Acoplamento numérico

Foi visto até agora que, as equações diferenciais que descrevem o escoamento em meio poroso deformável se acoplam por meio de propri- edades e variáveis do problema. Todavia, para realizar a simulação deste fenômeno, faz-se necessário considerar algum tipo de tratamento deste acoplamento. Diversos trabalhos com o foco no acoplamento numérico entre geomecânica e escoamento foram desenvolvidos (Settari & Mourits, 1998; Settari & Walters, 2001; Tran et al., 2004; 2005). Como todos os méto- dos de acoplamento têm vantagens e desvantagens, a escolha da melhor opção dependerá dos valores das propriedades e condições de operação do caso que se está resolvendo (Tran et al., 2005).

Os tipos de tratamento do acoplamento podem ser classificados em duas famílias, parcialmente acoplados e totalmente acoplados. Parci- almente acoplados são aqueles métodos onde as equações governantes da geomecânica e do escoamento no reservatório são resolvidas separa- damente, enquanto que naqueles ditos totalmente acoplados, as equa- ções são resolvidas em um único sistema linear (Settari & Walters, 2001). Dentro da classe de soluções parcialmente acopladas estão os métodos pseudo-acoplado (pseudo coupling ou decoupled), solução segregada em uma direção (one-way coupling ou explicit coupling), solução segregada em duas direções (two-way coupling ou implicit coupling).

No tipo pseudo-acoplado não se resolve as equações da geomecâ- nica, considera-se apenas, através de correlações, a variação das propri- edades do escoamento em função de constantes poro-elásticas (Settari & Mourits, 1998). Ou ainda, através de correlações obtidas por soluções em- píricas (Settari & Walters, 2001). O acoplamento explícito ou segregado em uma direção, por sua vez, é realizado com o caminho das informações apenas em um sentido. Ou seja, a solução em um intervalo de tempo apenas as informações das variáveis do escoamento no reservatório são passadas para o modelo geomecânico. No entanto, as informações da ge- omecânica somente são levadas para o modelo de escoamento no passo de tempo seguinte, conforme mostrado no fluxograma da figura 2.2. Este enfoque permite também variar a taxa de atualização das informações do modelo geomecânico, permitindo resolve-lo utilizando intervalos de tempo maiores que o empregado na simulação do escoamento. Logo, o modelo geomecânico é resolvido menos vezes ao longo da simulação.

DEFORMÁVEL 31 Esta variante, pode ser aplicada em tipos de reservatórios onde as variá- veis do problema estrutural tem uma variação muito pequena quando comparada com a das variáveis do escoamento (Tran et al., 2005).

Figura 2.2 – Fluxograma do método de acoplamento segregado em uma direção. Simulador de reservatório (P) Atualização da porosidade (f) Inicialização Terminar t = t + Dt

Simulador geomecânico (u,v)

t = t ?final Não

Sim

Fonte: Elaborada pelo autor.

O acoplamento iterativo ou solução segregada em duas direções, cujo fluxograma é mostrado na figura 2.3, recebe esse nome por haver um ciclo iterativo em cada intervalo de tempo, onde há uma troca constante de informação entre os modelos, ou seja, há um procedimento iterativo entre as soluções dos modelos de escoamento e geomecânico. Com este procedimento iterativo, ao chegar à convergência, obtém-se uma solução onde as variáveis de ambos os modelos adquirem os mesmos valores que se tivessem sido resolvidas juntas (Settari & Walters, 2001), desde que haja a convergência. Isso quer dizer que, a solução encontrada para pressão e deslocamentos satisfazem tanto o equilíbrio de forças quanto a conser- vação da massa do fluido.

Figura 2.3 – Fluxograma do método de acoplamento segregado em duas direções. Simulador de reservatório (P) Atualização da porosidade (f) Inicialização Terminar t = t + Dt

Simulador geomecânico (u,v)

t = t ?final Convergiu? k = k +1 Não Sim Sim Não

Fonte: Elaborada pelo autor.

Finalmente, o método simultâneo ou totalmente acoplado, utiliza-se da discretização de todas as variáveis em todas as equações dos modelos para obter um sistema linear de equações único, onde as incógnitas são as variáveis dos dois modelos, pressão e deslocamentos. Apesar de ser o mé- todo mais robusto, este tipo de tratamento não permite que simuladores comerciais já existentes sejam acoplados a módulos geomecânicos, fun- cionando como um plugin do simulador. Além disso, usar uma metodo- logia de solução simultânea implica em um sistema linear muito grande. Nesse sistema estão incluídas as variáveis dos dois modelos físicos, que

DEFORMÁVEL 33 possuem ordens de escala diferentes. Isso faz com que se obtenha uma matriz cujos coeficientes sejam de magnitudes muito distintas, inserindo um custo computacional maior para obtenção da solução do sistema li- near. No fluxograma da figura 2.4 observa-se que o método simultâneo ainda tem um processo iterativo em cada intervalo de tempo. Contudo este procedimento é necessário para resolver as não linearidades do pro- blema, relacionadas às propriedades do meio, nesse caso a porosidade.

Figura 2.4 – Fluxograma do método de acoplamento simultâneo.

Simulador de reservatório e geomecânico (u,v e P)

Sistema linear único Atualização da porosidade (f) Inicialização Terminar t = t + Dt t = t ?final Convergiu? k = k +1 Não Sim Sim Não

Fonte: Elaborada pelo autor.

No presente trabalho, optou-se por utilizar o acoplamento segregado em duas direções, pois este permite estudar o acoplamento físico utili- zando-se de discretizações distintas em cada modelo de maneira mais

consistente, como EbFVM para o escoamento e MEF para a geomecâ- nica. Vale lembrar que no presente trabalho a discretização pelo MEF será eventualmente utilizada como referência na solução numérica do modelo geomecânico em algumas situações de análise dos resultados. Outra questão importante nesse tipo de acoplamento é que o verdadeiro comportamento físico de interação entre as variáveis dos modelos é res- peitado, quando comparado com os outros dois tipos de acoplamento parcial, pseudo-acoplado e segregado em uma direção.

Finalmente, com o tipo de acoplamento utilizado resolve-se inicial- mente o escoamento com as equações (2.31) e (2.18), seguido pela solu- ção do modelo geomecânico, cujas equações são a (2.5) e a (2.9), e atualiza- se a porosidade, por meio da equação (2.25). Esse procedimento é re- petido até que a convergência seja alcançada para o intervalo de tempo considerado.

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Método dos volumes nitos

baseado em elementos

Neste capítulo serão abordados os conceitos fundamentais do mé- todo de volumes finitos baseado em elementos. Inicialmente, apresenta- se as características geométricas de uma malha não estruturada híbrida, utilizada por essa metodologia, como entidades geométricas elementa- res e suas relações, construção dos volumes de controle e notação utili- zada para representação das entidades geométricas nas equações discre- tizadas. Além disso, é apresentado o procedimento de discretização por EbFVM, bem como as aproximações numéricas utilizadas pelo mesmo. Mais detalhes dos aspectos geométricos associados ao Método dos Volu- mes Finitos baseado em Elementos estão apresentados no apêndice A.

3.1 Malhas não estruturadas híbridas

Uma malha computacional é um conjunto de entidades geométri- cas que constituem a representação discreta de um domínio físico. Este conjunto é formado por entidades de diferentes dimensões, em que a

principal delas tem a mesma dimensão do domínio de cálculo. Cada uma das entidades principais é uma porção finita do domínio subdividido. Todas as entidades mantém uma relação de interdependência entre si. Qualquer malha que não possua uma lei de construção, de tal forma que as conectividades entre as entidades elementares sejam arbitrárias, diz- se que é uma malha não estruturada. Por outro lado, se o processo de construção em uma malha é definido, de tal forma que os volumes ele- mentares possuam o mesmo número de vizinhos, diz-se que esta malha é estruturada (Maliska, 2004).

Quando uma malha não estruturada é formada por entidades princi- pais de diferentes formas geométricas, diz-se que esta é híbrida ou mista. No presente trabalho são consideradas malhas não estruturadas híbridas bidimensionais, com entidades elementares principais na forma de qua- driláteros e triângulos. No trabalho de Hurtado (2011) pode-se encon- trar o conjunto de condições necessárias que uma malha não estruturada deve satisfazer, tais como conformidade entre as entidades elementares principais, ausência de espaços vazios no domínio discreto, entre outras.