oes do formalismo de Newman-Penrose. Al´em disso, para perturba¸c˜oes gravitacionais com n´umero de onda zero se mostrou diretamente que da solu¸c˜ao (D.1) ´e poss´ıvel obter escalares de Weyl δΨP
0 e δΨP
4 diferentes de zero, o que representa uma solu¸c˜ao com ondas gravitacionais.
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