A teoria alg´ ebrico-geom´ etrica de Kuroda

O objetivo dessa se¸cão é oferecer alguns conceitos e resultados de geometria convexa e geometria-algébrica que serão necessários para o desenvolvimento desse cap´ıtulo, bem como apresentar os elementos envolvidos na teoria de Kuroda e exemplos que a ilustram.

4.2.1 Alguns conceitos de geometria convexa e geometria-alg´ebrica

projetiva.

No desenvolver desse cap´ıtulo ser´_{a essencialmente estudado um conjunto de vetores de Z}n que fica associado e bem determinado por uma k-deriva¸c˜ao definida num anel de polinˆomios

k[x]. Na visão geométrica que será utilizada serão fundamentais dois conceitos de geometria convexa computacional: a dimens˜_{ao de um conjunto de pontos de Z}n _{e o env´}_{oluco convexo}

desse conjunto em Rn_{. Esses conceitos se comportam bem quando se quer trabalhar com}

c´alculos efetivos via algoritmos computacionais. Baseado nos livros [1] e [15], esses conceitos s˜ao:

Defini¸c˜_{ao 4.6. Considere um conjunto S ⊆ Z}n.

1. O env´_{oluco convexo (convex hull) de S em R}n_{, denotado por CH(S), ´}_{e o menor conjunto}

convexo que contém S, isto é, a interse¸cão de todos os conjuntos convexos que contém S.

2. Se S 6= ∅, a dimensão de S é definida como a dimens˜_{ao do R-subespa¸co vetorial de} Rn gerado por {s − t | s, t ∈ S} e se S = ∅ a dimensão de S é definida sendo −1. A dimensão de um conjunto S será denotada por dim(S).

A parte que tange à geometria-algébrica projetiva está “unicamente” no resultado a seguir, que é um lema totalmente técnico e será essencial para alguns resultados desse cap´ıtulo, porém sua demonstra¸cão é longa, trabalhosa e com alguns requisitos de co-homologia e geometria- algébrica em grupos de divisores e espa¸cos projetivos, que fogem do contexto e al¸cada desse trabalho. A prova desse resultado é encontrada em [10].

Primeiramente, ´e importante relembrar o que ´e um dom´ınio normal:

Defini¸c˜_{ao 4.7. Um k-dom´ınio normal ´e um k-dom´ınio finitamente gerado e integralmente} fechado em K = cf r(A).

Lema 4.8. (Lema t´_{ecnico) Seja A um k-dom´ınio normal e K = cf r(A). Considere k ⊆ L ⊆}

K uma extens˜ao de corpos e g1, ..., gr ∈ K\ {0}. Suponha que k seja algebricamente fechado

em K e L = ku0 u1 , com u0, u1 ∈ A, e defina R = X i1,...,in∈Z (Lgi1 1 ...g ir

r ∩ A). Ent˜ao,

i) existe um subconjunto finito de pontos fechados Σ0 ⊂ P1_k tal que para qualquer ou-

tro subconjunto finito Σ ⊂ P1

k de pontos fechados que o contenha existem elementos

f1, ..., fs ∈ R ⊗kk com a propriedade: se f ∈ Lg i1

1 ...grir ∩ A para algum i1, ..., ir ∈ Z,

ent˜_{ao existe h ∈ k[u}0, u1]\ {0} na forma Qq_j=1(αju0− βju1)mj, com (αj : βj) ∈ P1_k\Σ e

mj ∈ Z≥0 para j = 1, ..., q tal que u

i 0u

m−i 1 f

h ´e igual a um produto de potˆencias de f1, ..., fs

multiplicado por um elemento de k\ {0} para 0 ≤ i ≤ m, onde m = Pq

j=1mj.

ii) o env´oluco convexo de αu0− βu1 ´e o mesmo para qualquer (α, β) ∈ k 2

\ {0} , com (α : β) /∈ Σ.

iii) R ´_{e uma k-subalgebra finitamente gerada de A.}

4.2.2 A teoria de Shigero Kuroda.

Nessa subse¸cão será constru´ıda e exemplificada a Teoria algébrico-geométrica de Kuroda para k-deriva¸cões no anel de polinômios k[x].

Defini¸cão 4.9. O suporte da deriva¸cão D é definido como supp(D) = n [ i=1 supp x−1_i D(xi) ,

onde supp x−1_i D(xi) ´e o suporte definido em 1.8. O env´oluco convexo do conjunto supp(D)

ser´a denotado CH(D).

Um fato interessante é que a partir de supp(D) e supp(f ) pode se estimar supp(D(f )): Lema 4.10. Seja D : k[x] → k[x] uma deriva¸cão e f ∈ k[x], então

supp(D(f )) ⊆ supp(D) + supp(f ).

Demonstra¸cão. Devido à aditividade das deriva¸cões, basta verificar a inclusão para o caso em que f é um monômio, isto é, f = xa1

1 · · · xann, com a1, ..., an ∈ N. Para isso, escreva

D = n X i=1 pi ∂ ∂xi . Logo, D(f ) = n X i=1 aipixa11 · · · x ai−1 i · · · x an

n , donde segue que

supp(D(f )) ⊆ {(a1, ..., an) − ei+ supp(pi), i = 1, ..., n} .

Agora, observando que

supp(D) = {−ei+ supp(pi), i = 1, ..., n} ,

por defini¸c˜ao, e

supp(f ) = (a1, ..., an),

por constru¸c˜ao, segue o resultado desejado.

Com a defini¸c˜ao anterior, note que para cada δ ∈ supp(D) existe kδ,i ∈ k, onde 1 ≤ i ≤ n,

tal que

x−1_i D(xi) =

δ∈supp(D)

kδ,ixδ.

Desse modo, pode se definir um homomorfismo de Z-m´odulos λδ : Zn → k dado por

λδ(a1, ..., an) = a1kδ,1+ ... + ankδ,n (4.1)

e, a partir desse homomorfismo, obter uma fam´ılia recursiva {Si}_i∈N definida por

S0 = supp(D) e Si+1= n δ ∈ Si | ∃ δ 0 ∈ Si satisfazendo δ 0 − δ /∈ ker(λδ) o .

A essa fam´ılia fica associado o seguinte objeto geométrico, que será um “refinador” (num sentido que se esclarecerá à frente) do suporte da deriva¸cão:

Defini¸c˜ao 4.11. O suporte fundamental de D ´e definido como

supp0(D) = {δ ∈ supp(D) | δ ∈ CH (∩∞_i=0Si) ⊆ Rn} .

Proposi¸cão 4.12. A dimensão de supp0(D) é sempre não-nula. Em outras palavras, o conjunto supp0_{(D) n˜}_{ao pode ser constitu´ıdo por apenas um ponto.}

Demonstra¸c˜ao. Observe que os conjuntos Si’s da fam´ılia {Si}_i∈N formam uma cadeia

descendente

supp(D) = S0 ⊇ S1 ⊇ S2 ⊇ ... ⊇ Sn⊇ ....

Como supp(D) ´e finito, essa cadeia estaciona, isto ´_{e, existe k ∈ N tal que S}k = Sk+1 = ... .

Desse modo, se supp0_{(D) possuir apenas um elemento, ent˜}_{ao existe certo ´ındice m ∈ N tal}

que Sm possui apenas esse elemento. Logo, Sm+1 = ∅, ou seja, CH(∩∞i=0Si) = ∅, donde se

tem supp0(D) = ∅, o que contraria a suposi¸c˜ao de ter um elemento. Portanto, supp0(D) n˜ao pode possuir apenas um elemento.

O próximo teorema ´_{e um resultado qualitativo sobre k-deriva¸cões localmente nilpotentes} em k[x] e fornece como conseqüência o clássico resultado presente no corolário a seguir:

Teorema 4.13. Seja D ∈ lnd_k_{(k[x]) e D 6= 0. Ent˜ao, exatamente uma componente de cada}

v´ertice de CH(D) ´e igual a −1.

Demonstra¸c˜ao. Seja δ um v´_{ertice de CH(D) e suponha que δ ∈ Z}n

≥0. Escolha a ∈ Zn≥0 da

seguinte maneira:

se λδ(δ) = 0, tome qualquer elemento a ∈ Zn≥0\ker(λδ)

se λδ(δ) 6= 0, tome a = δ.

Logo, com essa escolha, segue que λδ(a + jδ) 6= 0 para qualquer j ∈ Z≥0. Usando

reiteradamente a express˜ao (4.5), segue que

Dl(xa) = X δ1∈supp(D) · · · X δl∈supp(D) l Y t=1 λδt a + t−1 X j=1 δj !! xa+δ1+...+δl_,

para cada l ∈ N, l ≥ 2. Concomitantemente, sendo δ um v´ertice de CH(D), tem-se δ1+ ... +

δl = lδ se, e somente se, δ1 = ... = δl = δ, para δ1, ..., δl ∈ supp(D). Portanto, o coeficiente de

xa+lδ em Dl(xa) ´e igual aQl−1

j=1λδ(a + jδ) e, pela escolha de a, esse produto ´e n˜ao-nulo. Mas

isso contradiz o fato de Dl(xa) = 0 para l suficientemente grande. Logo, tem-se um absurdo proveniente de supor δ ∈ Zn

≥0. Portanto, δ possui alguma coordenada negativa e isso implica

que exatamente uma coordenada de δ é igual a −1, que é o único valor negativo que pode ser coordenada de algum δ.

Corol´_{ario 4.14. Nenhuma k-deriva¸c˜ao localmente nilpotente e n˜ao-nula pode ser da forma} D = n X i=1 xipi ∂ ∂xi , com pi ∈ k[x1, ..., xn], ∀ i ∈ {1, ..., n}.

Demonstra¸c˜ao. De fato, para uma deriva¸c˜ao dessa forma segue que supp(D) = n [ i=1 supp(x−1_i D(xi)) = n [ i=1 supp(pi).

Por outro lado, como pi ∈ k[x1, ..., xn], ∀ i ∈ {1, ..., n}, segue que as coordenadas dos elemen-

tos de supp(pi) são todas não-negativas. Assim, supp(D) não possui elementos com coorde-

nada alguma sendo negativa. Portanto, pelo teorema 4.13, D não é localmente nilpotente. Para finalizar essa se¸cão e ilustrar como se determinam os elementos definidos nela, seguem dois exemplos. Esse primeiro exemplo traz uma deriva¸cão bastante simples, que também será explorada na medida que novos elementos associados a uma deriva¸cão D forem definidos. Exemplo 4.15. Seja D : k[x, y, z, w] → k[x, y, z, w] uma k-deriva¸cão dada por

D = y2 ∂ ∂x + (x 2_{zw + 2y}2_w2₎ ∂ ∂y + (xy 4_{w + 5yzw}2₎ ∂ ∂z + (yw 3₎ ∂ ∂w. Com o objetivo de calcular o suporte dessa deriva¸c˜ao, segue que

x−1D(x) = x−1y2

y−1D(y) = x2_y−1_zw _+2yw2

z−1D(z) = xy4_z−1_{w +5yw}2

w−1D(w) = yw2.

Logo, supp(D) = {δ1, δ2, δ3, δ4}, onde

δ1 = (−1, 2, 0, 0) δ2 = (2, −1, 1, 1)

δ3 = (1, 4, −1, 1) δ4 = (0, 1, 0, 2).

Agora, calculando as diferen¸cas δ1− δj, com j ∈ {2, 3, 4}, obt´em-se

δ1− δ2 = (−3, 3, −1, −1) δ1− δ3 = (−2, −2, 1, −1) δ1− δ4 = (−1, 1, 0, −2)

e, escalonando-os, conclui-se que esses vetores s˜ao linearmente independentes. Desse modo, dim(supp(D)) = 3.

Os homomorfismos definidos em (4.1) s˜ao dados por λδ1(a1, a2, a3, a4) = a1

λδ2(a1, a2, a3, a4) = a2

λδ3(a1, a2, a3, a4) = a3

λδ4(a1, a2, a3, a4) = 2a2+ 5a3+ a4,

para (a1, a2, a3, a4) ∈ Z4. Claramente, λδ4(δi−δ4) = 0, para i = 1, 2, 3, 4, e λδi(δj−δi) 6= 0 para

i, j ∈ {1, 2, 3} e i 6= j, logo δ4 ∈ S/ 1 e Si = {δ1, δ2, δ3}, para i ≥ 1. Assim, ∩∞i=0Si = {δ1, δ2, δ3}

e a interse¸c˜ao de CH(∩∞_i=0Si) com supp(D) ´e {δ1, δ2, δ3}. Portanto, supp0(D) = {δ1, δ2, δ3}

e dim(supp0(D)) = 2.

O exemplo seguinte tem uma propriedade te´orica muito importante, que ´e a de uma

deriva¸cão não-nula possuir suporte fundamental vazio e suporte arbitrariamente grande. Exemplo 4.16. Seja D : k[x] → k[x] uma deriva¸cão definida por

D(xi) = xi i (x i i+ x i+1 i+1+ ... + x n n),

para i = 1, ..., n. Ent˜ao, supp(D) = {δi = iei | i = 1, ..., n}, onde ei, ..., en s˜ao os vetores

Os homomorfismos definidos pelos δ_i0s s˜ao λδi(a1, ..., an) = a1+ a2 2 + a3 3 + ... + ai i , para i = 1, ..., n.

Agora, por indu¸c˜ao sobre i, segue que Si = {δ1, ..., δn−i} . De fato, para i = 0 a afirma¸c˜ao

´e clara. Suponha que Si−1 = {δ1, ..., δn−i+1}. Como λδn−i+1(δj − δn−i+1) = 0, para j =

1, ..., n−i+1, segue que δn−i+1∈ S/ i e, por outro lado, λδl(δn−i+1−δl) = −1, para l = 1, ..., n−i,

portanto Si = {δ1, ..., δn−i}. Assim, ∩ni=0Si = ∅ e, portanto, supp0(D) = ∅. Esse ´e um caso

em que dim(supp0_{(D)) = −1.}

No documento Sobre a existencia de bases SAGBI finitas para o nucleo de k-derivações em k[x1,...,xn] (páginas 48-53)