PERTURBAÇÕES GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER

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PROFÍSICA-Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica

A INTERPRETA ¸

C ˜

AO F´

ISICA DAS

PERTURBA ¸

C ˜

OES GRAVITACIONAIS DE BRANAS

NEGRAS ANTI-DE SITTER

DISSERTA ¸

C ˜

AO DE MESTRADO

Enesson dos Santos de Oliveira

Ilh´eus, BA, Brasil 2016

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A INTERPRETA ¸

C ˜

AO F´

ISICA DAS PERTURBA ¸

C ˜

OES

GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS

ANTI-DE SITTER

por

Enesson dos Santos de Oliveira

Disserta¸c˜

ao apresentada ao Programa de P´

os-Gradua¸c˜

ao

em F´ısica, ´

Area de concentra¸c˜

ao em F´ısica,

da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC, BA),

como requisito parcial para a obten¸c˜

ao do grau de

Mestre em F´ısica.

Orientador: Alex dos Santos Miranda

Ilh´

eus, BA, Brasil

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O48 Oliveira, Enesson dos Santos de.

A interpretação física das perturbações gravitacionais de branas negras anti-de Sitter / Enesson

dos Santos de Oliveira. – Ilhéus, BA: UESC, 2016. 99 f. : il.

Orientador: Alex dos Santos Miranda.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Esta- dual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física.

Inclui referências.

1. Buracos negros (Astronomia). 2. Colapso gravitacional. 3. Espaço e tempo. 4. Astronomia. I. Título.

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Agrade¸co a todos que, de alguma forma, estiveram presentes me apoiando ao longo de todo o trabalho, em especial:

– à meu pai, José Romualdo, que dedicou grande parte de sua vida para que eu pudesse chegar até aqui;

– ao meu orientador, Alex Miranda, que durantes estes anos, al´em de ter sido um grande orientador, tamb´em foi um grande amigo;

– à minha esposa, Jéssica Cerqueira, que ao longo de todo o curso, sempre esteve ao meu lado nos momentos fáceis e dif´ıceis. Apoiando-me em cada etapa. Obrigado por tudo “Jell”;

– ao ex-coordenador do colegiado, professor Arturo Samana, por estar sempre pronto a ajudar.

– às secretárias dos colegiados do PROFÍSICA e PROCIMM, Roberta Carvalho e Caroline Gresik, pelo excelente atendimento;

– Aos grandes amigos de todas as horas, Vitor Ferreira, Pedro Antônio, Alisson Pereira, Vagner Freitas, Leandro Oliveira, Sheldon Cardoso, Abraão Amaral, Lucas Ântonio, Ícaro Teixeira, Yasmin Alves e Gabriela Goldberg, por sempre estarem me motivando. Nunca vou esquecer das várias horas de estudos em grupo. Valeu galera;

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Disserta¸c˜ao de Mestrado

Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica Universidade Estadual de Santa Cruz

A INTERPRETA ¸C ÃO FÍSICA DAS PERTURBA ¸C ÕES GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER

Autor: Enesson dos Santos de Oliveira Orientador: Alex dos Santos Miranda Data e Local da Defesa: Ilh´eus, 19 de janeiro de 2016.

O estudo das perturba¸cões de um buracos negro é uma ferramenta poderosa para a investiga¸cão de propriedades básicas como a estabilidade do horizonte de eventos, o espa-lhamento e a produ¸cão de ondas provenientes de um processo de colapso gravitacional. Por essa razão, desde o final da década de 50, foram realizados diversos trabalhos em teoria de perturba¸cões de buracos negros; particularmente, em rela¸cão às solu¸cões de Schwarzschild e Kerr. O significado f´ısico das perturba¸cões de buracos negros esfericamente simétricos, por exemplo, está bem estabelecido na literatura: perturba¸cões polares tipo-monopolo (l = 0) cor-respondem a um acréscimo de massa do buraco negro, perturba¸cões axiais tipo-dipolo (l = 1) induzem uma rota¸cão lenta, e pertuba¸cões com l ≥ 2 sempre levam à produ¸cão de ondas gravitacionais. Em contrapartida, quando se trata de perturba¸cões de buracos negros com simetria plana (branas negras anti-de Sitter), ainda faltam estudos conclusivos que revelem o verdadeiro significado dessas perturba¸cões. Em particular, é poss´ıvel destacar as perturba¸cões polares com número de onda nulo, onde alguns autores propõem que esse tipo de perturba¸cão acarreta apenas numa varia¸cão do parâmetro de massa da brana negra, enquanto outros au-tores indicam a existência de ondas gravitacionais associadas a este modo de perturba¸cão. O presente trabalho tem como objetivo contribuir na resolu¸cão dessa controvérsia, elucidando o significado f´ısico das perturba¸cões gravitacionais de branas negras anti-de Sitter a partir do cálculo dos escalares de Weyl. Para o estudo das perturba¸cões, utilizou-se o formalismo de gauge de Chandrasekhar e, para interpretar os escalares de Weyl, foi adotado o método de Szekeres, onde a interpreta¸cão f´ısica de cada escalar é extra´ıda com base no efeito sobre o desvio geodésico de part´ıculas teste vizinhas. Em especial, mostra-se aqui que a solu¸cão para perturba¸cões polares com número de onda zero, de fato, admite a existência de ondas gravitacionais propagando-se na dire¸cão perpendicular à superf´ıcie da brana negra.

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Disserta¸c˜ao de Mestrado Mestrado em F´ısica

Universidade Estadual de Santa Cruz

ON THE PHYSICAL INTERPRETATION OF GRAVITATIONAL PERTURBATIONS OF ANTI-DE SITTER BLACK BRANES

Author: Enesson dos Santos de Oliveira Adviser: Alex dos Santos Miranda Local and Date: Ilh´eus, january 19th, 2016.

The study of gravitational perturbations of black holes is a powerful tool to explore a series of basic properties as the stability of the event horizon, the scattering and production of gravitational waves in a process of gravitational collapse. For this reason, since the late 1950s, a lot of works were carried out to study the perturbation theory of black holes (specially for the Schwarzschild and Kerr solutions). The physical interpretation of gravitational perturbations of spherically symmetric black holes is now a well-established subject: polar perturbations of monopole type (l = 0) can only increase the mass of the black hole, axial perturbations of dipole type (l = 1) induce a slow rotation, and perturbations with l ≥ 2 always lead to gravitational wave production. However, in relation to perturbations of anti-de Sitter plane-symmetric black holes (anti-de Sitter black branes), there is still no conclusive study about the physical meaning of these perturbations. In particular, there is some controversy concerning the polar perturbation with a zero wavenumber. Some authors propose this kind of perturbation causes only a variation in the black-brane mass parameter, while other ones obtained evidence for the existence of gravitational waves associated to this mode. The present study aims to contribute to the resolution of this controversy by revealing the physical meaning of the gravitational perturbations of anti-de Sitter black branes. We use the Chandrasekhar gauge formalism to study the metric perturbations, and, to interpret the Weyl scalars, we adopt the Szekeres method, where the physical meaning of each scalar is obtained on basis of the geodesic deviation between neighboring test particles. Finally, it is shown here that polar perturbations with a zero wavenumber admit the existence of gravitational waves propagating in the direction perpendicular to the black-brane horizon surface.

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1 INTRODU ¸C ˜AO 10

2 RADIA ¸C ˜AO GRAVITACIONAL E O TENSOR DE CURVATURA 14

2.1 Uma formula¸c˜ao invariante da teoria da radia¸c˜ao gravitacional . . . 14

2.1.1 A natureza da frente de ondas gravitacionais . . . 15

2.1.2 Formas canˆonicas para o tensor de Riemann . . . 20

2.2 A interpreta¸c˜ao f´ısica dos escalares de Weyl . . . 26

2.2.1 A classifica¸c˜ao de Petrov e o compasso gravitacional . . . 27

2.2.2 O efeito das transforma¸c˜oes de Lorentz . . . 31

2.2.3 Aplica¸c˜oes . . . 33

3 A TEORIA DE PERTURBA ¸C ˜OES GRAVITACIONAIS 35 3.1 O espa¸co-tempo de fundo . . . 35

3.2 Perturba¸c˜oes m´etricas no formalismo de Chandrasekhar . . . 36

3.2.1 Pertuba¸c˜oes axiais . . . 38

3.2.2 Perturba¸c˜oes polares . . . 40

3.3 Perturba¸c˜oes via formalismo de Newman-Penrose . . . 42

3.3.1 Redu¸c˜ao das Equa¸c˜oes Linearizadas . . . 44

4 A INTERPRETA ¸C ÃO FÍSICA DAS PERTURBA ¸C ÕES 49 4.1 Perturba¸cões gravitacionais com número de onda zero . . . 49

4.1.1 Pertuba¸c˜oes axiais . . . 49

4.1.2 Perturba¸c˜oes polares . . . 51

4.2 Pertuba¸c˜oes de um espa¸co-tempo Petrov tipo D . . . 52

4.3 Interpreta¸c˜oes f´ısicas das perturba¸c˜oes . . . 55

4.3.1 Perturba¸cões com número de onda não-zero . . . 55

4.3.2 A interpreta¸cão f´ısica das perturba¸cões com número de onda zero . . . 60

5 CONSIDERA ¸C ÕES FINAIS 63 A Formas canônicas e a classifica¸cão dos espa¸cos-tempos 65 A.1 O espa¸co de bivetores . . . 65

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A.3 As formas canˆonicas do tensor de Riemann ||RAB|| . . . 70

A.3.1 Campos gravitacionais tipo I . . . 70

A.3.2 Campos gravitacionais tipo II . . . 73

A.3.3 Campos gravitacionais tipo III . . . 75

B Transforma¸cões de tétrada e a classifica¸cão de Petrov 77 B.1 Transforma¸cões de tétrada . . . 77

B.2 A classifica¸c˜ao de Petrov . . . 79

B.3 A rela¸cão entre formas canônicas e a classifica¸cão de Petrov . . . 82

C A interpreta¸cão geométrica dos escalares óticos 85 C.1 Os coeficientes de spin e o teorema de Sachs . . . 85

C.2 A interpreta¸cão geométrica . . . 87 D Cálculo dos escalares de Weyl via formalismo de Newman-Penrose 93

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A teoria da relatividade geral, publicada em 1916 pelo f´ısico alemão Albert Einstein, revolucionou completamente os conceitos de espa¸co, tempo e gravidade constru´ıdos ao longo dos séculos. Nela a descri¸cão de fenômenos gravitacionais deixou de ser caracterizada como sendo o efeito de uma for¸ca e passou a ser realizada por intermédio do conceito de um espa¸co-tempo curvo. Assim, part´ıculas interagem gravitacionalmente por meio de uma deforma¸cão na estrutura geométrica do espa¸co-tempo. Nessa teoria, são as equa¸cões de Einstein que descrevem o comportamento dos campos gravitacionais, relacionando o caráter geométrico do espa¸co-tempo com o conteúdo de matéria, energia e momento nele contidos. Estas equa¸cões possuem um termo denominado de constante cosmológica, que pode assumir um valor positivo, negativo ou nulo. Para uma constante positiva se conclui que, em escalas cosmológicas, a intera¸cão gravitacional torna-se repulsiva. Neste caso, o espa¸co-tempo em questão recebe o nome de espa¸co-tempo de de Sitter. Por outro lado, para o caso de uma constante cosmológica negativa, a intera¸cão gravitacional em grandes escalas continua atrativa e o espa¸co-tempo é denominado de anti-de Sitter (AdS). Espa¸cos-tempos com constante cosmológica nula tendem assintoticamente ao espa¸co-tempo plano de Minkowski.

Do ponto de vista da cosmologia, por muito tempo acreditou-se que o universo estava expandindo a uma taxa constante, o que favorecia uma constante cosmológica nula para as equa¸cões de Einstein. Porém, a partir da análise de dados de explosões de supernovas tipo Ia realizada em 1998, foi poss´ıvel constatar que o universo encontra-se numa fase de expansão acelerada [1, 2]. Esta acelera¸cão caracteriza um universo com constante cosmológica positiva. Na mesma época, Maldacena [3] propôs uma correspondência entre a gravita¸cão num espa¸co-tempo anti-de Sitter e uma Teoria de Campos Conforme (CFT) na fronteira desse espa¸co, a qual ficou conhecida como a correspondência AdS/CFT. Desse modo, os espa¸cos-tempos com constante cosmológica negativa, principalmente aqueles que contém buracos negros, assumi-ram um papel importante dentro dessa nova correspondência.

Além da constante cosmológica, espa¸cos-tempos podem ou não conter buracos negros. Na relatividade geral, buracos negros surgem como solu¸cões exatas das equa¸cões de campo de Einstein. Fisicamente, tal objeto nasce a partir do colapso gravitacional de uma estrela. Ao longo das últimas décadas variadas solu¸cões de buracos negros foram estudadas, podendo ser citadas, por exemplo, as tradicionais solu¸cões de Schwarzschild, Reissner-Nordström e Kerr. Estas solu¸cões são bem conhecidas e bem descritas na literatura (ver, por exemplo, [4, 5]).

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No caso particular em que o espa¸co-tempo é assintoticamente anti-de Sitter, uma solu¸cão de buraco negro com simetria plana pode ser obtida [6]. Estes buracos negros são também conhecidos como branas negras anti-de Sitter.

A teoria da relatividade geral prevê também que certos eventos, como o colapso gra-vitacional de uma estrela ou a coalescência de um sistema binário de estrelas de nêutrons ou buracos negros, são capazes de produzir ondas gravitacionais pass´ıveis de serem detectadas por um observador distante. Apesar de nenhum experimento, até agora, ter conseguido detectar de forma direta a existência de radia¸cão gravitacional, a teoria da relatividade geral é a teoria gravitacional mais aceita pela comunidade cientifica, uma vez que todos os experimentos e observa¸cões realizados foram favoráveis à sua solidifica¸cão.

Nos primeiros estudos sobre ondas gravitacionais, tais solu¸cões das equa¸cões de Einstein foram obtidas por meio de escolhas convenientes de um sistema de coordenadas ou pela imposi¸cão de campos gravitacionais fracos. Estas imposi¸cões obscureciam o real significado f´ısico da radia¸cão gravitacional, uma vez que a existência dessas ondas é independente de tais condi¸cões. O primeiro trabalho que obteve sucesso numa descri¸cão totalmente independente da escolha das coordenadas ou da exigência de campo fraco para ondas gravitacionais foi apresentado por Pirani [7], com base no estudo das propriedades geométricas do tensor de Riemann. Uma abordagem alternativa, mas também totalmente covariante, foi realizada por Szekeres [8], o qual analisou o efeito sobre o desvio geodésico que os escalares de Weyl do formalismo de Newman-Penrose [9] são capazes de gerar. Anos depois, Podolský e ˇSarc [10] ampliaram o método de Szekeres para espa¸cos-tempos em d dimensões.

Uma ferramenta importante no estudo das propriedades dos buracos negros é a teoria de perturba¸cões gravitacionais, já que a partir dessa teoria pode-se, por exemplo, estudar a estabilidade do horizonte de eventos frente às flutua¸cões na métrica, bem como a produ¸cão e o espalhamento de ondas gravitacionais por um buraco negro. Do ponto de vista da cor-respondência AdS/CFT, um buraco negro no espa¸co-tempo AdS é equivalente a um estado de equil´ıbrio térmico na CFT, de tal forma que uma perturba¸cão gravitacional deste buraco negro corresponde a uma flutua¸cão no tensor energia-momento do estado térmico dual [11].

Existem dois métodos principais para estudar as perturba¸cões gravitacionais de bura-cos negros. No primeiro caso, considera-se perturba¸cões da métrica do espa¸co-tempo de fundo e, na sequência, lineariza-se as equa¸cões de Einstein para o espa¸co-tempo f´ısico. O segundo método é via lineariza¸cão das equa¸cões do formalismo de Newman-Penrose [9]. Em ambos os casos, uma das grandes dificuldades que se encontra no estudo das perturba¸cões gravitaci-onais em relatividade geral é a obten¸cão das variáveis f´ısicas em termos de quantidades que

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são invariantes por transforma¸cões de gauge. A liberdade de gauge surge nessa teoria ao se identificar os eventos do espa¸co-tempo de fundo com o espa¸co-tempo perturbado. Por essa razão, costuma-se tratar as perturba¸cões gravitacionais utilizando quantidades que dependem da escolha do gauge, explorando assim esta liberdade para simplificar o problema, e somente os resultados finais são escritos em termos de quantidades que são invariantes de gauge.

O primeiro trabalho a apresentar de forma clara e completa a teoria de perturba¸cões gravitacionais foi publicado em 1974 por Stewart e Walker [12]. Por outro lado, os primeiros estudos sobre pertuba¸cões de buracos negros foram apresentados por Regge e Wheeler [13] em 1957, os quais investigaram a estabilidade da singularidade de Schwarschild frente às perturba¸cões do tipo axial. O gauge usado por eles ficou conhecido então como o gauge de Regge-Wheeler. Seguindo a mesma linha, Zerilli [14, 15] analisou a radia¸cão gravitacional que surge quando estrelas caem num buraco negro de Schwarschild, e estendeu o estudo de Regge e Wheeler para perturba¸cões polares. Mais tarde, Chandrasekhar [16] obteve as mes-mas equa¸cões de Regge Wheeler e Zerilli para as perturba¸cões gravitacionais de Schwarschild usando um gauge diferente, que atualmente é conhecido como o gauge diagonal de Chandra-sekhar. Adicionalmente, Teukolsky [17, 18] e Moncrief [19, 20] realizaram pesquisas envolve as perturba¸cões dos buracos negros de Kerr e Reissner-Nordström, respectivamente, também com o principal objetivo de avaliar a estabilidade destas solu¸cões. Posteriormente, Kodama, Ishibashi e Seto [21] desenvolveram um formalismo totalmente invariante de gauge para tratar as perturba¸cões gravitacionais de espa¸cos-temos espacialmente simétricos em d dimensões.

Dentro desse contexto, a análise das perturba¸cões gravitacionais de buracos negros esfericamente simétricos encontra-se bem estabelecida na literatura. Porém, quando se trata de perturba¸cões de branas negras AdS, algumas questões ainda continuam em aberto. Um exemplo disso acontece com as pertuba¸cões polares com número de onda zero ao longo das dire¸cões da brana. Kodama e Ishibashi [22], com base em argumentos de simetria, propuseram que estas perturba¸cões levarão apenas a uma mudan¸ca no parâmetro de massa da brana negra, assim como acontece no caso esférico. Porém, num estudo mais detalhado a respeito dessas perturba¸cões, Miranda e Zanchin [23] utilizaram o formalismo de gauge de Chandrasekhar e obtiveram ind´ıcios da existência de uma solu¸cão com ondas gravitacionais para este caso.

Motivados pela ausência de um estudo conclusivo a respeito do tema, este trabalho tem por objetivo investigar o significado f´ısico das perturba¸cões gravitacionais de branas ne-gras num espa¸co-tempo anti-de Sitter e, como consequência disso, elucidar se realmente ondas gravitacionais são produzidas para o modo de perturba¸cão polar com número de onda zero. Para isto, serão calculadas as perturba¸cões nos escalares de Weyl e, a partir do análise de

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Szekeres [8] da equa¸cão do desvio geodésico, será extra´ıda a interpreta¸cão f´ısica das perturba-¸cões, independentemente do estado de movimento do observador. No estudo das perturba¸cões será utilizado o formalismo de gauge diagonal de Chandrasekhar.

A presente disserta¸cão está dividida da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 é revisado o trabalho de Pirani [7] sobre como que a informa¸cão sobre a existência de ondas gravitacionais se apresentam no tensor de Riemann, logo em seguida, o artigo publicado por Szekeres [8] sobre a interpreta¸cão f´ısica dos escalares de Weyl usando a equa¸cão do desvio geodésico também é revisado.

No cap´ıtulo 3, apresenta-se a teoria de perturba¸cões de branas negras AdS. Este ca-p´ıtulo está dividido em três se¸cões onde, na primeira se¸cão, é apresentada a solu¸cão para o espa¸co-tempo de fundo. Na se¸cão seguinte, é estudada a teoria de perturba¸cões via lineari-za¸cão das equa¸cões de Einstein e, na se¸cão final, é discutido o método de lineariza¸cão das equa¸cões do formalismo de Newman-Penrose.

No cap´ıtulo 4, a primeira se¸cão se destina a revisar a solu¸cão obtida por Miranda e Zanchin [23] para as perturba¸cões com número de onda nulo. Na se¸cão seguinte, são apre-sentadas as equa¸cões que relacionam as várias perturba¸cões nos escalares de Weyl com as do tensor de Weyl. Na última se¸cão, as perturba¸cões nos escalares para o espa¸co-tempo em ques-tão são calculadas, e com base no tratamento realizado no cap´ıtulo 2, é finalmente extra´ıdo o significado f´ısico das perturba¸cões das branas negras AdS. Em particular, será verificado que realmente a solu¸cão para modos com número de onda zero representa uma solu¸cão com ondas gravitacionais se propagando pelo espa¸co-tempo.

Ao longo de toda a disserta¸c˜ao, adota-se uma assinatura +2 para o tensor m´etrico e se utiliza um sistema de unidades geometrizadas em que c = G = 1.

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CURVATURA

O presente cap´ıtulo apresenta um estudo de revisão a respeito da interpreta¸cão f´ısica do tensor de curvatura de Riemann. O cap´ıtulo está dividido em duas partes. Na primeira parte, a poss´ıvel presen¸ca de ondas gravitacionais no vácuo é investigada a partir de um classifica¸cão do tensor de Riemann em classes denominadas de formas canônicas [24]. Tal análise é feita de forma totalmente covariante, e baseia-se principalmente no trabalho realizado por Pirani [7] em 1957. Na segunda parte, a interpreta¸cão f´ısica dos escalares de Weyl é revista com base na equa¸cão do desvio geodésico, conforme apresentada por Szekeres [8] num artigo publicado na década de 60. Neste trabalho, Szekeres introduziu uma nova forma de visualizar os efeitos do campo gravitacional por meio de um compasso gravitacional.

2.1 Uma formula¸c˜ao invariante da teoria da radia¸c˜ao gravitacional

Um formula¸cão para a teoria de ondas gravitacionais independente do sistema de coor-denadas ou mesmo da imposi¸cão de um campo gravitacional fraco foi elaborada originalmente por Pirani [7] através de uma série de considera¸cões a respeito do tensor de Riemann e do espa¸co-tempo de fundo. Fundamentalmente, Pirani considera que:

1. O tensor de Riemann deve caracterizar a presen¸ca de ondas gravitacionais;

2. No espa¸co vazio, ondas gravitacionais devem se propagar com a velocidade fundamental; 3. Uma frente de onda gravitacional se manifesta como uma descontinuidade no tensor de

Riemann no cruzamento de uma hipersuperf´ıcie tridimensional nula;

4. O tensor de Riemann determina o movimento de um observador que segue o campo gravitacional. Na presen¸ca de radia¸c˜ao gravitacional, este observador teria que viajar `a velocidade da luz para ser capaz de seguir o campo.

Os itens 1 e 2 são fundamentais para caracterizar as ondas gravitacionais. Os itens seguintes surgem basicamente como consequência dos dois primeiros. Será feita então uma análise detalhada destes itens ao longo de toda a se¸cão.

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2.1.1 A natureza da frente de ondas gravitacionais

A natureza da frente de ondas gravitacionais pode ser investigada frente a admissão da existência de descontinuidades no tensor de Riemann sobre uma hipersuperf´ıcie tridimensional nula. O cálculo para se obter tais descontinuidades é baseado na condi¸cão de continuidade de Lichnerowicz [25], a qual impõe condi¸cões sobre a métrica e suas derivadas de modo que as equa¸cões de Einstein para o vácuo (Gµν = 0) sejam únicas.

Lichnerowicz postula que o espa¸co-tempo pode ser dividido em regiões de sobreposi¸cão, sendo que em cada uma destas regiões existe um sistema de coordenadas no qual:

(i) A m´etrica gµν ´e um tensor cont´ınuo;

(ii) As primeiras derivadas parciais da métrica, gµν,ρ, são todas cont´ınuas; (iii) As segundas derivadas de gµν são cont´ınuas por partes.

Numa das regiões, Lichnerowicz adota um sistema de coordenadas no qual a superf´ıcie S, caracterizada por x0 = 0, é uma superf´ıcie de descontinuidade do campo gravitacional. Neste caso, pode-se adaptar o sistema de coordenadas de modo que gµν, gµν,ρ e gµν,ρσ são todos cont´ınuos sobre a superf´ıcie S, com a poss´ıvel acessão de gµν,00. As componentes do tensor de curvatura de Riemann são dadas por

Rρ_σµν = Γ_νσ,µρ − Γρ µσ,ν + Γ ρ µλΓ λ νσ − Γ ρ νλΓ λ µσ, (2.1)

onde os Γ_µνρ representam os s´ımbolos de Christoffel,

Γ_µνρ = 1 2g

ρσ_(g

µσ,ν + gσν,µ− gµν,σ) . (2.2)

Observe que somente os dois primeiros termos em (2.1) poderão levar a uma descontinuidade no tensor de Riemann, uma vez que são eles que carregam derivadas segundas da métrica.

Para tornar o estudo totalmente covariante é poss´ıvel fazer uso de coordenadas lo-calmente inerciais de modo a escrever, em um ponto P e na sua vizinhan¸ca, as grandezas tensoriais em termos da métrica do espa¸co-tempo plano de Minkowski. Como um segundo passo, constrói-se quantidades escalares por contra¸cão dos tensores com os vetores da tétrada coordenada (de Lorentz local) no ponto em questão. Uma vez obtidas tais fun¸cões escalares, pode-se desconsiderar as coordenadas locais e estender o resultado para qualquer sistema de coordenadas.

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Nesse sentido, de acordo com a análise de Lichnerowicz, considera-se uma tétrada de base tal que, em qualquer ponto P sobre S, a métrica se reduz à métrica do espa¸co-tempo de Minkowski em coordenadas retangulares, ds2 _{= η}

µνdxµdxν, sendo

ηµν = diag(−1, 1, 1, 1). (2.3)

Entretanto, para estudar a possibilidade da existência de radia¸cão gravitacional, torna-se conveniente a introdu¸cão de um par de coordenadas nulas, definidas por ξ = (1/√2)(x0− x1₎ e ζ = (1/√2)(x0_{+ x}1_{), de modo que, na vizinhan¸ca de um ponto P sobre S, o elemento de} linha assume a forma:

ds2 = −2dξdζ + (dx2)2+ (dx3)2. (2.4) Deste modo, ao invés de considerar uma descontinuidade sobre uma superf´ıcies em x0 _{= 0,} considera-se que a descontinuidade ocorre em ξ = 0. Escolhendo 4 para denotar a descon-tinuidade em S, então as condi¸cões de continuidade de Lichnerowicz exigem que no ponto P , 4(gµν) = 0, 4(gµν,σ) = 4(∂gµν/∂ξ) = 4(∂gµν/∂ζ) = 0, 4(∂2_g µν/∂ξ∂ζ) = 4(∂2gµν/∂ζ2) = 0, (2.5) ao passo que 4(∂2gµν/∂ξ2) = aµν, (2.6)

onde aµν são números quaisquer. Com base na defini¸cão de Rρσµν e das condi¸cões (2.5) e (2.6), é direto mostrar que os únicos a’s que contribuem para a descontinuidade no tensor de Riemann no vácuo são:

−a22 = a33 = σ, a23= φ, (2.7)

onde σ e φ são arbitrários. Estas quantidades correspondem às duas polariza¸cões de ondas encontradas na teoria gravitacional linearizada. Todos os termos φ podem ser levados a zero se for realizada uma rota¸cão de eixos em um ângulo (1/2)tg−1(φ/σ) sobre o plano-23.

Daqui em diante ser´a introduzida uma t´etrada1 de vetores ortonormais, e(a)µ, os quais

no ponto P se reduzem aos vetores tangentes da base coordenada, ∂µ. Neste formalismo, existe a vantagem de poder escrever gµν em termos da m´etrica do espa¸co-tempo plano da 1_{Utiliza-se aqui as letras iniciais do alfabeto latino a, b, c... entre parˆ}_{enteses para representar ´ındices da}

t´etrada e letras gregas α, β, γ... para ´ındices tensoriais. As letras latinas i, j, k, ... continuar˜ao reservadas para ´ındices espaciais.

(18)

seguinte forma:

gµνe(a)µe

ν

(b) = η(a)(b). (2.8)

Al´em disso, definindo

e(a)µ_{≡ η}(a)(b)

e(b)µ, (2.9)

é fácil verificar a partir destas duas equa¸cões que

η(a)(b) e (a)µ_e(b)ν _{= g}µν _e _e (a) µ e ν (a) = δ ν µ . (2.10)

Por simplicidade, ser´a tamb´em realizada a troca:

e(0)µ= −e

(0)µ_{= e}µ_. _(2.11)

Em [26] é apresentada uma análise completa do formalismo de tétrada.

A fim de simplificar a apresenta¸cão dos resultados, é conveniente introduzir também um formalismo em 6 dimensões na descri¸cão do tensor de Riemann. Este espa¸co hexa-dimensional é mapeado no espa¸co-tempo quadri-dimensional de tal forma que um bivetor (dois-forma) em 4 dimensões será representado por um vetor (1-forma) em 6 dimensões. As regras para este mapeamento seguem os seguintes critérios:

(a) Se H(a)(b) são as componentes f´ısicas de um tensor anti-simétrico Hµν com respeito a uma tétrada num ponto P , este tensor é representado em 6 dimensões por HA, com à seguinte conversão entre os ´ındices ab e A:

ab: 23 31 12 10 20 30

A: 1 2 3 4 5 6.

(2.12)

Neste caso, um conjunto par de ´ındices de tétrada em 4 dimensões se reduzirá à metade em 6 dimensões. Por exemplo, o tensor de Riemann R(a)(b)(c)(d)se reduz à forma simétrica

RAB com as devidas identifica¸c˜oes.

(b) Para que os processos de subida e descida de ´ındices nos espa¸cos quadri e hexa-dimen-sional sejam equivalentes, o tensor m´etrico em 6 dimens˜oes deve ser tal que

ηAB = diag(1, 1, 1, −1, −1, −1), (2.13)

(19)

Em qualquer evento sobre a hipersuperf´ıcie tridimensional nula S, pode-se calcular a descontinuidade no tensor de Riemann no vácuo diretamente das equa¸cões (2.1) e (2.7). Escrevendo este resultado em termos de RAB, obtém-se

4RAB =               · · · · · −σ −φ · −φ σ · −φ σ · σ φ · · · · · −φ σ · σ φ · σ φ · φ −σ               , (2.14)

onde σ e φ são arbitrários. Vale ressaltar aqui que as quantidades que surgem em (2.7) são obtidas numa base coordenada composta de dois vetores nulos e dois vetores tipo-espa¸co. Por outro lado, a matriz 6 × 6 apresentada em (2.14) é resultado do mapeamento de um espa¸co quadri-dimensional gerado por uma tétrada composta de três vetores tipo-espa¸co e um vetor tipo-tempo. Dessa maneira, a matriz (2.14) é encontrada após uma mudan¸ca de coordenadas e os elementos da matriz diferem apenas por um número real multiplicativo daqueles apresentados em (2.7). No entanto, como σ e φ são arbitrários em ambos os casos, estas diferen¸cas são irrelevantes. Note também que os planos-23 coincidem nas duas situa¸cões, de modo que a quantidade φ torna-se nula sob o efeito da mesma rota¸cão de eixos apresentada anteriormente.

O efeito das descontinuidades (2.14) pode ser investigado a partir da equa¸c˜ao do desvio geod´esico D2_Zµ dτ2 + R µ νρσu ν_Zρ_uσ _{= 0,} _(2.15) onde Z = Zµ_∂

µ representa o vetor que conecta duas part´ıculas teste vizinhas num campo gravitacional caracterizado pelo tensor de curvatura Rµ_νρσ. Nesta equa¸c˜ao, u = uµ∂µ = (dxµ_{/dτ )∂}

µé a quadri-velocidade de uma das part´ıculas ao longo de uma curva geodética γ, e τ é o tempo próprio dessa part´ıcula em sua trajetória. Na figura 2.1 é apresentado um desenho esquemático do efeito.

Se uma t´etrada for escolhida de modo que o vetor tipo-tempo eµ coincida com a quadri-velocidade uµ _{e os vetores tipo-espa¸co e} µ

(i) sejam ortogonais `a u

µ _{e paralelamente} transportados ao longo da curva γ, ent˜ao a equa¸c˜ao (2.15) pode ser reescrita como

d2_X(i) dτ2 + K (i) (j)X (j) = 0, (2.16)

(20)

Figura 2.1: Desvio geod´esico. Adapta¸c˜ao de Carrol [4].

onde X(i) _{= Z}µ_e (i)

µ s˜ao as componentes f´ısicas do vetor deslocamento, e K(i)

(j)= R (i)

(0)(j)(0) (2.17)

representam algumas das componentes f´ısicas do tensor de curvatura de Riemann. Uma an´alise da equa¸c˜ao (2.16) para a componente X(0)

leva à conclusão que esta componente tem uma dependência linear com o tempo próprio, uma vez que K(0)

(i) = 0.

Sempre ´e poss´ıvel escolher as condi¸c˜oes iniciais do problema de modo que X(0)

= 0, e esta escolha pode ser interpretada da seguinte forma: se dois observadores seguem suas respectivas geodésicas, e estas geodésicas são congruentes, então os relógios destes observadores estão sincronizados se, e somente se, X(0) _{= 0.}

No limite newtoniano, X(i)

representam as componentes do vetor posi¸c˜ao de uma das part´ıculas com respeito `a outra, e K(i)

(j) = ∂

2_Φ/∂x(i)_∂x(j)_{, sendo Φ o potencial gravitacional}

newtoniano. Neste caso, ao tomar o tra¸co de K(i)(j), obt´em-se:

K(i) (i)= ∂

2_Φ/∂x(i)

∂x(i)

= ~∇2_{Φ = 4πρ,} _(2.18)

onde ρ ´e a densidade de massa da fonte do potencial gravitacional. Por outro lado, K(i) (i) =

R(i)

(0)(i)(0) = R(0)(0), de modo que

R(0)(0) = 4πρ. (2.19)

Ou seja, a componente R(0)(0) do tensor de Ricci est´a ligada `a densidade de massa da fonte.

(21)

(2.14), segue que frentes de ondas gravitacionais passando por pares de part´ıculas teste far˜ao com que estas sofram uma descontinuidade na acelera¸c˜ao relativa descrita por

4K(i) (j) =      0 0 0 0 −σ −φ 0 −φ σ      . (2.20)

Fica fácil perceber de (2.20) que a descontinuidade na acelera¸cão relativa dependerá de como as part´ıculas estão posicionadas. Se as duas part´ıculas estiverem alinhadas ao longo da dire¸cão da frente de onda (dire¸cão 1), então as part´ıculas não sentirão descontinuidade na acelera¸cão relativa. Este resultado expressa o caráter transversal das ondas gravitacionais de modo totalmente invariante. Por outro lado, se as part´ıculas estiverem sobre o plano-23, o qual é perpendicular à dire¸cão de propaga¸cão da frente de onda, então as part´ıculas sofrerão os efeitos da descontinuidade no tensor de curvatura. Em (2.20), σ e φ representam os dois tipos de estados de polariza¸cão da radia¸cão gravitacional bem conhecidos da teoria de aproxima¸cão linearizada, por exemplo. Na figura 2.2 são representados esquematicamente estes efeitos.

(a)

(b)

Figura 2.2: O efeito das descontinuidades (a) σ e (b) φ. Adapta¸c˜ao da Ref. [4].

2.1.2 Formas canˆonicas para o tensor de Riemann

Nesta subse¸cão será explorada a representa¸cão canônica do tensor de Riemann em quatro dimensões, conforme apresentada por Pirani [7]. O objetivo aqui é desenvolver a ideia de um observador que segue o campo gravitacional. Como exemplo introdutório será tomado o caso do campo eletromagnético. Para este caso, os autovetores associados com o campo são obtidos da equa¸cão de autovalor

(22)

onde T ν

µ é o tensor energia-momento eletromagnético. Esta equa¸cão estabelece que, em geral, vetores tipo-tempo, tipo-espa¸co e nulos podem existir. Porém, no caso espec´ıfico de um campo nulo, não haverá autovetores tipo-tempo; todos os autovetores serão tipo-espa¸co, com exce¸cão do próprio vetor nulo, e todos estarão num espa¸co tridimensional tangente ao cone de luz ao longo da dire¸cão do autovetor nulo.

A ideia de um observador que segue o campo eletromagnético é facilmente compre-endida se for considerado o vetor de Poynting Sρ_{. Em termos de componentes do tensor} energia-momento, o vetor de Poynting num frame de Lorentz local é dado por Si _{= T}0i_. Este vetor pode ser escrito em forma covariante considerando novamente uma base cujo ve-tor eµ _´_{e identificado como a quadri-velocidade do observador e, na sequˆ}_{encia, escrevendo as} componentes espaciais do tensor energia-momento como uma proje¸cão ortogonal a esta quadri-velocidade. Sendo Pµ

ν = δµν + uµuν o projetor ortogonal à uµ, então o vetor de Poynting em forma covariante é dado por:

Sρ = (δµρ+ u µ

uρ)Tµνuν. (2.22)

´

E f´acil observar dessa equa¸c˜ao que

Sρuρ = 0, (2.23)

ou seja, Sρé um vetor tipo-espa¸co. Por outro lado, se nρé um vetor normal a uma superf´ıcie Σ, tal que nρ é perpendicular à quadri-velocidade do observador, então o fluxo de energia eletromagnética que cruza Σ é

Sρnρ= Tµνuµnν. (2.24)

Quando é dito que um observador segue o campo eletromagnético, isto significa que o fluxo de energia medido por ele sobre qualquer superf´ıcie Σ é zero. De acordo com (2.23) e (2.24), é poss´ıvel afirmar que tal condi¸cão acontece somente se Sρ = 0, o que por (2.22) implica em

Tρνuν = −(Tµνuµuν)uρ. (2.25)

Portanto, uρé o autovetor de Tµν. Dessa maneira, está estabelecida a ideia de um observador seguindo o campo eletromagnético a partir do conhecimento do autovetor do tensor energia-momento. Como foi dito anteriormente, para o caso campo nulo, o que indica a presen¸ca de ondas eletromagnéticas, não existirão autovetores tipo-tempo, de modo que nenhum ob-servador com velocidade finita poderá medir um fluxo de energia zero. Em outras palavras, para um campo nulo, este fluxo não pode ser eliminado por meio de uma transforma¸cão de

(23)

Lorentz. Um campo ´e dito ser nulo se ele possui um autovetor nulo, ξµ_{, com autovalor zero,}

Tµνξν = 0. (2.26)

Assim, somente se o observador fosse capaz de viajar `a velocidade da luz na dire¸c˜ao de ξµ_, ele poderia medir um fluxo zero de energia.

A extensão deste conceito para o caso gravitacional não é trivial, uma vez que, devido ao princ´ıpio de equivalência, não existe um tensor energia-momento associado ao campo gra-vitacional. Por outro lado, é poss´ıvel utilizar a estrutura geométrica do tensor de Riemann para definir o análogo do conceito de um observador ‘seguindo o campo’ que acaba de ser discutido para o caso eletromagnético. Porém, a extensão não é direta, devido às diferentes propriedades do tensor de Riemann em compara¸cão com o tensor energia-momento eletro-magnético. Desse modo, a análise será dividida em duas partes. Na primeira parte, serão definidos os autobivetores do tensor de Riemann. Em seguida, usando as formas canônicas para o tensor de Riemann, obtidas por Petrov [24] (ver apêndice A), será poss´ıvel escrever de forma expl´ıcita os autobivetores para o vácuo. Geometricamente, os autobivetores correspon-dem a superf´ıcies bidimensionais ou a pares de superf´ıcies. As interseçcões dessas superf´ıcies definem um determinado número de quadri-vetores, os quais serão denominados de vetores principais de Riemann [7].

“Um observador que possui um vetor principal de Riemann tipo-tempo como quadri-velocidade ´e dito estar seguindo o campo gravitacional.”

Os autobivetores Pµν do tensor de Riemann s˜ao definidos pela equa¸c˜ao

RµνρσPρσ = λPµν, (2.27)

ou, usando o formalismo hexa-dimensional apresentado anteriormente,

RABPB = λPA. (2.28)

Petrov [24] mostrou que, por meio de uma escolha adequada da tétrada em qualquer evento num espa¸co-tempo vazio, o tensor de Riemann se reduz a uma das três formas canônicas listadas abaixo.

(24)

Tipo I: RAB =               α1 · · β1 · · · α2 · · β2 · · · α3 · · β3 β1 · · −α1 · · · β2 · · −α2 · · · β3 · · −α3               , (2.29) onde P3 kαk = 0 e P3 kβk = 0. Tipo II: RAB =               −2α · · −2β · · · α − σ · · β σ · · α + σ · σ β −2β · · 2α · · · β σ · −(α − σ) · · σ β · · −(α + σ)               . (2.30) Tipo III: RAB =               · σ · · · · σ · · · · −σ · · · · −σ · · · · · −σ · · · −σ −σ · · · −σ · · · ·               . (2.31)

Estas formas matriciais para RAB são obtidas, primeiramente, impondo limita¸cões nas trans-forma¸cões que podem ser realizadas sobre o tensor de Riemann no espa¸co de 6 dimensões, a saber, impondo que as transforma¸cões de Lorentz sejam reais. Além disso, considera-se as simetrias que a matriz RAB possui.

Os autobivetores de RAB, definidos por (2.28), podem ser obtidos das equa¸c˜oes (2.29)-(2.31). Eles s˜ao bivetores complexos escritos na forma

(25)

sendo S_A∗ o vetor dual de Hodge de SA,

S_µν∗ = 1

2gµρgνσ ρστ π_S

τ π, (2.33)

ou, utilizando a nota¸c˜ao hexa-dimensional,

S_A∗ = 1 2gAB

BC

SC, (2.34)

onde µνρσ _eAB _s˜_{ao os tensores de Levi-Civita, respectivamente, em quatro e seis dimens˜}_oes. Assim, cada autobivetor de RAB define, em geral, um par de superf´ıcies ortogonais. Considerando que estes bivetores estejam normalizados, pode-se escrevˆe-los explicitamente como segue abaixo.

Tipo I: Existem seis autobivetores independentes:

PA=    δ A 1 e δ4A, se β1 = 0, δ₁A± iδ A 4 , se β1 6= 0; PA=    δ A 2 e δ5A, se β2 = 0, δ₂A± iδ A 5 , se β2 6= 0; (2.35) PA=    δ A 3 e δ6A, se β3 = 0, δ₃A± iδ A 6 , se β3 6= 0. Tipo II: Existem quatro autobivetores independentes:

Se β = 0,    PA _{= δ} A 1 e PA = δ4A, PA = δ₂A− δ A 6 e PA = δ3A+ δ5A; Se β 6= 0,    PA_{= δ} A 1 ± iδ4A, δ A 2 − δ6A± i(δ3A+ δ5A). (2.36)

Tipo III: Existem dois autobivetores independentes:    PA= δ₂A− δ A 6 , PA_{= δ} A 3 + δ5A. (2.37)

Conforme definido anteriormente, os vetores principais de Riemann de cada um dos tipos da classifica¸cão resultam da interseçcão de dois planos gerados pela combina¸cão dos autobivetores. Deste modo, se r(a) _´_{e um vetor principal de Riemann normalizado, segue que:}

(26)

Tipo I: r(a) _{= δ} (a) (0) , δ (a) (1) , δ (a) (2) , δ (a)

(3) . Neste caso, os vetores principais s˜ao justamente os

vetores da t´etrada base, sendo um vetor tipo-tempo e trˆes vetores tipo-espa¸co. Tipo II: r(a)_{= δ} (a)

(0) − δ (a) (1) , δ (a) (2) , δ (a)

(3) . O primeiro vetor principal ´e nulo e os demais vetores

s˜ao todos tipo-espa¸co. Tipo III: r(a)_{= δ} (a)

(0) − δ (a)

(1) . Existe somente um vetor principal de Riemann, o qual ´e nulo.

Dois dos três tipos de tensores de Riemann possuem vetores principais nulos, e a existência de tais tensores identifica a presen¸ca de ondas gravitacionais. Se fosse poss´ıvel para um observador viajar ao longo de uma dire¸cão nula principal de Riemann, então ele estaria ‘seguindo o campo’ e não detectaria a existência de ondas gravitacionais. Segundo Pirani [7], “em qualquer evento no espa¸co-tempo vazio, a radia¸cão gravitacional está presente se o tensor

de Riemann ´e do tipo II ou III, mas n˜ao se ele for do tipo I.”

Em princ´ıpio os σ’s em (2.14) e (2.30) são de naturezas distintas. No entanto, ao comparar as duas matrizes, percebe-se que os σ’s ocupam as mesmas posi¸cões e possuem os mesmos sinais em ambos os casos. Esta correspondência se deve de imediato à escolha de ori-enta¸cão de ambas as tétradas, uma vez que nas duas a dire¸cão-1 é a dire¸cão de propaga¸cão da radia¸cão gravitacional. Portanto, a existência de uma descontinuidade no tensor de Riemann pode ser realmente associada à existência de ondas gravitacionais.

Vale ainda ressaltar que estes resultados são totalmente independentes da base es-colhida, uma vez que, apesar de ter usado uma tétrada espec´ıfica para colocar o tensor de Riemann em forma canônica, as conclusões obtidas da análise anterior são independentes da escolha desta tétrada.

As diferen¸cas entre os tipos I e II de espa¸cos-tempos podem ser investigadas a partir do movimento relativo entre part´ıculas livres que se movem com diferentes velocidades com respeito a uma t´etrada de vetores tipo-tempo apropriada. Por exemplo, se for considerado o efeito de um boost sobre K(i)

(j) dado pelas transforma¸c˜oes de t´etrada:

¯ e (0) µ = e (0) µcosh θ + e (1) µ senh θ; ¯ e (1) µ = e (0) µsenh θ + e (1) µcosh θ; (2.38) ¯ e (2) µ= e (2) µ; ¯e (3) µ= e (3) µ;

onde os vetores sem barra se referem a tétrada na qual se obteve os tensores de Riemann nas formas canônicas (2.29) e (2.30). Para facilitar a compara¸cão entre os resultados, se representará α2 = α − σ e α3 = α + σ para a forma canônica tipo I. Nestes caso, os resultados

(27)

obtidos s˜ao: Tipo I: K(2)(2) = −(α − σ), K¯(2)(2) = −(α − σ cosh 2θ), K(2)(3) = 0, K¯(2)(3) = 1 2(β1− β2)senh 2θ K(3)(3) = −(α + σ), K¯(3)(3) = −(α + σ cosh(2θ). (2.39) Tipo II: K(2)(2) = −(α − σ), K¯(2)(2) = −(α − σe −2θ_), K(2)(3) = 0, K¯(2)(3) = 0 K(3)(3) = −(α + σ), K¯(3)(3) = −(α + σe −2θ_). (2.40)

Novamente, os K’s com barra representam as componentes f´ısicas do tensor de Riemann na t´etrada ¯e (a)

µ. Nos resultados acima, foram omitidos os termos do tipo K1b por serem invariantes frente `a transforma¸c˜ao de Lorentz realizada.

A principal diferen¸ca entre os tipo I e II de tensores de Riemann ocorrem quando θ assume valores pequenos (θ = tgh−1v, onde v é a tri-velocidade relativa entre os observadores nas diferentes tétradas). Nesse limite, para um tensor tipo I, a varia¸cão de K22 e K33 em primeira ordem vai com θ2_{, o que caracteriza um efeito t´ıpico das transforma¸c˜}_{oes de Lorentz} na relatividade especial. Por outro lado, os mesmos K’s para o tipo II vão com θ o que caracteriza um efeito não Lorentziano.

Por fim, quando θ assume valores muito altos, no tipo I os ¯K’s assumem valores muito altos, independentes do sinal de θ. Como consequência, para o tipo I os ¯K’s possuem valor extremo apenas quando θ = 0. Em oposi¸cão, para o tipo II, eles se aproxima assintoticamente de um valor extremo quando θ → ∞(v → 1), tal que a velocidade do observador se aproxima da velocidade da luz na dire¸cão de propaga¸cão da radia¸cão.

[7]

2.2 A interpreta¸c˜ao f´ısica dos escalares de Weyl

Na se¸cão anterior, mostrou-se de duas maneiras distintas como que se identifica a presen¸ca de radia¸cão gravitacional com base no tensor de Riemann. A primeira maneira é usando a condi¸cão de descontinuidade de Lichnerowicz onde é poss´ıvel concluir que as ondas gravitacionais surgem no tensor de Riemann como uma descontinuidade ao longo das dire¸cões perpendiculares à dire¸cão de propaga¸cão da radia¸cão. A segunda forma é a partir das formas canônicas do tensor de Riemann, neste caso, a existência vetores principais tipo-luz ligados `

(28)

Figura 2.3: Compasso gravitacional. Extra´ıda de Szekeres (1965)

trabalho realizado por Szekeres em 1965 [8], será utilizada a equa¸cão de desvio geodésico juntamente com a classifica¸cão de Petrov para extrair o significado f´ısico dos escalares de Weyl. No estudo do efeito do desvio geodésico será introduzido o conceito de compasso gravitacional.

2.2.1 A classifica¸c˜ao de Petrov e o compasso gravitacional

Para a presente análise, será utilizada a equa¸cão de desvio geodésico (2.15): D2_Zρ

dτ2 = R ρ

σµνu

σ_uν_Zµ_, _(2.41)

Como consequência dessa equa¸cão, o tensor simétrico Kµν = Rµρνσuρuσ representa o gradiente da ‘for¸ca gravitacional’ sobre um observador como discutido na se¸cão anterior. Uma forma direta de interpretar fisicamente este tensor é considerando um tetraedro formado por um conjunto de molas que conectam três part´ıculas testes entre si, e cada uma a um observador no centro do tetraedro como mostra a Figura 2.3. O observador neste problema se desloca ao longo de uma geodésica onde o tempo próprio é o parâmetro afim. A medida que ele` se desloca ao longo de sua geodésica é poss´ıvel observar então uma for¸ca atuando sobre o conjunto de molas. Uma vez que Kµν é uma matriz simétrica então, ela possui apenas seis componentes linearmente independentes. Quando as for¸cas que atuam sobre as molas S12, S13 e S23são zero, então as três molas S1, S2, e S3 que conectam as part´ıculas testes ao observador estão alinhadas ao longo dos eixos principais de Kµν. Assim, tem-se um mapa entre o campo gravitacional local e o que Szekeres [8] define como compasso gravitacional.

(29)

O tensor de Riemann em quatro dimens˜oes possui 20 componentes independentes. Em geral, este tensor pode ser decomposto em partes independentes da seguinte forma:

Rρσµν = Cρσµν+ gρ[µRν]σ+ Rρ[µgν]σ− 1

3Rgρ[µgν]σ (2.42) onde Cρσµν e Rµν são os tensores de Weyl e Ricci, respectivamente, e R = gµνRµν é o escalar de Ricci. Estes tensores, por sua vez, possuem 10 componentes independentes cada um. Na ausência de matéria e num espa¸co-tempo com constante cosmológica zero, Rµν = R = 0 e tensores de Riemann e Weyl se tornam idênticos. Substituindo (2.42) em (2.41), é poss´ıvel escrever a equa¸cão de desvio geodésico na forma:

D2_Zρ dτ2 = C ρ σµνu σ_uν_Zµ₊1 3(Rσνu σ_uν_)Zρ₋ 1 2S ρ µZ µ_, _(2.43) onde, Sρσ = PµρP ν σRµν− 1 3P µν_R µνPρσ, Pµν = gµν+ uµuν. (2.44)

O primeiro termo em (2.43) representa a colabora¸cão de um campo gravitacional livre, po-dendo ser pensado como um efeito de for¸cas de cisalhamento, uma vez que ele é um termo simétrico livre de tra¸co. O segundo termo, por sua vez, caracteriza a presen¸ca de matéria, co-laborando como uma componente de for¸ca ‘expansiva’ para as equa¸cões do desvio e, o último termo, representa um efeito de cisalhamento também causado pela presen¸ca de matéria.

Para investigar a contribui¸cão do tensor de Weyl em (2.43), é conveniente introduzir uma base tétrada de vetores nulos. A constru¸cão dessa base pode ser feita a partir de uma base tétrada onde e(0) é escolhido novamente de modo a coincidir com a quadri-velocidade

u do observador, ortogonal aos vetores tipo-espa¸co e(1) = s, e(2) e e(3). Neste caso, se pode

escrever: lµ_{= (u}µ_{+ s}µ_), _mµ ₌ _√1 2(e µ (2)+ ie µ (3)), nµ₌ 1 2(u µ_{− s}µ_), _m_¯µ ₌ _√1 2(e µ (2)− ie µ (3)). (2.45)

Estes vetores nulos obedecem as condi¸c˜oes de ‘ortogonalidade’:

mµm¯µ = −lµnµ = 1,

lµlµ= lµmµ= nµnµ= nµmµ= mµmµ = 0.

(2.46)

(30)

escrito como

gµν = −2l[µnν]+ 2m[µm¯ν] (2.47) Al´em disso, ´e poss´ıvel escrever um tensor de Weyl complexo [27] em termos de uma base de bivetores nulos {Wα} = {U , V , M }, descrita por:

Uµν = 2 ¯m[µnν],

Vµν = 2l[µmν], (2.48)

Mµν = 2n[µlν]+ 2 ¯m[µmν].

Todas as contra¸cões deste bivetores são nulas com exce¸cão de

UµνVµν = 2, MµνMµν = −4. (2.49)

Ao levar em considera¸c˜ao o fato que o tensor de Weyl ´e totalmente livre de tra¸co juntamente com suas propriedades de simetria sobre troca de ´ındices, se conclui que:

Cµνρσ + iCµνρσ∗ = 2Ψ0UµνUcd+ 2Ψ1(UµνMcd+ MµνUcd) + 2Ψ2(UµνVcd+ VµνUcd+ MµνMcd) + 2Ψ3(VµνMcd+ MµνVcd) + 2Ψ4VµνVcd,

(2.50)

onde C_µνρσ∗ = 1₂µνλCλρσ ´e o dual de Hodge de Cµνρσ. Os Ψ(N ) s˜ao escalares complexos

conhecidos na literatura por escalares de Weyl. É poss´ıvel verificar a partir de contra¸cões de (2.50) com os vetores nulos da base tétrada que:

Ψ0 = Cµνρσlµmνlρmσ, Ψ1 = Cµνρσlµnνlρmσ, Ψ2 = Cµνρσlµmνm¯ρnσ, Ψ3 = Cµνρσlµnνm¯ρnσ, Ψ4 = Cµνρσnµm¯νnρm¯σ. (2.51)

Estes cinco escalares complexos representam as dez componentes reais e independentes do tensor de Weyl.

Uma vez escolhida a base tétrada nula, é poss´ıvel utilizar a classifica¸cão de Petrov no formalismo de Newman-Penrose (ver apêndice B para maiores detalhes) para orientar os eixos da tétrada de modo a fazer vários dos escalares de Weyl serem zero e, consequentemente,

(31)

sim-plificar a equa¸c˜ao (2.50). Assim, considerando um espa¸co-tempo Petrov tipo N, caracterizado pela existˆencia de um vetor nulo lµ_{que satisfaz a condi¸c˜}_{ao C}

µνρσlµ = 0. Se lµ for o vetor nulo definido em (2.45), chega-se a conclusão que Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ3 = 0. Dessa forma, apenas Ψ4 diferente de zero. Este escalar pode ser feito real ao realizar uma rota¸cão da tétrada, tal que, mµ _{→ e}iθ_mµ_{. Neste caso, a equa¸c˜}_{ao de desvio geod´}_{esico (2.41) se reduz a:}

d2Zρ

dτ2 = Ψ4(e ρ

(2)e(2)σ − e(3)ρe(3)σ)Zσ. (2.52) Portanto, um observador que segue uma geodésica com quadri-velocidade u sofrerá uma acelera¸cão relativa ao longo das dire¸cões e(2) e e(3) que formam um plano perpendicular a

dire¸cão s na qual a frente de onda se propaga. Como este efeito é totalmente independente da quadri-velocidade com que o observador se desloca, considera-se então que campos Petrov tipo N caracterizam a existência de ondas gravitacionais puramente transversais. Em (2.52) se utilizou apenas a parte real de (2.50) uma vez que as equa¸cões do desvio carregam apenas componentes reais do tensor de Weyl.

Figura 2.4: O efeito dos escalares de Weyl: (a) Ψ4, (b) Ψ3, (c) Ψ2. Adapta¸c˜ao de Szekeres [8].

Para o Petrov tipo III, por sua vez, existe um vetor nulo lµ _{que satisfaz l}

µl[λCµ_ν]ρσ = 0. Escolhendo lµ _{novamente como sendo o apresentado pela equa¸c˜}_{ao (2.41), obt´}_{em-se que Ψ}

0 = Ψ1 = Ψ2 = 0. Porém, ainda existe um classe de observadores nos quais Ψ4 = 0 e Ψ3 é real. Para esta classe de observadores se tem que a acelera¸cão relativa é dada por

D2_Zρ

dτ2 = Ψ3(s ρ_e

(2)σ+ eρ(2)sσ)Z

σ_. _(2.53)

Como no caso anterior, a distribui¸cão de for¸cas se dá sobre um plano. Porém, neste caso uma das dire¸cões está ao longo da dire¸cão de propaga¸cão da frente de onda. Assim, Ψ3 é interpretado com uma componente longitudinal do campo gravitacional ao longo da dire¸cão

(32)

sµ_{. Para os observadores em que Ψ}

4 6= 0 as ondas gravitacionais estar˜ao sobrepostas a esta componente longitudinal do campo.

As componentes Ψ0 e Ψ1 possuem as mesmas interpreta¸c˜oes f´ısicas que Ψ4 e Ψ3, res-pectivamente, mas com frentes de onda que se propagam na dire¸c˜ao −sµ_.

Se, finalmente, for considerado um espa¸co-tempo Petrov tipo D, então a orienta¸cão dos eixos da tétrada será tal que Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = Ψ4 = 0. Neste caso, somente Ψ2 é não-zero. Para este caso, não se tem liberdade de fazer este termo real e, portanto as equa¸cões do desvio geodésico assumem a forma

D2_Zρ dτ2 = 2Ψ (R) 2 sρsσ− 1 2 e ρ (2)e(2)σ+ e(3)ρe(3)σ Zσ, (2.54) onde Ψ(R)

2 é a parte real de Ψ2. Esta distribui¸cão de for¸ca causa uma distor¸cão de uma distribui¸cão esfericamente simétrica centrada no observador em um elipsoide onde, sµ_´_{e o eixo} principal. Este efeito é o mesmo que acontece com uma densidade de matéria sobre o efeito de uma atra¸cão gravitacional que obedece uma lei do inverso do quadrado das distâncias. Por este motivo, se reconhece este termo como sendo o termo Coulombiano do campo. A intensidade, neste caso, é dada diretamente por Ψ(R)

2 .

Para o Petrov tipo II se pode fazer Ψ0 = Ψ1 = Ψ4 = 0, tal que, poder´a ser visualizado um campo coulombiano juntamente com uma componente longitudinal sainte sobreposta. E, finalmente, para o caso algebricamente geral (Petrov I), os escalares Ψ0 e Ψ4 ser˜ao zero. Nesta classe de espa¸co surgem componentes de campos longitudinais sobrepostas ao campo coulombiano.

2.2.2 O efeito das transforma¸c˜oes de Lorentz

Nesta se¸cão, será apresentado como um observador pode usar um compasso gravitaci-onal para estabelecer o gradiente do campo gravitacigravitaci-onal no seu sistema de referência. Para isto, será feito uso das transforma¸cões de Lorentz para relacionar os vários escalares de Weyl medidos por observadores que se movem com velocidades distintas. Nesse modo, ao considerar inicialmente o efeito de um boost capaz de gerar uma rota¸cão sobre o plano formado pelos vetores (l, n), tem-se que

l0_µ= (1 + v) (1 − v) 1₂ lµ n0_µ= 1 − v 1 + v 1₂ nµ, m0µ= mµ. (2.55)

(33)

Esta transforma¸cão corresponde a uma simples mudan¸ca de sistema de referência entre ob-servados que se movem com uma tri-velocidade relativa de módulo v ao longo da dire¸cão s. Assim, Ψ0₂ = 1 16CµνρσM 0_µν M0ρσ = Ψ2, Ψ0₃ = −1 8CµνρσU 0_µν M0ρσ = Ψ3 1 − v 1 + v 1₂ , Ψ0₄ = 1 4CµνρσU 0_µν U0ρσ = Ψ4 (1 + v) (1 − v). (2.56)

Portanto, para um Petrov tipo N, um observador que aumenta sua velocidade experimentará uma diminui¸cão na amplitude da onda por ele observada por um fator (1 − v)/(1 + v) e para um movimento no sentido contrário, se obtém o resultado oposto e o observador medirá um aumento na amplitude. O mesmo efeito acontece para o Petrov tipo III, porém, por um fator [(1 − v)/(1 + v)]1/2_{. Al´}_{em disso, Ψ}

2 é invariante, isto é, o termo coulombiano não é afetado por esta transforma¸cão. Em termos do compasso gravitacional, se pode dizer que a pressão sobre as molas é independente da velocidade radial do observador.

Considerando agora uma transforma¸c˜ao entre referenciais que se movem com uma velocidade relativa v ao longo da dire¸c˜ao e(2)µ. Neste caso

u0µ = (u

µ_{+ ve} µ

(2))

√

1 − v2 . (2.57)

Se em seguida for realizada uma nova rota¸c˜ao, desta vez, sobre o plano (s, e(2)) permitindo

que lµaponte na dire¸c˜ao de s0µ, os vetores da t´etrada devem se transformar da seguinte forma

l0µ = lµp(1 − v2_), m0µ = mµ+ lµ√v 2, n0µ = nµ√ 1 1 − v2 − (m µ_{+ ¯}_mµ₎ v p2(1 − v2₎− l µ v2 2√1 − v2 (2.58)

Como no caso anterior, ao conhecer a transforma¸cão dos vetores da base tétrada é poss´ıvel conhecer como os vários escalares de Weyl se transformam. Em particular, considerando um

(34)

espa¸co-tempo Petrov tipo D, obt´em-se Ψ0₂ = Ψ2, Ψ0₃ = Ψ2 3v p2(1 − v2₎, Ψ0₄ = Ψ2 3v2 1 − v2 (2.59)

Portanto, quando v → 1, Ψ4 é a parte dominante; de modo que um observador passando rapidamente por uma fonte (pode ser uma estrela ou buraco negro, por exemplo) num espa¸co de Schwarschild com uma velocidade próxima a da luz, o campo tomará a aparência de uma onda gravitacional puramente transversal.

No vácuo, portanto, o campo gravitacional pode ser completamente determinado por estas transforma¸cões de Lorentz. O uso de dois diferentes compassos gravitacionais que se movem com velocidades distintas ao longo da dire¸cão s permitirá observar todas as com-ponentes do tensor de Weyl com exce¸cão da parte imaginária de Ψ2. Somente ao usar um terceiro compasso se movendo ao longo de e(2)µ será poss´ıvel determinar tal parte.

2.2.3 Aplica¸c˜oes

(a) Presen¸ca de um campo eletromagn´etico nulo:

Como uma aplica¸cão, será combinada radia¸cão eletromagnética à radia¸cão gravitacio-nal. Deste modo, para o espa¸co-tempo vazio

Rµν = 4πTµν = Alµlν, lµlµ= 0, (2.60)

onde A é uma constante arbitrária. Se uµ _´_{e qualquer vetor tipo-tempo tal que l}µ _{= u}µ_{+ s}ν_, então Rµνuµuν = A 2, Sµν = A 2 sµsν− 1 3Pµν . (2.61)

Neste caso, a partir da equa¸cão (2.43) se conclui que um campo eletromagnético nulo contribui para a equa¸cão de desvio geodésico no vácuo com um termo adicional

1 2A(e µ (2)e(2)ν+ e µ (3)e(3)ν)Z ν_. _(2.62)

Assim, o campo eletromagnético contribuirá para o campo gravitacional com uma compo-nente transversal. Deste modo, se uma onda gravitacional está acompanhada de uma onda

(35)

eletromagnética, então a dire¸cão de polariza¸cão da onda gravitacional não será afetada, e somente o c´ırculo da acelera¸cão desenvolverá uma acentricidade.

(b) Ondas gravitacionais interagentes:

Suponha a existência de duas ondas gravitacionais de tipo N se movendo ao longo das dire¸cões l e n. Um observador num referencial dado por (2.45) observa estas ondas se moverem ao longo de dire¸cões opostas sµe −sµ. Como as ondas não interagem, a for¸ca sentida pelo observador estará confinada ao plano (e(2), e(3)) e o campo resultante deverá ser a soma

das amplitudes das duas ondas. Neste caso se espera que neste referencial

C_µνρσ∼ = 2Ψ0UµνUρσ+ 2Ψ4VµνVcd, (2.63)

onde C_µνρσ∼ = Cµνρσ + iCµνρσ∗ é o tensor de Weyl complexo. Substituindo esta expressão nas identidades de Biachi para o vácuo (Cµ

νρσ;µ = 0) e, em seguida, contraindo o resultado com lνnρUσλ, obt´em-se

Ψ4lν;σm¯νlσ = Ψ4lν;σm¯νm¯σ. (2.64) Esta ´e a condi¸c˜ao que lµ _´_{e um vetor tangente a uma geod´}_{esica livre de cisalhamento. Pelo} teorema de Goldberg e Sachs [28] que diz que:

“Uma métrica para o vácuo é algebricamente especial se, e somente se, ela admite uma congruência de geodésica nulas livres de cisalhamento.”

Conclui-se que quando ondas gravitacionais estão se movendo em dire¸cões nulas opostas tanto o vetor l quanto o vetor n deverão ser vetores principais livres de cisalhamento. Porém, da suposi¸cão de não intera¸cão imposta pela equa¸cão (2.63) se conclui que apenas l satisfaz tal condi¸cão. Tal contradi¸cão significa que a suposi¸cão de que as ondas não interagem ao se propagarem em sentidos opostas é falsa. As ondas gravitacionais são de natureza não linear, de modo que, após se cruzarem suas caracter´ısticas iniciais deverão ser alteradas.

(36)

3 A TEORIA DE PERTURBA ¸

C ˜

OES GRAVITACIONAIS

O presente cap´ıtulo tem por objetivo revisar a teoria de pertuba¸cões gravitacionais de buracos negros planos-simétricos em espa¸cos-tempo assintoticamente anti-de Sitter. Para este fim, o cap´ıtulo foi subdividido em três se¸cões. Na primeira se¸cão, as quantidades que caracterizam o espa¸co-tempo de fundo são apresentadas. Na se¸cão seguinte, a teoria de perturba¸cões via lineariza¸cão das equa¸cões de Einstein é descrita para o caso em que as perturba¸cões são axissimétricas. Esta classe de perturba¸cões estão associadas a uma escolha conveniente dos vetores da base tétrada e não representa nenhuma perda de generalidade. Na última se¸cão, as perturba¸cões são descritas utilizando o formalismo de Newman-Penrose também linearizado. Este cap´ıtulo se baseia no trabalho de Miranda [29] que utiliza o método de perturba¸cões desenvolvida por Chandrasekhar [26] para o estudo das pertuba¸cões de branas negras anti-de Sitter.

3.1 O espa¸co-tempo de fundo

Quando o espa¸co-tempo é assintoticamente anti-de Sitter, uma solu¸cão de buraco negro estática e com simétria plana pode ser extra´ıda [6]. Esta classe de buraco negro é chamada de brana negra anti-de Sitter. A solu¸cão de branas negras pode ser escrita de forma geral como

ds2 = −f (r)dt2+ f−1(r)dr2+ r2(dϕ2+ dz2), (3.1) onde f (r) = r 2 `2 − 2M r . (3.2)

Na equa¸cão (3.2), M representa um parâmetro de massa da brana negra e `2 _{= −3/Λ ´}_e conhecido como raio anti-de Sitter sendo Λ a constante cosmológica negativa. Na literatura, f (r) é chamada de fun¸cão horizonte e suas ra´ızes representam singularidades coordenadas na métrica (3.1). A única raiz real dessa fun¸cão representa a localiza¸cão radial do horizontes de eventos do buraco negro (rh). Para o caso em questão, não é dif´ıcil verificar que o o horizonte de eventos esta localizado em

rh =

3

√

2M `2_. _(3.3)

(37)

O intuito deste trabalho ´e, portanto, investigar quais efeitos f´ısicos surgem frete a pequenas perturba¸c˜oes gravitacionais nesse espa¸co-tempo.

3.2 Perturba¸c˜oes m´etricas no formalismo de Chandrasekhar

Na teoria de perturba¸cões gravitacionais, considera-se que o espa¸co-tempo de fundo de métrica ¯gµν é perturbado de tal maneira que a métrica do espa¸co-tempo f´ısico assume a forma gµν = ¯gµν + hµν. O tensor hµν representa uma perturba¸cão de primeira ordem sobre o espa¸co-tempo de fundo. Além disso, esta teoria possui certas liberdades de gauge associadas as transforma¸cões infinitesimais de coordenadas do tipo xµ → xµ_{+ ξ}µ_{, onde ξ}µ _´_{e um vetor} de transforma¸cão infinitesimal. Frente a esta transforma¸cão, o tensor hµν muda da seguinte forma:

hµν → hµν− 2ξ(µ;ν). (3.4)

O tensor de Riemann, que caracteriza a curvatura do espa¸co-tempo, não é alterado por esta transforma¸cão infinitesimal e, por isto, a equa¸cão (3.4) é chamada de transforma¸cão de gauge da teoria de perturba¸cões gravitacionais. Desse modo, sempre é poss´ıvel escolher o vetor ξµ de maneira a reduzir o número de componentes diferentes de zero de hµν, sem alterar o significado f´ısico das perturba¸cões.

Para o estudo das pertuba¸c˜oes gravitacionais usando o formalismo de gauge de Chan-drasekhar, considera-se que o elemento de linha associado ao espa¸co-tempo f´ısico ´e dado por:

ds2 = −e2ν(dt)2+ e2ψ(dϕ − q2dx2− q3dx3− q0dt)2 + e2µ2_(dx2₎2_{+ e}2µ3_(dx3₎2_.

(3.5)

Esta métrica é capaz de acomodar todas as quantidades relevantes para o estudo das pertur-ba¸cões métricas no gauge de Chandrasekhar [26]. Vale ressaltar que todas estas quantidades devem satisfazer as equa¸cões de Einstein e condi¸cões de contorno apropriadas. Note também que, para o espa¸co-tempo de fundo (3.1), as quantidades apresentadas em (3.5) assumem à seguinte forma q0 = q2 = q3 = 0, e2ν = e−2µ2 = f (r) = r2 `2 − 2M r , e 2ψ _{= e}2µ3 _{= r}2_, _(3.6)

e, portanto, a métrica (3.5) também acomoda a solu¸cão de branas negras não-perturbadas. Numa teoria de perturba¸cões métricas de primeira ordem, todas as quantidades em (3.5) são perturbadas de forma linear. Assim, pode-se escrever as componentes não nulas de

(38)

hµν como htt= −2e2νδν, htϕ = r2δq0, hrr= 2e−2νδµ2, hrϕ = r2δq2, hzz = 2r2δµ3, hzϕ = r2δq3, hϕϕ= 2r2δψ. (3.7)

As demais componentes de hµν são feitas zero por uma escolha apropriada do gauge. Além disso, como no espa¸co-tempo de fundo q0 = q2 = q3 = 0, por simplicidade, é poss´ıvel renomear as quantidade em (3.7) de modo que δq0 = q0, δq2 = q2 e δq3 = q3.

As perturba¸cões métricas q0, q2 e q3 possuem paridade ´ımpar frente à troca de ϕ por −ϕ e por este motivo são chamadas de perturba¸cões axiais (ou ´ımpares). Em contrapartida, as perturba¸cões δν, δµ2, δµ3 e δψ representam perturba¸cões pares frente à inversão anterior. Dessa forma, estas quantidades são chamadas de pertuba¸cões polares (ou pares). Pertuba¸cões polares e axiais são independentes entre si, de modo que é poss´ıvel estudar cada uma delas isoladamente. Do ponto de vista da teoria de grupos, estas duas classes de perturba¸cões são representa¸cões irredut´ıveis distintas frente ao grupo de transla¸cões Euclidianas sobre o plano que contém a brana negra. Neste caso, as perturba¸cões polares e axiais estão ligadas aos setores escalar e vetorial da decomposi¸cão das pertuba¸cões, respectivamente.

As equa¸cões para as perturba¸cões métricas aqui descrita são obtidas por lineariza¸cão das equa¸cões de Einstein para a métrica (3.5) após sua perturba¸cão. O conjunto de equa¸cões não nulas e independentes é apresentado a seguir:

1 2Q32,3− r 2_e−2ν Q02,0 = 1 r + ν,2 δµ2,1+ 1 r − ν,2 δν,1− (δν + δµ3),21 [δR(1)(2) = 0]; (3.8) Q23,2+ 2 1 r + ν,2 Q23− e−4νQ03,0= −2 1 r2e −2ν (δµ2+ δν),13 [δR(1)(3) = 0]; (3.9) ∂r+ 1 r − ν,2 (δψ + δµ3),0− 2 rδµ2,0 = − 1 r − ν,2 q0,1− q2,10+ 1 2Q20,1 [δR(0)(2) = 0]; (3.10) (δψ + δµ2),30= −q3,10+ 1 2Q30,1 [δR(0)(3) = 0]; (3.11) (δψ + δν,2),32− 1 r − ν,2 δν,3− 1 r + ν,2 δµ2,3 = −q2,31+ 1 2Q23,1 [δR(2)(3) = 0]; (3.12)

(39)

e−4ν∂t∂t− 1 r + ν,2 ∂r (δψ + δµ3) − 2 rδν,2− 1 r2e −2ν (δψ + δν),33+ 2 r 1 r + 2ν,2 δµ2 = 1 r2e −2ν [q3,13+ (δµ3+ δν),11] + 1 r + ν,2 q2,1− e−4νq0,10 [δG(2)(2) = 0]; (3.13) onde as componentes das perturba¸c˜oes acima foram projetas numa base tetrada apropriada [29] e as quantidades QA,B s˜ao definidas da seguinte maneira

QA,B = qA,B− qB,A (A, B = 0, 2, 3). (3.14)

As equa¸cões (3.8)-(3.13) representam um conjunto acoplado de equa¸cões para as per-turba¸cões axiais e polares. Uma maneira de desacoplar esse sistema de equa¸cões é limitar a análise somente ao conjunto de pertuba¸cões que independem da coordenada ϕ. Para este caso, as equa¸cões se separam em termos de quantidades puramente axiais

Q32,3− r2e−2νQ02,0= 0, Q23,2+ 2 1_r + ν,2 Q23− e−4νQ03,0= 0    (3.15) e, puramente polares [∂r+ (r−1− ν,2)](δψ + δµ3),0− 2r−1δµ2,0 = 0, (δψ + δµ2),30 = 0, (δψ + δν,2),32− (r−1− ν,2)δν,3− (r−1+ ν,2)δµ2,3 = 0, [e−4ν∂t∂t− (r−1+ ν,2)∂r] (δψ + δµ3) − 2r−1δν,2 −r−2_e−2ν_{(δψ + δν)} ,33+ 2r−1(r−1+ 2δν,2)δµ2 = 0,                      (3.16)

permitindo um estudo independente de cada setor. Esta forma de estudar as perturba¸cões, como foi dito, possui um gauge fixo de modo que perturba¸cões polares se apresentam apenas na diagonal principal da matriz de perturba¸cão. Por este motivo muitas vezes este método desenvolvido por Chandrasekhar é conhecido como: ‘O gauge diagonal de Chandrasekhar’

3.2.1 Pertuba¸c˜oes axiais

No estudo dessa classe de pertuba¸cões, faz-se uso das equa¸cões (3.15) para as quanti-dades q0, q2 e q3. Essas equa¸cões podem ser reescritas da seguinte maneira