E.14 Norma do infinito da solução da EAR para η v =1000-2500 e η z =10000-
3.4 Conclusão
sendo F uma matriz de Hessenberg triangular superior.
O algoritmo Hamiltoniano QR, consiste de diversas transformações simpléticas aplicadas iterativamente na forma Hamiltoniana-Hessenberg. Este algoritmo é numericamente estável. Entretanto, é verificado que em alguns casos, grandes perturbações nas matrizes individuais A, Q e BR−1BT podem levar a instabilidade
numérica do método como um todo, similar ao que ocorre na abordagem do auto- sistema.
3.4 Conclusão
Neste capítulo foi apresentada a formulação e solução do controlador LQR clássico, tomando como referência (Athans e Falb ,1966). Sua solução está relaci- onada com a determinação de uma matriz simétrica e definida positiva da equação algébrica de Riccati. Para isso, diversas abordagens foram enfatizadas, dando des- taque ao método de Schur para solução da EAR, que explora as propriedades da matriz Hamiltoniana e os métodos heurísticos, e em particular o método de Bry- son para realizar a escolha das matrizes de ponderação. Muitas das tendências
atuais na computação das redes neurais estão enraizadas na teoria de otimiza- ção, como a desenvolvida na década de 1970. O campo de controle ótimo, é uma parte importante desta teoria que explora diversas capacidades de aproximações não-linear de métodos de computação neural (White ,1992).
Capítulo 4
Metodologia Neuro - Genética
para Solução do LQR
A metodologia neuro-genético representa uma fusão de um algoritmo genético e uma rede neural recorrente para realizar a seleção das matrizes de ponderação e a solução da equação algébrica de Riccati, respectivamente. O objetivo principal desta metodologia é estabelecer uma busca automática das matrizes de pondera- ção QR e em seguida a resolução da EAR via RNA em tempo mínimo de modo que atenda a ação de controle do projeto LQR. Especificamente, o controle LQR almeja impor uma alocação de autoestrutura específica em sistemas MIMO.
A metodologia de fusão coordena a computação da solução Neural-EAR, que tem que estar sincronizada com os valores das matrizes Q e R fornecidos pelo AG segundo mostra a Fig. 4.1. Este fluxograma está associado com uma primeira abstração da metodologia apresentada na estrutura (4.1):
Modelo Sincronizado de Fusão Neural - AG Inteligência Computacional Algoritmo Genético Rede Neural Artificial QR AG Busca P RNA Riccati K K QR P LQR
Figura 4.1: Modelo de fusão neuro-genético.
QR ← AGBusca
P ← RN ARicatti
KLQR ← KQR−P
(4.1)
sendo QR as matrizes selecionadas pelo AG, P é a solução da equação algébrica de Riccati que é obtida com a rede neural artificial e KLQR é o vetor de ganhos
do controlador que é calculado com as matrizes R e P .
A metodologia de fusão neuro-genético é designado para coordenar as iterações entre o AGBusca que representa a metodologia do AG para a seleção das matrizes
de ponderação, a RNARiccati que representa a solução da equação algébrica de
Riccati e KQR−P, a computação dos ganhos ótimos.
Pelo ponto de vista da metodologia de fusão, as vantagens em usar o AG, consiste em obter melhores soluções viáveis em tempo menor que as heurísticas de tentativas e erro. A vantagem de usar uma rede neural artificial, consiste
CAPÍTULO 4. METODOLOGIA NEURO - GENÉTICA PARA SOLUÇÃO DO LQR 63
em evitar operações com inversões de matrizes na solução da equação de Riccati. Além do paralelismo natural, a rede neural artificial possui a vantagem de poder modelar sistemas do mundo real.
O restante deste capítulo está organizado em Seções. A Seção 4.1 é baseada nos paradigmas de IC, que apresenta uma abordagem proposta pelo projeto LQR que está fundamentada na fusão do AG e da RNA. A Seção 4.2 define um AG canônico realçando sua esquematização, operadores genéticos e estratégia elitista. A Seção 4.3 destaca o modelo de busca das matrizes de ponderação que é utilizado para sintonizar o ganho do controlador e a solução do LQR, e também os modelos que compõem o AG para a realizar a busca das matrizes de ponderação.
A Seção 4.4 apresenta alguns conceitos básicos e definições de termos da ge- nética artificial dentro do contexto da modelagem genética das matrizes de pon- deração. A Seção 4.5 discute os modelos que compõem o algoritmo genético para a busca das matrizes de ponderação. A Seção 4.6 apresenta uma estrutura algo- rítmica comum modificada para resolução da EAR, sendo que: seus parâmetros matriciais iniciais são matrizes identidades, a taxa de convergência (tamanho do passo) está associada aos parâmetros de sintonia que são responsáveis pela velo- cidade de convergência da RNR e a direção de busca é fornecida pela dinâmica das camadas de saída e oculta.
A Seção 4.7 introduz uma base informativa a respeito da EAR no contexto de síntese dos sistemas do projeto LQR. Já a Seção 4.8 apresenta a formulação do problema para realizar a solução da equação de Riccati, enquanto que a Seção 4.9 descreve a arquitetura da RNR por meio de um sistema de equações diferenciais não lineares.
A Seção 4.10 fornece comentários e observações à respeito do treinamento da rede neural recorrente. Teoremas sobre a estabilidade da rede e condição neces- sária e suficiente de convergência para uma solução simétrica e definida positiva da EAR em quase todos os estados iniciais são apresentados na Seção 4.11. Este capítulo é complementado com a Seção 4.13 que diz respeito a conclusões e ob- servações finais.
4.1 Metodologia Neuro-Genética
Os controladores ótimos LQR são baseados em paradigmas de inteligência com- putacional. A Fig. 4.2 mostra a abordagem proposta de projeto inteligente LQR, que tem por base a concatenação do AG e da RNR. O algoritmo genético é orien- tado à busca das matrizes de ponderação e detalhes da avaliação do desempenho de sua convergência, podem ser encontrados em (Abreu ,2008b). Uma avaliação do ajuste dos parâmetros está relatado em (Silva Junho, 2008), sendo que a EAR é avaliada em termos de estabilidade e solvabilidade para diversos sistemas di- nâmicos. A matriz de ganho de realimentação ótima é dada por K = R−1BTP ,
sendo K ∈ Rm×n.
Figura 4.2: Modelo do controlador ótimo neuro-genético.
As matrizes de ponderação Q e R, determinadas pelo Modelo de Busca LQRQ,R,
são parâmetros da equação de Riccati, 0 = ATP + P A - P BR−1BTP +Q, t ≤ T .
A solução P da Equação Algébrica de Riccati fornece os ganhos do controlador, KLQR = R−1BTP , para calcular a lei de controle dada por uLQR = −KLQRx.
Nesta abordagem propõe-se uma rede neural recorrente com múltiplas cama- das para resolver a equação algébrica matricial de Riccati contínua no tempo. A rede neural recorrente aqui proposta, apresenta quatro camadas conectadas bidirecionalmente, sendo que cada camada é formada de arranjos de neurônios, segundo a Fig. 4.3.
CAPÍTULO 4. METODOLOGIA NEURO - GENÉTICA PARA SOLUÇÃO DO LQR 65
Figura 4.3: Estrutura algébrica de arquitetura da RNR
Mostra-se que a rede neural recorrente é capaz de resolver a EAR. Discutem-se resultados analíticos a respeito de estabilidade da rede neural recorrente RNR e solvabilidade da EAR pelo uso da RNR. As características de operação da rede neural são demonstradas pelos experimentos computacionais.
As redes neurais são formadas de neurônios simples e conectados maciçamente. Tendo as estruturas semelhantes a sua contraparte biológica, as redes neurais arti- ficiais são modelos representacionais e computacionais de processo de informações de modo distribuído e paralelo. Demonstra-se que as redes neurais treinadas com um número limitado de amostras de treinamento possuem uma boa capacidade de generalização. As redes neurais possuem a vantagem sobre as abordagens tra- dicionais devido o processamento de informação ser inerentemente concorrente.
Na literatura de controle, têm-se dado muita atenção para os problemas de projeto de sistemas de controle LQR, como formulação do problema, solução do acompanhamento do sinal de referência e propriedades de robustez com relação a variações razoavelmente amplas de parâmetros do sistema. O problema de
projetar um sistema de controle de realimentação linear, minimizando um índice de desempenho quadrático, pode ser reduzido a se obter uma solução simétrica e definida positiva para a resolução da equação de Riccati (Gardiner e Laub ,1991a), (Laub ,1979), (Bunse-Gerstner A. ,1997) e outros.
Devido a computação neural de natureza distribuída paralela, as redes neurais podem ser um modelo computacional viável para sintetizar sistemas de controle lineares em tempo real. Atualmente, as redes neurais recorrentes têm sido desen- volvidas para resolver uma ampla variedade de problemas de álgebra matricial, (Wang e Jerry ,1992) e outros. Em particular, as redes neurais têm sido desenvol- vidas por decomposição LU e fatoração de Cholesky, (Wang e Guang. ,1993). Os resultados dessas investigações têm estabelecido a base para solucionar a equação algébrica de Riccati via rede neural em tempo real.
Esta pesquisa apresenta uma abordagem sobre RNR para resolver EAR con- tínua no tempo baseada em uma rede neural recorrente com quatro camadas. Resolvendo-se duas equações matriciais utilizando redes neurais recorrentes, a abordagem proposta sobre redes neurais, é capaz de obter uma solução simétrica e definida positiva para a EAR conforme vê-se em experimentos computacionais.