Na se¸c˜ao anterior foram estabelecidos v´arios resultados para alcan¸car uma condi¸c˜ao sufici- ente para que o n´ucleo de uma k-deriva¸c˜ao de k[x] seja finitamente gerado como k-sublgebra. Agora, o objetivo ´e estabelecer uma condi¸c˜ao para que haja uma base SAGBI finita para
k[x]D. Mais ainda, a condi¸c˜ao estabelecida garantir´a a existˆencia de uma base SAGBI uni- versal finita e esse ser´a o conte´udo do teorema 4.40. Para chegar no teorema, alguns passos essenciais e de natureza distingu´ıvel ser˜ao tratados nos trˆes lemas a seguir. Note que alguns resultados da se¸c˜ao anterior tamb´em ser˜ao retomados.
Esse primeiro lema assegura a existˆencia de uma base SAGBI universal finita para o n´ucleo de uma k-deriva¸c˜ao homogˆenea sobre um k-dom´ınio normal com certas propriedades. Suas hip´oteses parecem bastante artificiais, mas esse resultado ´e uma etapa essencial que aparece na demonstra¸c˜ao do teorema 4.40 e tamb´em s˜ao hip´oteses que se verificam em k[x], pelo corol´ario 4.24.
Lema 4.36. Sejam A um k-dom´ınio normal e D ∈ derk(A). Suponha que A
D = M γ∈ΓD ADγ e in(AD) = M γ∈ΓD
in(ADγ), para qualquer ordem ∈ Ω. Se tr.degkB0D ≤ 1, ent˜ao AD possui
uma base SAGBI universal finita.
Demonstra¸c˜ao. A suposi¸c˜ao inicial diz que para cada f ∈ AD e ∈ Ω existe um elemento
ΓD-homogˆeneo f0 ∈ AD tal que m(f ) = m(f0). O objetivo a seguir ser´a demonstrar a
existˆencia de um n´umero finito de elementos f1, ..., ft ∈ AD tal que para qualquer elemento
f ∈ AD\ {0} Γ
D-homogˆeneo e ∈ Ω existam a1, ..., at ∈ Z≤0 tal que m(f ) = a1m(f1) +
... + atm(ft). Ent˜ao, a observa¸c˜ao feita ap´os a defini¸c˜ao de base SAGBI universal implica
que {f1, ..., ft} ´e uma base SAGBI universal finita para AD.
A hip´otese de tr.degBD
0 ≤ 1 implica que o corpo B0D ´e uma extens˜ao simples de k. De
fato, se tr.degB0D = 1, ent˜ao B0D ´e um corpo de fun¸c˜oes racionais de uma vari´avel sobre k, pelo Teorema de L¨uroth, e se tr.degBD
0 = 0, ent˜ao B0D = k. Assim, sejam u0, u1 ∈ A\ {0}
elementos ΓD-homogˆeneos com B0D = k( u0
u1). Ent˜ao, pelos ´ıtens i) e ii) do lema t´ecnico 4.8,
existe um conjunto finito Σ1 ⊂ P1kde pontos fechados tal que para qualquer outro subconjunto
finito Σ ⊂ P1
k de pontos fechados contendo Σ1 os env´olucos convexos de αu0− βu1 coincidem
para qualquer (α, β) ∈ k2\ {0} com (α : β) /∈ Σ. Logo, tem-se uma certa determina¸c˜ao para m(αu0− βu1), visto que ´e um elemento do env´oluco convexo. Assim, segue que
m(αu0− βu1) = m(ui), para cada ∈ Ω,
para todos (α : β) ∈ P1
k\Σ e para algum i ∈ {0, 1}.
Similarmente ao argumento dado no teorema 4.19, podem ser encontrados elementos ΓD-
homogˆeneos g1, ..., gr ∈ BD\ {0} tais que para cada γ ∈ ΓD existem i1, ..., ir ∈ Z de modo
que AD γ = B0Dg i1 1 ...girr ∩ A. Como AD = L γ∈ΓA D
γ, por hip´otese, segue que
AD = X i1,...,ir∈Z (B0Dgi1 1 ...g ir r ∩ A)
e existe um conjunto finito f1, ..., ft que gera AD como k-´algebra, isto ´e, AD = k[f1, ..., ft].
Por outro lado, novamente pelo lema t´ecnico 4.8, existe um subconjunto finito Σ ⊂ P1 k
de pontos fechados que cont´em Σ1 e um n´umero finito de elementos f10, ..., fs0 ∈ AD ⊗k k
que satisfaz a seguinte propriedade: dado um elemento ΓD-homogˆeneo f ∈ AD\ {0}, existe
h ∈ k[u0, u1]\ {0} na forma Qq j=1(αju0 − βju1) mj, com (α j : βj) ∈ P1k\Σ e mj ∈ Z≥0 para j = 1, ..., q tal que ui0u m−i 1 f
h ´e igual a um produto de potˆencias de f 0
1, ..., fs0 multiplicado por
um elemento de k\ {0} para 0 ≤ i ≤ m, onde m =Pq
Agora, unindo as conclus˜oes desses dois ´ultimos par´agrafos com a parte da hip´otese que oferece in≺AD =
M
γ∈ΓD
in≺AD
γ, segue que para cada 1 ≤ j ≤ s e ∈ Ω, tem-se m(f
0 j) =
m(fl), para algum 1 ≤ l ≤ t.
A demonstra¸c˜ao se encerrar´a ao mostrar que esses elementos f1, ..., ft satisfazem o co-
ment´ario inicial da demonstra¸c˜ao. Para tanto, tome ∈ Ω. Ent˜ao, m(f ) = m(fhQqj=1(αju0− βju1)mj) = m fh + Pqj=1mj(m(αju0− βju1)) = m fh + Pqj=1mj(m(ue)) = m(u m ef h )
para algum e ∈ {0, 1}. Assim, tome a01, ..., a0s ∈ Z≥0 tais que u
m ef h = c(f 0 1)a 0 1...(f0 s)a 0 s, com
c ∈ k\ {0}. Desse modo, m(f ) = Psi=1a0im(fi0). Pela maneira como foram escolhidos
f1, .., ft segue que s X i=1 a0im(fi0) = t X i=i aim(fi)
para certos a1, ..., at ∈ Z≥0. Portanto, m(f ) =Pti=1aim(fi), o que completa a prova.
Numa parte t´ecnica do teorema 4.40, esse segundo lema estabelece uma propriedade
pertinente aos v´ertices do env´oluco convexo da deriva¸c˜ao D:
Observa¸c˜ao 4.37. Ser´a denotado por CH(f ) o env´oluco convexo do suporte de f , isto ´e, CH(supp(f )) = CH(f ).
Lema 4.38. Seja δ ∈ supp(D) e uma ordem monomial. Se δ0 δ, para qualquer
δ0 ∈ supp(D), ent˜ao m(f ) ∈ ker(λδ) para cada f ∈ k[x]D\ {0} . Em particular, se f ∈
k[x]D\ {0}, ent˜ao cada v´ertice de CH(f ) est´a em ker(λδ) para algum v´ertice δ de CH(D).
Demonstra¸c˜ao. Note que ´e suficiente mostrar a primeira parte, pois cada v´ertice de CH(f ) ´e igual a m(f ) para alguma ordem monomial ∈ Ω e o m´aximo do supp(D) para ´e um
v´ertice de CH(D). Agora, suponha que m(f ) /∈ ker(λδ). Ent˜ao, Dδ(in(f )) 6= 0 por (4.5).
Como D(f ) = 0, o termo Dδ(in(f )) ´e eliminado na express˜ao
D(f ) = Dδ(in(f )) + Dδ(f − in(f )) + Dsupp(D)\{δ}(f )
e, pelo lema 4.10, tem-se que supp(D(f )) est´a contido em supp(D) + supp(f ). Logo, existe δ0 ∈ supp(D) e a0 ∈ supp(f ) tal que δ0 + a0 = δ + m
(f ) e δ0 6= δ ou a0 6= m(f ). Mas,
δ0 δ, por hip´otese, e a0 m(f ), pela defini¸c˜ao de m(f ), o que d´a uma contradi¸c˜ao com
a ´ultima igualdade. Portanto, m(f ) ∈ ker(λδ).
J´a esse terceiro lema, tamb´em totalmente t´ecnico, serve para reduzir k[x]D ao n´ucleo de
uma deriva¸c˜ao associada `a deriva¸c˜ao D e a supp0(D):
Lema 4.39. Seja S = a ∈ Zn≥0 | a ∈ ker(λδ), ∀ δ ∈ supp(D)\supp0(D) . Ent˜ao, k[x]D =
k[{xa | a ∈ S}]D
◦
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao ser´a feita usando indu¸c˜ao sobre o n´umero de elementos do conjunto supp(D).
Se supp(D) 6= supp0(D), ent˜ao, pela defini¸c˜ao 4.11, existe um v´ertice δ ∈ CH(D) tal
que δ ∈ supp(D)\supp0(D) e supp(D) + {−δ} ⊂ ker(λδ), esta inclus˜ao tamb´em decorre
da defini¸c˜ao 4.11 ao assumir que um elemento do supp(D) n˜ao est´a em supp0(D), que ´e
equivalente ao afirmar que esse elemento n˜ao pertence a algum dos Si’s envolvidos nesta
defini¸c˜ao. Logo, ´e suficiente mostrar que
k[x]D = k[xa| a ∈ Zn≥0∩ ker(λδ) ]Dsupp(D)\{δ}. (∗)
pela seguinte raz˜ao: o lado direito dessa igualdade ´e igual a
k[xa | a ∈ Zn≥0∩ ker(λδ) ] ∩ k[x]Dsupp(D)\{δ}.
Como supp0(D
supp(D)\{δ}) = supp0(D), tem-se que k[x]Dsupp(D)\{δ} = k[{xa | a ∈ S0}]D
◦
pela hip´otese de indu¸c˜ao, onde
S0 =a ∈ Zn≥0 | a ∈ ker(λδ0), ∀ δ0 ∈ supp(D)\({δ} ∪ supp0(D)) .
Por outro lado,
k[xa| a ∈ Zn≥0∩ ker(λδ) ] ∩ k[{xa | a ∈ S0}]D
◦
= k[{xa | a ∈ S}]D◦
. Ent˜ao, a igualdade em (∗) implica k[x]D = k[{xa | a ∈ S}]D◦.
Agora, deve ser mostrado que todo f ∈ k[x]D est´a contido em k[xa | a ∈ Zn≥0∩ ker(λδ) ]Dsupp(D)\{δ},
que ´e o lado direito da igualdade em (∗). Sem perda de generalidade, pode ser assumido que f ´e um elemento ΓD-homogˆeneo. Como δ ´e um v´ertice de CH(supp(D)) em Rn, existe
∈ Ω tal que δ ´e o m´aximo de supp(D) para esta ordem . Ent˜ao, pelo lema 4.38,
m(f ) ∈ ker(λδ). Como supp(D) + {−δ} ⊂ ker(λδ), tem-se que MD ⊂ ker(λδ). Al´em disso,
supp(f ) + {−m(f )} ⊂ MD, pois f ´e ΓD-homogˆeneo. Desse modo, supp(f ) ⊂ ker(λδ), assim
f ∈ k[xa | a ∈ Zn
≥0∩ ker(λδ) ] e, mais ainda, Dsupp(D)\{δ}(f ) = 0, pois se tem
Dsupp(D)\{δ}(f ) = Dsupp(D)\{δ}(f ) + Dδ(f ) = D(f ), (∗∗)
devido ao fato de Dδ(f ) = 0 pela equa¸c˜ao (4.5). Portanto,
f ∈ k[xa | a ∈ Zn
≥0∩ ker(λδ) ]Dsupp(D)\{δ}.
Reciprocamente, se f ∈ k[xa| a ∈ Zn
≥0∩ ker(λδ) ]Dsupp(D)\{δ}, ent˜ao a igualdade (∗∗)
implica que f ∈ k[x]D.
Finalmente, segue o teorema que d´a uma condi¸c˜ao suficiente para que exista uma base SAGBI universal finita para k[x]D:
Demonstra¸c˜ao. Lembre que S =a ∈ Zn≥0 | a ∈ ker(λδ), ∀ δ ∈ supp(D)\supp0(D) e con-
siderando A = k[{xa| a ∈ S}], segue que A ´e k-subalgebra finitamente gerada de k[x], pois
S ´e um subsemigrupo finitamente gerado de Zn
≥0, devido `a maneira como foram definidos os
homomorfismos λδ’s e ao Lema do Semigrupo.
Agora, tome Λ como a imagem em ΓD◦ do Z-subm´odulo de Zn definido como
M =a ∈ Zn| a ∈ ker(λ
δ), ∀ δ ∈ supp(D)\supp0(D) .
Ent˜ao, para a ∈ Zn
≥0 tem-se a equivalˆencia
xa∈M
γ∈Λ
k[x]γ ⇔ a ∈ M + MD◦.
Como MD◦ ⊂ M e S = M ∩ Zn≥0, o lado direito da equivalˆencia diz que a ∈ S. Desse modo,
A =M
γ∈Λ
k[x]γ. Em particular, tem-se, do corol´ario 4.24, que
AD◦ =M γ∈Λ k[x]D ◦ γ e in(AD ◦ ) = M γ∈Λ in(k[x]D ◦ γ ) .
Novamente, como no procedimento da se¸c˜ao anterior, denote por B =M
γ∈Λ
Bγ a localiza¸c˜ao de
A porS
γ∈Λk[x]γ\ {0} e por k(MD◦) o subcorpo de k(x) gerado por {x
a | a ∈ M
D◦} sobre k.
Ent˜ao, B0 ⊂ k(MD◦). Utilizando a hip´otese dim(supp0(D)) ≤ 2, segue que tr.deg
kk(MD◦) ≤
2 e disso seguem as seguintes conclus˜oes: i) Suponha tr.degkk(MD◦)D
◦
= 2. Tome δ ∈ supp0(D) e defina a k-deriva¸c˜ao D0 sobre
k(x) por D0 = x−δD◦. Ent˜ao, D0 induz uma k-deriva¸c˜ao sobre k(MD◦). Mais ainda,
k(MD◦)D 0
= k(MD◦)D ◦
. Como tr.degkk(MD◦) = 2, segue que k(MD◦) ´e uma extens˜ao
alg´ebrica de k(MD◦)D ◦
, isto implica que D0 ´e nula sobre k(MD◦), conforme o corol´ario
2.21, assim k(MD◦) = k(MD◦)D ◦
. Logo, pelo lema 4.29 e sua demonstra¸c˜ao, segue que k[x]D◦ = k[{xa | a ∈ S0}], para algum subsemigrupo S0 finitamente gerado de
Zn≥0. Assim, AD
◦
= A ∩ k[x]D◦ = k[{xa| a ∈ S ∩ S
0}] e, novamente pelo Lema do
Semigrupo, o semigrupo S ∩ S0 ´e finitamente gerado. Portanto, AD
◦
´
e gerada por um n´umero finito de monˆomios sobre k. Esse conjunto de monˆomios ´e, pelo exemplo 1.17, uma base SAGBI universal finita para AD◦. Finalmente, invocando o lema 4.39, segue
que AD◦ = k[x]D e, desse modo, segue a afirma¸c˜ao do teorema.
ii) Suponha tr.degkk(MD◦)D ◦
≤ 1, ent˜ao tr.degkBD◦
0 ≤ 1. Portanto, AD
◦
= k[x]D tem
uma base SAGBI universal finita, pelo lema 4.36. Portanto, em qualquer caso, o teorema est´a provado.
Retornando aos exemplos 4.15, 4.16 e 4.31 tem-se o seguinte:
Exemplo 4.41. No exemplo 4.15 foi provado que supp0(D) ´e constitu´ıdo por 3 elementos, de modo que dim(supp0(D)) = 2. Portanto, nesse caso, k[x, y, z, w]D possui uma base SAGBI
Exemplo 4.42. O exemplo 4.16 ´e uma deriva¸c˜ao que, para cada n ∈ N, vale dim(supp(D)) =
n − 1 e dim(supp0(D)) = −1. Portanto, pelo teorema 4.40, k[x]D possui uma base SAGBI
universal finita para cada n ∈ N e o teorema 4.30 ´e totalmente inconclusivo se n ≥ 4. Exemplo 4.43. Um caso mais simples e que n˜ao ´e necess´ario calcular efetivamente o suporte fundamental ´e o exemplo 4.31, pois para essa deriva¸c˜ao tem-se dim(supp(D)) = 2 e isso implica que dim(supp0(D)) ≤ 2. Logo, o teorema 4.30 garante que o n´ucleo dessa deriva¸c˜ao ´e uma k-subalgebra finitamente gerada e o teorema 4.40 garante que esse n´ucleo possui uma base SAGBI universal finita.
Para concluir esse cap´ıtulo, observe que o suporte e o suporte fundamental s˜ao elementos associados `a uma k-deriva¸c˜ao que medem a “complexidade” e “grandeza” do seu n´ucleo. Os teoremas apresentados garantem que quanto maior for a dimens˜ao de cada um desses supor- tes, menos se tem a dizer sobre os geradores do n´ucleo como k-subalgebra de k[x]. Tamb´em fica expresso nos exemplos que o resultado obtido pela dimens˜ao do suporte fundamental refina os resultados obtidos pela dimens˜ao do suporte, al´em da aplica¸c˜ao desses teoremas ser de forma algor´ıtmica.
Apˆendice
A1: Teorema de L¨uroth.
O teorema apresentado a seguir caracteriza corpos intermedi´arios entre k e o corpo k(t), das fun¸c˜oes racionais a uma vari´avel sobre k, e ´e de extrema funcionalidade em algumas situa¸c˜oes onde se envolve o grau de transcendˆencia e a caracteriza¸c˜ao de certas extens˜oes.
Teorema 5.44. (Teorema de L¨uroth) Sejam k(t) o corpo de fun¸c˜oes racionais e L um
subcorpo de k(t) que cont´em k. Se L 6= k, ent˜ao existe τ ∈ k(t) tal que L = k(τ ). Em outras palavras, existe uma fun¸c˜ao τ (t) tal que cada elemento de L ´e da forma ϕ(τ ), onde ϕ ∈ k(t). Demonstra¸c˜ao. Seja ϕ = a(t)b(t) ∈ L n˜ao-constante, a, b ∈ k[t]. Ent˜ao, t ´e raiz do polinˆomio a(x) − ϕb(x) ∈ L[x]. Logo, t ´e alg´ebrico sobre L. Considere
p(x, t) = a0(t)xm+ ... + am−1(t)xm−1+ am(t)
o polinˆomio m´ınimo de t sobre L, onde aj ∈ k[t], a0 6= 0 e aj
a0 ∈ L. Evidentemente, pode-se
supor que mdc(a0, ..., am) = 1, pois se mdc(a0, ..., am) = d ∈ k[t], tem-se que p(x, t) = dp(x, t),
onde p(x, t) = a0(t)xm+ ... + am−1(t)xm−1+ am(t), aj
a0 =
aj
a0 ∈ L e, mais ainda, p(t, t) = 0 se,
e somente se, p(t, t) = 0.
Seja 0 ≤ k ≤ m tal que deg(ak) ≥ deg(aj), para j = 0, ..., m, e denote deg(ak) = n.
Sendo t transcendente sobre k, existe um ´ındice l de modo que ak
al ∈ k e, assim, defina τ =/
ak
al.
Ent˜ao, o polinˆomio τ al(x) − ak(x) ∈ L[x] se anula em t e ´e de grau n em x. Assim, ´e poss´ıvel
estimar que
[k(t) : k(τ )] ≤ n.
Por outro lado, defina q(x, t) = al(x)ak(t) − al(t)ak(x). ´E claro que q(t, t) = 0 e da´ı segue
que p(x, t) divide q(x, t) em k[x, t], isto ´e, pode-se escrever p(x, t)r(x, t) = q(x, t), para algum r(x, t) ∈ k[x, t]. Comparando os graus dessa ´ultima igualdade com respeito `a vari´avel t, obt´em-se degt(p) + degt(r) = degt(q) ≤ n. Mas, observe que n = degt(p) ≤ degt(p) + degt(r)
e, da´ı, degt(p) = degt(q). Logo, r(x, t) independe de t, isto ´e, r(x, t) = r(x), e r(x) divide
q(x, t). Por simetria da defini¸c˜ao de q(x, t), tem-se que r(t) tamb´em ´e fator de q(x, t), ou seja, r(t) divide p(x, t). Mas, foi suposto mdc(a0, ..., am) = 1, donde segue que r(t) ´e constante.
Portanto, m = n. Agora, do diagrama
k(t) ←− k(τ )
- %
L ↑ k
A2: Lema do Semigrupo.
O objetivo desse apˆendice ´e apresentar o Lema do Semigrupo que foi usado em certas ocasi˜oes do trabalho. Por se tratar de um resultado fortemente geom´etrico, sua prova ser´a omitida e fica como referˆencia a tese: Semigrupos discretos em grupos de Lie, de Osvaldo Germano do Rocio, IMECC-Unicamp, 1995.
Lema 5.45. (Lema do Semigrupo) Seja M um Z-subm´odulo livre de Zn e de posto k.
Considere V = spR(M ) o R-subespa¸co vetorial gerado por M em Rn. Ent˜ao,
Rn≥0∩ V = S1+∩ ... ∩ Sn+,
onde Si+ ´e o semi-espa¸co delimitado por um hiperplano de equa¸c˜ao a1x1+ ... + akxk = 0, com
aj ∈ Z. Mais ainda,
M ∩ (S1+∩ ... ∩ S+
n) = M ∩ Zn≥0
´e um subsemigrupo finitamente gerado de Zn ≥0.
Nota¸c˜ao
k : um corpo de caracter´ıstica zero. R : corpo dos n´umeros reais.
A∗ : unidades do anel A.
cf r(A) : corpo de fra¸c˜oes de um dom´ınio A. ker(f ) : n´ucleo de f .
AD : {a ∈ A | D(a) = 0}.
tr.degkL : grau de transcendˆencia de L sobre k.
F |A : a aplica¸c˜ao F restrita ao conjunto A.
k[x] = k[x1, ..., xn] : anel dos polinˆomios a n vari´aveis sobre o corpo k.
k(x1, ..., xn) : corpo de fra¸c˜oes do anel k[x1, ..., xn].
k[x, x−1] = k[x1, x−11 , ..., xn, x−1n ] : anel dos polinˆomios de Laurent a n vari´aveis sobre k.
k[f1, ..., fn] : k-´algebra gerada pelos elementos f1, ..., fn.
xa= xa1
1 ...xann : monˆomio a n vari´aveis.
deg(f ) : grau total de um polinˆomio f .
A → B : fun¸c˜ao do conjunto A no conjunto B.
α 7→ β regra de forma¸c˜ao de uma fun¸c˜ao que associa α a β.
kn : produto cartesiano do corpo k, n vezes, ou espa¸co afim n-dimensional. {}i∈I : conjunto de elementos indexado num conjunto de ´ındices I.
` : uni˜ao disjunta.
dim(S) : dimens˜ao de um conjunto S.
Ω : conjunto das ordens totais multiplicativas em Zn.
Ω0 : conjunto das ordens monomiais em Zn.
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