Projeto ITA para todos
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aEdi¸c˜ao
Miguel Angelo Sampaio
Felipe de Souza Lincoln
Este livro ´e focado em gravita¸c˜ao universal e outros assuntos relacionados a ciˆencia e tecnologia espacial. Buscamos resolver todas as quest˜oes do vestibular do ITA desde 1965, totalizando mais de 50 anos de provas. Todas as quest˜oes tem resolu¸c˜ao detalhada, com explica¸c˜oes das principais ideias e t´ecnicas usadas. Quest˜oes adicio-nais foram inclu´ıdas, algumas delas foram criadas por mim, outras foram baseadas em livros de engenharia e de f´ısica b´asica. O objetivo ´e ter quest˜oes que estimulem os mais diferentes pontos de vista, combinando conhecimento do assunto, pr´atica matem´atica e elo com aspectos pr´aticos e tecnol´ogicos.
Procurei fazer diferente dos demais livros que j´a vi. Inclui nos primeiro cap´ıtulos in-forma¸c˜oes sobre a astronomia, astrof´ısica e a evolu¸c˜ao da ciˆencia e da engenharia. O prop´osito ´e fazer o leitor perceber a importˆancia do estudo do espa¸co e mostrar que as ciˆencias espaciais est˜ao mais pr´oximas do nosso cotidiano do que pensamos. Esse ideal foi adquirido ap´os minha participa¸c˜ao em um dos cursos daInternational Space University, ISU, mais precisamente oSouthern Hemisphere Summer Space Program 2013, que aconteceu na University of South Australia, em Adelaide, Austr´alia. L´a aprendi a importˆancia do chamado Space Awareness e compreendi que o espa¸co sideral ´e um recurso natural valioso, limitado e que a humanidade est´a poluindo de forma descontrolada.
Apesar das diversas revis˜oes no texto que foram feitas, pode haver falhas, incon-sistˆencias que passaram pelo meu crivo. Por isso, pe¸co que me ajudem a melhorar o texto para a nova vers˜ao que deve sair logo ap´os cada vestibular do ITA para contemplar novas quest˜oes de gravita¸c˜ao. Estou aberto `as cr´ıticas construtivas, co-ment´arios sinceros e tudo que possa agregar para melhoria do livro. Deixo o meu contato para comunica¸c˜ao e t˜ao logo eu tenha disponibilidade, terei maior prazer em responder.
Este material destina-se a ser gratuito, portanto, autorizo a c´opia, impress˜ao, divulga¸c˜ao, compartilhamento em sites, em grupos, redes socais, emails, desde que n˜ao seja para fins comerciais. Pro´ıbo o uso do mesmo como mercadoria de
comercializa¸c˜ao. Qualquer a¸c˜ao gratuita ´e valida e autorizada.
Minha parte neste livro foi a elabora¸c˜ao da capa e a transcri¸c˜ao de todo o conte´udo que antes estava em Word para o LA
TEX fazendo pequenas corre¸c˜oes de ortografia e calculo. O conte´udo deste livro foi integralmente feito pelo Miguel, tanto a teoria quanto a resolu¸c˜ao das quest˜oes. Qualquer erro ou inconsistˆencia encontrado, o lei-tor pode nos contatar.
O Instituto Tecnol´ogico de Aeron´autica ´e a escola de engenharia da For¸ca A´erea Brasileira. Conhecido nacional e internacionalmente pela qualidade do ensino de engenharia. Tamb´em ´e conhecido pelo seu concurso de admiss˜ao que tem a fama de ser bastante dif´ıcil. De fato ´e, pelos seguintes motivos: conte´udo de mat´erias bas-tante extenso, quest˜oes de n´ıvel de dificuldade elevado, trinta quest˜oes por prova de cada mat´eria e apenas quatro horas para resolvˆe-las. As quest˜oes cobradas nas pro-vas exigem bastante conhecimento dos assuntos, maturidade matem´atica, agilidade e racioc´ınio r´apido. Monta-se a´ı um cen´ario complicado para um aluno de escolas p´ublicas brasileiras, cujo ensino est´a aqu´em do necess´ario para que este aluno tenha condi¸c˜oes de competir com cerca de 8 mil candidatos (m´edia) que todos os anos concorrem a uma vaga no ITA.
Sendo o ITA, uma institui¸c˜ao p´ublica federal, seu acesso ´e gratuito e para todos os brasileiros que desejarem desde que esteja na lista de classificados do concurso. Vemos ent˜ao que este acesso n˜ao ´e t˜ao livre assim. Alunos com poucos recursos financeiros para pagar cursos preparat´orios espec´ıficos e boas escolas saem em des-vantagem com rela¸c˜ao a alunos que puderam ter boas escolas, acesso `a material e professores capacitados para a prova do ITA. H´a casos de alunos que moram em cidades pequenas ou cidades muito distantes dos grandes centros e que tamb´em n˜ao tem acesso a uma educa¸c˜ao de alto n´ıvel que os prepare para o vestibular do ITA. Dessa forma, temos muitos alunos de pouco poder financeiro que apesar de sonhar em estudar no ITA, se esbarram na dificuldade de prepara¸c˜ao de forma adequada. Nesse contexto, o ITA n˜ao chega a ter em suas salas alunos de regi˜oes mais pobres do Brasil ou alunos menos privilegiados financeiramente. Entendo que independente da situa¸c˜ao financeira ou regi˜ao de origem, h´a alunos muito bons espalhados pelo Brasil, um mar de talentos que muitas vezes n˜ao tˆem oportunidade de ter acesso a uma boa educa¸c˜ao e poder melhorar sua vida e de sua fam´ılia. O Brasil tamb´em perde ao desperdi¸car esses talentos escondidos no anonimato das dificuldades da vida.
Vendo essa necessidade de acesso a bons materiais de estudo, h´a alguns anos, por volta de 2010, criei um canal com v´ıdeo-aulas no Youtube chamado Estuda Ema-nuel. Esse canal surgiu de um pedido de um dos meus primos (Emanuel), de uma ajuda para estudar para o vestibular do ITA. Como eu estava no sudeste do Brasil e ele em Santar´em, Par´a, a melhor forma seria fazer v´ıdeos com resolu¸c˜oes. Alguns vestibulandos viram os v´ıdeos e acharam bons e com isso pediram para que fossem compartilhados e que mais v´ıdeos fossem produzidos. Foi ent˜ao que cheguei a mais de centenas de v´ıdeos com resolu¸c˜oes de quest˜oes do ITA nas mat´erias de F´ısica, Qu´ımica e Matem´atica.
resolu¸c˜oes. Foi ent˜ao que criei um site chamado Projeto ITA Para Todos. L´a se concentram os links para todas as v´ıdeo aulas de teoria e de resolu¸c˜ao de exerc´ıcios. Nesse site, h´a mat´erias completas como teoria explicada e com exerc´ıcios. Atual-mente n˜ao consegui cobrir todos os conte´udos program´aticos do ITA por falta de tempo.
Tudo isso ´e feito de forma gratuita e n˜ao cobro nenhum centavo e nem outro tipo de apoio pelas v´ıdeo aulas . N˜ao h´a motiva¸c˜ao financeira, nem propaganda envol-vida. Apenas o desejo de ajudar, de compartilhar o conhecimento e poder ajudar as pessoas a melhorar de vida.
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E muito triste estudarmos muito, aprendermos bastante para depois levarmos tudo isso para o t´umulo sem compartilhar, sem cooperar com a melhoria da sociedade, sem colocar nossos tijolos no muro. Esse trabalho ´e o retorno do que tenho recebido de bom dado pela vida e espero sinceramente que isso crie uma corrente do bem e que mais e mais pessoas se inspirem em ajudar quem mais precisa.
Muito desse trabalho vem de uma promessa de juventude. Eu sou natural de San-tar´em, uma cidade com muitas belezas naturais, no oeste do Par´a. Como mui-tos alunos por a´ı, tamb´em sonhei em estudar no ITA e me dedicar `a Engenharia Eletrˆonica (uma de minhas paix˜oes), por´em eu n˜ao tinha condi¸c˜oes financeiras de fazer um curso preparat´orio e, ou comprar livros e apostilas adequadas para o ITA. Al´em disso, n˜ao tinha orienta¸c˜ao necess´aria que pudesse ajudar a me preparar. Tive que estudar sozinho em casa e nas bibliotecas p´ublicas de Santar´em, garimpando tudo que era material. Por sorte, os livros did´aticos das d´ecadas de 60 e 70 eram livros muito bons e tinham em abundˆancia na biblioteca municipal de Santar´em, e esses livros foram de grande ajuda. Fiz o vestibular do ITA por trˆes vezes e em 2002 eu fui aprovado ap´os muito esfor¸co, disciplina e sacrif´ıcio. Durante esse meu tempo de luta eu soube o que ´e n˜ao ter armas para lutar e nesse per´ıodo prometi que se eu tivesse sucesso faria tudo que estivesse ao meu alcance para ajudar quem est´a na mesmo situa¸c˜ao na qual estive.
Agora eu apresento este livro na qual dediquei muitos dias na sua prepara¸c˜ao, ten-tando ser o mais did´atico, mais claro e detalhado poss´ıvel, usando uma linguagem mais acess´ıvel e mais leve. A ideia ´e poder dar acesso aos alunos menos favorecidos, acesso `a materiais de estudo que est˜ao em livros e apostilas de cursinhos caros. Apesar de ser voltado aos alunos mais humildes, esse livro ´e feito para todos que se interessam por ciˆencia e tecnologia, sejam ricos ou pobres.
Este livro cont´em a resolu¸c˜ao de muitos problemas do ITA. Portanto, requerem co-nhecimentos b´asicos de F´ısica. Tentei revisar o que pude, dosando para n˜ao criar um livro extenso demais. Se vocˆe n˜ao tem muita pr´atica em conceitos b´asicos de f´ısica, recomendo fortemente que primeiro se exercite bem com problemas de livros de ensino m´edio de forma que vocˆe possa ter mais clareza e entendimento dos as-suntos.
Este livro ´e para ser um complemento/aprofundamento aos seus estudos, te aju-dando a entender resolu¸c˜oes de quest˜oes complexas. N˜ao o use se ainda n˜ao estiver seguro o suficiente em t´ecnicas alg´ebricas, como fatora¸c˜ao, radicia¸c˜ao, simplifica¸c˜ao, resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes de primeiro e segundo grau, fun¸c˜oes alg´ebricas, geometria plana, geometria espacial, opera¸c˜oes com vetores, leis de Newton e princ´ıpios de dinˆamica.
Procurei mesclar assuntos como Geometria Anal´ıtica, Eletricidade, Teoria dos Gases entre outros. Em novas edi¸c˜oes do livro, pretendo trazer mais problemas desafiado-res e intedesafiado-ressantes. Por isso, o use como complemento final e aprofundamento. Muito importante ´e vocˆe tentar fazer as quest˜oes sozinho, sem olhar as resolu¸c˜oes de primeira. ´E errando que se aprende. Ao tentar resolver por si s´o, vocˆe ir´a criar novas conex˜oes cerebrais ligadas ao assunto e quanto mais vocˆe for¸car suas ideias, mais f´acil fixar´a quando errar e olhar a resolu¸c˜ao. Nada que vem f´acil agrega demais ao indiv´ıduo. Assim, se vocˆe j´a for olhar de primeira a resolu¸c˜ao dificilmente aquilo vai te marcar. Ent˜ao para cada quest˜ao, tente resolver sozinho ou em grupo. Outra dica: dˆe um descanso para seu corpo e mente. Uma pessoa exausta n˜ao render´a tanto quanto uma pessoa descansada. Por isso, n˜ao passe longas horas de estudo sem uma pausa para espairecer e renovar as for¸cas.
Sempre que puder ensine o que sabe. Vocˆe vai ver que poder´a aprender muito mais e solidificar´a seus conhecimentos ainda mais.
N˜ao menospreze os outros, sempre temos o que aprender com qualquer pessoa. Hu-mildade ´e sabedoria.
O caminho n˜ao ´e f´acil, muitos obst´aculos v˜ao surgir e tudo ir´a te fazer concluir que desistir ´e a melhor solu¸c˜ao e nem sempre ´e. Caiu? Levante-se e continue.
1 T´ecnologia espacial 8
1.1 O avan¸co nas telecomunica¸c˜oes . . . 8
1.2 Sensoriamento remoto . . . 9
1.3 Localiza¸c˜ao e resgate . . . 11
1.4 Foguetes lan¸cadores . . . 12
2 Breve hist´oria da astronomia 14 2.1 Antiguidade . . . 14
2.2 Idade M´edia . . . 17
2.3 A Astronomia e a F´ısica . . . 20
2.4 S´eculos XIX e XX e uma nova forma de ver o universo . . . 20
2.5 Teoria da Relatividade Geral e Ondas Gravitacionais . . . 22
3 Gravidade 25 3.1 A gravidade de Newton . . . 25
3.2 Acelera¸c˜ao da gravidade . . . 36
3.3 Acelera¸c˜ao da gravidade em outros planetas . . . 40
3.4 Efeito da latitude e rota¸c˜ao . . . 43
3.5 Gravidade de uma casca esf´erica e no interior da Terra . . . 50
4 Movimento Orbital 56 4.1 For¸ca centr´ıpeta e centr´ıfuga . . . 56
4.2 Conserva¸c˜ao do momento linear e angular . . . 59
4.3 Revis˜ao sobre cˆonicas . . . 61
4.4 Velocidades na elipse . . . 64
4.5 Energia na elipse . . . 67
4.6 Velocidade em qualquer ponto da elipse . . . 67
4.7 Leis de Kepler . . . 68
4.8 Aplica¸c˜oes especiais . . . 71
4.9 Velocidade de escape . . . 75
5 Quest˜oes resolvidas 80
T´
ecnologia espacial
A conquista do espa¸co representou n˜ao s´o um grande avan¸co cient´ıfico, mas tamb´em tecnol´ogico, permitindo a realiza¸c˜ao de muitos servi¸cos que hoje tornam a vida na Terra mais pr´atica e confort´avel. `A primeira vista, as atividades espaciais n˜ao tem nenhuma rela¸c˜ao com o cotidiano aqui no solo, mas est˜ao mais pr´oximas que pensamos. A seguir temos alguns exemplos de como o distante espa¸co sideral nos ajuda a viver melhor.
1.1
O avan¸co nas telecomunica¸c˜
oes
As telecomunica¸c˜oes tiveram um salto gigantesco com as tecnologias espaciais. Os telefones que se conectavam por longos e ineficientes fios de cobre, hoje podem ligar qualquer dois pontos do globo, em tempo real atrav´es de links (liga¸c˜oes) de sat´elite. As grandes distˆancias intercontinentais s˜ao superadas atrav´es de pontes que se localizam no espa¸co viabilizado por sat´elites dedicados `as telecomunica¸c˜oes. N˜ao s´o para comunica¸c˜ao por voz, mas a internet teve tanto avan¸co na velocidade quanto na capacidade de transferˆencia de dados.
Figura 1.1: O sat´elite realiza a retransmiss˜ao de sinais entre ´Africa e Europa, como exemplo que viabiliza a comunica¸c˜ao entre v´arias partes do mundo. Imagem da ESA.
Os servi¸cos de telecomunica¸c˜oes s˜ao neg´ocios muito lucrativos e dependem sensi-velmente do uso de sat´elites. A distribui¸c˜ao de sinais de TV por assinatura geram
centenas de milh˜oes de d´olares por ano no mundo todo. Essa distribui¸c˜ao em larga escala ´e chamada de broadcast. Al´em disso, eventos esportivos podem ser assistidos em tempo real no mundo todo gra¸cas aos sat´elites de comunica¸c˜oes que orbitam a Terra.
A Telemedicina e a Tele-educa¸c˜ao j´a s˜ao realidades em muitos lugares, onde profis-sionais da sa´ude podem prestar apoio m´edico a comunidades distantes, bem como professores podem levar o conhecimento a lugares remotos.
Transa¸c˜oes banc´arias tamb´em s˜ao altamente dependentes da comunica¸c˜ao em rede e por isso tamb´em dependem do uso de sat´elites.
1.2
Sensoriamento remoto
Sensoriamento Remoto ´e uma t´ecnica para obter informa¸c˜oes sobre determinada regi˜ao na superf´ıcie da Terra atrav´es de imageamento ou medi¸c˜oes de grandezas de interesse. Um exemplo de sensoriamento remoto s˜ao as medi¸c˜oes da atmosfera, que permite tanto a previs˜ao do tempo de forma mais precisa quanto um melhor entendimento das mudan¸cas atmosf´ericas que afetam o clima.
Figura 1.2: Imagem de Sat´elite mostra uma tempestade se formando na regi˜ao de Boston. Imagem da NASA.
O sensoriamento remoto ´e basicamente realizado por sat´elites de ´orbitas baixas, isto ´e, baixas altitudes, dotados de cˆameras e sensores. Assim, podem fazer registros fotogr´aficos ou aquisi¸c˜oes de medidas das regi˜oes pelas quais ele percorre durante suas revolu¸c˜oes em torno da Terra.
monitorar fluxos migrat´orios de animais, identificar pontos cr´ıticos para incˆendios florestais e muitas outras aplica¸c˜oes.
Figura 1.3: Imagens de sat´elite mostram o impacto do desmatamento em um per´ıodo de 22 anos, em Marab´a, Par´a. Imagem da Landsat/INPE.
Figura 1.4: Regi˜ao de planta¸c˜ao de caf´e em Minas Gerais. As imagens auxiliam os agricultores no planejamento de lavouras e melhor uso das ´areas. Imagem Google Earth
http://www.dsr.inpe.br/laf/cafesat/ artigos/TecnologiaInformacaoCafeMG. pdf.
O sensoriamento remoto tamb´em pode ser usado para fins militares como espiona-gem. Muitos dos sat´elites que est˜ao em ´orbita fazem observa¸c˜oes sigilosas utilizando-se de cˆameras de alta resolu¸c˜ao. Nada escapa aos olhos do c´eu.
1.3
Localiza¸c˜
ao e resgate
A navega¸c˜ao fluvial, mar´ıtima e a´erea sofreu um grande impacto positivo com as aplica¸c˜oes de sat´elites em servi¸cos de localiza¸c˜ao e orienta¸c˜ao. Antigamente, nos tempos dos navegadores portugueses e espanh´ois, as rotas dos navios eram determi-nadas atrav´es de observa¸c˜oes de estrelas que aparentemente se mantinham fixas no firmamento. Um dos instrumentos usados para esse fim era chamado de astrol´abio. Como referˆencia, usava-se a Estrela Polar da Constela¸c˜ao Ursa Maior. Essa estrela pode ser vista do Hemisf´erio Norte.
Figura 1.6: Os navegadores me-diam o ˆangulo de posicionamento da Estrela Polar em rela¸c˜ao ao navio e com isso estimavam sua localiza¸c˜ao.
Figura 1.7: GNSS.
O uso de sat´elites fornece a infraestrutura necess´aria para se criar o GNSS, Global Navigation Satellite System, na qual os receptores desses sat´elites realizam c´alculos e determinam com boa precis˜ao a sua localiza¸c˜ao.
Um dos servi¸cos GNSS mais conhecidos ´e o GPS, desenvolvido para aplica¸c˜oes mili-tares pelo Departamento de Defesa americano. O GPS ´e um sistema que ´e disponibi-lizado pelo governo dos EUA para uso civil e militar ao redor do mundo. Obviamente que a precis˜ao do servi¸co GPS liberado ´e bem mais baixa que a precis˜ao do GPS usado pelas For¸cas Armadas americanas. Diz-se que quando aconteceram os aten-tando contra o World Trade Center em Nova York, o sinal de GPS foi cortado no mundo todo temporariamente.
GPS permitiu que buscas e salvamentos pudessem ser realizados com mais eficiˆencia e sucesso. H´a um sistema global voltado para atendimento de emergˆencia em casos de naufr´agios e quedas de aeronaves.
No entanto, o GPS n˜ao ´e o ´unico sistema de localiza¸c˜ao existente. O sistema GLO-NASS foi desenvolvido pela R´ussia. O sistema Galileo segue o mesmo conceito, por´em desenvolvido por um cons´orcio de pa´ıses europeus. A ´India est´a desenvol-vendo seu pr´oprio sistema de localiza¸c˜ao. As motiva¸c˜oes iniciais para os GNSS ´e militar, na qual uma na¸c˜ao n˜ao quer ficar dependente de outras para operar suas unidades e ve´ıculos militares. Com a abertura desse servi¸co para o mercado civil, vislumbrou-se um neg´ocio extremamente lucrativo.
Quando vocˆe pega um receptor de GPS desses de carro ou usa o do seu celular e tenta se localizar, vocˆe est´a na verdade recebendo sinais de pelo menos 3 dos sat´elites do GPS. Eles mandam um sinal com um o hor´ario de envio desse sinal. O receptor decodifica esse hor´ario e compara com o hor´ario que ele recebeu, ent˜ao ele consegue fazer as contas de qual a sua distˆancia ao sat´elite visto que o sinal de GPS ´e uma onda eletromagn´etica e por isso se move com velocidade constante,c. Para que vocˆe possa se localizar vocˆe precisa de pelo menos vis˜ao de trˆes sat´elites. Por isso que em dias nublados o GPS fica impreciso devido `as nuvens que enfraquecem o sinal que vem do espa¸co.
1.4
Foguetes lan¸cadores
Para viabilizar todos esses servi¸cos, os sat´elites devem ser colocados em ´orbita e para isso existem os ve´ıculos lan¸cadores. Basicamente s˜ao foguetes que podem deslocar grande quantidade de massa at´e determinada altitude e com a velocidade necess´aria para manter tais massas em ´orbita.
Os foguetes inicialmente eram projetos governamentais, pois se entendia que foguetes espaciais podem ser transformados em armas. Com o tempo, a vis˜ao que se tem sobre os foguetes e sua populariza¸c˜ao levaram `a abordar esses ve´ıculos como um lucrativo neg´ocio. As atividades de lan¸cadores no Brasil s˜ao gerenciadas pela For¸ca A´erea.
Os foguetes podem transportar tanto equipamentos quanto pessoas. No caso de equipamentos, estes s˜ao chamados de Carga ´Util. Essas miss˜oes podem ser tripu-ladas ou n˜ao. Atualmente, o servi¸co de lan¸camento de cargas ´uteis ´e um neg´ocio bastante lucrativo, pois vem aumentando o interesse e necessidade dos pa´ıses por atividades em telecomunica¸c˜oes ou sensoriamento remoto. Como poucos pa´ıses no mundo det´em a tecnologia de lan¸cadores, constituindo assim um seleto clube. Os rendimentos com lan¸camentos comerciais vˆem sendo cada vez mais justific´aveis. Isso ´e tanto verdade que a NASA contrata empresas para realizar transporte de cargas para Esta¸c˜ao Espacial Internacional. Uma das empresas de maior destaque ´e a Spa-ceX.
As miss˜oes tripuladas s˜ao mais complexas e caras visto que os lan¸cadores devem pos-suir m´odulos para a tripula¸c˜ao trabalhar de forma segura e confort´avel. As miss˜oes tripuladas inicialmente tinham car´ater cient´ıfico, tecnol´ogico e militar. Com o bara-teamento da tecnologia e maior interesse do p´ublico por viagens espaciais, o turismo espacial vem crescendo anualmente. Assim, n˜ao se restringiu aos voos dos ˆonibus espaciais da NASA.
As primeiras miss˜oes tripuladas eram feitas em foguetes que eram inutilizados du-rante o lan¸camento devido aos m´etodos de est´agios de combust´ıvel. Os est´agios eram descartados assim que o combust´ıvel terminasse em seus tanques. O retorno da tripula¸c˜ao se dava em m´odulos pequenos, como no caso das miss˜oes Apollo da NASA. Para diminuir os custos das miss˜oes, a NASA criou o conceito de ˆonibus espaciais, no qual a tripula¸c˜ao regressava em pousos similares ao de uma aeronave, evitam o descarte de material e reutilizando o ve´ıculo para novas miss˜oes.
Breve hist´
oria da astronomia
Olhar para o c´eu estrelado ´e uma atividade realizada pelo homem desde os tempos mais prim´ordios. Realmente observar um c´eu estrelado causa diversos sentimentos e sensa¸c˜oes. Seja vocˆe sens´ıvel ou n˜ao, saiba que muitos indiv´ıduos elaboraram muitos questionamentos filos´oficos e cient´ıficos devido `a observa¸c˜ao do firmamento. Tamb´em, muitos casais j´a se “coisaram” (entendimento livre) inspirados pelas belas noites de luar. Poetas escreveram versos e mocinhas suspiraram... A influˆencia do espa¸co ´e tamanha que at´e mesmo religi˜oes e cren¸cas se basearam nos astros, como a astrologia e a mitologia.
2.1
Antiguidade
Vocˆe j´a parou para pensar por que a nossa gal´axia se chama Via L´actea? Via L´actea ´e um termo do latim, que os antigos romanos emprestaram dos gregos, que significa Caminho do Leite, vindo de Galaxias Kyklos, ou ciclo do leite. Devido `a ilumina¸c˜ao das cidades, o c´eu n˜ao ´e visto da mesma forma que era vista pelos nossos ancestrais distantes. Se vocˆe for para algum s´ıtio bem afastado, poder´a ver que as estrelas foram um caminho como uma faixa branca, que ´e a raz˜ao pela qual se nomeou nossa gal´axia.
Figura 2.1
Outros povos da Antiguidade como ´arabes, chineses, romanos observaram os astros em buscas de respostas para seus questionamentos existenciais, ou para entendi-mento da Natureza. Por exemplo, o fenˆomeno da mar´e ´e causado pela atra¸c˜ao gravitacional que a Lua exerce sobre as ´aguas. A observa¸c˜ao das mar´es e fases da Lua levou a essa conclus˜ao servindo bastante para o homem do mundo antigo. Os cometas e eclipses eram encarados muitas vezes como manifesta¸c˜oes divinas. E tal foi interesse que muitos desses homens antigos come¸caram a estudar a dinˆamica celeste. At´e hoje, muita gente chama os meteoros e meteoritos de estrela cadentes e fazem pedidos quando avistam uma delas riscando o c´eu. Nesse interesse, surgiu a Astronomia (n˜ao confundir com astrologia), ciˆencia que objetiva o estudo dos astros, seus comportamentos e caracter´ısticas.
Figura 2.2 Figura 2.3
A Gr´ecia teve alguns estudiosos de renome e que contribu´ıram muito para desenvol-vimento da ciˆencia. Vamos ver alguns deles.
Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) a partir de suas viagens ao Egito introduziu na Gr´ecia os fundamentos da geometria e da astronomia. Defendeu que a Terra era um disco plano em uma vasta extens˜ao de ´agua. Eu te entendo Tales, eu tamb´em pensaria isso..
Pit´agoras de Samos (572 - 497 a.C.) j´a foi mais arrojado pois acreditava na esfericidade da Terra, da Lua e de outros corpos celestes, afinal ele criou o Teorema de Pit´agoras. Por´em vacilou ao crer que os planetas, o Sol, e a Lua eram transpor-tados por esferas separadas da que carregava as estrelas. A express˜ao cosmos para o c´eu foi criada por ele.
Arist´oteles de Estagira (384-322 a.C.) j´a foi mais al´em, trazendo novidades para o contexto astronˆomico explicando que as fases da Lua dependem da faces iluminadas pelo Sol. Explicou como os eclipses funcionam. Juntou-se a Pit´agoras a favor da esfericidade da Terra, pois a sombra da Terra na Lua durante um eclipse lunar ´e sempre redonda. Afirmava que o Universo ´e esf´erico e finito.
Heraclides de Pontus (388-315 a.C.) explicou a rota¸c˜ao da Terra sobre seu pr´oprio eixo, que Vˆenus e Merc´urio orbitam o Sol.
Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi um vision´ario propondo que a Terra se movia em volta do Sol, antes de Cop´ernico. Entre outras coisas, criou uma meto-dologia para determinar as distˆancias relativas do Sol e da Lua `a Terra. Realizou medidas indiretas dos tamanhos relativos da Terra, do Sol e da Lua. Sinistro!
afinal, acho que ele tinha tempo na biblioteca para isso. Mas como ele fez isso? Era sabido que na cidade de Siena no Egito, no inicio do ver˜ao, ao meio-dia a luz do sol atingia o fundo de um po¸co. Isso ´e importante como referencia que o Sol estaria na vertical perpendicular `a Terra. Como ele, um garoto crescido nas quebradas de Alexandria, sabia que o mesmo n˜ao acontecia com os po¸cos em sua cidade. Ent˜ao, resolveu medir a sombra de uma haste no solo para ver qual inclina¸c˜ao havia, e foi 7◦. Com isso ele determinava o ˆangulo entre Alexandria e Siena, que se
distanci-avam em 5000 est´adios (unidade de medida na Gr´ecia). Esse valor foi obtido da viagem de camelo entre `as duas cidade e sabendo que um camelo em m´edia anda 100 est´adios por dia. Os 7◦ medidos correspondem a 1/50 de uma circunferˆencia,
assim, e a circunferˆencia da Terra deveria medir 50x5000 est´adios. Sendo que uma circunferˆencia ´eC = 2πR, o raio era determinado como aproximadamente 40000, j´a que um est´adio corresponderia a 1/6 km. Muito safo!
Hiparco de Nic´eia (c.190-c.120 a.C.), considerado o maior astrˆonomo da era pr´e-crist˜a, e com um observat´orio na ilha de Rodes, compilou a posi¸c˜ao no c´eu e a magnitude de 850 estrelas. Fez diversas medidas sobre a mecˆanica na Terra.
Ptolomeu (85 d.C. - 165 d.C.)(Claudius Ptolemaeus) foi autor de uma s´erie de treze volumes sobre astronomia, conhecida como o Almagesto, a obra de referˆencia em astronomia grega.
Para entender qu˜ao geniais eram estes astrˆonomos ´e s´o se ligar no fato de que eles n˜ao tinham telesc´opios, medidores precisos de tempo e nem outros instrumentos. Era tudo na ra¸ca e na inteligˆencia. Realmente admir´avel.
H´a outros povos que desenvolveram a astronomia como no oriente m´edio, princi-palmente na Babilˆonia, que ´e mais ou menos a regi˜ao que hoje ´e o Iraque. Por´em, ainda n˜ao havia uma clara separa¸c˜ao entre religi˜ao e ciˆencia.
Vocˆe j´a se perguntou por que um minuto tem 60 segundos? Se j´a e n˜ao tem resposta, l´a vai...
A escrita na Babilˆonia come¸cava com o 1, escrito sobre pedra usando o s´ımbolo g,
j´a o 10 era feito usando o s´ımbolo ≻. Combina¸c˜oes destas duas marcas eram feitas at´e o 59, voltando ao inicio quando se chegava ao 60. S´o muito mais para frente que se inventou o 0, por´em a falta do zero permitia que os babilˆonicos pudessem fazer c´alculos elaborados com facilidade. Essa galera n˜ao era boba n˜ao...
Dessa maneira, a divis˜ao de horas vem da nota¸c˜ao babilˆonica que ia at´e 60
Os babilˆonios, al´em de documentar fenˆomenos astronˆomicos, iniciaram a cria¸c˜ao do calend´ario, ao dividir o tempo baseado em fases da Lua. Sendo que cada fase dura sete dias, ent˜ao surgiram as semanas. Para nomear os dias, eles homenagearam as divindades por eles adoradas. Vejam abaixo:
Mesopotˆamia Inglˆes Alem˜ao Italiano Francˆes Espanhol
Dia da Lua Monday Montag Lunedi Lunedi Lunes
Dia de Marte Tuesday Dienstag Martedi Mardi Martes
Dia de Merc´urio Wednesday Mittwoch Mercoledi Mercred´ı Mi´ercoles
Dia de J´upiter Thursday Donnerstag Giovedi Jeudi Jueves
Dia de Vˆenus Friday Freitag Vernedi Vendredi Viernes
Dia de Saturno Saturday Samstag Sabato Samedi S´abado
Dia do Sol Sunday Sontag Domenica Dimanche Domingo
2.2
Idade M´
edia
A Idade M´edia ´e conhecida como Per´ıodo das Trevas, onde o conhecimento e o desenvolvimento cient´ıfico ficaram estagnados na Europa. Conceitos religiosos da Igreja Cat´olica assombravam os estudiosos que queriam divulgar ideias contr´arias a f´e crist˜a. Os pensadores da natureza realizavam estudos em sigilo. Diferentemente da Europa, o mundo ´arabe se tornou culto, absorvendo muito do conhecimento grego e desenvolvendo a ciˆencia no Oriente M´edio. O progresso da matem´atica, da qu´ımica e astronomia evoluiu bastante com os ´arabes, tendo muitos estudiosos com obras traduzidas do ´arabe para o latim.
Com a chegada do Renascimento tudo mudou na Europa. O pessoal procurou saber mais sobre a natureza, sendo que a astronomia virou uma das sete artes liberais, bastante comuns no Studium Generale, ou que seria chamado no futuro de Universidade. Adotou-se o modelo geocˆentrico grego, onde se acreditava que a Terra era o centro do Universo e tudo girava ao seu redor. Sabe nada inocente...
Um polonˆes chamado Nicolau Cop´ernico, chegou um dia em uma pra¸ca da Europa e disse “Est´a tudo errado nessa baga¸ca, vamos parar com essa hist´oria de Terra no Centro”. Claro que n˜ao foi assim, isso foi s´o uma tentativa de ser engra¸cadinho da minha parte, que eu acho que n˜ao foi, e se n˜ao foi pelo menos d´a uma risadinha a´ı para fortalecer a amizade. Ok. Vamos continuar. O Cop´ernico propˆos um modelo diferente, chamado heliocˆentrico, no qual o Sol estaria no centro e a Terra orbitando. Isso causou um rebu dos diabos, pois quebrava anos e anos de cren¸ca em uma teoria errada.
Mais tarde, Galileu Galilei e Johannes Kepler vieram a confirmar com dados e complementar as ideias de Cop´ernico. Os dois se aprofundaram em observar e criar m´etodos e teorias que explicassem a mecˆanica celeste.
Figura 2.5: Galileo Galilei. Conta a lenda, que quando Galileo estava sendo questionado em seu jul-gamento e foi obrigado a jurar que a Terra n˜ao se movia, ele falou baixinho “Ela ainda se move...” Ne-gou para geral no julgamento, mas deu a palavra final baixinho
Figura 2.6: Johannes Kepler
Por volta dos anos 1500 (o Brasil estava sendo descoberto nessa ´epoca), um nobre dinamarquˆes chamado Tycho Brahe iniciou um trabalho de observa¸c˜ao astronˆomica a olho nu, em seu observat´orio particular, localizado entre a Dinamarca e a Su´ecia. Esse trabalho de observa¸c˜ao levantou dados muito importantes para cria¸c˜ao das primeiras equa¸c˜oes sobre gravita¸c˜ao. O observat´orio de Brahe tinha at´e nome: Ura-nienborg, em homenagem a Urˆania, a musa da astronomia.
Tycho Brahe era uma figura cuja vida teve alguns epis´odios pitorescos...
Figura 2.7: Tycho Brahe. Nariz met´alico do Brahe em um retrato da ´epoca, mostrando a pr´otese.
A morte de Brahe foi causada por sua educa¸c˜ao `a mesa. Convidado a um banquete, ele estava com bexiga cheia e precisava ir ao banheiro, mas com vergonha resolveu dar uma seguradinha. Segurou tanto que contraiu um problema urin´ario que veio a lhe tirar a vida depois de onze dias acamado. Fato confirmado pelas colunas sociais da ´epoca e na revista Caras da Dinamarca (tentativa de piada). Entre os pr´oximos de Brahe estava um cidad˜ao chamado Johannes Kepler. Kepler o acompanhou at´e seu momento derradeiro e diz a lenda que teria dito as seguintes palavras a Kepler
“Ne frustra vixisse videar!” que significa “Vaaai Curinthia!”. N˜ao, n˜ao foi isso, n˜ao. A tradu¸c˜ao correta ´e “N˜ao me deixe parecer ter vivido em v˜ao”. Kepler mais tarde, usando os dados de medi¸c˜ao de Brahe deduziu as trˆes leis do movimento planet´ario, que conhecemos hoje. Kepler cumpriu o pedido de Brahe. Parceria sempre!
2.3
A Astronomia e a F´ısica
Os trabalhos de Tycho Brahe deram a Kepler as evidˆencias para desenvolver as leis dos movimentos dos corpos celestes, dando um passo da mera observa¸c˜ao para modelos matem´aticos. O desenvolvimento dos conceitos f´ısicos por Galileu come¸cou a dar base para um entendimento desses fenˆomenos sob a luz da ciˆencia f´ısica. Isso impulsionaria o entendimento do cosmos com uma fruta.
A descoberta dos princ´ıpios da gravita¸c˜ao se deu pela observa¸c˜ao da queda de uma ma¸c˜a por Sir Isaac Newton. Era o ano de 1666 na Inglaterra, mais especificamente no jardim da senhora Newton, em Lincolnshire. Isaac estava descansando sob a sombra de uma macieira, quando uma ma¸c˜a caiu sobre sua cabe¸ca, fazendo tamb´em cair a ficha de que a Terra atraia os corpos. A partir da´ı Newton passou a descrever uma teoria sobre a forma com que os corpos interagiam. Escreveu o sua maior obra, o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou Princ´ıpios Matem´aticos da Filosofia Natural de 1687. Vamos entrar em detalhes nos pr´oximos cap´ıtulos.
Figura 2.8: Isaac Newton n˜ao era headbanger e nem cultuava essa cabeleira. Essas perucas eram comuns para evitar contamina¸c˜ao por piolhos naquele tempo.
2.4
S´
eculos XIX e XX e uma nova forma de ver
o universo
as-tronomia como a descoberta da espectroscopia.
Ondas eletromagn´eticas s˜ao ondas que viajam a uma mesma velocidade, n˜ao impor-tando sua frequˆencia e comprimento de onda, nomeada de c, cujo valor no v´acuo ´e 300.000km/s. Cada frequˆencia est´a associada a um ´unico comprimento de onda que pode ser calculado atrav´es da famosa equa¸c˜ao das ondas. Para qualquer onda vale a seguinte rela¸c˜ao entre velocidade v, sua frequˆencia f e seu comprimento de onda
λ.
v =λ·f
Conforme dito, para as ondas eletromagn´eticas a velocidade ´e c, portanto, a equa¸c˜ao para ondas eletromagn´eticas se torna:
c=λ·f
Note a afirma¸c˜ao que fizemos na equa¸c˜ao acima: para uma determinada frequˆencia, temos apenas um ´unico comprimento de onda, indo do violeta ao vermelho. Frequˆencias acima da frequˆencia do violeta s˜ao chamados de ultra-violeta (um exemplo s˜ao as radia¸c˜oes solares e que causam cˆancer). Frequˆencias abaixo da frequˆencia do verme-lho s˜ao chamados de infra-vermeverme-lho (emitido pelo controle remoto da sua televis˜ao, por´em vocˆe n˜ao enxerga, mas a TV detecta). Cada cor possui uma frequˆencia bem definida, bem como um comprimento de onda. Com o progresso nas pesquisas, ci-entistas viram que gases aquecidos emitir radia¸c˜oes com determinadas frequˆencias, isto ´e, os gases teriam uma identidade eletromagn´etica. Com isso era poss´ıvel deter-minar a composi¸c˜ao de determinado material apenas observando as radia¸c˜oes por eles emitidas. A engenharia eletrˆonica possibilitou a cria¸c˜ao de sensores que pode-riam analisar essas radia¸c˜oes e assim detectar a composi¸c˜ao de uma estrela ou de um planeta, dizendo de grosso modo. Dessa forma, a observa¸c˜ao astronˆomica deu um salto, permitindo entender n˜ao s´o a mecˆanica celeste, mas os ciclos de forma¸c˜ao e morte dos astros.
Os progressos da ciˆencia permitiam sonhar com respostas para perguntas mais fun-damentais como a origem do Universo, sua evolu¸c˜ao e qual seria o seu futuro. Das in´umeras teorias surgidas, a que ´e a mais aceita ´e a Teoria do Big Bang, mostrada a seguir. Tudo come¸cou quando o f´ısico experimental Leonard Hofstadter foi dividir apartamento com doutor Sheldon Cooper... ops, ´e outra teoria.
A Teoria do Big Bang sup˜oe o seguinte:
“Our whole universe was in a hot dense state,
Then nearly fourteen billion years ago expansion started. Wait... The Earth began to cool. . . ”
- Theory of Everything, Barenaked Ladies
E como o universo evoluiu? Est´a em expans˜ao ou contra¸c˜ao? Isso porque se ex-plodiu pode ser uma expans˜ao, por´em se a expans˜ao acabou e agora estamos com-primindo? A resposta para isso vem de um efeito que podemos observar quando uma ambulˆancia ou outro ve´ıculo com sirene passa em alta velocidade. Quando a ambulˆancia passa, parece que o som dela muda quando se aproxima de n´os e quando se afasta. Essa mudan¸ca de grave para agudo se d´a por que a frequˆencia, que o ob-servador escuta, muda. A sirene vai estar sempre com a mesma frequˆencia, por´em o efeito do movimento faz parecer, aos ouvidos do observador, que h´a uma mudan¸ca. Esse fenˆomeno ´e explicado como Efeito Doppler. Ele se aplica `a ondas cuja fonte esteja em movimento relativamente a um observador. Astrˆonomos perceberam que gal´axias que est˜ao se afastando da Terra apresentam radia¸c˜oes que parecem se deslo-car para as frequˆencias do vermelho e gal´axias que aproximam apresentam radia¸c˜oes aqui na Terra que se deslocam em dire¸c˜ao `as frequˆencias do azul. Esse fenˆomeno ´e conhecido com Red Shift, ou deslocamento para vermelho. Edwin Hubble per-cebeu essas rela¸c˜oes e suas observa¸c˜oes s˜ao tomadas como ind´ıcios da expans˜ao do Universo.
2.5
Teoria da Relatividade Geral e Ondas
Gravi-tacionais
Em 1915 era publicada a Teoria da Relatividade Geral, pelo f´ısico alem˜ao Albert Einstein. Einstein j´a havia impressionado o mundo com a teoria anterior chamada Teoria da Relatividade Especial ou Restrita. Einstein revolucionou a F´ısica ao dar uma nova vis˜ao sobre os fenˆomenos f´ısicos e com a Teoria da Relatividade Geral viria a mudar o entendimento da gravita¸c˜ao. Na sua teoria, os fenˆomenos f´ısicos po-deriam ser observado em um referencial quadridimensional, sendo o tempo a quarta dimens˜ao. Hoje, na f´ısica cl´assica, os referencias s˜ao sempre (x,y,z) representando o espa¸co, no entanto Einstein propˆos uma nova forma como (x,y,z,t). E ele foi al´em, o espa¸co-tempo est´a relacionado com a gravidade! Dentre as diversas conclus˜oes de sua teoria, uma delas ´e que grandes massas podem curvar o espa¸co-tempo. Veja na figura seguinte:
A confirma¸c˜ao experimental dessa alega¸c˜ao foi feita no Brasil, em Sobral no Cear´a, no ano de 1919. O experimento realizado mostrou que a curvatura do espa¸co-tempo faria um raio de luz, vindo de uma estrela, contornar o Sol (se n˜ao considerarmos a curvatura do espa¸co, a luz seguiria um caminho em linha reta e seria bloqueada pelo Sol) e ser detectada na Terra. Na figura seguinte, o ponto mais a direita seria a posi¸c˜ao causada pelo efeito da distor¸c˜ao, fazendo a parecer estar mais afastada quando na verdade, ela estaria atr´as do sol e n˜ao poderia ser vista.
Figura 2.10
Essa foi uma das confirma¸c˜oes experimentais da teoria do Albert.
Recentemente, mais uma previs˜ao da Teoria da Relatividade Geral foi confirmada: a existˆencia de ondas gravitacionais. Sendo que objetos de grandes massas causam distor¸c˜oes no espa¸co-tempo, ondas gravitacionais podem acontecer. Um experimento de um cons´orcio de cientistas, o LIGO, Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory, conseguiu detectar perturba¸c˜oes criadas por um sistema bin´ario de buracos-negros. Buracos Negros s˜ao objetos celestes de massa muito elevada a tal ponto que sua for¸ca gravitacional n˜ao permite nem a luz escapar. O sistema bin´ario formado pelos buracos negros pode ser entendido com como dois corpos que orbitam em torno do seu centro de massa. ´E como um casal, de bra¸cos dados, girando em um sal˜ao de festas. Ent˜ao a rota¸c˜ao dessas duas grandes massas perturba o espa¸co-tempo gerando as ondas. Na fotografia abaixo, podem ser vistos os dois buracos-negros e note que s˜ao dois opacos devido ao fato de n˜ao deixarem a luz escapar, diferente das estrelas.
Na figura seguinte as espirais s˜ao as perturba¸c˜oes criadas pelo sistema bin´ario ana-lisado. Essas ondas foram detectadas pelos interferˆometros a laser do LIGO. Com-provando assim, que mais uma vez Einstein estava certo.
Figura 2.12
O Albert sempre foi um cara muito simp´atico, de bem com a vida e de mal com o pente ou escova, revolucionou a f´ısica e gostava de tomar uma depois do trabalho para relaxar. O Albert realmente faz falta...
Gravidade
3.1
A gravidade de Newton
O Principio da Gravita¸c˜ao foi descoberto por Newton e estabelece uma forma de calcular a for¸ca entre dois corpos quando separados a certa distˆancia. Newton afirmou que essa for¸ca depende de uma constante universal, chamada de Constante Universal Gravitacional.
F = Gm1m2
d2
Onde G= 6,67×10−11
m3
kg−1
s2
. No numeradorm1 em2 s˜ao as massas dos corpos
envolvidos e d´e a distˆancia que os separa.
Como a for¸ca ´e um vetor, ela deve ter al´em de um valor de intensidade, deve ter uma dire¸c˜ao e um sentido. A dire¸c˜ao ´e sempre na linha reta que une os corpos. O sentido ´e sempre na dire¸c˜ao do outro corpo. Por exemplo:
Na figura, temos duas for¸cas F12 quer dizer a for¸ca gravitacional que o corpo 1
exerce sobre o corpo 2 e F21 quer dizer a for¸ca que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1.
Essas for¸cas s˜ao sempre ao pares e tem igual intensidade, n˜ao importa se o um dos corpos seja infinitamente maior. Eu gosto de dizer que ´e uma for¸ca democr´atica. Por exemplo, entre mim e a Terra h´a uma for¸ca gravitacional, pois eu tenho uma massa de aproximadamente 78kg e a Terra tem milh˜oes quilos de massa. Nessa nossa convivˆencia di´aria, a Terra exerce uma for¸ca sobre mim e eu exer¸co uma for¸ca sobre ela. A for¸ca que ela exerce sobre mim ´e igual em intensidade `a for¸ca que eu exer¸co sobre ela.
Um mesmo corpo pode exercer for¸cas gravitacionais em muitos outros, n˜ao impor-tando a quantidade e cada intera¸c˜ao gravitacional segue a mesma regra acima. No exemplo seguinte, quatro corpos de massas diferentes separados por distˆancias que n˜ao s˜ao as mesmas, exercem for¸cas gravitacionais uns sobre os outros. Veja que as for¸cas s˜ao aos pares, pois de acordo coma f´ormula de Newton, a intera¸c˜ao gravita-cional envolve sempre dois corpos de cada vez.
A´ı vocˆe me pergunta, e esse monte de for¸cas a´ı? Bom, veja que cada corpo est´a sob a¸c˜ao de trˆes for¸cas. O que vai acontecer com ele vai depender da sua massa e principalmente da for¸ca resultante. A for¸ca resultante ´e a for¸ca que resulta do efeito combinado dessas trˆes for¸cas. Para saber como vai ficar essa for¸ca resultante ´e preciso fazer a soma vetorial das for¸cas. O que isso quer dizer, vocˆe tem que somar os vetores. Estou considerando que vocˆe j´a sabe fazer isso. Algumas coisas eu posso at´e revisar, mas se eu revisar tudo esse livro fica enorme.
Se a resultante for nula, a acelera¸c˜ao ser´a nula e ent˜ao duas situa¸c˜oes podem acon-tecer:
1. Se a acelera¸c˜ao ´e nula, n˜ao h´a varia¸c˜ao de velocidade, ent˜ao ele pode estar em movimento uniforme, isto ´e, com velocidade constante.
2. Se a acelera¸c˜ao for zero, ele pode ter velocidade constante igual a zero, isto ´e, parado.
Assim se a resultante for zero, o corpo pode estar em repouso ou eu movimento uniforme. Ent˜ao veja o seguinte, a resultante da for¸ca ´e a soma de todas as for¸cas
FR=
X
F =ma
A acelera¸c˜ao vai ficar:
a=
P
F m
Para saber o que acontece com todos os corpos da situa¸c˜ao do exemplo, precisamos fazer a resultante de cada um e depois a achar a acelera¸c˜ao, da´ı poderemos entender o movimento deles.
Quest˜ao resolvida. Suponha que trˆes corpos de massa m estejam nos v´ertices de um triˆangulo equil´atero de lado a. Calcule a resultante da for¸ca no corpo 3 e encontre a sua acelera¸c˜ao.
Solu¸c˜ao: As massas s˜ao iguais e a distancias tamb´em. O que fizermos para a massa 3 vale para as outras. Se fossem diferentes ter´ıamos que fazer uma por uma. O que quero mostrar aqui ´e um procedimento para vocˆe usar nessas situa¸c˜oes. Se vocˆe entender bem esse procedimento n˜ao vai ter problemas com outros tipos de quest˜oes parecidas.
Primeiro pegamos a massa trˆes e desenhamos as for¸cas sobre ela. Isso j´a est´a na figura. Sobre ela est´a a for¸ca que a massa 2 exerce sobre ela e a for¸ca que a massa 1 exerce sobre ela. A dire¸c˜ao dessas for¸cas ´e a dire¸c˜ao da linha que une os centros delas. Mas veja que elas est˜ao inclinadas. Como fazer? Somar direto ´e que vocˆe n˜ao deve, pois esses vetores n˜ao est˜ao na mesma dire¸c˜ao. O que eu fa¸co ´e criar um sistema de coordenadas em cima da massa em quest˜ao e decompor essas for¸cas em horizontais e verticais. Depois disso, a´ı sim eu somo as componentes horizontais e as componentes verticais. Feito isso posso achar a for¸ca resultante
chamei de F1 e F2 s´o para n˜ao carregar muito o desenho) s˜ao sim´etricas, o ˆangulo
com a vertical ´e 30◦ para cada para completar 60◦ do v´ertice.
Agora que as for¸cas foram decompostas, podemos somar as componentes de mesma linha, isto ´e, somar as for¸cas horizontais e as for¸cas verticais. FRx eFRy s˜ao
as resultantes no eixo x e eixo y, resultado da intera¸c˜ao das componentes horizontais e verticais, respectivamente.
FRx=
X
Fx
FRy =
X
Fy
Agora precisamos calcular cada componente horizontal e vertical. Observe que as componentes de F1, forma com F1 um triˆangulo retˆangulo. O mesmo se pode dizer
para F2 e sua gangue.
As rela¸c˜oes trigonom´etricas ajudam bastante nessa hora. Mas qual usar? Seno? Cosseno? Tangente? Depende do que vocˆe tiver `a m˜ao... Sabemos que as for¸casF1
eF2 s˜ao as for¸cas gravitacionais, e F1 eF2 s˜ao as hipotenusas, ent˜ao ´e melhor usar
seno e cosseno. ParaF1:
F1x =F1.cos60◦ =
1 2F1 =
1 2·
Gm2
F1y =F1.sen60◦ =
√
3 2 F1 =
√
3 2 ·
Gm2
a2
Para F2:
F2x=F2.cos60◦ =
1 2F1 =
1 2 ·
Gm2
a2
F2y =F2.sen60◦ =
√
3 2 F1 =
√
3 2 ·
Gm2
a2
A componente F1x est´a no sentido contr´ario do plano cartesiano, portando ser´a
negativo.
FRx=
X
Fx =F2x−F1x =
1 2 ·
Gm2
a2 −
1 2 ·
Gm2
a2 = 0
As duas componentes verticais apontam para baixo, ent˜ao s˜ao contra o sentido do eixo y, portanto s˜ao negativas.
FRy =
X
Fy =−F2y−F1y =−
√
3 2 ·
Gm2
a2 −
√
3 2 ·
Gm2
a2 =−
√
3· Gm
2
a2
Como temos as duas componentes da for¸ca resultante, podemos achar o m´odulo da for¸ca.
F2
R =F
2
Rx+F
2
Ry
FR2 = 0
2
+
−√3·Gm
2
a2
2
FR=
s
−√3· Gm
2
a2
2
FR=
√
3· Gm
2
a2
Qual a dire¸c˜ao dessa for¸ca? ´E s´o achar o ˆangulo entre suas componentes
cosθ = FRx
FR
= 0
FR
= 0
senθ= FRy
FR
= −
√
3· Gm
2
a2
√
3· Gm
2
a2
=−1
O ˆangulo para o qual o cosseno ´e zero e o seno ´e −1 ´e 270◦, o que mostra que a
notar que a resultante horizontal ´e nula e sendo assim a for¸ca resultante s´o pode ser vertical e neste caso, no sentido da base do triˆangulo.
A acelera¸c˜ao do corpo 3 segue o mesmo sentido e dire¸c˜ao da for¸ca resultante (vertical para baixo) e tem intensidade de:
α= FR
m =
√
3· Gm
2
a2
m =
√
3· Gm
a2
Pronto!! Tente repetir isso para ao inv´es de um triangulo equil´atero, seja um trian-gulo retˆantrian-gulo de catetos de lado a. Faz a´ı, irm˜ao!
Um fato importante a ser citado ´e que a for¸ca gravitacional nunca se anula, ela diminui com o quadrado da distˆancia, por´em nunca vai a zero. A pr´opria equa¸c˜ao mostra isso. Quer ver? Vamos supor que dois corpos do exemplo se interagem e vamos analisar em que situa¸c˜ao a for¸ca entre eles dois se anula.
F = Gm1m2
d2 = 0
Para isso a´ı ser zero, temos que ter uma ou as duas massas iguais a zero. Mas como os corpos existem isso n˜ao ´e poss´ıvel. Outra situa¸c˜ao ´e avaliando a distˆancia... A distˆancia para qual a for¸ca ´e nula ´e:
d=
r
Gm1m2
F =
r
Gm1m2
0
Mas uma divis˜ao por zero n˜ao existe, ´e uma indetermina¸c˜ao, uma viola¸c˜ao ma-tem´atica. Dessa maneira, para distˆancias muito grandes, grandes mesmo, mas muito, muito grandes, a for¸ca fica muito pequena, mas n˜ao se anula.
Por exemplo, enquanto eu escrevo essas humildes linhas deste livro, eu sinto uma for¸ca de atra¸c˜ao muito fraca entre mim e a estrela Alfa Centauri, que est´a `a um zilh˜ao de quilˆometros daqui.
Mas n˜ao confunda for¸ca gravitacional nula com resultante nula. A resultante d´a nula por que ´e uma soma de for¸cas que podem se anular. A for¸ca gravitacional sozinha n˜ao se anula.
Isso tudo acontece por que cada massa cria uma regi˜ao de influˆencia gravitacional, onde outras massas podem sentir o efeito desse campo. N˜ao fica muito claro esse conceito desse jeito e eu prefiro trabalhar com analogias.
Imagine a Nicole Kidman, aquela atriz australiana...
Considere que a Nicole Kidman passe um dos perfumes mais caros e mais atraentes que existe no mundo, afinal ela pode comprar. Ao andar por a´ı, o perfume de Nicole se espalha pelo ar. As pessoas perto dela ir˜ao sentir esse perfume e ficar˜ao atra´ıdos por ela, pois isso chamar´a aten¸c˜ao delas. Quanto mais perto, maior ´e a intensidade do perfume e mais intensa ser´a atra¸c˜ao. Pessoas mais afastadas sentiram o perfume, mas n˜ao t˜ao forte quanto `as pessoas mais pr´oximas.
O campo de for¸ca ´e assim, como a analogia do perfume, seja ele gravitacional ou eletrost´atico, ´e como se fosse a regi˜ao onde se sente o efeito.
chama potencial gravitacional. Quando um corpo de massa m est´a se movendo em um campo gravitacional, ele assume diversos valores de potencial gravitacional. O potencial gravitacional aumenta `a medida que se aproxima da massa geradora do campo.
Vamos pensar numa part´ıcula no campo gravitacional da Terra, quando ela est´a muito longe tipo no ponto OJPAB (Onde Judas Perdeu As Botas). Nesta loca-liza¸c˜ao o campo ´e muito fraco (nunca nulo!), ela est´a sob um potencial de valor muito pr´oximo de zero (nunca zero!). Se ela come¸ca a se mover em dire¸c˜ao da Terra, ela aumenta seu potencial, pois est´a se aproximando da massa geradora. ´E tipo duas pessoas que se amam. A pessoa amada est´a ali na pra¸ca sentada dando comida aos pombos. A outra pessoa apaixonada vˆe a raz˜ao de sua paix˜ao ali e `a medida que vai se aproximando come¸ca a sentir uma ansiedade, um nervosismo, um sei-l´a-o-que.... Como se esse estado emocional fosse o potencial. Entendeu a analogia?
No caso do planeta Terra, se considerar s´o ela no Universo (para desconsiderar os efeitos de outros corpos celestes), um meteoro que viaja por a´ı, sente o campo da Terra e a cada ponto de seu deslocamento ele sente um valor de potencial gravita-cional e quanto mais perto, maior o potencial.
Um campo gravitacional ´e uma grandeza vetorial, o que significa que possui uma dire¸c˜ao e um sentido. A dire¸c˜ao ´e a mesma dire¸c˜ao da for¸ca gravitacional, e o sentido tamb´em. J´a o potencial gravitacional ´e uma grandeza escalar, portanto, ´e apenas um n´umero.
A figura abaixo mostra como o m´odulo do campo varia com a distˆancia. Por isso que quanto mais perto, mais acelerado um corpo est´a. O campo gravitacional ´e fun¸c˜ao apenas da massa geradora e da distˆancia at´e o centro dessa massa. O gr´afico abaixo n˜ao depende de massa nesse campo.
Como esse ´e um livro de f´ısica, precisamos escrever umas f´ormulas para sumarizar o que aprendemos at´e agora.
Um campo gravitacional pode ser escrito como a regi˜ao na qual uma massa sente a for¸ca gravitacional gerada por outra massa. O campo ´e um vetor, ent˜ao vamos calcular o vetor.
~g= F~
Como a divis˜ao tem sinal positivo, podemos dizer que o campo gravitacional g tem o mesmo sentido da for¸ca. E se tivesse um negativo ali? Ir´ıamos dizer que o campo gravitacional tem sinal oposto `a da for¸ca.
Para calcular o valor do campo gravitacional (que vamos chamar de g) precisamos achar o m´odulo do vetor campo gravitacional. ´E s´o pegar o m´odulo da for¸ca e dividir pela massa
|~g|= |F~|
m
Vimos anteriormente o m´odulo da for¸ca gravitacional, que ´e a equa¸c˜ao de Newton, que d´a o m´odulo da for¸ca gravitacional.
g =
GM m d2
m =
GM d2
Temos a´ı uma coincidˆencia interessante, o valor do campo gravitacional ´e o mesmo da acelera¸c˜ao causada pela for¸ca gravitacional.
Quando pensamos na acelera¸c˜ao de uma for¸ca resultante sobre um corpo e esse corpo tem massa m, estamos falando de massa inercial. Quando falamos em massa para fins de c´alculos gravitacionais estamos falando de massa gravitacional. Nesse caso, a massa inercial e a massa gravitacional s˜ao idˆenticas.
Vamos continuar nosso bate-papo, mas antes eu gostaria de chamar a distˆanciadde
r.
g = GM
r2
Pronto! Seguinte... essa equa¸c˜ao vale para qualquer situa¸c˜ao. Se vocˆe pegar uma bala de hortel˜a e quiser calcular o campo gravitacional gerado por ela ´e s´o pegar sua massa e estipular uma distˆancia do centro dela. Se vocˆe quiser calcular o campo gravitacional de uma formiga sa´uva tamb´em ´e poss´ıvel, basta usar a f´ormula. Mas se estiver falando de um corpo de dimens˜oes relevantes como um planeta, por exemplo? Essa equa¸c˜ao tamb´em ´e valida sim. Esse r a´ı ´e a distancia at´e o centro da massa geradora do campo. Se tomarmos um ponto na superf´ıcie do planeta, or ´e igual ao raio do planeta... Por isso que eu coloquei no gr´afico um valorEs. Mas se fossemos entrar no planeta, como seria o campo l´a dentro?
Se cavarmos um buraco que vai passando por essas camadas, vamos sentir uma diferen¸ca de gravidade `a medida que nos aprofundamos. A gravidade (j´a conhe¸co o campo gravitacional faz um bom tempo e temos certa intimidade ent˜ao vou chama-lo de gravidade) vai decaindo com a proximidade do centro da Terra, isso por que o que fica para cima n˜ao faz diferen¸ca. Vamos ver isso em breve. Em muitos problemas de gravita¸c˜ao para ensino m´edio, fazemos uma considera¸c˜ao de que a Terra ´e homogˆenea e assim podemos achar uma rela¸c˜ao linear bem interessante, mas isso ´e apenas considera¸c˜oes de problemas, mas na real ela ´e heterogˆenea. D´a para calcular no caso de ela ser heterogˆenea, mas a´ı precisamos de ferramentas de calculo que s´o se vˆe na universidade. Mas por que eu citei isso, simplesmente para vocˆe saber o que ´e real e o que ´e te´orico.
Mas por que n˜ao falamos de campo interno de uma bala de hortel˜a ou formiga? Por que quem quer saber isso? Mas Miguel isso n˜ao ´e resposta. Com certeza n˜ao... Bom, primeiro ´e que planetas e estrelas s˜ao muito mais simples de modelar, ou seja, s˜ao esferas, bolas, “obl´oides” e que d´a para supor com certa tolerˆancia que s˜ao feitos de poucos materiais e tals. Pense como seria modelar uma formiga... e para o ensino m´edio isso ´e irrelevante e complexo.
Enfim, saiba que existe um campo interno e que ele diminui a medida que cava-mos um buraco na Terra. Precisacava-mos falar sobre o potencial gravitacional
Como o potencial no infinito ´e muito pequeno, consideramos como nulo, s´o para efeito de calculo. Assim, o potencial gravitacional sempre ser´a no ponto a uma distancia r do centro da massa geradora
Nesse caso, o potencial ´e um valor que depende da massa geradora e da massa em quest˜ao e por isso a equa¸c˜ao fica assim:
U(r) = −GM m
r
Lembre que r´e a distˆancia entre o centro da massa M e o centro da massam. Esse resultado acima mostra que podemos mover um corpo em um campo gravita-cional pra l´a e pra c´a desde que se forne¸ca a energia necess´aria para que ele esteja nessa posi¸c˜ao. Tipo viajar, vocˆe pode ir para Paris, para Moscou, desde que vocˆe forne¸ca o dinheiro para estar nesses lugares. ´E a mesma coisa, para mexer uma massa em um campo gravitacional ´e s´o fornecer ou retirar a energia dessa massa. A essa energia damos o nome de Energia Potencial Gravitacional.
Na maioria dos problemas de gravita¸c˜ao, consideramos sistemas sem influˆencia de outras for¸cas externas ao sistema, assim usamos o principio da conserva¸c˜ao da ener-gia mecˆanica. A enerener-gia mecˆanica nesses casos ´e composta pela enerener-gia cin´etica e a energia potencial gravitacional. A energia cin´etica ´e a energia do movimento e depende da velocidade do corpo.
Ecinetica´ =
1 2mv
2
A energia mecˆanica ´e a soma dessas energias
Emecanicaˆ =Ecinetica´ +Epotencial
Emecˆanica =
1 2mv
2
− GM mr
Se no sistema que consideramos n˜ao h´a for¸cas externas, em qualquer ponto e a qualquer momento a energia mecˆanica ´e igual.
Qual seria a energia mecˆanica da massam1 no sistema que vimos inicialmente?
´
E a soma da energia de cin´etica dem1e dem2e a energia potencial gravitacional
entre eles
Emecˆanica =
1 2m1v
2 1 +
1 2m2v
2 2 −
Gm1m2
d
Quest˜ao resolvida. Imagine trˆes massas de m1, m2 e m3, cada uma no v´ertice
de um triangulo equil´atero de lado a. Inicialmente elas est˜ao em repouso por que tem algu´em segurando cada massa. Se o cidad˜ao vai fazer um lanche e solta essas massas, elas come¸cam a se mover, pois est˜ao se atraindo. Qual ´e a energia mecˆanica do sistema nessa situa¸c˜ao e quando elas se encontrarem?
Solu¸c˜ao:
Emecˆanica inicial=−
Gm1m2
a −
Gm1m3
a −
Gm2m3
a
Mas por que n˜ao entra energia cin´etica a´ı? Atento leitor, isso acontece, pois no inicio elas est˜ao em repouso, por que o Criatura de Deus est´a segurando as massas. Da´ı a velocidade ´e nula e as energias cin´eticas s˜ao nulas.
Depois que elas foram soltas, parte da energia mecˆanica inicial se transforma em movimento, ou seja, cada massa come¸ca a se mover com velocidade e com isso, temos que considerar a soma das energias cin´eticas de cada uma. Qual seria ent˜ao a energia mecˆanica quando cada um est´a a uma distancia igual a metade da distˆancia inicial? ´E s´o considerar na equa¸c˜ao da energia potencia, ao inv´es de a, considerar
a/2.
Emecanica inicialˆ =
1 2m1v
2 1 +
1 2m2v
2 2+
1 2m3v
2 3 −
Gm1m2
a/2 −
Gm1m3
a/2 −
Gm2m3
a/2
Apesar de ter ficado uma equa¸c˜ao grande, os conceitos s˜ao bem estruturados. `E s´o vocˆe pensar em cada massa, na energia cin´etica e potencial de cada uma e analisar o antes e depois.
Imagine que elas est˜ao em uma mesa sem atrito, sem resistˆencia do ar, sem nada que atrapalhe... Podemos dizer que a energia se conserva.
Emecanica inicialˆ =Emecˆanica f inal
−Gma1m2 −Gma1m3 − Gma2m3 = 1 2m1v
2 1 +
1 2m2v
2 2 +
1 2m3v
2 3 −
Gm1m2
a/2 −
Gm1m3
a/2 −
Gm2m3
a/2 Se as massas s˜ao iguais a m, ent˜ao:
−3Gm
2 a = 1 2mv 2 1+ 1 2mv 2 2 + 1 2mv 2 3 −
6Gm2
a 1 2mv 2 1+ 1 2mv 2 2 + 1 2mv 2 3 =
3Gm2
3.2
Acelera¸c˜
ao da gravidade
Da discuss˜ao anterior vimos que o campo gravitacional ´e idˆentico `a acelera¸c˜ao cau-sada pela for¸ca gravitacional. Assim, essa acelera¸c˜ao n´os vamos chamar de ace-lera¸c˜ao da gravidade. Pois bem... Imagine um planeta esf´erico, que tenha raio R e massa M. Esse planeta atrai os corpos em sua volta com a for¸ca gravitacional:
F = GM m
d2
Essa for¸ca de atra¸c˜ao ´e que chamamos de peso, ent˜ao fica assim:
P = GM m (R+h)2
Em que h ´e altura do corpo em rela¸c˜ao a superf´ıcie do planeta.Mas sabemos que peso se calcula desta forma:
P =mg
m´e a massa dos corpos nas proximidades da superf´ıcie do planeta eg´e a acelera¸c˜ao da gravidade nessa regi˜ao.
Igualando as equa¸c˜oes do peso, gerando o resultado:
mg= GM m (R+h)2
g = GM (R+h)2
Se a alturah´e muito menor que R, podemos despreza-lo, deixa-lo na rua da amar-gura, com uma garrafa de pinga como companhia. Mas por que despreza-lo? Por que sendo o raio da Terra um valor na faixa de 6000 km, ou 6000000 metros, so-mar 100m metros em 6000000 vai afetar muito pouco. Quando falamos em dezenas ou centenas de quilˆometros, a simplifica¸c˜ao n˜ao rola. Por isso, por simplicidade, para ALGUNS CASOS, podemos entender que a acelera¸c˜ao nas proximidades da superf´ıcie da Terra ´e constante igual a g.
Para o caso da acelera¸c˜ao da gravidade na superf´ıcie da Terra, o valor ´e obtido ao substituir os dados da equa¸c˜ao:
gP =
GM R2 =
6,67×10−11
·5,97×1024
(6,37×106)2 = 9,81m/s 2
Se vocˆe subir ao topo do Monte Everest, que tem 8000m de altura, tem que voltar a usar
g = GM (R+h)2
Onde h´e a altura do Everest.
Pode ser ´util representarmos a acelera¸c˜ao gravitacional em um ponto qualquer em fun¸c˜ao da acelera¸c˜ao gravitacional na superf´ıcie. Isso nos permite comparar essa acelera¸c˜ao com a acelera¸c˜ao que conhecemos e que podemos medir em solo. Um pouco de ´algebra nos ajuda nessa miss˜ao. Vamos chamar a acelera¸c˜ao na superf´ıcie de g0 e a acelera¸c˜ao em um ponto a uma dada altura da superf´ıcie de gh que pode
ser expresso como:
gh =
GM
(R+h)2
Isso porque estamos a uma altura h do solo. Para g0, a express˜ao fica:
g0 =
GM R2
Veja que h´a algo em comum para gh e g0, que ´e a quantidade GM e que n˜ao vai
mudar, pois ´e a constante gravitacional e a massa do planeta. Podemos retrabalhar as equa¸c˜oes para relacionar as duas acelera¸c˜oes. Veja a magia pairando no ar com essa manipula¸c˜ao matem´atica:
GM =g0R 2
Como o resultado acima ´e o numerador para gh, podemos substituir...
gh =
GM
(R+h)2 =
g0R 2
(R+h)2
gh pode ser expresso em fun¸c˜ao de g0 e da altura.
gh =
g0R2
(R+h)2
Agora vamos ver o que acontece quando subimos para alturas:
h= 0,5R h= 1R h= 2R h= 5R h= 10R h= 100R
g(0,5R) = g0R
2
(R+ 0,5R)2 =
g0R2
(1,5R)2 =
g0R2
2,25R2 ∼= 0,44g0
g(1R) = g0R
2
(R+R)2 =
g0R2
(2R)2 =
g0R2
4R2 = 0,25g0
g(2R) = g0R
2
(R+ 2R)2 =
g0R2
(3R)2 =
g0R2
9R2 ∼= 0,11g0
g(5R) = g0R
2
(R+ 5R)2 =
g0R2
(6R)2 =
g0R2
g(10R) = g0R
2
(R+ 10R)2 =
g0R2
(11R)2 =
g0R2
121R2 ∼= 0,008g0
Colocando em uma planilha obtemos um gr´afico que mostra toda essa varia¸c˜ao. No eixo vertical temos a porcentagem da acelera¸c˜ao na superf´ıcie e na horizontal a altura em m´ultiplos do raio do planeta.
Note que a uma altura de duas vezes o raio do planeta, o que se sente ´e uma acelera¸c˜ao que ´e 11% da acelera¸c˜ao sentida na superf´ıcie. Como tra¸camos um gr´afico para poucos pontos, a curva fica um tanto estranha, mas j´a da para ver que a acelera¸c˜ao cai bastante com a altura. Um gr´afico melhor seria esse aqui...
nenhum. Imagina vocˆe sentado a´ı, todo pimp˜ao de boa, est´a sob a influencia de v´arias estrelas, por´em o efeito ´e rid´ıculo e nem conta. Vocˆe sente mais os efeitos do Sol, da Lua, Vˆenus, Merc´urio, Marte, que est˜ao pr´oximos, mas a medida em que v˜ao se distanciando, eles se tornam cada vez menos relevantes. Ei! N˜ao vai pensar que estou falando de Astrologia, estou falando de for¸cas gravitacionais.
Agora vamos ver matematicamente o que eu disse. Para zerar a acelera¸c˜ao da gravidade vocˆe teria que fazer o seguinte:
gh =
GM
(R+h)2 = 0
Como estamos falando de um planeta, o raio ´e sempre positivo e n˜ao pode ser zero, com isso fazemos o seguinte...
GM = 0·(R+h)2
= 0
Como G ´e uma constante e tem valor definido como positivo, a ´unica coisa a se fazer ´e:
M = 0
G = 0
M = 0
Ou seja, a massa do planeta ser igual a zero! Isto ´e, o planeta n˜ao existir! Assim, quando te perguntarem se o astronauta flutua no espa¸co ´e por que a gravidade nele l´a em cima ´e zero, ent˜ao diga que isso n˜ao ´e verdade!! O astronauta est´a flutuando por que existe a for¸ca de centrifuga agindo nele que se op˜oe a for¸ca peso, dessa forma h´a o efeito de gravidade nula.
Podemos simular a gravidade nula estando no planeta Terra. A NASA treina as-tronautas em um avi˜ao sem poltronas e esse avi˜ao sobe muito alto e depois desce com acelera¸c˜ao igual acelera¸c˜ao da gravidade. Nesse momento, as pessoas dentro come¸cam a flutuar, n˜ao por que a gravidade ´e nula, mas por que as for¸cas se anula-ram.
Antes de o avi˜ao descer com o cacete l´a de cima, o astronauta est´a exercendo uma for¸ca sobre o piso da aeronave e pela terceira Lady Newton, o piso exerce uma for¸ca normal de mesma dire¸c˜ao, intensidade sentido oposto.
N−mg =m·0 = 0
N =mg
Da´ı o piloto desce o avi˜ao com uma acelera¸c˜ao α para baixo.
N′−mg=−mα
A for¸ca normal fica:
Seα ´e igual a g ent˜ao N′ = 0, ent˜ao ´e como se n˜ao houvesse mais o peso.
S´o que essa pr´atica de simula¸c˜ao de gravidade nula em um avi˜ao s´o dura alguns segundo, caso contr´ario todo o avi˜ao se arrebenta no ch˜ao...
3.3
Acelera¸c˜
ao da gravidade em outros planetas
Podemos comparar a acelera¸c˜ao da gravidade entre dois planetas, fazendo simples arranjos alg´ebricos. Sob o ponto de vista da acelera¸c˜ao gravitacional o que pega para planetas diferentes ´e a sua massa e o seu raio, podemos relacionar dois planetas e ver como as atra¸c˜oes gravitacionais se comportam.
Ent˜ao consideremos o Planeta A, com massa A e raio A e um planeta B com massa B e raio B. A acelera¸c˜oes da gravidade em A e B s˜ao respectivamente:
gA=
GMA
R2
A
gB =
GMB
R2
B
Ent˜ao vamos usar a t´ecnica vista anteriormente. O que essas duas equa¸c˜oes tem em comum? Vale um pastel! Se vocˆe responder a constante gravitacional, acertou mizeravi! Vamos manipular as duas equa¸c˜oes para relaciona-las:
gAR2A
MA
=G
gBR2B
MB
=G
Ent˜ao igualando, fica legal...
gAR2A
MA
= gBR
2
B
Mas como queremos a rela¸c˜ao das acelera¸c˜oes da gravidade, vamos arrumar de novo.
gA
gB
= R
2
BMA
R2
AMB
Temos ent˜ao uma rela¸c˜ao para a acelera¸c˜ao da gravidade, na superf´ıcie, em dois planetas distintos. Veja que n˜ao levamos em considera¸c˜ao a altura.
Essa de relacionar dois planetas ´e uma quest˜ao muito comum em vestibulares e o ITA n˜ao fica de fora. `As vezes ele pode complicar as coisas colocando a altura em um planeta cuja acelera¸c˜ao gravitacional equivaleria a atra¸c˜ao gravitacional em outro planeta a certa altura. O ITA gosta de complicar, por isso fique esperto. Vamos falar a respeito disso, mais pra frente. Agora vem uma quest˜ao para vocˆe.
Quest˜ao resolvida. Suponha que a humanidade consiga criar colˆonias na Lua e em J´upiter e que l´a as pessoas se reproduzam com filhos e tals. Como seriam as alturas dos selenes e jupiterianos comparadas `as alturas dos terr´aqueos? Suponha que os indiv´ıduos em todas as colˆonias sejam biologicamente semelhantes, e que cresceriam na mesma taxa sob as mesmas condi¸c˜oes. A massa de J´upiter ´e 316 vezes a massa da Terra e o seu raio ´e 11 vezes o raio da Terra.
Solu¸c˜ao: Supondo que os indiv´ıduos dessas colˆonias crescessem em taxas iguais sob as mesmas condi¸c˜oes, o que influenciariam no seu crescimento seria a for¸ca que a gravidade exerce sobre eles. Sabemos que a Lua ´e menor que a Terra e tem bem menos massa, j´a no caso de J´upiter, a massa deste ´e imensamente maior, e seu raio tamb´em. O peso de cada pessoa iria variar em cada um destes lugares. Vamos ver como seria quando comparado com a Terra. Podemos escrever que:
MJupiter´ = 316·MT erra
Olha a compara¸c˜ao entre os dois. ´E uma diferen¸ca brutal! Relacionando ambos:
gJ´upiter
gT erra
= R
2
T erraMJupiter´
R2
J´upiterMT erra
= R
2
T erra316·MT erra
121·R2
T erraMT erra
∼
= 2,6
gJupiter´
gT erra
= 2,6
gJ´upiter = 2,6·gT erra
Um pessoa, de 75kg de massa, pesa na Terra: (aproximando g)
PT erra =mgT erra = 75·10 = 750N
Em J´upiter, o peso seria de:
PJupiter´ =mgJupiter´ = 75·2,6·10 = 1950N
Ok. E quanto equivaleria esse peso de J´upiter na Terra? Tipo assim, uma pessoa de quantos quilos aqui na Terra teria o mesmo peso de uma pessoa de 75 kg em J´upiter?
Para achar a massa da tal pessoa ´e s´o usar o peso em J´upiter...
PJ´upiter =mgT erra
1950 =m·10
m= 195kg
Para uma pessoa aqui na Terra pesar o mesmo que uma pessoa de 75kg em J´upiter, ela precisa pesar 195kg! Muito X-Salada e batata frita!
Por isso, se a altura de uma pessoa for linearmente dependente da gravidade, po-demos concluir que o povo de J´upiter seria mais baixinho que os terr´aqueos, por´em num jogo de basquete eles iriam vencer f´acil. Imagina o salto de um cara desses para dar uma enterrada. Ia ser do meio da quadra. Isso porque como eles vivem com pesos maiores, suas pernas seriam muito mais fortes que as nossas. Um tiro de meta de jupiteriano aqui poderia lan¸car a bola para fora do campo. Ia ser louco ver um baixinho mandar um chut˜ao desses!
3.4
Efeito da latitude e rota¸c˜
ao
Mas tudo isso foi desenvolvido desconsiderando o seu movimento de rota¸c˜ao. Ele causa um efeito de diminuir o peso aparente dos corpos. Mas como? ´E s´o lembrar quando vocˆe estava naquele bus˜ao com motorista muito louco, apressado que faz as curvas em alta velocidade, incorporado no esp´ırito de Ayrton Sena do Brasil! Quando ele faz essa curva, vocˆe tem a sensa¸c˜ao de estar sendo puxado para fora da curva, ser jogado para fora do bus˜ao. Veja a figura abaixo, onde est˜ao representados de forma simplificada os efeitos de uma curva. A for¸ca centr´ıfuga puxa vocˆe para fora enquanto realiza o movimento na rua. Vale salientar que os conceitos de for¸ca centr´ıfuga e for¸ca centr´ıpeta precisam ser analisados sob o ponto de vista de refe-renciais, mas para n˜ao confundir vamos adotar dessa forma. Posteriormente iremos analisar este aspecto.
