Abordagem do Método de Schur

Usaremos o algoritmo de Schur para resolver a Equação Algébrica de Ric- cati. O método de Schur é estudado como uma variante da abordagem clássica de autovetores e utiliza ao invés disso, um conjunto adequado de vetores de Schur. Desta maneira adquire uma vantagem numérica substancial. A abordagem dos vetores de Schur fornece uma técnica confiável, proveitosa e muito mais eficiente em relação ao método de Newton para resolver numericamente a equação algébrica de Riccati (Laub ,1979).

O método de Schur possui diversas vantagens em relação ao método dos au- tovetores. Inicialmente, a redução para a forma quasi-triangular é um passo in- termediário no cálculo dos autovetores usando a decomposição QR, de tal forma que o método de Schur requer menos cálculo que o método dos autovetores. In- dependentemente da matriz Hamiltoniana ser defectiva, o método de Schur não é afetado pelas dificuldades inerentes dos autovetores da matriz Hamiltoniana.

Matrizes defectivas não possuem um conjunto completo de autovetores e, de- vido a isso, não são diagonalizáveis por uma transformação de similaridade. Esta deficiência é contornada por meio do Teorema de Schur, que é um resultado que se aplica a todas as matrizes simples, (matrizes com n autovetores linearmente independentes) ou defectivas, e isto é quase tão efetivo quanto o Teorema da Diagonalização para analisar a estrutura da matriz Hamiltoniana.

As matrizes simples são usadas em extensivas aplicações de Equações Diferen- ciais e Equações de Diferença. A ferramenta que torna isso possível é o Teorema da Diagonalização para matrizes simples, isto é, existe uma matriz não-singular S tal que S−1_{AS = Λ. Não existe teorema que efetue tal diagonalização para}

matrizes cujos vetores colunas não formem uma base. No Teorema de Schur, a matriz Λ é substituída por uma matriz triangular superior T . Além de fornecer uma ferramenta para o estudo de matrizes defectivas, o teorema de Schur é útil na análise de uma variedade de importantes matrizes simples.

Definição 3.3.2. Diz-se que a matriz A ∈ R2n×2n _{é Hamiltoniana se J}−1_AT_{J =}

−A e que A ∈ R2n×2n _{é Simplética se J}−1_AT_{J = A}−1_{. Sendo a matriz A ∈ R}m×n_,

define-se o seu espectro (conjunto de autovalores e autovetores) por σ(A).

Teorema 3.3.2. (1) Seja A ∈ R2n×2n _{uma matriz Hamiltoniana. Então λ∈σ(A)}

CAPÍTULO 3. SELEÇÕES E SOLUÇÕES DOS PARÂMETROS DA EAR 53

Simplética. Então λ∈σ(A) ⇒ 1

λ∈σ(A) com a mesma multiplicidade.

Prova Veja (Laub ,1972).

Teorema 3.3.3. Seja A ∈ R2n×2n _{uma matriz Simplética ou Hamiltoniana. Seja}

U ∈ R2n×2n _{uma matriz Simplética. Então U}−1_{AU é uma matriz Hamiltoniana}

ou Simplética.

Prova Veja (Laub ,1972).

Apresentam-se dois teoremas clássicos da teoria de similaridade que formam a base teórica da álgebra linear numérica moderna.

Teorema 3.3.4. (Forma Canônica de Schur): Suponha que λ1, ..., λn sejam au-

tovalores da matriz A ∈ R2n×2n_{. Então existe uma transformação de similaridade}

unitária U tal que UH_{AU é triangular superior com elementos diagonais λ}

1, ..., λn

na ordem.

Prova Veja (Stewart ,1979) e (Goldberg ,1991).

Corolário 3.3.1. Se UT_{AU = T , então os autovalores de A são as entradas}

diagonais de T .

Prova Os autovalores de A e T são idênticos devido A e T serem similares. As entradas diagonais de T são os seus autovalores devido T ser uma matriz triangular superior.

Realmente é possível trabalhar somente sobre o conjunto dos números reais, re- duzindo para a forma quasi-triangular com blocos 2x2 na diagonal correspondendo a autovalores complexos conjugados e blocos 1x1 correspondentes a autovalores reais. Refere-se a esta forma canônica como a forma real de Schur (RSF ) ou a forma canônica Murnaghan-Winter.

Teorema 3.3.5. (Forma Real de Schur): Seja A ∈ R2n×2n_{. Então existe uma}

transformação de similaridade ortogonal U tal que UT_{AU é uma matriz quasi-}

triangular superior. Além disso, a matriz U pode ser escolhida de modo que os blocos diagonais 2 × 2 e 1 × 1 aparecem em qualquer ordem desejada.

Prova Veja (Murnagham ,1991).

As dificuldades numéricas relacionadas a utilização de autovetores da ma- triz Hamiltoniana quase defectiva podem ser contornadas aplicando o método de Schur. A equação contínua de Riccati, pode ser resolvida por meio da redução da matriz Hamiltoniana H, para a forma quasi-triangular, denominada Forma Real

de Schur. Para isso, fazemos uso das transformações ortogonais de similaridade. Para maiores detalhes, veja (Laub ,1979).

O método de Schur possui uma série de vantagens em relação ao método dos autovetores. Inicialmente, a redução para a forma quasi-triangular é um passo intermediário no cálculo dos autovetores pelo método QR, de tal maneira que o método de Schur requer menos cálculos que o método dos autovetores. É impor- tante também enfatizar que o método de Schur não é afetado pelas dificuldades inerentes nos autovetores da matriz Hamiltoniana defectiva. Esse método tem um bom desempenho na presença de divisores lineares da matriz H.

O método de Schur é significativamente mais rápido que o método de Newton e também o método da Função Sinal Matricial com refinamento iterativo. Existe uma matriz ortogonal U, que transforma a matriz Hamiltoniana H na forma real de Schur dada por

T = UTHU = " T11 T12 0 T22 # (3.32)

sendo T11 e T22 matrizes quasi-triangulares superiores. Os blocos na diagonal das

matrizes T11e T22são no máximo 2×2. A redução da matriz Eq. (3.5) não é única,

e sempre é possível escolher a matriz U de tal modo que T11 tenha autovalores

com parte real negativa, enquanto os autovalores da matriz T22 possui parte real

positiva. Particionemos a matriz U da seguinte maneira:

U = " U11 U12 U21 U22 # (3.33)

sendo que cada bloco possua dimensão n × n. Se a matriz U11 é não-singular,

então a solução da equação algébrica de Riccati, EAR, é semidefinida positiva e dada pela expressão

P = U21U11−1. (3.34)

Além disso, os autovalores da matriz de bloco T11formam o espectro da malha

fechada da matriz (A − BR−1_BT_{P ), isto é, a região polar do sistema de malha}

fechada ótimo é devida a relação (A − BR−1_BT_{P ) = U}

11T11U11−1.

A redução ortogonal da matriz Hamiltoniana na Forma Real de Schur é feita pelo método de decomposição QR. Se a matriz H não é simétrica, não é pos-

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sível garantir qualquer ordenação especial dos autovalores na diagonal da forma quasi-triangular. É possível reordenar esta forma arbitrariamente pela mudança sistemática dos pares de autovalores adjacentes, implementando transformações ortogonais de similaridades.

A seguir, mostra-se um algoritmo para resolver o problema pelo método de Schur baseado na teoria introduzida nos parágrafos anteriores.

1. Faça H := " A S −Q −AT #