O objetivo dessa se¸c˜ao ´e caracterizar todas k-subalgebras pr´oprias de um k-dom´ınio com caracter´ıstica zero que podem ser vistas como o n´ucleo de uma k-deriva¸c˜ao localmente nilpo- tente desse dom´ınio, esse ser´a o conte´udo do teorema 3.26. Essa se¸c˜ao ´e baseada nos artigos [3] e [4].
Uma boa caracter´ıstica que uma deriva¸c˜ao localmente nilpotente possui ´e a de ter seu n´ucleo fatorialmente fechado, ´e o que ser´a estabelecido atrav´es dos pr´oximos resultados. Defini¸c˜ao 3.12. Sejam A ⊆ B dom´ınios. Diz-se que A ´e fatorialmente fechado em B se para todos x, y ∈ B tais que xy ∈ A\ {0} tem-se que x, y ∈ A.
Algumas propriedades b´asicas de suban´eis fatorialmente fechados s˜ao as seguintes: Proposi¸c˜ao 3.13. Suponha que A ´e um subanel fatorialmente fechado em B. Ent˜ao
1. A ´e algebricamente fechado em B e A∗ = B∗;
2. Um elemento de A ´e irredut´ıvel em A se, e somente se, ´e irredut´ıvel em B; 3. Se B ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica, ent˜ao A tamb´em o ´e.
Demonstra¸c˜ao.
1. Sejam x ∈ B alg´ebrico sobre A e f (t) um polinˆomio em A[t]\ {0} de grau m´ınimo tal que f (x) = 0. Escrevendo f (t) = antn+ . . . + a1t + a0, onde ai ∈ A, tem-se que
anxn+ ... + a1x + a0 = 0. Logo
x(anxn−1+ . . . + a1) = −a0 ∈ A\{0},
pois f de grau m´ınimo implica a0 6= 0. Assim, como A ´e fatorialmente fechado em
B, segue que x ∈ A. Desse modo, conclui-se que A ´e algebricamente fechado em B.
Agora, seja y ∈ B∗ ent˜ao existe y−1 ∈ B tal que yy−1 = 1. Como 1 ∈ A, tem-se que
y ∈ A. Assim A∗ = B∗.
2. Seja a ∈ A, a 6= 0, tal que a ´e redut´ıvel em B, isto ´e, a = q1q2, com q1, q2 ∈ B.
Pela hip´otese, segue que q1, q2 ∈ A, ou seja, a ´e redut´ıvel em A. A inclus˜ao contr´aria ´e
direta.
3. Conseq¨uˆencia imediata do item 2).
Uma importante ferramenta obtida das deriva¸c˜oes localmente nilpotentes de um dom´ınio B, que ser´a eficaz nos resultados a seguir, ´e a chamada fun¸c˜ao grau de B em N determinada por D. Ser´a tratada a seguir sua defini¸c˜ao e algumas aplica¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 3.14. Sejam B um dom´ınio de caracter´ıstica zero e D ∈ lnd(B). Se b ∈ B define-se o grau de b determinado por D, denotado por degD(b), da seguinte forma:
degD(b) = s se b 6= 0, Ds(b) 6= 0 e Ds+1(b) = 0
degD(b) = −∞ se b = 0.
Uma aplica¸c˜ao direta da regra de Leibnitz mostra que a fun¸c˜ao definida acima leva o
nome fun¸c˜ao grau de B em N determinada por D porque tem as caracter´ısticas de uma
fun¸c˜ao grau, que s˜ao as seguintes:
Lema 3.15. Sejam B um dom´ınio de caracter´ıstica zero, D ∈ lnd(B) e a, b ∈ B. Ent˜ao 1. degD(ab) = degDa + degDB;
2. degD(a + b) ≤ max{degD(a), degD(b)} e vale a igualdade se degD(a) 6= degD(b).
O pr´oximo teorema traz a importante caracter´ıstica dita no in´ıcio dessa se¸c˜ao.
Teorema 3.16. Sejam B um dom´ınio de caracter´ıstica zero e D ∈ lnd(B). Ent˜ao, BD ´e
fatorialmente fechado em B.
Demonstra¸c˜ao. Utilizando os resultados anteriores, pode se escrever BD = {x ∈ B | degD(x) ≤ 0} .
Assim, se x, y ∈ B\ {0} e xy ∈ BD, conclui-se do lema 3.15 que deg
D(xy) = degD(x) +
degD(y) ≤ 0, isto ´e, degD(x) ≤ 0 e degD(y) ≤ 0. Portanto, BD ´e fatorialmente fechado.
Corol´ario 3.17. Sejam B um dom´ınio de caracter´ıstica zero e D ∈ lnd(B), ent˜ao (BD)∗ =
B∗. Al´em disso, se k ´e um corpo contido em B ent˜ao D ´e uma k-deriva¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente do teorema anterior e da proposi¸c˜ao 3.13. Com esses resultados pode se obter algumas conseq¨uˆencias para localiza¸c˜oes:
Teorema 3.18. Sejam B um dom´ınio, car(B) = 0 e 0 6= D ∈ der(B). Seja S ⊂ B\ {0} um subconjunto multiplicativamente fechado. Ent˜ao,
1. S−1D ∈ lnd(S−1B) se, e somente se, D ∈ lnd(B) e S ⊂ BD;
2. Se S ⊂ BD, ent˜ao (S−1B)D = S−1BD e (S−1BD) ∩ B = BD;
3. Se b ∈ B\{0}. Ent˜ao bD ∈ lnd(B) se, e somente se, D ∈ lnd(B) e b ∈ BD.
Demonstra¸c˜ao.
1. Suponha que S−1D ´e localmente nilpotente. Note que se b ∈ B, ent˜ao S−1D(b) = D(b), assim D ´e localmente nilpotente e B ∩ (S−1B)D = BD. Pelo teorema 3.16, segue que
S ⊂ (S−1B)∗ ⊂ (S−1B)D, pois se u ∈ (S−1B)∗, ent˜ao existe u−1 tal que uu−1 = 1.
Logo, (S−1D)(uu−1) = (S−1D)(1) = 0, ou seja, uu−1 ∈ (S−1B)D. Da´ı segue que
u ∈ (S−1B)D e u−1 ∈ (S−1B)D. Logo S ⊂ B ∩ (S−1B)D = BD.
Reciprocamente, suponha D ∈ lnd(B) e S ⊂ BD. Seja rs ∈ S−1B, logo (S−1D) r s = D(r)
s . Agora, por indu¸c˜ao sobre n, obt´em-se que (S
−1D)n r s =
Dn(r)
s , da´ı D
n(r) = 0
2. Dado as ∈ S−1B tem-se que S−1D as = D(a)s , logo (S−1B)D = S−1BD. Por outro
lado, ´e claro que BD ⊂ (S−1B)D ∩ B. Denote A = BD e observe que dado b ∈
(B\ {0}) ∩ S−1A, existem a ∈ A\{0} e s ∈ S tal que b = as, donde segue que bs = a e, como A ´e fatorialmente fechado em B, b ∈ A. Portanto, vale A = (S−1A) ∩ B;
3. Suponha que bD ´e localmente nilpotente. Como bD 6= 0, existe s ∈ B tal que (bD) (s) 6= 0 e (bD)2(s) = 0. Ent˜ao, bD(s) ∈ ker(bD), o qual ´e fatorialmente fechado em B, logo b ∈ ker(bD) = ker(D). Ent˜ao, (bD)n = bnDn, ∀ n ∈ N, e, portanto, D ´e localmente
nilpotente. Reciprocamente, se D ∈ lnd(B) e b ∈ BD, ent˜ao para todo x ∈ B existe
n ∈ N tal que Dn(x) = 0. Mas (bD)n = bnDn, ∀ n ∈ N, pois b ∈ ker(D) e, portanto, bD ´e localmente nilpotente.
Observe que quando A ´e um dom´ınio de caracter´ıstica zero, isto ´e, que cont´em o corpo dos n´umeros racionais, D ´e uma deriva¸c˜ao localmente nilpotente de A e b ∈ A, pode ser definido um homomorfismo de A em A por ψb = πb◦ etD, ou seja, ψb(a) =
Pn
i=0 1 i!D
i(a)bi,
onde n = degD(a). A partir disso, seguem alguns resultados sobre deriva¸c˜oes localmente
nilpotentes que visam caracterizar os elementos do anel sobre o qual est˜ao sendo consideradas. Proposi¸c˜ao 3.19. Sejam A um dom´ınio que cont´em Q, D ∈ lnd(A) e s ∈ A. Ent˜ao cada elemento a ∈ A ´e um polinˆomio na forma
a = ∞ X i=0 1 i!ψ−s(D i(a))si.
Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ A. Ent˜ao, etD(a) ∈ A[t] e degt(etD(a)) = N . Assim,
a = e−tD◦ etD(a) = PN i=0 1 i!e −tD(Di(a))ti,
onde foi usado a proposi¸c˜ao 2.26 e o fato que e−tD(ti) = ti, ∀ i ∈ N. Agora, substituindo t
por s tem-se que: a =
∞ X i=0 1 i!ψ−s(D i (a))si.
Nesse momento, para obter algumas conseq¨uˆencias importantes desses 2 ´ultimos resulta- dos, ser´a introduzido um novo conceito de elemento acerca de suas imagens via uma deriva¸c˜ao. Defini¸c˜ao 3.20. Sejam B um anel, D ∈ lnd(B) e s ∈ B. Diz-se que s ´e uma slice de D se D(s) = 1 e que s ´e uma preslice de D se D(s) 6= 0 e D2(s) = 0.
Um resultado direto sobre preslices ´e:
Lema 3.21. Seja B um dom´ınio e 0 6= D ∈ lnd(B). Ent˜ao, D possui uma preslice.
Demonstra¸c˜ao. De fato, como D 6= 0, existe b ∈ B tal que D(b) 6= 0 e existe n ∈ N, n ≥ 2, tal que Dn(b) = 0 e Dn−1(b) 6= 0. Logo, tomando s = Dn−2(b), tem-se que D(s) = Dn−1(b) 6= 0 e D2(s) = Dn(b) = 0.
No entanto, o exemplo a seguir ilustra que n˜ao se pode afirmar o mesmo com respeito a slices:
Exemplo 3.22. Considere D : k[x, y, z] → k[x, y, z] dada por D = x∂y∂ + y ∂
∂x. Como D ´e
claramente triangular, segue que D ´e localmente nilpotente. Mas, D(k[x, y, z]) ⊆ xk[x, y, z] + yk[x, y, z], ou seja, D n˜ao possui slice.
Agora, com os conceitos de slices e preslices, podem ser obtidas novas conseq¨uˆencias do teorema 3.18 e da proposi¸c˜ao 3.19.
Teorema 3.23. Seja A uma Q-´algebra e D ∈ lnd(A). Se D tem uma slice s ∈ A, ent˜ao A ´e um anel de polinˆomios em s sobre AD, isto ´e, A = AD[s].
Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ A e n = degD(a). Como D(s) = 1, segue que
D(ψ−s(a)) = D a +Pn i=1 (−1)i i! D i(a)si = D(a) +Pn−1 i=1 (−1)i i! D i+1(a)si+Pn i=1 (−1)i i! D i(a)iD(s)si−1 = D(a) +Pn−1 i=1 (−1)i i! D i+1(a)si+Pn i=1 (−1)i (i−1)!D i(a)si−1 = D(a) +Pn−1 i=1 (−1)i i! D
i+1(a)si+ (−1)D(a) +Pn−1
j=1
(−1)j+1
j! D
j+1(a)sj
= 0.
Ent˜ao, ψ−s(a) ∈ AD, ∀ a ∈ A. Portanto, pela proposi¸c˜ao 3.19, cada elemento de A ´e um
polinˆomio em s com coeficientes em AD.
Algumas conseq¨uˆencias diretas desse teorema s˜ao as seguintes:
Corol´ario 3.24. Seja A uma R-´algebra e R uma Q-´algebra. Seja D ∈ lndR(A) e s ∈ A uma
slice. Ent˜ao AD = ψ−s(A). Em particular se G ´e um conjunto gerador para a R-´algebra A,
ent˜ao ψ−s(G) ´e um conjunto gerador para a R-´algebra AD.
Demonstra¸c˜ao. Pela demonstra¸c˜ao do teorema 3.23, segue que ψ−s(A) ⊂ AD. Recipro-
camente, se a ∈ AD ent˜ao a = etD(a) e, portanto, a = ψ−s(a) ∈ ψ−s(A). Desse modo,
AD = ψ
−s(A).
O resultado a seguir traz uma caracter´ıstica de invariˆancia do grau de transcendˆencia da extens˜ao BD ⊆ B, onde D ∈ lnd(B).
Corol´ario 3.25. Seja B um dom´ınio, car(B) = 0 e 0 6= D ∈ lnd(B), ent˜ao S−1B =
(cf r(BD))[t], onde S = BD\ {0}. Em particular, trdeg
BDB = 1.
Demonstra¸c˜ao. E claro que S = B´ D\ {0} ´e multiplicativamente fechado, logo S−1D ∈
lnd(S−1B) e (S−1B)D = cf r(BD), pelo teorema 3.18. Como D ∈ lnd(B), existe x ∈ B tal
que D(x) = b 6= 0 e D2(x) = 0. Ent˜ao, S−1DD(x)x = D(x)D(x)−DD(x)2 2(x)x = 1, isto ´e, S
−1D tem
uma slice. Conseq¨uentemente, o resultado segue do teorema 3.23.
Para finalizar essa se¸c˜ao, um teorema que caracteriza k-subalgebras de um k-dom´ınio finitamente gerado que podem ser vistas como n´ucleos de k-deriva¸c˜oes localmente nilpotentes. Teorema 3.26. Sejam B um k-dom´ınio finitamente gerado e A 6= 0 uma k-subalgebra pr´opria de B. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
2. S−1B = cf r(A)[t] e cf r(A) ∩ B = A, onde S = A\ {0}.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que A seja o n´ucleo de uma deriva¸c˜ao localmente nilpotente D sobre B. Logo, pelo corol´ario 3.25, S−1B = (cf r(A))[t] e, pelo teorema 3.18, cf r(A) ∩ B = A. Portanto, tem-se 2). Reciprocamente, suponha que A satisfaz 2). Escrevendo B = k[b1, ..., bn], com b1, ..., bn ∈ B, e
d : cf r(A)[t] → cf r(A)[t] a deriva¸c˜ao dada por
d = d
dt,
tem-se para cada i ∈ {1, ..., n} que d(bi) ∈ cf r(A)[t] = S−1B. Note que ´e poss´ıvel tomar s ∈ S
tal que sd(bi) ∈ B, da´ı sd(B) ⊂ B. Como d ´e localmente nilpotente e s ∈ A ⊂ cf r(A) ⊆
cf r(A)[t]d, seque, novamente do teorema 3.18, que sd tamb´em ´e localmente nilpotente e,
conseq¨uentemente, a sua restri¸c˜ao a B tamb´em ser´a. Desse modo, tomando D = sd|B segue
que BD = cf r(A)[t]sd∩ B = cf r(A) ∩ B = A.