Discussão do Modelo de Fusão

Em uma primeira instância, a convergência do algoritmo genético e da rede neural recorrente foi avaliada de maneira desacoplada, como pode ser notado nas últimas subseções. A convergência do AG apresentou um bom desempenho para impor a especificada autoestrutura, porém a velocidade de convergência pode ser melhorada pelo seu paralelismo intrínseco. (Neto ,2000) e (M. Alba ,2002), realizam a seleção das matrizes de ponderação em tempo real. Do mesmo modo, a RNR pode ser melhorada pelo paralelismo natural e a implementação em tempo real foi desenvolvida por (Rocco Furferi e Daou ,2007) e outros.

O desempenho desacoplado do modelo de fusão proposto, conduz a uma dis- cussão sobre algumas melhorias para acelerar a convergência em atender aos re- quisitos em tempo real, em que o impulsor da estratégia de controle deve executar ações e processar informações em um intervalo de tempo menor que as reações da planta controlada, (Mehdi Amirijoo e Son ,2008) e (Mehdi Amirijoo e Gunnars- son ,2007), ou seja, mudanças operacionais ou perturbações. Os desenvolvimentos adicionais da metodologia vão em direção à busca das matrizes QR e a solução da EAR via RNR, em atender os prazos limites dos sistemas dinâmicos.

5.4 Conclusão

Uma fusão de um AG e uma RNR para resolver o problema de autoestrutura, mostrou-se ser uma boa alternativa para realizar a seleção das matrizes de pon- deração QR e computar a solução da EAR para sistemas dinâmicos de quarta ordem e de sexta ordem. Uma avaliação desacoplada dos paradigmas de inteli- gência computacional, apresentaram uma boa eficiência para realizar à alocação de autovalores e autovetores. Como uma contribuição para a teoria LQR, o mé- todo proposto promove melhorias no problema de controle de autoestrutura pelo algoritmo genético e na solução da equação algébrica de Riccati, pela rede neural artificial recorrente.

Capítulo 6

Conclusão

Apresentou-se a estrutura montada e definida de pesquisa que está fundamen- tada nos pilares dos capítulos desta tese. Nesta abordagem apresentou-se uma metodologia para sintonia e síntese de sistemas de controle ótimo, que tem por base paradigmas de inteligência computacional, algoritmos genéticos e redes neu- rais artificiais. As matrizes de ponderação de estado e controle selecionadas pelo AG são usadas como parâmetros da equação algébrica de Riccati que é resolvida pela rede neural recorrente.

Realizou-se a avaliação da fusão de um modelo neuronal e um algoritmo gené- tico que estão integrados na parametrização parcial da equação de Riccati e da sua solução. Esta avaliação é realizada por estatísticas de medida de tendência central e de dispersão, respectivamente na função de fitness associada ao modelo de busca das matrizes de ponderação do projeto LQR e também por superfícies da norma do infinito da EAR e função energia tendo como base as variações paramétricas nos pesos de aprendizagem da rede neural.

Para análise de desempenho em termos de solução do problema de controle, foram realizadas análises de estabilidade. Mostrou-se os modelos e um método, para análise de desempenho de um AG destinado à seleção das matrizes de ponde- ração para alocação de autoestrutura em sistemas MIMO. Percebe-se que a análise da autoestrutura é importante, pois mostra claramente a influência das relações entre os autovalores, autovetores, condições iniciais e entrada na composição da resposta temporal do sistema.

A análise de convergência evidenciou que o mapeamento da função fitness é

uma alternativa satisfatória para verificar o desempenho do AG em relação a formação de nichos, desta forma, busca-se contornar o problema relacionado com convergência prematura não factível. A análise estatística realizada por momentos de 1a_{e 2}a_{ordem, pode incrementar melhorias no desenvolvimento do algoritmo, no}

sentido de reduzir o tempo de convergência e aumentar a quantidade de soluções viáveis. Portanto, o modelo de fusão mostra o comprometimento da metodologia utilizada no controle inteligente.

A comparação entre as metodologias realizadas pelos métodos de Schur e da RNR para resolver a equação algébrica de Riccati e entre as metodologias realizadas pelos métodos de Bryson e Algoritmos Genéticos para realizar a seleção das matrizes de ponderação, mostrou que a fusão é uma alternativa promissora para a sintonia de controladores robustos do tipo LQR. A abordagem proposta evidenciou, que as soluções computacionais inteligentes podem ser uma alternativa eficaz para o projeto e controle de sistemas em tempo real.

Apresentou-se uma abordagem de controle inteligente orientada para alocação de autoestrutura em sistemas dinâmicos multivariáveis. O método está apoiado em inteligência computacional, especificamente, redes neurais artificiais e algo- ritmos genéticos. Com a abordagem proposta da fusão, conclui-se que a mesma apresentou desempenho aceitável, uma vez que esta fusão está fundamentada em paradigmas das abordagens de computação evolutiva, soft computing e inteligên- cia computacional.

6.1 Propostas Futuras

Como perspectiva futura, propõe-se continuar a pesquisa abordando restrições temporais que visam aplicações em tempo real: a convergência dos Algoritmos Genéticos e das Redes Neurais Artificiais, sincronização entre tempo de busca e solução da Equação Algébrica de Riccati. Especificamente, a pesquisa tende para os seguintes desenvolvimentos e investigações:

• Enfocar sob o ponto de vista de AG, sua convergência com pequenas po- pulações, desenvolver estratégias de busca, que tem por base normas das matrizes de ponderação, utilizando pareto, articulação de preferências e ló- gica fuzzy;

CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO 135

• Sob o ponto de vista das RNA, ajuste dos parâmetros ηv e ηz usando AG e

lógica fuzzy;

• Modelos de coordenação das atividades de busca das matrizes Q, R e o ajuste dos parâmetros da RNA para fins de projeto e implementação.

Projeto de Sistema Linear com

Critério Quadrático

O estudo de projeto de sistemas ótimo no tempo, indica que existem dificulda- des consideráveis na determinação da lei de controle ótimo, e dificuldade posterior na implementação do sistema de realimentação ótimo. Até mesmo se o sistema controlado é linear, é ainda quase impossível obter um resultado analítico geral para o caso ótimo no tempo. Pode-se perguntar se existe algum sistema e critério para um resultado geral que esteja disponível. Este Apêndice está fundamentado nos livros do (Athans e Falb ,2007) e (Lewis e Syrmos ,1995).

A seguir, obtém-se um resultado analítico para uma classe particular de sis- temas e critérios de desempenho. De fato, examina-se sistemas lineares variantes no tempo cujo vetor de estado x(t), vetor de controle u(t) e saída y(t) estão relacionados pelo sistema de equações

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t).

A forma mais geral da função custo funcional que deve-se considerar é:

J(u) = 1

2h[z(T ) − y(T )], F [z(T ) − y(T )]+i (A.1) 1

2 Z T

t0

{h[z(t) − y(t)], Q(t)[z(t) − y(t)]i + hu(t), R(t)u(t)i}dt

APÊNDICE A. PROJETO DE SISTEMA LINEAR COM CRITÉRIO QUADRÁTICO 137

sendo que z(t) representa a saída desejada.

Assume-se que não existem restrições nas magnitudes das componentes do ve- tor de controle u(t), e deve-se assumir certas hipóteses a respeito das matrizes F , Q(t) e R(t). Sob essas hipóteses, deve-se estar apto a obter uma expressão ana- lítica para o controle ótimo, e portanto, garantir que o sistema de realimentação ótimo é linear.

A.1 Formulação do Problema

A seguir, discute-se a formulação do problema ótimo. Para a escolha da função custo funcional J(u) enfatiza-se a importância do significado físico, sob algumas hipóteses matemáticas das matrizes já citadas.

Suponha que seja dado um sistema dinâmico linear variante no tempo Eq. (A.1). Assume-se que x1(t), x2(t),...,xn(t) são as componentes do vetor de es-

tado x(t), u1(t), u2(t),...,ur(t) são as componentes do vetor u(t) e que y1(t),

y2(t),...,ym(t) são as componentes do vetor de saída y(t). Portanto, A(t) ∈ Rn×n,

B(t) ∈ Rn×r _{e C(t) ∈ R}m×n_{. Além disso, assume-se que}

0 < m ≤ r ≤ n (A.2) e que u(t) é irrestrito.

Define-se o objetivo do sistema a partir de um ponto de vista físico. Seja z(t) um vetor com m componentes. O objetivo é controlar o sistema Eq.(A.1) de modo que o vetor de saída y(t) esteja próximo ao vetor z(t). Convenciona-se o vetor z(t) como a saída desejada. Pode-se então definir um vetor erro fazendo

e(t) = z(t) − y(t). (A.3) Deste modo, o objetivo do controle é: Obter uma lei de controle u(t) de maneira que o erro e(t) seja pequeno.

Conforme suposto anteriormente, o vetor de controle u(t) é irrestrito em mag- nitude; portanto, existem casos em que o controle u(t) é extremamente grande. A fim de evitar tais situações não realísticas (que requer ganhos extremamente gran- des na malha de controle), pode-se desejar incluir em nosso objetivo de controle

uma caracterização a respeito do fato que sinais de controle alto tem custo elevado. Em outras palavras, gostaríamos, por um lado, de manter o erro e(t) pequeno, porém, por outro lado, não devemos usar sinais de controle desnecessariamente grandes.

A translação dessas especificações físicas e exigências sobre um particular fun- cional de desempenho matemático é, de fato, até engenhoso. Escolhe-se uma classe particular de custos funcionais, quadrático por natureza, que realmente corresponda as exigências físicas. É certamente verdadeiro que esta escolha dos custos funcionais pode não ser sensata em uma dada situação; em tal caso, o enge- nheiro deve desenvolver seu próprio critério de desempenho e ele mesmo descobrir o problema. Para auxiliar o engenheiro a compreender o significado dos custos funcionais deve-se considerar, a discussão a seguir do significado físico sobre os termos matemáticos.

Para ser preciso, considere o custo funcional

J(u) = 1

2he(T ), F e(T )i + (A.4) +1

2 Z T

t0

{he(t), Q(t)e(t)i + hu(t), R(t)u(t)i}dt

sendo t0 o tempo inicial, T o tempo final especificado, F ∈ Rm×m uma matriz

constante, Q(t) ∈ Rn×n_{, Q(t) ≥ 0 e R(t) ∈ R}r×r_{, R(t) > 0.}

Considere agora cada termo na função custo funcional J(u), Eq.(A.4), e veja de que modo ela representa uma translação matemática razoável das especificações e exigências físicas. Primeiro, considere o termo Le= 1₂he(t), Q(t)e(t)i. Claramente

Le ≥ 0 ∀e(t) e, em particular, Le = 0 quando e(t) = 0. Se o erro e(t) é pequeno

∀t ∈ [t0, T ], então a integral de Le será pequena.

Desde que Le= 1₂he(t), Q(t)e(t)i = 1₂Pmi=1

Pm

j=1qij(t)ei(t)ej(t) sendo qij(t) as

entradas da matriz Q(t), ei(t) e ej(t) as componentes do vetor e(t), é claro que o

custo Le pondera erros maiores muito mais fortemente que erros menores, e assim

o sistema é penalizado muito mais severamente para erros maiores que para erros menores.

Em seguida, considere o termo Lu = 1₂hu(t), R(t)u(t)i. Este termo pondera

o custo do controle e penaliza o sistema muito mais severamente para sinais de controle grandes que para sinais de controle menores. Como R(t) > 0, o custo

APÊNDICE A. PROJETO DE SISTEMA LINEAR COM CRITÉRIO QUADRÁTICO 139

funcional Lu > 0, ∀ u(t) 6= 0. Este termo geralmente é denominado de potência

de controle, e R_tT₀ Ludt é chamado de energia de controle. A razão para essa nomenclatura é a seguinte: Suponha que u(t) seja um escalar proporcional a voltagem ou corrente; então u2_{(t) é proporcional à potência e}RT

t0 dt é proporcional

à energia despendida no interval [t0, T ]. A exigência que a matriz R(t) seja definida

positiva em vez de semidefinida positiva é, como deve-se ver, uma condição para a existência de uma lei de controle finita.

Finalmente, dirige-se a atenção para o termo 1

2he(T ), F e(T )i. Este termo

geralmente é denominado de custo final, e seu propósito é garantir que o erro e(T ) no instante final T seja pequeno. Em outras palavras, este termo deve ser incluído se o valor de e(t) no tempo final é particularmente importante; se isto não é o caso, então pode se estabelecer F = 0 e confiar no resto do custo funcional para garantir que o erro final não seja excessivamente grande.

Uma questão que pode surgir é a seguinte: por que razão as matrizes Q(t) e R(t) são variantes no tempo em vez de serem constantes? Se desenvolvermos uma teoria para matrizes Q(t) e R(t) variantes no tempo em vez de matrizes constantes Q e R, então pode-se usar o custo funcional J(u) para problemas mais realísticos. Por exemplo, suponha que em t = t0, o estado x(t0) é dado e

conseqüentemente a saída y(t0) = x(t0) seja conhecida; então pode acontecer que

a saída desejada z(t0) seja tal que o erro inicial e(t0) seja muito grande. O fato

que e(t0) seja grande, certamente não é por imperfeição do sistema controle. Por

essa razão, pode-se querer escolher Q(t) de tal maneira que erros iniciais grandes sejam penalizados menos severamente que erros grandes subseqüentes. Para fazer isso, pode-se escolher Q(t) de tal modo que, dado os tempos

t0 < t1 ≪ t2 < T (A.5)

e qualquer vetor constante b, os produtos escalares hb, Q(t1)bi e hb, Q(t2)bi satisfaz

a relação

hb, Q(t1)bi≤hb, Q(t2)bi. (A.6)

É nossa esperança que a discussão precedente das propriedades físicas do custo funcional J(u) ajudará a compreender suas propriedades. Deseja-se enfatizar se

isto deve ser usado ou não para um dado problema até o projetista. Todavia, o custo funcional possui duas propriedades muito desejáveis: Primeira, é matema- ticamente tratável, e segundo, conduz a sistemas de realimentação ótimo que são lineares. Com a motivação física, iremos estabelecer a caracterização formal do problema.

O problema que deve-se considerar é o seguinte: Dado o sistema linear Eq. (A.1) e o custo funcional Eq. (A.4) que satisfaçam as hipóteses relativas às Eqs. (A.2 - A.3) e matrizes F , Q(t) e R(t) respectivamente. Obter o controle ótimo, isto é, a lei de controle que governará o sistema Eq. (A.1) de modo a minimizar o custo funcional, Eq. (A.4).

Antes de tentar a solução deste problema, vamos obter alguns resultados úteis, porém evidentes. Primeiro de todos, se Q(t) = F = 0, então o controle ótimo u(t) = 0; neste caso, o custo é J(u) = 1

2

RT

t0hu(t), R(t)u(t)idt, e uma vez que não

especificamos o vetor de estado final x(T ), o custo é minimizado se e somente se u(t) = 0. Para excluir este caso trivial, assume-se que Q(t) e F são matrizes não-nulas, embora possamos permitir que a matriz Q(t) ou F possa ser a matriz nula individualmente.

Agora suponha que Φ(t; t0) seja a matriz fundamental do sistema linear Eq.(A.1)

e seja x(t0) o estado inicial. Então o estado x(t) para t ∈ [t0, T ], é dado pela

Eq.(A.7)

x(t) = Φ(t; t0)[x(t0) +

Z t

t0

Φ−1(τ ; t0)B(τ )u(τ )dτ ] (A.7)

e conseqüentemente, o erro e(t) é dado pela equação

e(t) = z(t) − y(t) = z(t) − C(t)x(t) (A.8) = z(t) − C(t)Φ(t; t0)[x(t0) +

Z t

t0

(τ ; t0)B(τ )u(τ )dτ ]

Se o estado inicial x(t0) e a saída desejada z(t) estão relacionadas por z(t) =

C(t)Φ(t; t0)x(t0), ∀ t ∈ [t0, T ], então o controle ótimo é u(t) = 0 e o custo mínimo

J∗ _{= 0.}

APÊNDICE A. PROJETO DE SISTEMA LINEAR COM CRITÉRIO QUADRÁTICO 141

Lema A.1.1. Se u(t) 6= 0, então o custo funcional J > 0.

Prova Segue da hipótese que as matrizes F e Q(t) são semidefinidas positiva e que R(t) > 0.

Lema A.1.2. Se para todo u(t), o custo funcional J(u) não está definido, isto é, se J(u) = ∞, ∀u(t), então não existe uma solução ótima.

Prova Suponha que dois controles geram um custo infinito, então não podemos distinguir quais dos dois controles é o melhor.