Da discuss˜ao anterior vimos que o campo gravitacional ´e idˆentico `a acelera¸c˜ao cau- sada pela for¸ca gravitacional. Assim, essa acelera¸c˜ao n´os vamos chamar de ace- lera¸c˜ao da gravidade. Pois bem... Imagine um planeta esf´erico, que tenha raio R e massa M . Esse planeta atrai os corpos em sua volta com a for¸ca gravitacional:
F = GM m d2
Essa for¸ca de atra¸c˜ao ´e que chamamos de peso, ent˜ao fica assim:
P = GM m (R + h)2
Em que h ´e altura do corpo em rela¸c˜ao a superf´ıcie do planeta.Mas sabemos que peso se calcula desta forma:
P = mg
m ´e a massa dos corpos nas proximidades da superf´ıcie do planeta e g ´e a acelera¸c˜ao da gravidade nessa regi˜ao.
Igualando as equa¸c˜oes do peso, gerando o resultado:
mg = GM m (R + h)2
g = GM (R + h)2
Se a altura h ´e muito menor que R, podemos despreza-lo, deixa-lo na rua da amar- gura, com uma garrafa de pinga como companhia. Mas por que despreza-lo? Por que sendo o raio da Terra um valor na faixa de 6000 km, ou 6000000 metros, so- mar 100m metros em 6000000 vai afetar muito pouco. Quando falamos em dezenas ou centenas de quilˆometros, a simplifica¸c˜ao n˜ao rola. Por isso, por simplicidade, para ALGUNS CASOS, podemos entender que a acelera¸c˜ao nas proximidades da superf´ıcie da Terra ´e constante igual a g.
Para o caso da acelera¸c˜ao da gravidade na superf´ıcie da Terra, o valor ´e obtido ao substituir os dados da equa¸c˜ao:
gP = GM R2 = 6, 67 × 10−11· 5, 97 × 1024 (6, 37 × 106)2 = 9, 81m/s 2
Se vocˆe subir ao topo do Monte Everest, que tem 8000m de altura, tem que voltar a usar
g = GM (R + h)2
Onde h ´e a altura do Everest.
Atente que peso ´e diferente de massa. Massa ´e quantidade de mat´eria e peso ´e uma for¸ca.
Pode ser ´util representarmos a acelera¸c˜ao gravitacional em um ponto qualquer em fun¸c˜ao da acelera¸c˜ao gravitacional na superf´ıcie. Isso nos permite comparar essa acelera¸c˜ao com a acelera¸c˜ao que conhecemos e que podemos medir em solo. Um pouco de ´algebra nos ajuda nessa miss˜ao. Vamos chamar a acelera¸c˜ao na superf´ıcie de g0 e a acelera¸c˜ao em um ponto a uma dada altura da superf´ıcie de gh que pode
ser expresso como:
gh =
GM (R + h)2
Isso porque estamos a uma altura h do solo. Para g0, a express˜ao fica:
g0 =
GM R2
Veja que h´a algo em comum para gh e g0, que ´e a quantidade GM e que n˜ao vai
mudar, pois ´e a constante gravitacional e a massa do planeta. Podemos retrabalhar as equa¸c˜oes para relacionar as duas acelera¸c˜oes. Veja a magia pairando no ar com essa manipula¸c˜ao matem´atica:
GM = g0R 2
Como o resultado acima ´e o numerador para gh, podemos substituir...
gh = GM (R + h)2 = g0R 2 (R + h)2
gh pode ser expresso em fun¸c˜ao de g0 e da altura.
gh =
g0R2
(R + h)2
Agora vamos ver o que acontece quando subimos para alturas: h = 0, 5R h = 1R h = 2R h = 5R h = 10R h = 100R g(0, 5R) = g0R 2 (R + 0, 5R)2 = g0R2 (1, 5R)2 = g0R2 2, 25R2 ∼= 0, 44g0 g(1R) = g0R 2 (R + R)2 = g0R2 (2R)2 = g0R2 4R2 = 0, 25g0 g(2R) = g0R 2 (R + 2R)2 = g0R2 (3R)2 = g0R2 9R2 ∼= 0, 11g0 g(5R) = g0R 2 (R + 5R)2 = g0R2 (6R)2 = g0R2 36R2 ∼= 0, 027g0
g(10R) = g0R 2 (R + 10R)2 = g0R2 (11R)2 = g0R2 121R2 ∼= 0, 008g0
Colocando em uma planilha obtemos um gr´afico que mostra toda essa varia¸c˜ao. No eixo vertical temos a porcentagem da acelera¸c˜ao na superf´ıcie e na horizontal a altura em m´ultiplos do raio do planeta.
Note que a uma altura de duas vezes o raio do planeta, o que se sente ´e uma acelera¸c˜ao que ´e 11% da acelera¸c˜ao sentida na superf´ıcie. Como tra¸camos um gr´afico para poucos pontos, a curva fica um tanto estranha, mas j´a da para ver que a acelera¸c˜ao cai bastante com a altura. Um gr´afico melhor seria esse aqui...
Ent˜ao te fa¸co uma pergunta: Em que altura teremos acelera¸c˜ao da gravidade igual a 0? Em que distancia da superf´ıcie a for¸ca da gravidade ´e 0? Pensa a´ı... Pensou? Ent˜ao pensa mais um pouco... Mas ´e pra pensar... Pensou? Ok. A resposta ´e que n˜ao existe! O que existe ´e que a influencia gravitacional de um corpo nunca se anula, mas se torna muito pequena que praticamente n˜ao faz efeito
nenhum. Imagina vocˆe sentado a´ı, todo pimp˜ao de boa, est´a sob a influencia de v´arias estrelas, por´em o efeito ´e rid´ıculo e nem conta. Vocˆe sente mais os efeitos do Sol, da Lua, Vˆenus, Merc´urio, Marte, que est˜ao pr´oximos, mas a medida em que v˜ao se distanciando, eles se tornam cada vez menos relevantes. Ei! N˜ao vai pensar que estou falando de Astrologia, estou falando de for¸cas gravitacionais.
Agora vamos ver matematicamente o que eu disse. Para zerar a acelera¸c˜ao da gravidade vocˆe teria que fazer o seguinte:
gh =
GM
(R + h)2 = 0
Como estamos falando de um planeta, o raio ´e sempre positivo e n˜ao pode ser zero, com isso fazemos o seguinte...
GM = 0 · (R + h)2
= 0
Como G ´e uma constante e tem valor definido como positivo, a ´unica coisa a se fazer ´e:
M = 0 G = 0
M = 0
Ou seja, a massa do planeta ser igual a zero! Isto ´e, o planeta n˜ao existir! Assim, quando te perguntarem se o astronauta flutua no espa¸co ´e por que a gravidade nele l´a em cima ´e zero, ent˜ao diga que isso n˜ao ´e verdade!! O astronauta est´a flutuando por que existe a for¸ca de centrifuga agindo nele que se op˜oe a for¸ca peso, dessa forma h´a o efeito de gravidade nula.
Podemos simular a gravidade nula estando no planeta Terra. A NASA treina as- tronautas em um avi˜ao sem poltronas e esse avi˜ao sobe muito alto e depois desce com acelera¸c˜ao igual acelera¸c˜ao da gravidade. Nesse momento, as pessoas dentro come¸cam a flutuar, n˜ao por que a gravidade ´e nula, mas por que as for¸cas se anula- ram.
Antes de o avi˜ao descer com o cacete l´a de cima, o astronauta est´a exercendo uma for¸ca sobre o piso da aeronave e pela terceira Lady Newton, o piso exerce uma for¸ca normal de mesma dire¸c˜ao, intensidade sentido oposto.
N − mg = m · 0 = 0 N = mg
Da´ı o piloto desce o avi˜ao com uma acelera¸c˜ao α para baixo.
N′− mg = −mα
A for¸ca normal fica:
Se α ´e igual a g ent˜ao N′ = 0, ent˜ao ´e como se n˜ao houvesse mais o peso.
S´o que essa pr´atica de simula¸c˜ao de gravidade nula em um avi˜ao s´o dura alguns segundo, caso contr´ario todo o avi˜ao se arrebenta no ch˜ao...