Mas tudo isso foi desenvolvido desconsiderando o seu movimento de rota¸c˜ao. Ele causa um efeito de diminuir o peso aparente dos corpos. Mas como? ´E s´o lembrar quando vocˆe estava naquele bus˜ao com motorista muito louco, apressado que faz as curvas em alta velocidade, incorporado no esp´ırito de Ayrton Sena do Brasil! Quando ele faz essa curva, vocˆe tem a sensa¸c˜ao de estar sendo puxado para fora da curva, ser jogado para fora do bus˜ao. Veja a figura abaixo, onde est˜ao representados de forma simplificada os efeitos de uma curva. A for¸ca centr´ıfuga puxa vocˆe para fora enquanto realiza o movimento na rua. Vale salientar que os conceitos de for¸ca centr´ıfuga e for¸ca centr´ıpeta precisam ser analisados sob o ponto de vista de refe- renciais, mas para n˜ao confundir vamos adotar dessa forma. Posteriormente iremos analisar este aspecto.
Desde que vocˆe nasceu e at´e este momento, vocˆe est´a girando, porque vocˆe est´a na Terra e ela gira em torno de si mesma. Pode n˜ao parecer, mas para um observador fora do planeta, a uma certa distancia, te descreveria fazendo movimento de rota¸c˜ao. Essa rota¸c˜ao tamb´em tende a te ”jogar”para fora, mas devido a gravidade vocˆe n˜ao sai voando. Em qualquer corpo na superf´ıcie da Terra, h´a uma briga entre a gravidade e a for¸ca centrifuga, onde a gravidade vence, por´em esta ´e descontada da for¸ca centr´ıfuga.
As for¸cas envolvidas s˜ao a for¸ca centr´ıfuga que puxa o corpo para fora enquanto que o peso atrai o corpo para o centro da Terra. Para isso, precisamos a somat´oria de for¸cas na dire¸c˜ao radial, isto ´e, na linha que suporta os raios da Terra.
X
Fr = mar
As for¸cas somadas s˜ao o peso e for¸ca centr´ıfuga, gerando uma resultando na mesma dire¸c˜ao e sentido do peso. N´os chamamos essa acelera¸c˜ao de acelera¸c˜ao aparente, isto ´e, devido `a rota¸c˜ao da Terra, temos um peso aparente, menor que o peso real do corpo.
X
Fr = P − Fcf = mgaparente
Substituindo a for¸ca centr´ıfuga:
P − Fcf = mgaparente mg − mv 2 R = mgaparente g − v 2 R = gaparente Sabemos do movimento circular uniforme que v = ωR
g − (ωR) 2 R = gaparente gaparente= gequador − ω 2 R
Se quisermos entender como isso se relaciona com o per´ıodo de rota¸c˜ao, podemos substituir a velocidade angular pelo seu correspondente de per´ıodo.
ω = 2π T Ent˜ao o monstrinho se transforma em:
gaparente = gequador − 2π T 2 · R gaparente = gequador − 4π2 T2 · R
O que podemos concluir? Que se aumentar a velocidade de rota¸c˜ao da Terra, iremos diminuir o per´ıodo (vai dar uma volta mais rapidamente em torno de seu pr´oprio eixo), a acelera¸c˜ao aparente vai diminuindo. E se Deus der um peteleco divino e todo-poderoso na Terra ela pode ir girando cada vez mais r´apido, mais r´apido, mais r´apido que o per´ıodo vai diminuindo e a for¸ca centrifuga aumenta at´e que ela vence a atra¸c˜ao gravitacional da Terra e quando isso acontecer, meu amigo, vai ser louco
porque os corpos podem escapar da superf´ıcie. Aparentemente eles n˜ao ter˜ao peso, e vai ser galinha flutuando, geladeira flutuando, bicicleta flutuando, os puli¸ca tudo flutuando, as bandidage flutuando, as panicat flutuando... por quˆe? Porque a for¸ca centr´ıfuga ´e maior, tipo quando vocˆe est´a no ˆonibus fazendo uma curva e vocˆe tende a ser lan¸cado para fora.
N˜ao sei se vocˆe percebeu que usamos gequador. Vocˆe n˜ao fica se perguntando a raz˜ao
disso? Se n˜ao se perguntou, deveria... se pergunta a´ı. A raz˜ao disso ´e que a gravi- dade depende da localiza¸c˜ao no globo. Mais especificamente, depende da Latitude. Mas que ´e Latitude? Latitude s˜ao linhas definidas por ˆangulos em rela¸c˜ao ao Equa- dor. As figuras v˜ao explicar melhor.
Observe que h´a linhas de horizontais que dividem a Terra, cada linha tem um ˆangulo associado. Na figura s˜ao mostradas as linhas para ˆangulos not´aveis. A latitude do Equador ´e igual a 0◦, ou seja, a referˆencia. Para a parte de cima do
Equador, isto ´e, o Hemisf´erio Norte, os ˆangulos das latitudes s˜ao positivos. Para a parte de baixo, isto, ´e Hemisf´erio Sul, os ˆangulos s˜ao negativos. Agora vamos cortar a Terra para entender melhor.
Vocˆe percebeu que tem um ˆangulo l´a dentro (φ) que liga a linha de latitude? Quando vocˆe pega o Equador, esse ˆangulo ´e 0◦. A medida que vai pegando linhas
de cima, esse ˆangulo aumenta, at´e que fica vertical, ou seja, 90◦, ent˜ao vocˆe chegou
`a casa do Papai Noel, vulgarmente conhecido como Polo Norte. O mesmo vale para a parte debaixo, s´o que se conta de forma negativa.
Mas como isso afeta o peso aparente? Vamos ent˜ao construir o racioc´ınio. Acompa- nhe comigo porque ´e uma hist´oria longa..., mas n˜ao ´e algo dram´atico. Vamos apelar para alguns fatos da vida.
Fato 1. Quando vocˆe faz uma curva, a for¸ca centr´ıfuga est´a na reta suporte do raio desta rota¸c˜ao. Ela n˜ao est´a em nenhuma outra dire¸c˜ao. Sempre est´a no plano da circunferˆencia que ela gera.
Fato 2. Na figura da latitude, veja que cada linha forma um circunferˆencia. Quando vocˆe se encaminha para um dos polos, essas circunferˆencias s˜ao cada vez menores. Ent˜ao podemos dizer que o raio delas vai diminuindo.
Fato 3. Quando vocˆe est´a em uma latitude vocˆe executa um movimento circular cujo raio ´e o raio da circunferˆencia desta latitude. Eu quando morava na minha cidade natal, Santar´em, no Par´a, eu estava pr´oximo ao Equador. Hoje morando no estado de S˜ao Paulo, o raio que eu descrevo ´e menor, pois estou mais pr´oximo do Polo Sul.
Fato 4. D´a para calcular o raio de cada latitude. Basta usarmos um pouco de trigonometria. Olha a figura que eu coloquei no texto agora... A reta vertical ´e o eixo da terra, R ´e o raio da Terra e o r o raio da latitude. Eu mudei a letra que representa o ˆangulo de φ para θ. Mas tem uma raz˜ao. A rela¸c˜ao entre os raio ´e senθ. Mas n˜ao tem algo estranho? Sim, se eu quiser relacionar com a latitude o ˆangulo n˜ao ´e com a vertical, mas sim com a horizontal, pois a referˆencia ´e o Equador. Mas um bom vestibulando do ITA tem que ter as rela¸c˜oes trigonom´etricas bem afiadas.
Podemos escrever o tal seno:
senθ = r R
Como explicado, a latitude ´e medida a partir do Equador. Assim θ e φ s˜ao comple- mentares, isto ´e, somados d˜ao 90◦.
θ + φ = 90◦
θ = 90◦ − φ
Enfiando no seno, este fica:
sen(90◦− φ) = r
R
Saibam todos e quem tem ouvidos que ou¸ca. Em verdade vos digo que sen(90◦−φ) =
cosφ Isso vale para quaisquer ˆangulos complementares. Pode perguntar para sua professora de matem´atica. Isso vale sempre! Guarde com carinho no cora¸c˜ao este ensinamento. Com isso chegamos a:
cosφ = r R
O raio em determinada latitude ´e calculado pela seguinte equa¸c˜ao r = Rcosφ
Se o raio da circunferˆencia varia, a for¸ca centr´ıfuga em certa latitude varia tamb´em, pois ela depende do raio.
Fcf =
mv2
r
Sempre nessa formula, a for¸ca centr´ıfuga est´a associada ao raio da circunferˆencia descrita. Para a latitude, a for¸ca centr´ıfuga ´e:
Fcf = mω 2 r Substituindo... Fcf = mω 2 Rcosφ
E como se comporta a for¸ca centr´ıfuga `a medida que avan¸camos para os polos? A fun¸c˜ao cosseno de um ˆangulo varia assim... vai diminuindo quando parte de 0◦
Como andar para os polos a partir do Equador ´e o mesmo que ir de 0◦ para 90◦,
ent˜ao o cosseno vai de 1 para 0, isto ´e, a for¸ca centr´ıfuga vai diminuindo ao chegar nos polos. No Equador, ela ´e m´axima.
Mas n˜ao acabou por a´ı. Vamos descobrir qual o peso aparente em determinada latitude. A raz˜ao disso ´e a diferen¸ca de dire¸c˜ao entre o peso e a for¸ca centr´ıfuga. Na figura seguinte, mostra que o a for¸ca centr´ıfuga est´a na mesma dire¸c˜ao do raio da circunferˆencia da latitude, r. J´a o peso SEMPRE aponta para o centro da Terra. Forma-se assim uma rela¸c˜ao de vetores n˜ao alinhados. Para resolver este problema criamos um sistema de referencia, diferente do usado para o centro da Terra. Criamos em cima do corpo, pois ´e mais ´util para n´os. Ent˜ao usamos a proje¸c˜ao da for¸ca centr´ıfuga na dire¸c˜ao do peso, chamando de Fcf x. Ent˜ao fazemos
a mesma an´alise que fizemos para o efeito no equador, mas com alguns algo mais trigonom´etricos. A ideia ´e achar as componentes em x e z da acelera¸c˜ao aparente.
X
Fx = P − Fcf x = maapx
X
Fz = Fcf z = maapz
A proje¸c˜ao em x de acelera¸c˜ao centr´ıfuga ´e uma rela¸c˜ao trigonom´etrica: acf x = acfcosϕ
Mas a acelera¸c˜ao centr´ıfuga nesta latitude ´e: Fcf = mω 2 Rcosϕ macf x = mω 2 Rcosϕ acf x = ω 2 Rcosϕ
E aplicando este resultado na equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao centr´ıfuga x, temos: acf x = (ω 2 Rcosϕ) · cosϕ acf x = ω 2 Rcos2ϕ Voltando `a lei de Newton com esse resultado:
gapx = g − gcf x gapx = g − ω 2 Rcos2ϕ Para o eixo z: Fcf z = mgapz macf z = mgapz acf z = gapz
A componente em z ´e proporcional ao seno, ent˜ao: gapz = acfsenϕ
Como temos a componente nas duas dire¸c˜oes, x e z temos o vetor acelera¸c˜ao aparente determinado.
gapz = ω 2
Rcosϕsenϕ Para achar o m´odulo do da acelera¸c˜ao aparente fica:
gap =p(g − ω2Rcos2ϕ)2+ (ω2Rcosϕsenϕ)2
Se quiser simplificar mais, podemos desenvolver os quadrados e eliminar o seno e o cosseno usando a rela¸c˜ao fundamental da trigonometria sen2
ϕ + cos2
ϕ = 1; gap =pg2− 2gω2Rcos2ϕ + ω4R2cos4ϕ + ω4R2cos2ϕsen2ϕ
Agora vamos usar a rela¸c˜ao fundamental isolando o seno: sen2
ϕ = 1 − cos2
ϕ; gap =pg2− 2gω2Rcos2ϕ + ω4R2cos4ϕ + ω4R2cos2ϕ(1 − cos2ϕ)
gap =pg2− 2gω2Rcos2ϕ + ω4R2cos4ϕ + ω4R2cos2ϕ − ω4R2cos4ϕ
gap =pg2− 2gω2Rcos2ϕ + ω4R2cos2ϕ
Colocando g2 em evidˆencia. gap = s g2 1 − 2ω 2 R g + ω4 R2 g2 cos2ϕ gap = g s 1 − 2ω 2 R g − ω4 R2 g2 cos2 ϕ O peso fica: Pap = mg s 1 − 2ω 2 R g − ω4 R2 g2 cos2ϕ
Olha s´o, o peso aparente depende do quadrado do cosseno da latitude. Vendo isso, podemos concluir que a medida que vamos para os polos, a contribui¸c˜ao da for¸ca centr´ıfuga ´e menor. Visto isso, nos polos n˜ao h´a influencia da rota¸c˜ao da Terra! Vocˆe j´a ouvir falar da Base de Lan¸camento de Alcˆantara, localizada no Maranh˜ao? ´E uma base de lan¸camento de foguetes da For¸ca A´erea Brasileira. ´E considerada uma das melhores bases de lan¸camento, pois lan¸camentos dali economizam combust´ıveis, pois o efeito da gravita¸c˜ao nessa regi˜ao, pr´oxima ao Equador, ´e menor que nas bases de lan¸camento de Cabo Canaveral, Cabo Kennedy nos EUA e na base russa de Baykonnur, no Cazaquist˜ao.
Os franceses, que n˜ao s˜ao bobos, constru´ıram uma base bem pr´oxima a Alcˆantara, na Guiana Francesa. ´E a base de Kourou de onde ´e lan¸cado foguete Ariane e outras miss˜oes da Agˆencia Espacial Europeia.