Agora, só falta dividirmos uma variação pela outra e encontraremos a TMST:

𝑇𝑀𝑆𝑇 = 𝛥𝐾

𝛥𝐿 = 6

−4 = −1,5

Repare, primeiramente, que a TMST costuma ser um número negativo. Isto porque o produtor está substituindo um insumo pelo outro, ele está trocando um insumo pelo outro. O sinal negativo da TMST indica isso:

se usar menos um insumo para a produção, terá que utilizar mais de outro. No caso do nosso exemplo, a TMST é -1,5, o que significa que o consumidor estaria disposto a trocar 1 unidade de L para conseguir 1,5 unidades de K.

O interessante é que essa conclusão reforça a inclinação negativa da isoquanta: se deixarmos de usar um insumo para a produção, teremos que utilizar mais de outro. Por isso, dizemos que a TMTS representa a inclinação da isoquanta. Olhe só:

Essa inclinação negativa da isoquanta, demonstrada pela TMST negativa, ocorre porque a TMST representa o intercâmbio de um insumo pelo outro: se eu utilizar menos de um insumo, terei que utilizar mais do outro para manter a produção.

É interessante notar, contudo, que a inclinação da isoquanta, a TMST, vai mudando ao longo da curva. Ou seja, ela não é constante. Quanto mais nós vamos trocando K por L, mais ela vai se diferenciando. Graficamente:

Repare, no gráfico acima, com a TMST vai ficando mais deitada à medida que estamos indo da combinação A para a combinação D. Isso significa que a inclinação é decrescente.

O fato da TMST ser decrescente significa que quanto menos utilizamos um insumo, mais precisaremos utilizar o outro na produção.

Derivada em função produção

Nós vimos aqui na aula que o produto marginal pode ser calculado como a variação da produção dividida pela variação do insumo variável (que no nosso caso aqui, é o L). Além dessa forma que vimos de calcular o Pmg (ΔQ/ ΔL), temos uma outra. Isto porque o Produto marginal é a derivada da função produção. A derivada é um procedimento matemático que ajuda a achar o máximo de uma função. Ou seja, nós podemos achar o valor máximo que uma função pode chegar.

Então, se nós tivermos uma função produção que representa a produção total de uma empresa, podemos aplicar a derivada e então descobrir qual seria a produção total máxima dessa empresa.

Imagine que a função produção de alguma empresa seja q = KL, em que K é a quantidade de capital e L a quantidade de trabalho. Para sabermos o máximo que essa função pode chegar, ou seja, qual seria a produção máxima que essa empresa poderia chegar por essa função, basta derivá-la.

O que é e para que serve a derivada?¹⁶

A derivada é um conceito matemático que mede a razão entre duas variações. Por exemplo, vimos que a Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST) é igual a ΔK/ΔL. Ou seja, a TMST é a variação do insumo K sobre a variação do insumo L. Em

16 Nossa ideia aqui, não é fazer um curso de cálculo (e nem estudar outros conceitos relacionados à derivada, como continuidade e limites). O objetivo é explicar da forma mais simples possível o que é derivada e como aplica-la nas provas, ok?

outras palavras, podemos dizer que a TMST é uma razão (divisão) entre duas variações (variação do K e a variação do L). Como nós temos uma razão entre duas variações na TMST, podemos dizer que a TMS é uma derivada.

A derivada, em Economia, tem duas funções principais. A primeira é representar a inclinação de uma função. Se você lembrar bem da TMST, lembrará que ela representa a inclinação da isoquanta. Portanto, a derivada de uma função representa sua inclinação, da mesma forma que a TMST (derivada) representa a inclinação da isoquanta. Assim, sempre que precisar saber qual a inclinação de uma função, basta derivá-la!

Só por curiosidade, quando nós temos uma reta, a inclinação será constante. Por isso que a isoquanta para insumos substitutos, por exemplo, apresenta TMST constante. Como a isoquanta para insumos substitutos é uma reta, a inclinação dela é constante. Como a derivada é a inclinação, inclinação constante, TMST constante.

Já quando nós temos uma curva mesmo (como as das função de produção Cobb-Douglas), a inclinação varia. É por isso que as isoquantas convexas possuem TMST decrescente (pois a inclinação varia ao longo da curva).

Bom, a segunda função da derivada, como já comentamos anteriormente, é encontrar o valor máximo de uma função. Para isso, basta pegarmos uma função, derivá-la e igualá-la a 0.

Beleza! Mas e aí? Como que eu derivo uma função matemática?

Vamos imaginar uma função matemática assim:

y = x²

Nesta função, temos duas variáveis: y e x. Como vamos derivar y em função de x, em linguagem matemática escrevemos assim: dy/dx. A derivada tem por notação o símbolo y’.

Para encontrar a derivada, nós tombamos o expoente de X. Este expoente multiplicará todo o resto. Depois disso, subtraímos 1 do expoente.

Portanto, na função y = x², primeira coisa que precisamos fazer é tombar o expoente e fazê-lo multiplicar todo o termo. Ficará assim:

y = 2x²

Agora, subtraímos 1 do expoente:

Y’ = 2x^2-1 ,ou seja, y’ = 2x Pronto! A derivada de y = x² é y’ = 2x!

Vamos treinar mais. Vamos fazer dy/dx para mais algumas funções:

a) y = x³. É só seguir os passos da derivada. Tombar o expoente de x e, depois, subtrair 1 do expoente. y’ = 3x^3-1, ou seja, y’ = 3x².A derivada de y = x³ é y’ = 3x².

b) y = 5x⁵. Mesma coisa. Tombamos o expoente de x e, depois, subtraímos 1 do expoente. y’ = 5.5x^5-1. Assim, y’ = 25x⁴. c) y = 8. Repare que não temos x. Portanto, não conseguimos calcular dy/dx; a derivada, portanto, é igual a 0.

d) y = 13x. Quando não tem nada no expoente, o expoente é 1. Então, tombamos o 1 como expoente e subtraímos 1 desse mesmo expoente. Fazendo a derivada: y’ = 1.13.x^1-1, ou seja, y’ = 13x⁰. Como todo número elevado a 0 é igual a 1, temos: y’ = 13(1), ou seja, y’ = 13. Ou seja, a inclinação de y’=13x é 13 (já que 13 é a derivada) e o valor máximo da função também é 13.

e) y = 4x³ + 5x² + 3x + 1. E agora, josé? Hahaha Mesma coisa. Fazemos a derivada de cada um dos termos separadamente. y’ = 3.4x^3-1 + 2.5.x^2-1 + 1.3x^1-1 + 0. Assim: y’ = 12x² + 10x + 3.

Vamos ver agora com alguns enfoques econômicos. Vamos pegar a função de produção q = K² + 3. Esta é uma função que depende apenas de um fator de produção, o fator K. Derivando a função, podemos chegar ao Produto marginal (já que o produto marginal é a derivada da função produção).

f) q = K² + 3. Fazendo dq/dK, temos Pmg = 2K^2-1 + 0, ou seja, Pmg = 2K. Portanto, a Produção Total é expressa pela função produção q = K² + 3 e o produto marginal é expresso pela derivada da função produçao, que é 2K (Pmg = 2K).

g) Qd = 100 – 5Px. Não sei se você lembra dessa. É o exemplo de função demanda que vimos aqui na aula. Como ficaria dQd/dPx? Seguinte: Qd’ = o – 1.5Px^1-1. Assim, Qd’ = – 1.5Px⁰ , ou seja, Qd’ = - 5. Assim, a derivada da curva de demanda é -5, o que faz com que a inclinação dessa curva de demanda também seja -5. Ou seja, a inclinação da curva de demanda é dada pela constante que multiplica o preço. Olhe só: Qd = 100 – 5Px. Got it?

Vamos fazer mais uma derivada envolvendo produção.

h) q = K^2L3. Esta é uma função produçao que depende de dois insumos, K e L. Neste caso, podemos derivar a função em relação a K (dq/dK) ou em relação a L (dq/dL). Se derivarmos em função de K, L será considerado como constante. Se derivarmos em função de L, K será considerado como uma constante.

Primeiro, vamos fazer dq/dK: Pmgk = 2K^2-1L³, ou seja, Pmgk = 2KL³. Repare que só mexemos na variável K, que é a derivada.

Agora, vamos fazer dq/dL: PmgL = K².3.L^3-1, ou seja, PmgL = 3K²L².

Agora que já sabemos derivar uma função, fica fácil saber quando que uma função atinge valor máximo. Para sabermos isso, basta derivar uma função e igualá-la a zero. Se quisermos saber qual o produto marginal, basta derivar a função produção.