No tipo de acoplamento empregado no presente trabalho, cada mo- delo é resolvido de forma independente em um processo iterativo em que há troca de dados entre ambos os modelos. O processo continua até que ambas as soluções satisfaçam de maneira conjunta, as equações de conservação. O algoritmo de solução utilizado é baseado no fluxograma da figura 2.3. Os principais passos são
1. Obter a condição de equilíbrio inicial entre o estado de tensões e a pressão do fluido. Depende de fatores físicos do problema a ser resolvido, como heterogeneidade das propriedades e condições de contorno.
2. Avançar no tempo.
3. Calcular os coeficientes do sistema linear do modelo de escoamento. 4. Resolver o sistema linear e obter a pressão P .
A P = b,
5. Calcular o gradiente de pressão,(∇P )p, associado aos volumes de controle, utilizando equação (4.32).
6. Calcular os coeficientes do sistema linear do modelo geomecânico. 7. Resolver o sistema linear e obter os deslocamentos u e v .
Ax u Axv Auy A y v uh vh =bx by ,
8. Calcular a deformação volumétrica,"v,p, associada aos volumes de
controle, utilizando a equação (4.45).
9. Atualizar a porosidadeφ com a pressão P e os deslocamentos u e
v , utilizando a equação (4.43).
10. Verificar a convergência com os valores de pressão de duas iterações sucessivas,κ − 1 e κ. Pκ− Pκ−1 ∞ |Pκ max− Pminκ | ¶ τ (4.52)
a) Se a desigualdade (4.52) não for satisfeita:
- Avançar para o próximo nível iterativo.κ = κ + 1. - Voltar ao passo 3
b) Se a desigualdade (4.52) for satisfeita:
- Calcular as tensões efetivas (equação (4.48)) - Com os novos valores deφ e "vvoltar ao item 2
O critério de convergência da equação (4.52) consiste em verificar a ordem de grandeza da diferença entre os campos discretos da pressão de duas iterações sucessivas. Nessa equação,k · k∞denota a norma infi-
Note-se que o fator de normalização|Pk
max− P
k
min| representa a faixa de
variação da pressão eτ é a tolerância do critério de convergência, que neste estudo é empregado o valor de 10−7.
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Exemplos de aplicação
No presente capítulo são apresentados os resultados obtidos para alguns exemplos de aplicação do modelo de escoamento em meio poroso deformável, utilizando-se a formulação numérica apresentada neste tra- balho. Inicialmente, dois problemas problemas unidimensionais são re- solvidos, sendo o primeiro deles o problema da coluna de Terzaghi (1923). Já o segundo problema unidimensional é uma modificação do primeiro, onde a coluna é divida em duas regiões com materiais porosos de dife- rentes propriedades mecânicas (Verruijt, 2013). Em seguida, são apresen- tados os resultados referentes a um problema bidimensional conhecido como problema de Mandel (1953). Esse problema é comumente usado como benchmark para algoritmos que resolvem o acoplamento escoa- mento/geomecânica em meios porosos. Todos esses problemas possuem solução analítica1, desta forma pode-se estimar o erro de discretização
comparando as soluções numérica e analítica de forma a validar o modelo numérico apresentado. Após a etapa de validação, são apresentados os resultados de um problema bidimensional que possui condições de con- torno, poços de exploração e regiões do meio poroso como uma aplicação 1As soluções analíticas dos problemas de Terzaghi e de Mandel são reproduzidas no apêndice C.
prática de geomecânica na simulação de reservatórios de petróleo. Com a solução numérica desse problema pretende-se demostrar a aplicabili- dade da metodologia numérica apresentada no presente trabalho.
Os resultados apresentados nesse capítulo foram obtidos através de um código computacional implementado em linguagem de programação
C++. Nessa implementação utilizou-se da biblioteca computacional EF-
VLib (Maliska et al., 2011), desenvolvida no laboratório SINMEC através
de um projeto de pesquisa no âmbito da rede temática de gerenciamento e simulação de reservatórios (SIGER) (Maliska et al., 2008; 2009a;b). Essa biblioteca, cuja implementação utiliza-se do paradigma da programação orientada a objetos2, fornece o suporte geométrico para aplicação do ao
método de volumes finitos baseado em elementos, além de disponibilizar o cálculo de operadores numéricos e outros parâmetros necessários na discretização. A EFVLib possui ferramentas importantes como módulos para montagem e solução de sistemas lineares, controle de simulação, exportação de resultados e gerenciamento de malhas não estruturadas.
Para a solução de sistemas lineares, estão disponíveis na EFVLib, atra- vés de encapsulamento3, os solvers e matrizes da biblioteca PETSc (Balay
et al., 2015), biblioteca essa que possuí uma grande variedade de métodos
de solução de sistemas lineares. Assim, dentre diversos métodos iterati- vos disponíveis na PETSc, optou-se por utilizar o método GMRES4(Golub
& Loan, 1996; Saad, 2000), amplamente utilizado na solução de sistemas lineares que apresentam matrizes esparsas. Além disso, empregou-se o pré-condicionamento através do método ILU5posicionado pela direita6. A tolerância utilizada na solução dos sistemas lineares da pressão (conser- vação da massa) e dos deslocamentos (equilíbrio de forças) foi 10−12para
a solução do problema de Terzaghi. No entanto, o problema de Mandel exigiu uma tolerância um pouco mais apertada e igual 10−13, devido a
problemas de convergência ao longo da solução transiente.
2Essa filosofia de programação permite uma simplificação no processo de desenvolvi- mento de códigos computacionais complexos, como é a implementação do método dos Volumes Finitos baseado em Elementos.
3Técnica empregada na programação orientada a objetos para a adaptação e utilização de estruturadas de dados e códigos computacionais de terceiros.
4Generalized Minimal Residual 5Incomplete LU Fatorization
6Um precondicionador posicionado à direita não altera o valor da norma do resíduo em um solver de sistemas lineares no formato Ax= b (Saad, 2000; Balay et al., 2015) .
Por fim, com o intuito de não acrescentar, neste capítulo, uma quan- tidade demasiada de informações a respeito dos resultados, optou-se em adicionar no apêndice D informações complementares referentes ao nú- mero de iterações realizadas por cada problema.